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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1) Dados los siguientes polinomios: P(x)=2x³ – 3x + 2 , Q(x)=–3x³ + x² + 2x – 3 ,
opera:
a) P(x) +Q(x)
c) 3·P(x) + 2·Q(x)
b) P(x) – Q(x)
d) P(x) · Q(x)
2) Saca factor común:
a) 3x² – 3x + 3
c) 6x²y³ – 9xy² + 9xy
b) 12x⁴ + 6x² – 18x
d) 5x³y³ + 10x²y³ – 3x²y² + x²y
3) Calcula:
a) (x – 1)·(x + 3)²
b) (2x + 3)·(3x – 2)·(x + 1)
c)
(2x + 13 ) ·(2x− 13 )( 2x− 13 )
d) (2x – 1)⁵
4) Expresa estos polinomios como un producto notable:
a) x² – 6x + 9
e)
x² −
b) x² + 2x + 1
f) 4x² + 12x + 9
c) x² – 4
d)
9x²−3x+
1
9
1
4
g) x² – 5
h)
9 4
1
x + x² +
4
9
5) Divide los siguientes polinomios y exprésalos como D = d · c + r:
a) (4x⁵ – 2x³ + 6x² – 1) : (2x² +1)
c) (x⁴ – 4x³ + 6x² – 4x + 1) : (x² – 2x + 1)
b) (3x⁴ + x³ – 2x + 3) : (x + 2)
d) (x⁵ – 2x⁴ + x³ – 3) : (x³ – x + 2)
6) Calcula el valor de k para que el polinomio P(x)=x³ + x² – 2x + k sea divisible por
x – 2.
7) Verifica que el polinomio P(x)=2x³ – 8x² + 8x – 6 es divisible por x – 3 sin hacer la
división.
8) La división de x³ + ax + 2 entre x – 2 da de resto 6. ¿Cuánto vale a?
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1
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ÁLGEBRA
9) Factoriza los siguientes polinomios:
a) x⁴ – 5x³ – x² + 5x
d) x⁵ – x
b) 2x⁴ + 6x³ + 6x² + 2x
e) x⁵ – 2x³ + x
c) x⁵ + x⁴ – 5x³ + 3x
f) 2x⁶ – x⁵ – 5x⁴ + x³ + 3x²
FRACCIONES ALGEBRAICAS
10)
Factoriza y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a)
x2 + x
xy+ y
e)
xy−5x−4y−4 ·(−5)
xy +6x−4y−6 · 4
b)
x²−4
x²−4x+ 4
f)
−2x 4 +5x 3−5x +2
2x 4+ 7x3 +3x 2−8x−4
c)
2x³−2x
4x +8x3 + 4x 2
g)
x5 −x
x 5−2x 4 +2x 3−2x 2+ x
d)
x 3−2x2
3
2
3x +3x +3x
h)
x −8x +16x
x 3−4x 2 + 4x
d)
1
x
−
+x
x+ 1 x −1
e)
1− x x−1
·
1+ x x +1
1+ x x
·
1− x x +1
f)
( )
11)
4
6
4
2
Opera y simplifica:
2
2
a)
x +1
x
+
2
x + 2x +1 x +1
b)
2x 2−x 2x
12x
+
− 2
x +3
x−3 x −9
c)
x3 −x
2x−4
4x+ 4
3x−6
2
1
1+
1+
2
1
1+
1
x
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
12)
El coste de producir x chips de memoria de ordenador (0≤x≤5) viene dado
4 2
por la expresión C ( x )=− x + 8x en unidades monetarias. El precio por unidad al
5
1 2
que se pueden vender las x unidades producidas es P (x )=− x + 20 unidades
2
monetarias.
a) Indica los ingresos que se obtienen al producir y vender dos unidades.
b) Escribe el polinomio que determina el beneficio según las x unidades producidas y
vendidas.
c) Indica el beneficio si se han producido y vendido tres unidades.
d) Indica el beneficio si se han producido y vendido cinco unidades.
e) Interpreta el resultado.
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ÁLGEBRA
13)
Los costes, en euros, de fabricar x pares de zapatillas deportivas vienen dados
4 2
por la expresión C (x )=− x +70x +600 :
25
a) Calcula el coste total que supone fabricar cincuenta pares de zapatillas.
b) Indica cuáles son los costes fijos.
c) Indica cuáles son los costes variables.
d) Indica cuáles son los costes totales para cada par de zapatillas cuando se fabrican
x pares.
e) Indica cuáles son los costes variables para cada par de zapatillas cuando se
fabrican x pares.
f) Indica cuáles son los costes totales por cada par de zapatillas cuando se fabrican
setenta y cinco pares.
14)
La pista de un polideportivo tiene forma de rectángulo con dos semicírculos de
diámetro igual a los lados cortos. Si su perímetro es de 200m, halla la superficie que
encierra en función del radio x de los semicírculos.
15)
Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 4 m² de superficie. El
metro lineal de tramo horizontal cuesta 16 €, y el de tramo vertical 25 €. Expresa el
coste del marco en función de la longitud x del tramo horizontal.
ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
16)
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x² – 27 = 0
b) 2x² – 4x = 0
c) 16x² – 25 = 0
d) 5x² + 7x = 0
e) x² – 7x + 12 = 0
17)
f) x² + 8x + 15 = 0
g) x² + 6x = –9
h) 2x² = 10x – 12
i) x² + 3x + 5 = 0
j) 6x² – 6 = 5x
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3·(x – 3)² – 2x = 5·(3 – x)
e) (x – 2)·(x – 3) = 0
b) (x – 1)² + 2·(x – 2)² = x – 1
f) (x – 3)² = 0
x 2 3x+ 2
−
=1
3
3
g) (2x – 3)·(2x + 3) = 0
c)
1−
d)
( x−3)2 −
i)
x ·( x−1) (x −6)2 ( x+ 2)2 (3x−2) ·(3x−4)
+
+
=
15
5
3
15
h) x·(5x + 7) = 0
x−1
=2x
3
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ÁLGEBRA
18)
Escribe una ecuación de segundo grado tenga por soluciones:
a) x = 1 ; x = 3
c) x = 0 ; x = 2
b) x = -2 doble
d) x = 3 ; x = –3
19)
e) Sin solución
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x⁴ – 5x² + 4 = 0
c) x⁴ – 4x² + 3 = 0
e) x⁴ + 2x² + 1 = 0
b) 4x⁴ + 7x² – 2 = 0
d) x⁶ – 9x³ + 8 = 0
f) 2x⁴ – 2x² + 4 = 0
20)
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
2−3· √ x=2x
b)
3· √ 3x−1=2· √ 3 ·(2x−1)
c)
√ 1−x− √ 2x+10=0
d)
e)
f)
21)
√ 4x+5 −5= 3x −3
5
5
√ x 3−2 · √ x=√ x
√ 2+ √ x−4=√12−x
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x⁵ – x⁴ – 5x³ – x² – 6x = 0
d) x⁵ – x⁴ – x³ + x² = 0
b) 6x³ – 7x² – 14x + 15 = 0
e) x·(x – 1)²·(x + 2)·(2x + 3) = 0
c) x⁵ – x = 0
f) x²·(x + 1)³·(3x – 1)·(2x + 1) = 0
22)
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
2 1
x− + =5x +5
x 2x
d)
x+ 9 5+ x 12x+12
−
=
x
x+ 2 x 2+ 2x
b)
x−1 3+ x
−
=2
x +1
x
e)
x
x 2+ 2
x
− 2 =
x−1 x −1 x +1
c)
x−1 3+ x
−
=2
x +1 x−1
f)
1+
23)
6 5
=
2
x x
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por los tres métodos:
}
a)
x y
+ =4
2 3
x
+ y=1
3
b)
x+ y
=x−1
2
x− y
= y+1
2
x +1 y−1
−
=0
3
2
c)
x+ 2y x + y + 2
−
=0
3
4
}
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x=2y +1
d) 2x−1 2y−3 5
−
=
3
2
2
}
}
4
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ÁLGEBRA
24)
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
}
a)
1 1 5
+ =
x y 6
x · y=6
b)
2x− y=4
x 2 + y 2=13
c)
}
1
1
+
=1
x+1 y−2
2x− y+2=0
2
d)
2
x y
+ =1
25 9
x + 2y=4
}
e)
f)
}
x 2 + x · y =44
y 2+ x · y=77
}
}
√ x+ √ y=11
x− y=77
25)
Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y estudia su
compatibilidad:
x +3y−2z=6
x+ 2y−2z=4
x +3y−2z=−6
a) 2x +3y−2z=8
c) 2x+ 5y−2z=10
e) 2x−3y +5z=6
4x +2y−6z=6
4x +9y−6z=18
5x−3y +8z=6
b)
x +2y−3z=3
3x−2y +z=7
5x+ 2y−5z=1
}
}
}
d)
3x+ 2y−z =0
2x+ y+ 3z=0
x−3y + 2z=0
}
}
f)
2x + y−2z=8
2x−4y+3z=−2
4x− y +6z=−4
}
26)
En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y
se restan 0,25 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10,5 ¿cuántos aciertos y
cuántos errores he tenido?
27)
Una empresa fabrica dos tipos de bicicletas, A y B. Para fabricar una del modelo
A, se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para una del modelo B, 2 kg de
cada uno de esos materiales. Si la empresa dispone de 80 kg de acero y 120 kg de
aluminio, ¿cuántas bicicletas de cada tipo puede fabricar?
28)
¿Cuántos litros de nata con un 35% de grasa se han de mezclar con leche con un
4% de grasa para obtener 20 litros de leche con un 25% de grasa?
29)
La suma de tres números es 12. Cuando restamos el tercer número a la suma de
los otros dos, el resultado es 2, y si a la suma del tercero más el doble del primero se
le resta el segundo, el resultado es 7 ¿Cuáles son los tres números?
30)
Dos capitales iguales se colocan al 3% y al 4% respectivamente durante un año.
El segundo produce doce euros y medio más de intereses que el primero. ¿Cuál era el
capital inicial?
31)
Una fábrica de perfumes dispone de seiscientos litros de un producto A y
cuatrocientos de otro producto B. Mezclando ambos productos en diferentes
proporciones se obtienen esencias diferentes.
Se quieren preparar dos clases de perfume: la primera lleva tres partes de A y una de
B y su precio será de cincuenta euros el litro, y la segunda lleva la misma cantidad de
A que de B y se venderá a sesenta euros el litro.
a) ¿Cuántos litros de cada clase de perfume se podrán preparar?
b) ¿Qué ingresos totales se obtendrán?
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ÁLGEBRA
32)
Se compra un libro y una pulsera. La suma de los precios es de treinta y cinco
euros pero hay una rebaja del seis por ciento en libros y del doce por ciento en la
pulsera, así que sólo se deben pagar treinta y cuatro euros con cuarenta céntimos
a) ¿Cuál era el precio indicado del libro y de la pulsera?
b) ¿Cuánto se ha pagado al final por cada uno de ellos?
33)
Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte siempre el
20% del total, Miguel reparte 100 hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten
850 hojas. ¿Cuántas hojas reparte cada uno?
34)
El área de un rectángulo es de treinta y cinco unidades cuadradas. Si se aumenta
un lado en dos unidades y se disminuye otro en tres unidades, el área disminuye en
diecisiete unidades cuadradas. Halla las dimensiones del rectángulo inicial
35)
A primera hora de la mañana, en un cajero automático se quieren tener
ochocientos billetes de diez, veinte y cincuenta euros, con un valor total de dieciséis
mil euros. Si por cada tres billetes de cincuenta hacen falta cuatro de veinte ¿cuántos
billetes de cada tipo debe haber?
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ÁLGEBRA
INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES
36)
Resuelve las siguientes inecuaciones:
8
d)
x +2≥0
a)
3
e)
b) 2x−√ 2≤0
c)
x 3x
− < x+ 1
2 5
f)
3(2x−5)−4( x−2)≤2−4x
x+1 x + 2 x−3
8
−
+
≥−
3
4
18
9
x
x +1 4− x
−3x+
>
2
3
6
37)
a)
Halla y representa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones:
2
x + x −12≥0
3x 2−1
f) 5x 2+ 1≥
2
b) 4x 2−1< 0
x
2 5
2 2
g) 3x + x−2x< 2x + +
c) −2x 2−10x−8>0
6
3 2
(3x−5)(5x+2)≥0
d)
h) ( x−2)2+( x+ 4)( x−2)+ 3x≥−1
e) ( x−2)2+ 5≤2x
38)
a)
Representa el semiplano que expresan las siguientes inecuaciones:
y≤2x−3
e) y≥0
b)
y >−3x+1
f)
x <3
c)
x + y <4
g)
2x +3y <3+ y−2x
d)
3x+ 2y≥−1
h)
3(x + 2y)−2> x−2y+ 1
39)
Resuelve gráficamente los siguientes sistemas indicando los puntos en que se
cortan las rectas:
y> x−1
x + y≥0
a)
y<−x+ 2
f) x− y≥0
x≤1
y≥2x−1
b)
y> x
y≥−2
y≤3
x + y≤2
g)
c)
x ≤1
x + y≥−1
x≥−3
2x+ 3y≤12
d)
x+ y≥−2
x−2y<−1
2x+ 2y≤4
h)
x + y≤2
2y−x≤2
e) x− y <1
x − y≥2
y≥0
}
}
}
}
}
}
}
40)
}
Halla el área de la región encerrada en el ejercicio 39-g.
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41)
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