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Unidad 2. Álgebra
I. Sistema de Ecuaciones Lineales
3. Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables
a. Método gráfico
Ecuación Lineal
En una ecuación lineal su representación gráfica es una recta.
Ejemplo:
Gráfica de una Ecuación Lineal
La recta muestra la gráfica de la
ecuación lineal y = x + 3.
y=x+3
Dos puntos en la recta se han
B
identificado como A y B. Un punto
que no se encuentra en la recta se
A
ha identificado como C.
C
¿Qué pares ordenados representan
soluciones de esta ecuación lineal?
*Sustituye los valores de los pares
ordenados para comprobar las soluciones
de la ecuación.
Los pares ordenados A y B son
soluciones de la ecuación lineal.
El par ordenado C no forma parte
de la recta, por tanto, no
representa una solución.
Para A (-3,0)
Para B (0,3)
Para C
y = x+3
y = x+3
y = x+3
0= -3+3
3 = 0+3
0 = 3+3
0=0
3=3
0=6
(3,0)
Sistemas de ecuaciones lineales
El propósito principal en los sistemas de ecuaciones lineales es hallar pares
ordenados de números reales que hagan ciertas ambas ecuaciones a la vez.
Recordar…
Par ordenado: Par de número que se usan para localizar un
punto en el plano. Son dos números (par) con un orden
establecido (x, y).
Ej. (2,4)
Importante:
Los pares ordenados que satisfacen ambas ecuaciones se llaman
soluciones comunes.
Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables impone dos condiciones
en las variables al mismo tiempo
En el ejemplo x + y = 6 y x – y = 2, por tanteo, podemos ver que con x = 4, y = 2
se satisfacen ambas ecuaciones. Por lo tanto, el par ordenado (4,2) es la única
solución de este sistema.
Hay varios métodos para resolver los sistemas de ecuación lineal. Estudiaremos
tres que se usan para hallar soluciones a sistemas de forma algebraica:
solución por el método gráfico, solución por sustitución y solución por
eliminación.
Métodos algebraicos para hallar la solución a
sistemas de ecuaciones
A. Método gráfico
Se grafican ambas ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas. Así, las
coordenadas del punto común en ambas gráficas deberán ser las soluciones del
sistema, ya que satisfacen ambas ecuaciones.
Ejemplo 1:
Se elabora una tabla de valores para ambas ecuaciones,
luego se grafican usando los pares ordenados y,
se unen los puntos mediante una recta.
x+y=2
Veamos:
x–y=0
x+y=2
x
1
y
1
2
0
3
-1
4
-2
x–y=0
x
1
y
1
2
2
3
3
4
4
x–y=0
(1,1)
x+y=2
Podemos observar que el
par ordenado que
satisface ambas
ecuaciones es (1,1)
Ejemplo 2:
Las edades de Héctor y Carla suman 25 años. Héctor tiene 5 años más que
Carla. ¿Cuál es la edad de cada uno?
X = Edad de Héctor
x + y = 25
Y = Edad de Carla
x–y=5
La edad de Héctor más la edad de Carla suman 25 años.
La diferencia entre la edad de Héctor y Carla son 5 años.
Para resolver este sistema se encuentran los pares ordenados que satisfagan
ambas ecuaciones y luego se gráfica para encontrar las coordenadas del punto
de intersección, si existen.
y
x + y = 25
x–y =5
x
x
y
x–y=5
y
25
0
25
0
-5
10
15
10
5
15
10
15
10
(15,10)
-40 -30 -20 -10
0
10
20
30
40
x + y = 25
La edad de Héctor (x)
es 15 años y la edad
de Carla (y) es 10
años.
-25
x
Dos rectas en un plano, se deben relacionar en una de tres maneras:
1) se intersecan en un punto y sólo un punto; 2) son paralelas; ó 3) coinciden.
Por lo tanto, cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones de dos incógnitas podemos
esperar obtener una de estas situaciones.
independiente
una solución
rectas no paralelas
inconsistente
sin solución
rectas paralelas
dependiente
infinitas soluciones
la misma recta