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SISTEMAS DESORDENADOS
El Dr. Isaac Pérez Castillo, Físico español, se integró recientemente al Instituto de Física de la
Universidad
Nacional Autónoma
de
México
(UNAM),
como
investigador
titular
del
Departamento de Sistemas complejos. Su seminario se dividió en cuatro partes:
-Física estadística ó mecánica estadística
-Método de la cavidad
-Método Montecarlo
-Formas de estimar tasas de reacción (numérica y semianalítica)
La pregunta fundamental que surgió al inicio del seminario fue: ¿Qué es la física estadística?
Como bien explicó el Dr. Pérez Castillo, es una rama de la física que intenta explicar la
termodinámica desde un punto de vista microscópico. Se intenta entender el gasto de
partículas desde un punto de vista microscópico. Se intenta explicar cómo las partículas
interactúan dando un fenómeno colectivo que puede observarse macroscópicamente. Para
entender mejor este concepto es necesario mencionar que se habla de un sistema
microscópico cuando se hace referencia a un conjunto de N unidades elementales. Las
unidades elementales pueden ser átomos, moléculas, etc. Se habla de heterogeneidad cuando
diferentes sets de unidades elementales interactúan de manera diferente.
Primero se tienen que cuantificar las propiedades desde un punto de vista matemático. Se
representan con variables. La función establecida va a determinar cómo las partículas
interactúan. A pares, tripletes, etc. El objeto central es la medida de probabilidad de
Gibbs-Boltzmann. Esta medida, para una temperatura dada y si conoces la interacción del
sistema, te dice cuál es la probabilidad de encontrar el sistema en cierta configuración. La idea
es buscar formas de extraer información estadística de la probabilidad de Boltzmann.
Dada una distribución de variables aleatorias X, la entropía está dada por la suma de todas
esas variables. La entropía mide cuán aleatorio es el sistema. Se sabe que ell valor mínimo de
la entropía es cero. En este caso la entropía determina qué tanta información o desinformación
tienes (teoría de la información). Cuando el sistema es determinista la entropía es mínima,
cuando el sistema es aleatorio la entropía toma su mayor valor.
Método de la cavidad
Los grafos aleatorios son importantes porque aparecen en todos lados: Redes metabólicas, s
reacciones químicas acopladas, Interacciones proteína-proteína y otros problemas. La pregunta
que surge es: ¿Cómo resolver modelos en grafos aleatorios? La respuesta es mediante el
Método de la cavidad. Suponiendo un grafo aleatorio poissoniano, es importante que los
vecinos de i, correlacionados a través de ella, no se correlacionen si se elimina i, es decir, este
método calcula la probabilidad conjunta de la vecindad de i. Si se quita i, los nodos deberían
estar decorrelacionados. El método nos da la probabilidad de decorrelación quitando i
( correlación del vecindario).
Métodos Monte Carlo
Es cualquier algoritmo computacional que requiere un sampleado aleatorio para obtener
resultados numéricos y tiene múltiples aplicaciones en ciencia. El Dr. Pérez Castillo hizo énfasis
en dos de éstos métodos.
-Integración Montecarlo, forma de estimar integral definida.
-Estimación de volumen de un politopo (poliedro a más de 3 dimensiones).
Integración Monte Carlo
Para estimar la integral definida, se introduce una medida de “a” a “b” y se generan números
uniformes. Este método se hace más eficiente cuanto mayor es la dimensión.
Estimación de volumen
En necesario aclarar conceptos básicos antes de hacer una estimación de volumen. En una
dimensión es un segmento, dado por dos puntos. En dos dimensiones es un polígono, parte del
plano encerrado por líneas. En tres dimensiones es un poliedro, encerrado por planos. En d
dimensiones es un politopo. Esta estimación consiste en sortear una cantidad n de puntos
independientes y uniformemente distribuidos y posteriormente se usa como estimador del área
a calcular la cantidad de puntos que cayeron dentro de la misma sobre el total de puntos
sorteados.
La última parte de la charla consistió en responder la siguiente pregunta: ¿Cómo estimar
numéricamente volúmenes de politopos? Para ello se hizo mención de cuatro métodos.
-Flux Balance Analysis
-Monte Carlo
-Rejection method
-Hit and run method
FBA aproxima el volumen mediante un sólo punto, se usa una función objetiva (de significado
biológico) que se tiene que maximizar. Hit and run estima el volumen uniformemente, mediante
un sampleado uniforme, sin rechazo. Se empieza con un punto dentro del politopo, se
selecciona una dirección aleatoria uniforme y se hace un viaje a una distancia aleatoria a un
nuevo punto dentro del politopo. De los métodos de Monte Carlo ya se habló previamente.