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TALK, 17 JUNE 2015, 12:00 noon, SEMINARI DE GEOMETRIA DIFERENCIAL
Centre de Recerca Matemàtica (C.R.M.), Facultat de Ciències de la U.A.B., Bellaterra
JOSE G. VARGAS,
From Differential Geometry to High Energy Physics through Kaehler’s Calculus
The core of the theory of connections is the equations of structure. They are of the form
d(connection)=input, where d is the exterior (covariant) derivative and where the
connection is a vector-valued differential form. On the other hand, Kaehler’s exteriorinterior differentiation, δ, leads to the equation δu=au, which is the foundation of
relativistic quantum mechanics if the input, a, is scalar-valued and specifically of the
form m+eA (constant plus differential 1-form).
A small computation by Cartan in differential geometry shows that particles are only
indirectly represented in the equations of structure, through the origins of the moving
frames. We resolve this situation by replacing spacetime with time-space-propertime,
expressing the usual metric in terms of a Clifford algebra product of a 5-D vectorvalued differential 1-form by itself. We extend to this new conceptual frame Kaehler’s
treatment of solutions with symmetry of exterior systems (The format of those solutions
depends on the specific symmetries and not on the equations themselves).
The study of the spinorial solutions defined by the ideals associated with symmetries
under the 3-D Euclidean displacements jointly with time translations allows us to find
an algebraic representation of quarks in an algebra where leptons and hadrons co-exist.
A stoichiometry of fundamental particles results.
De la Geometría Diferencial a la Física de Partículas a través del Cálculo de
Kaehler
La geometría diferencial está representada por las ecuaciones de estructura. En formato
de É. Cartan, son de la forma d(conexión) = datos de entrada, siendo d la derivada
(covariante) exterior y siendo la conexión una 1-forma vector-valuada. Por otra parte, la
diferenciación exterior-interior de Kaehler, δ, conduce a la ecuación δu=au, que es la
base de la mecánica cuántica relativista si el dato de entrada, a, es una forma diferencial
valuada escalar.
Un pequeño cálculo por Cartan en geometría diferencial muestra que las partículas están
representadas en las ecuaciones de estructura sólo indirectamente, por medio de los
orígenes de referenciales móviles. Resolvemos esta situación al reemplazar el espacio
tiempo con tiempo-espacio-propertime, expresando la métrica usual en términos de
productos de una forma vector-valuada en 5-D por sí misma. Extendemos a este nuevo
marco conceptual el tratamiento por Kaehler de soluciones con simetría de sistemas
exteriores, cuyo formato depende de las simetrías en cuestión pero no de las ecuaciones
mismas.
El estudio de las soluciones espinoriales definidas por los ideales asociados con las
simetrías bajo desplazamientos nos permite encontrar una representación algebraica de
quarks, en un álgebra donde conviven con leptones y hadrones. Una estequiometría de
partículas fundamentales resulta.