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Ilustrar las Matemáticas Usando
Impresoras 3D
Oliver Knill, Elizabeth Slavkovsky
Departmento de Matemáticas, Harvard University, Cambridge,
MA, USA [email protected], [email protected]
Visualización
La visualización siempre ha sido un ingrediente
importante para la comunicación de las matemáticas. Las
figuras y los modelos han ayudado a expresar las ideas, incluso
antes de que el lenguaje matemático formal fuese capaz de
describir las estructuras. Los números han sido registrados
como marcas hechas sobre huesos, representados con guijarros,
y luego pintados en piedra, inscritos en arcilla, tejidos en nudos
que hablan, escritos en papiro o papel y después impresos en
papel o mostrados en las pantallas del computador. Si bien las
figuras amplían el lenguaje y las imágenes permiten visualizar
conceptos, realizar los objetos en el espacio ha mantenido su
valor. Ya en la antigua Grecia se utilizaron modelos de madera
de los conos de Apolonio para enseñar las secciones cónicas.
La investigación inicial en matemáticas era a menudo visual:
hay figuras sobre tablillas de arcilla babilónicas que se usaron
para ilustrar las ternas pitagóricas; el papiro matemático de
Moscú presenta una imagen que ayuda a obtener la fórmula del
volumen del tronco de una pirámide. Al- Khwarizmi dibujó
figuras para resolver la ecuación cuadrática. La visualización
no es sólo ilustrativa, educativa o heurística, sino que tiene
valor práctico: triángulos pitagóricos hechos con cuerdas
ayudaron a medir y dividir la tierra en Babilonia. Regla y
compás, introducidos para hacer matemáticas en el papel se
pueden utilizar para construir planos de máquinas. Los
matemáticos griegos como Apolonio, Aristarco, Euclides o
Arquímedes dominaban el arte de representar las matemáticas
con figuras. (1)
Mientras que los dibujos no sustituyen las ideas –Kline (2)
da una prueba visual convincente de que todos los triángulos
son equiláteros– sí nos ayudan a transmitir intuiciones sobre
resultados e ideas (3, 4). La visualización es especialmente
crucial para la educación y puede llevar a nuevos enfoques.
Hay muchos ejemplos de naturaleza mecánica que se
encuentran en el libro de texto "El Mecánico Matemático " (The
Mathematical Mechanic) (5). Como una herramienta
pedagógica, ayuda a los maestros en todos los niveles de las
matemáticas, desde la escuela primaria y secundaria, pasando
por la educación superior hasta la investigación moderna (6, 7
8). Una tesis de Slavkovsky (9) ha explorado la viabilidad del
uso de la tecnología en el aula. Nos inspiramos en el trabajo de
Arquímedes (10) con el uso de esta tecnología .
La visualización también ayuda a exhibir la belleza de las
matemáticas y a promover este campo ante un público más
amplio. Las figuras pueden inspirar nuevas ideas, generar
nuevos teoremas o ayudar en los cálculos; hay ejemplos como
los diagramas de Feynman o Dynkin, o una tabla de Young. La
mayoría de los matemáticos extraen ideas creativas e
intuiciones a partir de imágenes, incluso si estas imágenes no se
publican nunca en artículos o libros de texto. Artistas,
arquitectos, cineastas, ingenieros y diseñadores se inspiran en
las matemáticas visuales. Libros bien ilustrados como (11, 12,
13, 14, 15, 16) promocionan las matemáticas con figuras e
ilustraciones. Estos libros ayudan a contrarrestar la impresión de
2 que es difícil explicar las matemáticas a los no matemáticos.
Las exposiciones sobre matemáticas como la del Museo de la
Ciencia de Boston o el Museo de Matemáticas de Nueva York
tienen un papel importante en la presentación accesible de las
matemáticas. Todas ellas hacen presentaciones visuales o
prácticas de las matemáticas. Mientras que hay varias
tecnologías que permiten mostrar contenidos espaciales y
dinámicos en la web, como Javascript, Java, Flash, WRML, SVG
ó WebGL, la posibilidad de manipular un objeto directamente
con las manos es todavía inigualable. Las impresoras 3D nos
permiten hacerlo con relativamente poco esfuerzo.
Impresión 3D
La industria del prototipado rápido y la impresión 3D en
particular surgió hace unos 30 años (17, 18, 19, 20, 21) y es
considerada por algunos como parte de una revolución
industrial en la cual la fabricación se ha vuelto digital, personal
y asequible (22, 23, 24). Esta tecnología que se hizo comercial
en 1994 con materiales impresos de cera, se ha movido hacia
otros materiales como acrilatos fotopolímeros o metales y ahora
está entrando en el rango de tecnología de consumo. Los
servicios de impresión pueden imprimir en color, con diversos
materiales y en alta calidad. El desarrollo de la impresión en 3D
es la última pieza de una cadena de técnicas de visualización.
Vivimos un momento emocionante porque experimentamos no
sólo una, sino dos revoluciones a la vez: una revolución de la
información y una revolución industrial. Estos cambios también
afectan la enseñanza de la matemática (25). La impresión 3D se
utiliza ahora en el campo de la medicina y la industria
aeronáutica, para crear prototipos de robots, para crear arte y
joyas, para construir nanoestructuras, bicicletas, barcos,
circuitos, para producir arte, robots, armas, casas, e incluso se
3 utiliza para decorar tortas. Su uso en la educación se ha
investigado en (9). Dado que los modelos físicos son
importantes en el aprendizaje práctico, activo, la tecnología de
impresión 3D en la educación se ha utilizado desde hace ya
tiempo (26) y se ha considerado para (27) el desarrollo
sostenible, para la educación K-12 (desde el kínder hasta la
secundaria), en proyectos STEM (28) (ciencia, tecnología,
ingeniería y matemáticas), así como en educación matemáticas
en primaria (29). No hay duda de que tendrá un gran impacto
en la educación (30, 31).
Los modelos impresos permiten ilustrar conceptos en
varios campos matemáticos como cálculo, geometría o
topología. Ya ha dado lugar a nuevas perspectivas en la
educación matemática. La bibliografía sobre 3D ha hecho
explosión de manera similar a la de computación cuando el PC
entró al mercado de consumo. Algunos ejemplos de estos libros
son (32 33 34). Como para cualquier tecnología emergente,
estas publicaciones pueden caducar rápidamente, pero seguirá
siendo un valioso testimonio del emocionante momento en que
vivimos
Dándole vida a la matemática
Para ilustrar visualizaciones utilizando impresoras 3D nos
enfocamos en modelos matemáticos generados con la ayuda de
los sistemas de álgebra computacional. A diferencia de los
modeladores de 3D, el software de matemáticas tiene la
ventaja de que el código fuente es corto y de que los programas
que se usan para hacer investigación matemática en el salón de
clase pueden se reutilizados. Muchos de los ejemplos que
damos aquí han sido desarrollados para clases o proyectos y
4 redibujados para que puedan ser impresos. En contraste con
modeladores, un software que genera una larga lista de
triángulos, los sistemas de álgebra computacional describen y
exhiben matemáticamente objetos tridimensionales. Mientras
experimentamos también con otro tipo de software como
“123D Design” de Autodesk, “Sketchup” de Trimble, el
modelador “Free CAD”, “Blender”, o “Rhinoceros” de McNeel
Associates, trabajamos más que todo con sistemas de álgebra
computacional, en particular con Mathematica (35, 36, 37, 38,
39). Para explicar esto con un ejemplo concreto, examinemos
el teorema de Newton sobre el empaquetamiento de esferas
que nos dice que el número de osculación de esferas (kissing
number) en un espacio tridimensional es de 12. El teorema
dice que el número máximo de esferas que pueden colocarse
alrededor de una esfera dada es de doce, si todas las esferas
tienen el mismo radio, tocan la esfera central y no se
sobreponen.
Mientras que Gregory, contemporáneo de Newton,
pensaba que se puede apilar una treceava esfera, Newton creía
que el número de osculación de las esferas era 12. El teorema
fue demostrado en 1953 (40). Para mostrar que este número es
de por lo menos 12, se toma un icosaedro con una longitud de
lado 2 y se colocan esferas unitarias en cada uno de los doce
vértices de manera que rocen la esfera unitaria centrada en el
origen. La prueba de que es imposible colocar 13 esferas (41)
usa un estimado elemental (42) para el área de un triángulo
esférico, la fórmula del poliedro de Euler, el teorema discreto
Gauss-Bonnet que asegura que la suma de las curvaturas es 2 y
algunas combinatorias para chequear todos los casos de
poliedros que están permitidos por estas limitaciones. Para
visualizar esto con Matemathica, se plotearon 12 esferas que
rozan una esfera central. Mientras que el objeto consiste de 13
5 esferas solamente, el sólido completo está hecho de 8640
triángulos. El código en Mathematica es muy corto porque sólo
necesitamos computar las coordenadas del vértice del
icosaedro, generar el objeto y luego exportar el archivo STL.
Exhibiendo el código fuente hemos ilustrado la visualización,
algo semejante a presentar la prueba. Si se carga en un
computador, el código genera un archivo imprimible STL.
Consideraciones sobre sustentabilidad
Los modelos físicos son importantes para el aprendizaje
práctico interactivo. Ya han surgido repositorios de modelos 3D
imprimibles para la educación (26). La tecnología 3D ha sido
utilizada para la educación K-12 en proyectos STEM (28) y en
educación de matemáticas elementales. Hay mucho optimismo
de que tenga un gran impacto en la educación. La nueva
tecnología permite, en principio, que cualquier persona
construya modelos para el salón de clases. Para hacerlo más
accesible, todavía hay que vencer muchos obstáculos. Hay
buenas noticias, sin embargo: los archivos STL se pueden
generar fácilmente porque el formato es sencillo y abierto. Los
archivos STL también pueden exportarse a otros formatos.
Mathematica, por ejemplo, permite su importación y
conversión a otras formas. Programas como “Meshlab” pueden
manipularlos. Conversiones terminales como “admesh”
permiten manejar archivos STL desde la línea de comando.
Otros programas independientes (stand-alone) como “stl2pov”
permite convertirlos en una forma que puede ser pasada a un
trazador de rayos como Povray. Un punto importante es que el
software bueno para generar los objetos no es barato. El uso de
un sistema comercial de álgebra computacional como
Mathematica puede ser muy costoso, sobre todo si se requiere
6 de una licencia por sitio. No hay software libre de álgebra
computacional en este momento que sea capaz de exportar
archivos STL, 2DS o WRL con rutinas embebidas. EL sistema de
álgebra computacional SAGE, que es el sistema más sofisticado
de fuente abierta, exporta solamente en fase experimental (43).
Parece que falta mucho trabajo por hacer en este campo.
Sin embargo, muchas fuentes están disponibles (44, 45).
Las siguientes ilustraciones consisten en gráficos de
Mathematica que pueden imprimirse. Estas a menudo necesita
adaptaciones porque una impresora no puede imprimir objetos
de grosor cero.
Ilustraciones
Esta figura permite visualizar que el número de osculación
de una esfera es ≥ 12. El código de Mathematica que produce
este objeto se proporciona en el texto. Produce un archivo que
contiene miles de triángulos a los que una impresora 3D sabe
7 cómo darles vida. El objeto impreso muestra visualmente que
todavía queda un poco de espacio en la esfera. Newton y su
contemporáneo Gregory tenían un desacuerdo sobre si este
espacio era suficiente para contener una treceava esfera.
Un toro Dehn trenzado (twisted) y otro no trenzado
(untwisted). Las figuras derecha e izquierda muestran dos
gráficos no-isomórficos pero que tienen las mismas propiedades
topológicas y que son isoespectrales para los operadores de
Laplace y de Dirac. Es el ejemplo más fácil de un par de
gráficos no isométricos pero sí isoespectrales de Dirac.
8 Todos los 26 sólidos de Arquímedes y Catalan reunidos en
una “gema” con forma de Dodecaedro de Disdyakis. La figura
de la derecha muestra un Rombicosidodecaedro con 30 puntos
de curvatura de 1/3 y doce puntos de curvatura de -2/3. La
curvatura total es 2 y concuerda con la característica de Euler.
Esto ilustra un teorema discreto de Gauss-Bonnet (46).
El collar de Antoine es un Cantor en el espacio cuyo
complemento no está conectado simplemente. La esfera
Alexander que se ve a la derecha es una bola topológica 3 que
9 está simplemente conectada, pero cuyo exterior no está
conectado simplemente. Las esferas Alexander impresas
pueden ser atractivos pendientes.
Dos pruebas tipo de Arquímedes de que el volumen de la
esfera es 4/3 π.r3 (47, 48, 49). La primera presupone que el área
de la superficie A es conocida. La fórmula V = Ar/3 puede
mostrarse cortando la esfera en muchos tetraedros pequeños de
volumen dAr/3. La segunda prueba compara el volumen de
media esfera con el complemento de un cono en un cilindro.
10 El casco de Arquímedes y el domo de Arquímedes; la
intersección de cilindros son sólidos para los que Arquímedes
podía calcular los volúmenes usando métodos de integración
comparativos (50). El casco es también un objeto para el que
Arquímedes tuvo que usar una suma límite, probablemente la
primera en la historia de la humanidad (51).
Dos de los 6 politopos regulares convexos en 4
dimensiones. El color es la altura en el espacio de cuatro
dimensiones. Vemos las celdas 120 y 600.
11 Otro par de los 6 politopos regulares convexos en 4
dimensiones. El color es la altura en el espacio
tetradimensional. Vemos la celda 16 (análoga del octaedro) y la
celda 24. Esta última permite la teselación del espacio
tetradimensional euclidiano.
El de cinco celdas es el gráfico completo con 5 vértices y
el politopo tetradimensional más simple. El de 8 celdas a la
derecha se llama también tesaracto. Es el análogo
tetradimensional del cubo
12 Los domos de Arquímedes son la mitad de las esferas de
Arquímedes. Tienen un volumen igual a 2/3 del prisma en el
cual se inscriben. Sólo más tarde se descubrió que para los
globos de Arquímedes el área de la superficie es 2/3 del área de
la superficie de un prisma que los circunscribe. (50)
Un cono de Apolonio, así denominado por Apolonio de
Perga se utiliza para visualizar las secciones cónicas. Hay
13 modelos de madera en los salones de clase. La figura de la
derecha muestra un icono de Chaos, el atractor de Lorenz (52).
Se cree que es un fractal. La dinámica en este conjunto es
caótica para varios parámetros.
La cinta de Möbius se engrosó para poder imprimirla. La
imagen de la derecha es una cinta de Möbius con autointersecciones. Esta es una situación donde el sistema de
álgebra computacional se luce. Para hacer que una superficie
sea más gruesa tenemos que computar el vector normal en
cada punto de la superficie.
El teorema de nueve puntos de Feuerbach realizado en
3D. La figura de la derecha ilustra el teorema de Hipócrates, un
14 intento de cuadratura del círculo. El triángulo tiene la misma
área que las dos figuras en forma de luna juntas.
La figura de la izquierda muestra el Hexlet de Soddy. Se
necesitan
transformaciones
conformes,
específicamente
transformaciones de Möbius para construir este sólido. La figura
de la derecha pretende ilustrar que existen empaquetamientos
infinitamente más densos en el espacio. Si bien existe un
empaquetamiento cúbico denso y un empaquetamiento
hexagonal denso, estos pueden mezclarse.
El gráfico de 1/|ζ(x+iy)| muestra los ceros de la función
zeta ζ(z) como picos. La conjetura de Riemann es que todas
estas raíces están en la línea x = 1⁄2. La figura de la derecha
15 muestra la función Gamma que extiende la función factorial
desde los enteros positivos hasta el plano complejo Г(x) = (x 1)! para x positiva. Estos gráficos se producen de manera que
pueden imprimirse.
Dos figuras de diferentes áreas de la geometría. La primera
permite la impresión de una teselación de Penrose aperiódica
que consiste de flechas y cometas. Para construir primero la
teselación en 2D, usamos el código (37) que se encuentra en
10.2. La segunda figura es la tercera etapa de la curva de Peano
definida recursivamente; una curva de espacios rellenos.
16 Una ilustración del teorema en cálculo multivariable
donde el gradiente es perpendicular a la superficie de nivel. La
segunda figura muestra el mapa exponencial en la geometría de
Riemann donde vemos ondas frontales en el punto de curvatura
positiva y en el punto de curvatura negativa. Las ecuaciones
diferenciales son complicadas, pero Mathematica se encarga.
Impresión del triángulo de Penrose. El sólido fue creado
por Oscar Reutersvard y popularizado por Roger Penrose (53).
Una implementación de Mathematica apareció por primera vez
en (36).
17 Impresión de una versión simplificada de las escaleras de
Escher. Si el objeto se gira en el ángulo adecuado se hace
visible una escalera imposible. Cuando se imprime, este objeto
muestra visualmente la geometría de las figuras imposibles.
El paraguas de Whitney es un icono de la teoría de la
catástrofe. Esta es la forma típica de la cáustica de un frente de
onda que se mueve en el espacio. A la izquierda vemos como
la superficie se ha engrosado para hacer posible su impresión.
A la derecha, las curvas de la rejilla se muestran como tubos.
También es una técnica para permitir la impresión.
18 La figura de la izquierda muestra el poliedro de Steffen,
una superficie flexible. Puede deformarse sin que las distancias
entre los puntos cambien. Esto es una sorpresa, puesto que un
teorema de Cauchy dice que esto no es posible para sólidos
convexos (54). La figura de la derecha ilustra como se pueden
construir cáusticas en superficies que tiene la forma prescrita.
La primera figura ilustra un palo que cae y rebota en una
mesa. Vemos una instantánea estroboscópica de la trayectoria.
La segunda ilustra la órbita de una bola de billar en una mesa
de billar tridimensional (55).
19 La figura de la izquierda muestra dos tambores
isoespectrales descubiertos por Gordon-Webb. La de la derecha
es una versión imprimible de un operador de Dirac de una
gráfica (56).
La figura izquierda ilustra una cáustica de una taza de
café. Es un icono de la teoría de la catástrofe. La de la derecha
muestra la superficie mínima de Costa usando una
parametrización de Gray (57).
20 La izquierda muestra el gráfico de un toro; a la derecha, el
conjunto de Mandelbrot en 3D. Hay fantásticas imágenes
generadas por computadora del paisaje fractal producidas ya
hace 25 años (58).
La figura izquierda ilustra el espectro de una matriz donde
las entradas son aleatorias pero correlacionadas. Las entradas
son dadas por los valores de una función casi periódica. Hemos
observado experimentalmente que el espectro es de naturaleza
21 fractal en el plano complejo. La figura es imprimible. EL
ejemplo de la derecha es una superficie décica (Barth decic), el
locus cero f(x, y, z) = 0 de un polinomio de grado 10 en tres
variables. Mostramos la región (x, y, z) ≤ 0.
La figura izquierda muestra el flujo geodésico de una
elipsoide sin simetría rotacional. El último teorema de Jacobi
–todavía un problema abierto– afirma que todas las cáusticas
tienen 4 cúspides. La derecha ilustra algunas geodésicas que
comienzan en un punto de una superficie de revolución.
Un frente de onda en un cubo. A pesar de la simplicidad
de la disposición, los frentes de onda se vuelven complicados.
La derecha muestra una aproximación a la esponja de Menger,
22 un fractal en un espacio tridimensional. Es importante en
topología porque contiene cualquier espacio métrico compacto
de dimensión topológica.
La figura de la izquierda presenta un ladrillo o caja de
Euler. Se desconoce si existe un cuboide para el cual todas las
longitudes de sus lados son enteras y para el cual también todas
las caras y diagonales espaciales sean también enteras. Si todas
las caras tienen longitudes enteras, se llama ladrillo o caja de
Euler. Si también la diagonal espacial es entera, tenemos el
ladrillo de Euler perfecto. La figura de la derecha muestra cómo
se puede hacer la multiplicación de números usando una
parábola.
23 La figura izquierda ilustra la prueba del teorema de
Pitágoras (59). La derecha es una prueba de que una pirámide
tiene un volumen que es un tercio del área de la base por la
altura.
Un tema del teorema de Pappus a la izquierda, y una
ilustración del teorema de Morley que dice que los ángulos
trisectores de un triángulo cualquiera se reúnen en un triángulo
equilátero.
24 La figura izquierda muestra un fractal llamado “el árbol de
Pitágoras”. La figura de la derecha muestra el paseo aleatorio
en tres dimensiones. A diferencia de lo que pasa en una
dimensión o dos, el caminante aleatorio en tres dimensiones no
se devuelve con posibilidad de 1 (60).
Tablas y fragmentos de código
A) Revoluciones. La primera tabla resume la información y las
revoluciones industriales.
25 Para las revoluciones industriales ver (61) página 3; para la
segunda revolución industrial (62) página 2; para la tercera (21)
página 34 (23).
B) Cambio en la comunicación, la percepción y salón de
clases.
Esta tabla da ejemplos de avances en la comunicación y
en el salón de clases. Los número indican cuántos años hace
que ocurrió el evento.
Los primeros sistemas de álgebra computacional (CAS) en
los años 60 fueron Mathlab, Cayley, Schoonship, Reduce,
Axiom and Macsyma (63). El primer autor (de este artículo)
estuvo expuesto de estudiante a Macsyma, Cayley (que luego se
transformó en Magma) y Reduce. Vivimos en un tiempo en que
incluso las tres categorías comienzan a desvanecerse: los
celulares con sensores visuales y de audio, que tal vez se usan
como anteojos, se conectan a la red. En las aulas, hoy en día,
los profesores registran los trabajos de los estudiantes en sus
celulares y los califican automáticamente. Los estudiantes
escriben en papel inteligente y hay software que conecta el
audio grabado con el texto escrito. Y vendrá la época en que
los estudiantes impriman un experimento físico y trabajen con
él.
26 C) Código fuente para exportar un archivo STL. Las siguientes
líneas de Mathematica generan un objeto con 13 esferas
osculantes.
D) El formato STL. Aquí se presenta el comienzo del archivo
kissing.stl convertido a través de “admesh” en el formato ASCII
legible por humanos. El archivo completo tiene 104.000 líneas
y contiene 14.640 facetas. La línea “normal” contiene un vector
que indica la orientación de la faceta triangular.
E) Ejemplos de Mathematica. Aquí damos ejemplos de
“programas miniatura” básicos que pueden usarse para
producir formas:
27 • E1) Adición de algunos nudos:
• E2) Gráfico de una región:
• E3) Una superficie de Scherk-Collins (64) que es próxima a
una superficie mínima:
• E4) Teselación poliédrica: por ahora, las instrucciones de
Mathematica “Translate” , “Rotate” o “Scale” producen
28 archivos STL que no son imprimibles. Esto hace que haya
que desarmar los objetos y reconstruirlos de nuevo. Aquí
hay un ejemplo, que es una prueba visual de que se puede
teselar el espacio con octaedros truncados
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