Download MODULO MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA CICLO IV GRADO OCTAVO

1
I.E.
CÁRDENAS CENTRO
MÓDULO DE MATEMÁTICA
Y ESTADÍSTICA
CICLO IV
GRADO OCTAVO
2
TABLA DE CONTENIDO
pág.
UNIDAD 1
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.1.5.
2.
2.1.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.5.
2.2.6.
2.2.7.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
2.3.4.
2.4.
2.5.
2.6.
2.6.1.
2.6.2.
3.
3.1.
PROPOSICIONES
CONECTIVOS LÓGICOS
Negación
Conjunción
Disyunción
Condicional
Bicondicional
TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS
CUANTIFICADORES
CLASES DE CONJUNTOS
Conjunto Universal
Conjunto Infinito
Conjunto Finito
Conjunto Vacío
Conjunto Unitario
Conjuntos Iguales
Conjuntos Disjuntos
RELACIONES Y OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos A y B
La intersección de dos conjuntos A y B
La diferencia de dos conjuntos A y B
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B
DIAGRAMAS DE VENN
CONJUNTOS NUMÉRICOS Y SUS PROPIEDADES
CONCEPTO DE RELACIÓN Y CLASES DE RELACIONES
Relaciones Binarias de equivalencia
Relaciones binarias de orden
TOMA Y ORGANIZACIÓN DE DATOS DE UNA POBLACIÓN
FRECUENCIAS RELATIVAS Y ABSOLUTAS DE UN ESTUDIO ESTADÍSTICO
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
12
12
12
12
12
13
14
14
14
14
14
15
15
17
17
17
18
18
19
UNIDAD 2
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.2.
1.3.
1.4.
CONJUNTOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS, REPRESENTA-CIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
Números naturales (IN)
Números enteros (Z)
Regularidades numéricas
Números racionales (Q)
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
RECTA NUMÉRICA REAL
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
3
20
20
20
20
21
21
22
23
23
1.4.1.
1.4.2.
1.4.3.
1.4.4.
1.4.5.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
3.
3.1.
3.1.1.
3.1.2.
3.1.3.
Suma
Producto
Cociente
Potenciación
Radicación
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
POLINOMIOS ALGEBRAICOS
OPERACIONES CON POLINOMIOS ALGEBRAICOS: ADICIÓN, SUSTRACIÓN,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Suma y resta de polinomios
Multiplicación de polinomios
División de polinomios
GRÁFICAS ESTADÍSTICAS Y ANÁLISIS DE GRÁFICAS
HISTOGRAMA, POLÍGONO DE FRECUENCIAS Y OJIVA
Histograma
Polígono de frecuencias
Ojiva
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
23
24
24
24
24
24
25
25
25
25
26
27
29
29
29
29
30
30
UNIDAD 3
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2.
2.1.
2.2.
3.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
5.
5.1.
5.2.
5.3.
6.
PRODUCTOS NOTABLES
CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES O BINOMIO CUADRADO
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (O PRODUCTO DE
DOS BINOMIOS CONJUGADOS)
TRIÁNGULO DE PASCAL
BINOMIO DE NEWTON
COCIENTES NOTABLES
COCIENTE DE LA SUMA O RESTA DE EL CUBO DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE
ESTAS CANTIDADES
COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES DE DOS CANTIDADES
ENTRE LA SUMA O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
FACTOR COMÚN
DIFERENCIA DE CUADRADOS
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
DIFERENCIA O SUMA DE POTENCIAS IGUALES
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
2
TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA x + bx + c
2
TRINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
LA MEDIA ARITMÉTICA
LA MODA
LA MEDIANA
NOCIONES DE PROBABILIDAD
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
32
32
32
33
33
35
37
37
38
39
40
41
41
42
43
44
46
47
48
48
49
49
50
51
4
UNIDAD 4
1.
FRACCIONES ALGEBRAICAS
1.1.
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
1.1.1. Suma y resta de fracciones algebraicas
1.1.1.1. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
1.1.1.2. Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador
1.1.2. Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
1.1.3. Cociente o división de fracciones algebraicas
1.2.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
2.
ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE Y SOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
2.1.
ECUACIONES
2.1.1. Ecuaciones de primer grado
2.2.
INECUACIONES
2.2.1. Inecuaciones de primer grado en una incógnita
3.
ESPACIO MUESTRAL
4.
INDEPENDENCIA DE EVENTOS
5.
REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
6.
TÉCNICAS DE CONTEO
6.1.
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO DE CONTEO
6.2.
PRINCIPIO ADITIVO DE CONTEO
6.3.
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
53
53
53
53
54
55
56
58
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
71
BIBLIOGRAFÍA
73
5
58
58
58
60
61
63
64
65
66
67
67
68
UNIDAD 1
LÓGICA MATEMÁTICA
reformada
y
completada,
obteniendo
un instrumento
apropiado para investigar sobre los fundamentos de
la matemática.
La lógica matemática es una parte de la lógica y
las matemáticas, que consiste
en
el
estudio
matemático de la lógica y en la aplicación de este
estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica
matemática tiene estrechas conexiones con
las ciencias de la computación y la lógica filosófica.
El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su
centro de interés en la forma de argumentar,
mientras que la actual lógica matemática lo centra en
un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se
aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el
envío de una cadena de símbolos perteneciente a un
lenguaje formal a un programa compilador que lo
convierte en una secuencia de instrucciones
ejecutables por una máquina), como a un
nivel semántico, construyendo modelos apropiados
(teoría de modelos). La lógica matemática estudia los
sistemas formales en relación con el modo en el que
codifican
conceptos
intuitivos
de
objetos
matemáticos
como
conjuntos,
números,
demostraciones y computación.
La
lógica
matemática
estudia
los sistemas
formales en relación con el modo en el que codifican
nociones intuitivas de objetos matemáticos como
conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro
subcampos: teoría de modelos, teoría de la
demostración, teoría de conjuntos y teoría de la
recursión. La investigación en lógica matemática ha
jugado un papel fundamental en el estudio de
los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática fue también llamada lógica
simbólica. El primer término todavía se utiliza como
sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a
ciertos aspectos de la teoría de la demostración.
AREAS DE LA LÓGICA
La Mathematics Subject Classification divide la lógica
matemática en las siguientes áreas:
La lógica matemática no es la «lógica de las
matemáticas» sino la «matemática de la lógica».
Incluye aquellas partes de la lógica que
pueden ser modeladas
y
estudiadas
matemáticamente.
Filosófica y crítica
Lógica general (que incluye campos como
la lógica modal y la lógica borrosa)
Teoría de modelos
Teoría de la computabilidad
Teoría de conjuntos
Teoría de la demostración y matemática
constructiva
Lógica algebraica
Modelos no-estándar
En algunos casos hay conjunción de intereses con
la Informática teórica, pues muchos pioneros de la
informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y
lógicos. Así, el estudio de la semántica de
los lenguajes de programación procede de la teoría
de modelos, así como también la verificación de
programas, y el caso particular de la técnica
del model checking. También el isomorfismo de
Churry-Howard entre pruebas y programas se
corresponde con la teoría de pruebas, donde
la lógica
intuicionista y
la lógica
lineal son
HISTORIA
Lógica matemática fue el nombre
dado por Giuseppe Peano para esta
disciplina. En esencia, es la lógica
de Aristóteles, pero desde el punto
de vista de una nueva notación, más
abstracta, tomada del álgebra.
Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar
las operaciones lógicas formales de una manera
simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos
como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció
desconocida y aislada.
Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a
mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron
un sistema matemático para modelar operaciones
lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue
6
especialmente significativas. Algunos sistemas
lógicos como el cálculo lambda, y la lógica
combinatoria entre otras han devenido, incluso,
auténticos lenguajes de programación, creando
nuevos paradigmas como son
funcional y la programación lógica.
la programación
Conceptos Básicos
Uno de los procesos por los cuales adquirimos conocimientos es el proceso de razonamiento. A su vez, hay una
variedad de modos o formas mediante las cuales razonamos o argumentamos a favor de una conclusión. Ciertas
formas de razonamiento parecen mostrar que si se suponen ciertas premisas, entonces la conclusión se sigue
necesariamente. A tales razonamientos se los ha denominado deductivos y forman el objeto central de lo que
clásicamente se ha denominado lógica.
En un sentido amplio, el término lógica hace referencia al estudio de todos los razonamientos, y en un sentido
estricto ha estado circunscripto al estudio del razonamiento deductivo.
Cierto tipo de razonamiento deductivo se basa en la lógica proposicional. Lo que caracteriza a la lógica
proposicional es que toma como unidades básicas a las proposiciones y que tiene en cuenta cómo se combinan
entre ellas por medio de conectivos lógicos para formar argumentos válidos.
1. PROPOSICIONES
Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (V) (1) o falsedad
(F) (0). También podríamos decir que una proposición es una sentencia que expresa una propiedad para un
individuo o ente, o que expresa la validez de una relación entre individuos o entes. Por ejemplo:
-
Hoy es sábado.
Los triángulos tienen 4 vértices.
Juan va al trabajo en tren.
Una misma proposición puede ser a veces verdadera y a veces falsa: Hoy es sábado es falsa de domingo a
viernes y es verdadera los ábados. Las sentencias exclamativas, interrogativas e imperativas tales como:
-
Viva la patria!
¿Está lloviendo?.
Oprima la tecla (ENTER)
No son proposiciones puesto que no pueden ser declaradas como verdaderas o falsas. La veracidad (V) o
falsedad (F) de una proposición se llama valor de verdad y viene dada por algún criterio independiente de la
proposición.
7
1.1. CONECTIVOS LÓGICOS. En el cálculo proposicional se suelen utilizar letras minúsculas como p,q,r,…. Para
simbolizar las proposiciones. Estos símbolos pueden modificarse o combinarse mediante conectivos lógicos dando
lugar a proposiciones compuestas. Los conectivos lógicos que aquí se tratan son: la negación: ¬, la conjunción: ∧,
la disyunción: ∨, la disyunción exclusiva: ⊻, la condicional: ⇒ y la bicondicional: ⇔.
Ejemplo: Consideremos las proposiciones p: “4 es positivo” y q: “√2 es racional”. Algunas posibles combinaciones
de p y q son:
¬ p:
4 no es positivo.
p ∧ q:
4 es positivo y √2 es racional.
¬p ∧ q: 4 no es positivo y √2 es racional.
p v q:
4 es positivo o √2 es racional.
p ⇒ q: si 4 es positivo entonces √2 es racional.
p ⇔ q: 4 es positivo si y sólo si √2 es racional.
1.1.1. Negación. Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p¬ que es verdadera
cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p". A partir de una o varias proposiciones
elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este
caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se
componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. La tabla de verdad de
la negación es la siguiente:
Ejemplo 1: Si p simboliza la proposición estamos en la clase de álgebra, entonces ¬p es no estamos en la clase
de álgebra.
Ejemplo 2: Consideremos la proposición p: “10 es múltiplo de 5”. Entonces el valor de p es (V). Su negación dese
ser una proposición que es falsa siempre que p sea verdadera, por lo tanto ¬ p debe expresar exactamente lo
contrario a lo que expresa p.
Ejemplo 3: Consideremos la proposición q: “Todos los perros son blancos”. No debe confundirse la negación con
decir algo diferente, por ejemplo… r: ”Algunos perros son blancos”. La proposición r no es la negación de q, puesto
que si q es verdadera también r lo es. Si decimos s: “Ningún perro es blanco”, tampoco s es la negación de q,
puesto que si existiera un único perro de color blanco y los demás fueran marrones, entonces tanto q como s
serían proposiciones falsas.
La negación de q puede ser enunciada de la siguiente manera:
¬q: “Algunos perros no son blancos”. Así, si q es verdadera, claramente ¬q es falsa, mientras que si ¬q es
verdadera, resulta ser falsa q.
8
1.1.2. Conjunción. Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier
otro caso. Se escribe p ∧ q, y se lee "p y q". Así por ejemplo, la proposición compuesta Palmira tiene montañas
y ríos es verdadera porque cada parte de la conjunción es verdadera. No ocurre lo mismo con la proposición
Palmira tiene montañas y tiene mar. Esta proposición es falsa porque Palmira no tiene mar.
Ejemplo: Si p es “algunas aves vuelan” y q es “el gato es un ave”, entonces p ∧ q expresa “algunas aves vuelan
y el gato es un ave”, que es obviamente falsa pues los gatos no son aves. Por otro lado la proposición p ∧ ¬ q
que dice “algunas aves vuelan y el gato no es un ave” es verdadera pues es la conjunción de las proposiciones
verdaderas.
1.1.3. Disyunción. Es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es
verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p v q, y se lee "p o q". La disyunción de dos proposiciones puede
ser de dos tipos: Exclusiva o excluyente e inclusiva o incluyente. La exclusiva es aquella proposición que es
verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p ⊻ q, y
se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.
La disyunción de tipo inclusivo entre dos proposiciones es falsa sólo si ambas proposiciones son falsas. En el
lenguaje coloquial y en matemática es más frecuente el uso de la disyunción inclusiva, también llamada el “ o
inclusivo”. A veces el contexto de una frase indica si la disyunción es excluyente o incluyente.
Ejemplo: “Los alumnos regularizan la materia si aprueban tres parciales o si aprueban o si aprueban dos parciales
y tienen un 80% de asistencia”.
En este caso, los alumnos pueden cumplir cualquiera de los dos requisitos, o también cumplir los dos. Pero por
ejemplo, si en un restaurante con menú fijo se nos dice que tenemos como postre “helado o flan” normalmente no
significa que podamos pedir ambos, siendo en este caso la disyunción exclusiva.
9
1.1.4. Condicional. Es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es
verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p ⇒ q, y se lee "si p entonces q".
1.1.5. Bicondicional. Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y
falsa en caso contrario. Se escribe p ⇔ q, y se lee "si y sólo si p entonces q".
Ejercicios
1. Evalúa cada proposición según los valores de verdad p = F. q = V. r = F.
a) p v q
b) ¬ p v ¬ q
c) ¬ p v q
d) p v ¬(q ∧ r)
2. Escribe la negación de cada una de las siguientes proposiciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
Todos los alumnos del curso son inteligentes.
Todas las mujeres son lindas.
Ninguna mujer es linda.
Hay un banco que está roto.
Hay exactamente un hombre inteligente.
Al menos un hombre es inteligente.
4 es múltiplo de 8.
A veces llueve.
Me gusta estudiar.
Me gusta estudair y tomar mate.
Me gusta estudiar pero no me gusta tomar mate.
No me gusta estudiar ni tomar mate.
7≤8
2 < 3 ≤ 5 (significa: 2 es menor que 3 y 3 es menor o igual a 5)
a ∈ A ⋃ B.
10
e) ¬(p v q) ∧ (¬ p v r)
2. TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS
UNTOS
Un conjunto es una colección
n de objetos. Dichos objetos pueden ser de diferente naturaleza, tanto objetos
“tangibles”
bles” como abstracciones matemáticas.
matemá
Esos objetos que al reunirse forman
rman el conjunto, se denominarán
denominará
elementos del conjunto.
Se designa a los conjuntos y a los elementos que los constituyen por medio de letras pertenecientes
pertenecien
a diversos
alfabetos. Lo más frecuente (máss por tradici
tradición que por norma) es usar letras mayúsculas
mayú
para designar a los
conjuntos, y reservar las minúsculas
sculas para designar elementos
elementos.
Como se puede fácilmente
cilmente imaginar, la expresión
expresi del tipo “x es un elemento del conjunto A” o equivalentemente “x
pertenece al conjunto A” es de uso muy frecuente cuando se habla de conjuntos y elementos. Por ello, es útil
recurrir a un símbolo
mbolo que nos permita expresar esa idea más
m s brevemente. Concretamente, “x pertenece al
conjunto A” se representa por x ∈ A, “x no pertenece al conjunto A” se representa por x /∈
/ A.
mbolos para sintetizar o acortar las expresiones máss frecuentes. Así,
As el símbolo “∀” se
Del mismo modo, usamos símbolos
lee “para todo”, el símbolo “∃”” se lee “existe”, los dos puntos “:” se leen como “tal que”, etc...
Los conjuntos suelen describirse encerrando sus elementos entre llaves “{” y “}”. Entre esas llaves pueden
aparecer o bien todos los elementos del conjunto separados por comas, o bien expresar la condición
condici que deben
cumplir los elementos para pertenecer a dicho conjunt
conjunto.
o. Con un ejemplo se entiende mejor... pretendemos definir
ell conjunto A formado por los naturales que est
están entre 4 y 26 (ambos inclusive). Podemos hacerlo de dos modos,
o bien A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, o también
como:
A = {n ∈ N : 4 ≤ n ≤ 26}.
2.1. CUANTIFICADORES
En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar
cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores,
pero quizás los más estudiados y utilizados sean:
Cuantificador universal
Para todo x, y...
Cuantificador existencial
Existe al menos un x, y...
Cuantificador existencial único
Existe exactamente un x, y...
Negación del cuantificador existencial
No existe ningún x, y...
11
2.2. CLASES DE CONJUNTOS
2.2.1. Conjunto Universal. Es aquel conjunto que contiene a
oros conjuntos. Se simboliza con la letra U. Si observas el
siguiente diagrama de Venn, el conjunto universal U contiene a
los conjuntos A,B,C,
2.2.2. Conjunto Infinito. Es aquel que tiene una cantidad
ilimitada de elementos. Es decir, tiene infinitos elementos.
ℕ = {0,1,2,3,4,5,…} Naturales
ℤ = {…,-2, -1, 0,1,2,3,…} Enteros
2.2.3. Conjunto Finito. Es aquel conjunto que tiene una
cantidad limitada de elementos.
A = {0,1,2,3}
B = {a,e,i,o,u}
2.2.4. Conjunto Vacío. Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se le representa por ∅ sin llaves.
A ={ }
2.2.5. Conjunto Unitario. Es aquel que tiene un solo elemento.
A = { 2}
B = {3,3,3,3} es también unitario. Los elementos repetidos se consideran una sola vez.
2.2.6. Conjuntos Iguales. Son aquellos conjuntos que tienen los mismos elementos. Dados los conjuntos: A={2,3}
y B={3,2}, entonces, debido a que tienen los mismos elementos, afirmamos que A = B.
Ejemplo: Si los siguientes conjuntos son iguales, hallar “x+y”.
A={x + 2; 4} y B={5; y – 3)
12
Como los conjuntos A y B son iguales, entonces deben tener los mimos elementos: Si en el conjunto A hay un
elemento 4, entonces debe haber en el conjunto B un elemento 4. El elemento 5 no lo es, entonces y – 3 = 4.
Resolviendo: y – 3 = 4, obtenemos: y = 7.
Igualmente, si en el conjunto B, hay un elemento 5, entonces debe h
haber
aber en el conjunto A un elemento
elem
5. El
elemento 4 no lo es, entonce, x + 2 = 5.
Resolviendo: x + 2 = 5, obtenemos : x = 3.
Por lo tanto: “x + y” es: 3 + 7 = 10
2.2.7. Conjuntos Disjuntos. Se dice que dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común.
Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos.
Formalmente, dos conjuntos A y B son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío;
vacío es decir, si
EJERCICIOS
1)
a)
b)
c)
d)
e)
2)
Cuáles son los elementos de:
El conjunto de los días de la semana
El conjunto de las estaciones del año
Los números impares menores de 11
Los números pares mayor que 10 y menor que 20
Los números primos menores de 15
Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso
( )
a) 6
{ 2, 4, 5, 6, 9 }
( )
b) y
{ o, p, q, x }
c) x
{ o, p, q, y }
d) Perú
{ países de Europa }
( )
e) Amazonas
( )
3)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
( )
{ ríos de América }
¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, infinitos?
A = { x / x es día de la semana}
B = { vocales de la palabra vals}
C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}
D = { x / x es un habitante de la luna}
E={x
N / x < 15}
F={x
Ny5<x<5}
G={x
N y x > 15}
H={x
N y x = x}
I = { x / x es presidente del Océano Pacífico}
J = { x / x es número de cabellos
cabello total de los habitantes del Perú }
13
2.3. RELACIONES Y OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
2.3.1. La unión de dos conjuntos A y B, denotada por A
los elementos de A ó B, ó de ambos.
Ejemplos:
1) Si A = {a, b}, B = {c, d}, entonces A
B = {a, b,c, d}
2) Si A = {a, b}, B = {a, c}, entonces A
B = {a, b, c}
3) Si A = {a,b}, B = {}, entonces A
B, es el conjunto cuyos elementos son exactamente
B = {a, b}
4) Si A = {a, b}, B = {c, {a, b}}, entonces A
B = {a, b, c, {a, b}}
2.3.2. La intersección de dos conjuntos A y B, denotada por A
exactamente los elementos que están tanto en A como en B.
B, es el conjunto cuyos elementos son
Ejemplos:
1) {a, b}
{a, c} = {a}
2) {a, b}
{c, d} = {}
3) {a, b}
{} = {}
2.3.3. La diferencia de dos conjuntos A y B, denotada por A
aquellos elementos de A que no están en B.
B, es el conjunto que contiene exactamente
Ejemplos:
1) {a, b, c} {a} = {b, c}
2) {a, b, c} {a, d} = {b, c}
3) {a, b, c} {d, e} = {a, b, c}
2.3.4. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, denotada por A
B, es el conjunto que contiene todos
los elementos que están en A o en B pero no en ambos, es decir, A
B = (A
B) (A
B).
Ejemplos:
1) {a, b}
{a, c}={b, c}
2) {a, b}
{}= {a, b}
3) {a, b}
{a, b}={}
14
2.4. DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de
la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos.
Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de
cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un
círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos
muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los
conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos
que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el
círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos
los elementos de A también están contenidos en B.
2.5.
CONJUNTOS
PROPIEDADES
NUMÉRICOS
Y
SUS
racionales son todos aquellos números que se
Los números
naturales son
los
números que utilizamos para contar, estos son:
{1,2,3,4,5,6,7,8, … }. Los puntos suspensivos
indican que los números continúan de esa forma, sin
terminar nunca.
pueden escribir de la forma
donde b es diferente
de cero. Los números naturales, los cardinales
y los
enteros
son
números
racionales. Otros ejemplos de números racionales s
on:
Si sumamos dos números naturales obtenemos otro
número natural, por ejemplo: 8 + 5 = 13. Pero si
restamos 5 – 5, necesitamos otro número que
represente
el
resultado. Ese
número
es
cero. Entonces tenemos otro conjunto numérico que
en adición a incluir los números naturales incluye el
cero.
Este conjunto
es el
conjunto
de los números cardinales {0,1,2,3,4,5,6,7,8,…}.
Existe otro conjunto de números que que son
los números irracionales, estos son números que
no son racionales, esto es, que no se pueden
expresar de la forma
donde b es diferente de
cero. Ejemplos: √2 = 1.414213562… es un número
irracional y π = 3.14157…
En el diario vivir se escuchan expresiones
como: “10 grados bajo cero”, 647 en débito”, “8 pies
bajo el nivel del mar”. Estas tres expresiones se
refieren a números menores que cero. Con estas
situaciones surgen los enteros negativos. Los
enteros negativos, el cero y los números naturales
(también conocidos por enteros positivos) forman el
conjunto de los números enteros, estos son {…,-4,3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}.
Luego el conjunto de números que consiste de todos
los números racionales y todos los números
irracionales se conoce como el conjunto de
los números reales.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Si sumamos, restamos y multiplicamos enteros
siempre se obtiene otro número entero. Pero si
dividimos dos enteros no siempre obtendremos otro
entero. Por ejemplo, 16 ÷ 2 = 8 pero en 3 ÷ 4 el
resultado no es un entero. Existen muchas
divisiones donde el resultado no es un entero. Esta
situación nos lleva a otro conjunto numérico conocido
por
los números
racionales. Los números
Para todo número real a, b y c:
Propiedad Conmutativa: a + b = b + a
a·b=b·a
Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5
2x4=4x2
15
Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
Inverso Aditivo: a + (-a) = 0
Ejemplo: 6 + (-6) = 0
Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4
5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7
Inverso
Multiplicativo:
Elemento Identidad de la Suma: a + 0 = a
Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4
Ejemplos:
Elemento Identidad de la Multiplicación: a · 1 = a
Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3
Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo: 5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4
EJERCICIOS
Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los números de la izquierda de la tabla con una
marca de cotejo:
Número/Conjunto
numérico
11
-7
0
¾
0.272727…
7.25
2.7985413…
1½
Natural
Cardinal
Entero
Racional
Irracional
Real
Identifica la propiedad en cada enunciado:
1. 7 + 5 = 5 + 7 ___________________________
6. 11 + 0 = 11 ___________________________
2. 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5) ___________________
7. 9 + -9 = 0 ____________________________
3. (6 x 3) x 1 = 6 x (3 x 1) ____________________
8. 2 x ½ = 1 ____________________________
4. 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2) ____________________
5. 7 x 1 = 7 ________________________________
16
2.6. CONCEPTO DE RELACIÓN Y CLASES DE RELACIONES
Relaciones binarias. Una relación binaria R definida sobre un conjunto E es una regla que permite distinguir si
dos elementos cualesquiera están o no relacionados. Cuando dos elementos a, b ∈ E estén relacionados por la
relación binaria R, escribiremos aRb.
La relación binaria R se dice:
-
Reflexiva cuando todo elemento de E está relacionado consigo mismo, es decir, ∀a ∈ E, aRa.
Simétrica cuando al tomar dos elementos a, b ∈ E, si aRb ⇒ bRa.
Transitiva tomados tres elementos a, b, c ∈ E, si aRb y bRc ⇒ aRc.
Antisimétrica si para a, b ∈ E, si aRb y bRa ⇒ a = b.
Una relación binaria puede o no cumplir una o varias de las anteriores propiedades, pero merecen destacarse dos
tipos de relaciones que aparecerán con asiduidad.
2.6.1. Relaciones Binarias de equivalencia. Una relación binaria se llamará relación de equivalencia cuando sea
reflexiva, simétrica y transitiva. Si R es una relación de equivalencia en E, para cualquier elemento a ∈ E definimos
su clase de equivalencia como el conjunto de todos los elementos relacionados con él, es decir,
a = [a] = {x ∈ E : aRx}.
Por ser R una relación de equivalencia, se desprende que para dos elementos a, b ∈ E, se tiene que, o bien a = b,
o bien a ∩ b = ∅.
Definiremos el conjunto cociente de E por R (y se denota E/R) al conjunto formado por todas las clases de
equivalencia de elementos de E, es decir:
E/R = { a : a ∈ E}.
2.6.2. Relaciones binarias de orden. Una relación binaria se llamará relación de orden cuando sea reflexiva,
antisimétrica y transitiva. Si R es una relación de orden en E, y A ⊂ E, definiremos:
-
Un elemento maximal de A es un m ∈ A tal que no exista ningún a ∈ A con mRa.
Una cota superior de A es un c ∈ E tal que ∀a ∈ A, aRc.
El elemento máximo de A es un m ∈ A tal que ∀a ∈ A, aRm. Dicho de otro modo, el máximo es una cota
superior de A que pertenece a A.
Es interesante observar que un subconjunto A podría tener varios elementos maximales, y varias cotas superiores,
pero solamente es posible un elemento máximo o ninguno.
En este momento es fácil definir las nociones duales a las ya ofrecidas, esto es, elemento minimal, cota inferior y
elemento mínimo. Finalmente,
- supremo de A es (cuando lo haya) el mínimo de las cotas superiores de A. La noción dual de supremo
(esto es, máximo de las cotas inferiores) se llama ínfimo.
17
3. TOMA Y ORGANIZACIÓN DE DATOS DE UNA POBLACIÓN
La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de
los datos obtenidos por las observaciones, para
poder hacer comparaciones y sacar conclusiones. Un estudio
estadístico consta de las siguientes fases:
A) RECOPILACION: Son números que pueden ser comparados,
analizados e interpretados. El campo del cual son tomados los
datos estadísticos se identifican como población o universo. De
acuerdo con la localización de la información los datos estadísticos
pueden ser internos y externos. Los internos son los registros
obtenidos dentro de la organización que hace un estudio
estadístico, los externos se obtienen de datos publicados y encuestas.
B) ORGANIZACIÓN: En la organización de los datos recopilados, el primer paso es corregir cada uno de los
elementos recopilados.
C) REPRESENTACION: Hay 3 maneras de presentar un conjunto de datos mediante enunciados tablas
estadísticas y gráficas estadísticas.
D) ANALISIS: Después de los datos anteriores los datos estadísticos están listos para hacer analizados, para lo
cual frecuentemente se emplean operaciones matemáticas durante el proceso de análisis.
3.1. FRECUENCIAS RELATIVAS Y ABSOLUTAS DE UN ESTUDIO ESTADÍSTICO
Frecuencia absoluta de un suceso (fi) es el número de veces que aparece dicho suceso cuando se repite un
experimento aleatorio determinada cantidad de veces (n veces).
Frecuencia relativa de un suceso (hi) es la frecuencia absoluta dividida entre el número de veces que
realizamos el experimento,
Ejemplo:
Tenemos una urna con bolas numeradas del 1 al 6. Extraemos una y anotamos su
número 50 veces.
Los resultados fueron los siguientes:
18
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
a) +
El puente que muestra la figura tiene como soporte la
columna C, mediante las vigas AC y BC.
Al analizar esta situación, podemos aplicar varios
conceptos matemáticos estudiados.
b) -
c) sin signo
d) ±
8. Si √5 = 2,236067977… y el ingeniero que
diseñó el puente la aproximó a 2,24, qué tuvo en
cuenta para realizar esta aproximación?
a) La parte entera
b) El número de cifras decimales.
c) Que el valor de la tercera cifra decimal es
mayor que 5.
d) Que era raíz cuadrada.
1. El triangulo ABC que indica la figura es:
a) Rectángulo
c) Equilátero
b) Isósceles
d) Obtusángulo
9. Si cada kilómetro de puente construido tiene
un valor de 10 millones de pesos y la compañía
toma √5= 2,24, la operación que indica el costo
de la obra es:
7
7
a) $ 2,24 + 10
c) $2,24 – 10
7
7
b) $ 2,24 x 10
d) $ 2,24 / 10
2. La longitud del puente representa:
a) Un cateto
c) La hipotenusa
b) La altura
d) Ninguna de las anteriores
10. La cantidad 10 equivale a:
a) 10.000.000
c) 100.000.000
b) 1.000.000
d) 1.000.000.000
3. La longitud del puente es:
a) 3 Km
b) √9 Km
c) √3 Km
Km
d) √5
11. Si la compañía aproxima √5 ≈ 2,22, señala
cuanto dinero está perdiendo:
a) $ 167.977…
c) 136,067…
b) $ 160.679…
d) Nada
4. La cantidad que expresa la longitud del puente
es un número:
a) Racional
c) Entero
b) Irracional
d) Natural
12. La suma de los ángulos interiores del
triángulo ABC es:
a) 360°
b) 90°
c) 180°
d) 120°
7
13. El área del triángulo formado en la figura
mide:
5. El ángulo en B es:
a) Obtuso
c) Agudo
b) Recto
d) Plano o llano
a) 2 Km
6. La fórmula
hipotenusa es:
a)
que
nos
permite
hallar
2
2
b) 1 Km
c)
2
Km
d) 3 Km
2
la
14. Cuál de las siguientes expresiones son
válidas para el triángulo que se muestra en la
figura?
b)
a)
b)
c)
d)
c)
d)
15. Para que la longitud del puente fuera de 2 Km,
cuánto deben medir los catetos?.
a) 1 Km y √3 Km
c) 2 Km y 2 Km
b) 5 Km y – 2 Km
d) 3 Km y 1 Km
7. Al calcular la raíz cuadrada de la longitud del
puente, se obtiene un resultado de signo:
19
UNIDAD 2
1. CONJUNTOS
• El Conjunto de los números pares es un
subconjunto de IN0 donde:
1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS, REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
{x Є IN0 / x=2n, n Є IN0 } = {0, 2, 4, 6, 8, 10,....}.
1.1.1. Números naturales (IN). Los primeros
números que el hombre inventó fueron los números
naturales, los cuales se utilizaban y aún se utilizan
para contar elementos de un conjunto. Los números
naturales
sirven
para
contar
y
ordenar
fundamentalmente.
• El Conjunto de los números impares es un
subconjunto de IN0 donde:
{x Є IN0 / x=2n + 1, n Є IN0 } ={1, 3, 5, 7, 9, 11,....}.
Observa que estos dos conjuntos no tienen
elementos en común y que si se unen ambos,
forman el conjunto IN0
El nombre “Números Naturales” seguramente surge
debido a que estos números son los que aparecen
por primera vez en el proceso natural de contar o
enumerar los objetos de un conjunto.
• El conjunto de los Múltiplos de un número es un
subconjunto de IN donde:
Se llaman múltiplos de un número a todos los
números que resultan de la multiplicación de ese
número con cada uno de los naturales. Los múltiplos
de un número n pertenecen al conjunto formado por:
{1·n, 2·n, 3·n, 4·n,...}.
Los números naturales son un conjunto de números
de la forma: 1, 2, 3,…. que denotaremos con el
símbolo IN, esto es: IN = {1, 2, 3, 4, 5 ...}. Si al
conjunto de los números naturales se le une el
número cero, este nuevo conjunto se denota con el
símbolo IN0, esto es, IN0 = {0, 1, 2, 3 ...}.
• El conjunto de los Divisores de un número es
un subconjunto de IN donde:
Llamamos divisores de un número, a todo el conjunto
de números que lo divide exactamente.
Es posible establecer una correspondencia entre los
números naturales y los puntos de una recta (recta
numérica) de la siguiente manera. Dada una recta,
se selecciona un punto arbitrario de ésta para
representar el cero (0) y otro punto a la derecha del
cero para representar el uno (1), a este segmento le
llamamos segmento unidad. Luego dividimos toda la
recta en segmentos que tengan la misma longitud
que el segmento unidad, para así representar los
números 1, 2, 3, 4,... (en este orden) que se
encontrarán a la derecha del cero.
• El Conjunto de los Números Primos es un
subconjunto de IN donde:
El número natural p>1 es un número primo si sus
únicos divisores son 1 y p.
Algunos números primos son:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...}.
En una recta numérica el punto que representa el
cero recibe el nombre de origen.
1.1.2.
Números
enteros
(Z).
Si
se
requiere dar solución a la sustracción 4 – 9, es
necesario encontrar un número que sumado a 9 de
cómo resultado 4. Este número no existe en IN0.
Una representación gráfica de IN0 en la recta
numérica se muestra en la siguiente figura:
De IN y IN0 se
pueden
formar
subconjuntos, entre ellos se encuentran:
Para que la sustracción tenga siempre solución, se
extiende la recta numérica hacia la izquierda, de
modo que a cada punto que representa un número
natural le corresponde un punto simétrico a él,
ubicado a la izquierda del cero.
variados
20
Cada uno de estos nuevos puntos ubicados a la
izquierda de la recta numérica, respecto al cero,
representa un número negativo.
una colección de números dispuestos uno a
continuación de otro.
El término general de una sucesión es una
u
fórmula
que permite conocer el valor de un determinado
término si se conoce previamente el lugar que ocupa
en la misma. Por costumbre, al término general de
una sucesión se le denota por an y se hablará de
término n-ésimo.
Entonces, el conjunto de los números enteros es la
unión del conjunto de los números naturales, el cero
y los números negativos. Este conjunto se denota
por Z, donde:
Z={..., -5, -4, -3, -2, -1,
1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Ejemplos de sucesiones son:
Una representación gráfica de en la recta numérica
se muestra en la siguiente figura:
__|____|____|____|___|____|____|____|____|____|_
___|____|____|____|____|_
...-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
Cada número negativo es considerado el opuesto o
inverso aditivo de su simétrico positivo y, cada
número positivo, es el opuesto de su simétrico
negativo. Por ejemplo, 3 es el opuesto o inverso
aditivo de -3.
La distancia que existe entre un número a y el cero la
representaremos a través del valor absoluto y se
expresará como |a|. Como se refiere a una distancia,
el valor absoluto de un número siempre es positivo.
1.1.4.. Números racionales (Q).
(Q) Si tratamos de
resolver una ecuación como 3x=7, sólo conociendo
Por ejemplo, la distancia entre 15 y 0 en la recta
numérica es de 15 unidades,, entonces |15| = 15.
Ahora, la distancia entre -15
15 y 0, también es de 15
unidades en la recta numérica, luego |−15|
|
= 15.
el conjunto
, nos damos cuenta que carecemos
de dicha solución. Debido a esto, se ha hecho
necesario encontrar un conjunto que “extienda”
a
Ahora que conocemos los números enteros,
podemos utilizarlos para representar situaciones
situac
como:
- Seis grados bajo cero (-6 ºC)
- Una deuda de tres mil pesos ($ -3.000)
3.000)
. Dicho conjunto
to está formado por los números
racionales que denotaremos por
definen de la siguiente forma:
, y que se
Decimos que a es un número racional, si es posible
expresarlo de la forma a=p/q, donde p, q Є Z y q ≠ 0.
1.1.3. Regularidades numéricas.. Al realizar ciertas
operaciones aritméticas
itméticas entre los números enteros,
es posible encontrar propiedades que resultan
curiosas e interesantes por presentarse como
patrones
o
regularidades
numéricas.
De esta forma
Estas regularidades son sucesiones de números que
forman un conjunto que siguen cierta regla
reg
de
formación. La sucesión la denotaremos por {an}, con
n Є IN donde an es el término
érmino general de la
sucesión. Por lo tanto, se entenderá por sucesión
Donde, p es llamado numerador
num
y q es el
denominador de la fracción.
El conjunto de los racionales es denso porque entre
dos números racionales siempre podemos encontrar
otro número racional.
21
Recordemos además, que si aЄZ, bЄZ, b>0, el
número racional a/b se puede considerar como el
cociente que se obtiene al dividir a por b; en
donde b indica el número de partes en que se divide
la unidad y a el número de partes que se toman de
esta división.
Ejemplos:
- Generalmente, los resultados fraccionarios de
diferentes problemas se deben expresar con el
denominador en forma natural (entero positivo
distinto de cero).
De esta manera, si se divide en dos partes iguales
cada segmento unidad en la recta numérica,
podemos representar los números racionales cuya
representación fraccionaria tiene como denominador
2, como se muestra en el ejemplo siguiente.
- Los números enteros se pueden expresar como
fracción con denominador 1, por lo tanto, todo
número entero es también un número racional:
De igual manera, si se divide en tres partes iguales
cada segmento unidad en la recta, podemos
representar
los
números
racionales
cuya
representación fraccionaria tiene como denominador
3, como se muestra en el ejemplo siguiente.
Sea a/b Є Q; se conviene en representar los
números racionales preferentemente por medio de
fracciones en las cuales el denominador es un
número entero positivo.
1.2. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Se representan con la letra
.
El conjunto de los Números Reales (
) está integrado por:
• El conjunto de los Números Racionales ( ) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión
decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.
• El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten
una expresión infinita no periódica.
Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita;
es decir, el conjunto de los Números Reales (
) está formado por los elementos del conjunto
22
unido con I.
1.3. RECTA NUMÉRICA REAL
El conjunto de los números reales se representa gráficamente sobre una recta que se conoce con el nombre de
recta real o recta numérica.
Se fija un punto origen que representa el número 0 y se establece un segmento unidad. Los números reales
positivos quedan representados a la derecha del cero y los reales negativos a la izquierda, tal como se muestra en
la figura.
A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa; es decir, existe
una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números reales.
1.4. OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS REALES
Dada la importancia que tiene operar correctamente
con números reales y en vista de los inconvenientes
que suelen presentarse en este sentido, se
recuerdan algunas reglas básicas para realizar
operaciones, especialmente aquellas que involucran
números fraccionarios.
1.4.1. Suma. Con igual denominador
a c a+b
con b ≠ 0
+ =
b b
b
Ejemplo
2 5 2+5 7
+ =
=
3 3
3
3
23
1.4.2. Producto
1.4.4. Potenciación
1.4.5. Radicación
1.4.3. Cociente
si y sólo si b = a, n ∈ N.
n
El número a recibe el nombre de radicando, n es el
índice y el símbolo √ se llama radical.
En la radicación de números reales, si el índice n es
par, el radicando a debe ser mayor o igual que cero,
de lo contrario el resultado no es un número real.
Se recuerda que:
-
Si n es impar:
-
Si n es par:
n
n
an = a
a n =| a |
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Expresiones algebraicas comunes
Una expresión algebraica es una combinación de
letras y números ligados por los signos de las
operaciones: adición, sustracción, multiplicación,
división y potenciación.
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2.
Un tercio de un número: x/3.
Un cuarto de un número: x/4.
Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..
Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3
Dos números consecutivos: x y x + 1.
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.
La suma de dos números es 24: x y 24 − x.
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.
El producto de dos números es 24: x y 24/x.
El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por
ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el
radio de la circunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del
cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del
cubo.
24
2.1. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta cuando se sustituyen las letras por
números.
Por ejemplo:
5
3
a) El valor numérico de P(x) = 2x5 – 4x + 5x – 6 para x=2 es: P(2) = 64 – 32 + 10 – 6 =36.
Análogamente, P(-2)= - 48; y P(0) = - 6.
b) En la expresión de la demanda, D = 10000 – 2p, el valor numérico para p = 100$ es D= 9800. Este número
indica que la demanda de un determinado producto será de 9800 unidades cuando se vende a 100$.
c) Si F(x) =
x 2 + 3x + 1
( x − 1)
2
, los valores numéricos para x= - 1 y x = 2 son: F(-1) =
−1
y F(2) = 1.
4
2
d) Para t = 10 s, la expresión x = 20t + 4,9t toma el valor x = 690 m. Este resultado indica que el móvil se ha
desplazado 690 metros al cabo de 10 segundos.
3
2
e) Los valores de x que cumplen la expresión x – 2x + 1 = 0 reciben el nombre de soluciones. Para este
caso, puedes comprobar que una de esas soluciones es x = 1.
2.2. POLINOMIOS ALGEBRAICOS
Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no
semejantes. Acuérdate que la suma de monomios, cuando estos no eran
semejantes, no se podían sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto
un polinomio.
Ejemplo. Son polinomios las expresiones siguientes:
a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3
b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5
En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada
uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos, cada uno con varias letras, mientras que en el
segundo caso el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llama término
independiente (5 en el caso b)
Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: x2y + 3ab2y3; 2x + 3 son dos binomios
Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio: el caso a) anterior o -2x3 + 3x2 + 5 son dos trinomios.
Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio.
2.3. OPERACIONES CON POLINOMIOS ALGEBRAICOS: ADICIÓN, SUSTRACIÓN, MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN
2.3.1. Suma y resta de polinomios. Para sumar polinomios se agrupan, sumando o restando, los términos
semejantes.
25
3
3
3
a) La suma de monomios semejantes es inmediata. Así: 4x – 3x + 6x
3
3
= (4 – 3 + 6)x = 7x
b) Para sumar polinomios hay que agrupar los monomios semejantes.
Así:
3
3
2
3
2
(4x + 5x – 6) – (3x – 2x + 7x) + (6x + 4x – x + 5) =
3
3
2
3
2
= 4x + 5x – 6 – 3x + 2x – 7x + 6x + 4x – x + 5=
= (4x3 – 3x3 + 6x3) + (2x2 + 4x2) + (5x – 7x – x) + (– 6 + 5) =
3
2
= 7x + 6x – 3x – 1
2.3.2. Multiplicación de polinomios. Se utiliza la propiedad distributiva del producto y las propiedades de la
potenciación. Por ejemplo:
a) 3 ∙ (4x + 5x – 6) = 12x + 15x – 18
2
2
4
3
2
2
2
2
b) (2x + 5x – 6) ∙ (3x – 2x + 3) = 6x – 4x + 6x + 15x – 10x + 15x – 18x + 12x – 18
4
3
2
= 6x + 11x – 22x + 27x – 18
2
c)
2
3
4 4 6 2
9
4 4
1 2 9
2 2

2
3
3
 x − 3 x  .  −2 x +  = − x + x + 6 x − x = − x + 6 x + x − x
4
5
12
4
5
2
4
3

Ejemplos:
Calcula, agrupando los términos semejantes, las siguientes expresiones:
a)
1
1 4 1 3 1
1 2   2 1

4 1 3
2
2
 x -1 .  x - x + 4  = x - x + x - x + x - 4 = x - x + x - 4
2
8
2
4
8
2
4


2
2
2
b) 4x – (x – 2) = 4x – (x – 4x + 4) = - x + 8x – 4
c) (x – 1) ∙ (x + 1) – (2 – x ) = x – 1 – (4 – 4x + x ) – 4x - 5
2
2
2 2
4
2
4
Halla:
a)
( 2x - 4 ) . 
1 2 1

x - x +5 =
4
2


2
2
b) (x + 3) – (x – 3) =
2
2
2
c) (x – 1)∙ (x + 2) – (1 + 2x) =
26
2
2.3.3. División de polinomios. Para dividir polinomios hay que ordenarlos en grado decreciente. Recordamos el
algoritmo con el siguiente ejemplo:
8x
(2x + x) ∙ (4x )
2
2
Restamos
(2x + x) ∙ (- 2x)
2
Restamos
(2x + x) ∙ (- 10)
2
4
4
2
- 22x + 27x – 18
3
2
2x + x
2
8x + 4x
4x – 2x – 10
3
2
2
3
- 4x – 22x + 27x – 18
3
4
8x /2x = 4x
2
2
- 4x /2x = - 2x
2
2
- 4x – 2x
2
- 20x /2x = - 10
– 20x2 + 27x – 18
2
– 20x – 10x
Restamos
37x – 18
2
El cociente de la división es c(x) = 4x – 2x – 10. El resto, r (x) = 37x – 18, es de grado 1, que es menor que el
grado del divisor.
Aplicación de la división
Como sabes, en toda división se cumple:
Dividendo = divisor.cociente+resto ⇔
Dividendo
resto
= cociente+
.
divisor
divisor
En el caso de polinomios podemos escribir:
D ( x ) = d ( x ) .c ( x ) + r ( x ) ⇔
D(x)
r (x)
= c (x) +
.
d(x)
d(x)
La segunda igualdad se emplea con relativa frecuencia en Matemáticas,
pues permite descomponer la primera fracción algebraica en suma de un
polinomio y de otra fracción más sencilla que la inicial.
4
2
2
2
Ejemplo: En la división anterior se cumple que (8x – 22x + 27x – 18) = (2x + x)∙ (4x – 2x – 10) + 37x – 18.
Y también:
8x 4 - 22x 2 + 27x -18
37x -18
= 4x 2 - 2x -10 +
.
2
2x + x
2x 2 + x
27
EJERCICIOS
1. Si
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} es el conjunto
universal y A={1,4,7,10}. B={1,2,3,4,5}, C={2,4,6,8},
escriba los elementos de cada uno de los
siguiente conjuntos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
f)
3. Escribe todos los números enteros que se
encuentren entre:
A⋃B
A–B
c
A
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
c
B⋂
c
B ⋂ (C – A)
c
(A ⋂ B) ⋃ C
B⋂C
A⋃∅
A ⋂ (B ⋃ C)
(A ⋂ B) ⋃ C
(A ⋂ B) – C
(A ⋃ B) – (C – B)
5y9
15 y 30
0 y 2.
–4y6
–5y0
–3y+3
–9y–1
– 36 y – 20
Argumenta
4. ¿El conjunto de los números enteros tiene un
primer y un último elementos?. Justifica tu
respuesta.
2. Sea
= {1,2,3,4,5,…,12}, A={1,3,5,7,9,11},
B={2,3,5,7,11}, C={2,3,6,12} y D={2,4,8}. Determine
los conjuntos:
a)
b)
c)
d)
e)
(B – D) ⋃ (D – B)
5. Efectúa los siguientes productos (polinomios)
A⋃B
A⋂C
c
(A ⋃ B) ⋂ C
A–B
C–D
28
a)
3 2 1
1
3
a + ab - b2por a 2 + 2b 2 - ab
5
3
2
2
b)
1
1
3
3
2
tv - v 2 + t 2por v 2 - tv + t 2
3
2
2
2
3
3. GRÁFICAS ESTADÍSTICAS Y ANÁLISIS DE GRÁ
GRÁFICAS
Cuando se hace un estudio estadístico se obtiene una gran cantidad de datos numéricos. Para tener una
información clara y rápida de lo obtenido en el estudio se han creado las gráficas estadísticas.
Hay muchos tipos de gráficas estadísticas. Cada una de ellas es adecuada para un estudio determinado, ya que
no siempre se puede utilizar la misma para todos los casos.
Las más comunes son:
Diagrama de barras
Histograma
Polígono de frecuencias
Diagrama de sectores
Pictograma
3.1. HISTOGRAMA, POLÍGONO DE FRECUENCIAS Y OJIVA
3.1.1. Un histograma. Es
s una representación gráfica de una variable
en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a
la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se
representan las frecuencias,, y en el eje horizontal los valores de las
variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la
mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.
Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de
edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se
agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que
los datos son cualitativos (no-numéricos),
numéricos), como sexto grado de acuerdo
o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.
Los histogramas
togramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y
económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la
comparación de los resultados de un proceso.
3.1.2. Polígono de frecuencias. Es un gráfico lineal que se utiliza en el caso de una variable
va
cuantitativa. Para
realizar el polígono unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma.
29
3.1.3. Ojiva.
Su objetivo, al igual que el histograma y el polígono de frecuencias es
representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas
continuas, pero sólo para frecuencias acumuladas.
No se utilizan barras en su confección, sino segmentos de recta, por
ello no sólo es útil para representar una distribución de frecuencias
sino también cuando se quiere mostrar más de una distribución o una
clasificación cruzada de una variable cuantitativa continua con una
cualitativa o cuantitativa discreta.
La diferencia con el polígono de frecuencia es que la frecuencia
acumulada no se plotea sobre el punto medio de la clase, sino al final
de la misma, ya que representa el número de individuos acumulados hasta esa clase. Como el valor de la
frecuencia acumulada es mayor a medida que avanzamos en la distribución, la poligonal que se obtiene siempre
va a ser creciente y esa forma particular de la misma es la que ha hecho que se le dé también el nombre de ojiva.
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
2. Según la escala, qué largo y qué ancho posee
el apartamento?:
a) 9 metros x 6 metros.
b) 4,5 metros x 3 metros.
c) 18 metros x 12 metros.
d) 27 metros x 18 metros.
Claudia está mudándose a un apartamento cuyo
plano aparece en la ilustración a una escala de 1:50,
es decir que 1 m en el dibujo, equivale a 50 m en la
realidad. Ella quiere decidir la organización de los
muebles sobre la representación.
3. El piso de los cuartos y la entrada están
enchapados con baldosas cuadradas de 50 cm x
50 cm. Qué área cubren dichas baldosas?.
a) 150 metros cuadrados.
b) 75 metros cuadrados.
c) 37,5 metros cuadrados.
d) 27 metros cuadrados.
4. Las dos ventanas dan hacia el oriente. De ello
se deduce que:
a) Al apartamento le entra la luz por la mañana.
b) Al apartamento le entra la luz por la tarde.
c) Entra más luz por la ventana del cuarto 1.
d) Entra más luz por la ventana del cuarto 2.
1. Dos de los cuartos que posee el apartamento,
el 1 puede ser escogido como sala y comedor
porque:
a) Le entra más luz por la ventana.
b) Es más grande.
c) Queda más cerca al baño.
d) Queda más lejos de la entrada.
5. Si Claudia quiere cambiar el diseño de las
baldosas, cuál de los siguientes diseños no le
sirve para cubrir el piso?.
a)
30
c)
b)
d)
d) En la mitad del cuarto 1.
8. La biblioteca es un rectángulo de 1 metro de
ancho y 3,5 metros de largo. Cuál es el mejor
sitio para ubicarla?.
a) En el cuarto 1.
b) Contra el costado oriental del cuarto 2.
c) Contra la pared sur del cuarto 2.
d) En la mitad del cuarto 2.
6. Para cubrir el piso del baño desea combinar
dos baldosas de diferente forma. Cuál de las
siguientes parejas de baldosas no le sirven para
recubrir el piso?.
a)
c)
b)
d)
9. Los muebles de sala ocupan 4 metros
cuadrados, y los de comedor otros 4 metros
cuadrados. Si los pone en el cuarto 2, junto con
la biblioteca, qué espacio le queda para
transitar?.
a) La tercera parte del área del cuarto 2.
b) Menos de la tercera parte del área del cuarto
2.
c) Más de la tercera parte del área del cuarto 2.
10. Cuál de los siguientes muebles es más difícil
de entrar al apartamento?.
a) Una mesa circular de 7 metros cuadrados.
b) Una mesa esquinera en forma de triángulo
rectángulo isósceles de área 1,50 metros
cuadrados.
c) Una mesa de estudio en forma de rombo, de
área 1,50 metros cuadrados.
d) Una mesa de televisor en forma de triángulo
equilátero, de área 1,50 metros cuadrados.
7. La cama donde Claudia duerme es un
rectángulo de 250 cm de largo por 100 cm ancho.
En qué sitio del cuarto 1 le queda mejor
acomodada?.
a) Con el lado más largo de la cama pegado a
la ventana.
b) Con el lado más largo de la cama pegado a
la pared norte.
c) Con el lado más largo de la cama pegado a
la pared que separa los dos cuartos.
31
UNIDAD 3
1. PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se
multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es
preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los
ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de
factorizarlas (mostrada como un producto notable).
1.1. CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES O BINOMIO CUADRADO
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera
cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
2
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a + 2ab +
b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2
RESUELVA………………………
1.2. CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la
primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
32
Demostración:
2
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a – 2ab +
2
2
b debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)
RESUELVA……………………. La expresión a4– b4 se puede escribir como:
1.3. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (O PRODUCTO DE DOS
BINOMIOS CONJUGADOS)
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de
la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b)
2
2
(a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a – b
RESUELVA………………………
1.4. TRIÁNGULO DE PASCAL
En matemáticas hay muchos trucos para simplificar los procedimientos y cálculos. Para los productos notables el
truco consiste en el triángulo de Pascal.
33
Para formarlo empezamos con el 1 del primer renglón. Después escribimos el segundo renglón: 1 1. Para obtener
los siguientes renglones siempre vamos a sumar los números que estén uno al lado del otro. Por ejemplo, para
obtener el 2 que está en el tercer renglón sumamos 1+1 del segundo renglón. Cada renglón n contiene los
coeficientes del binomio elevado a la potencia n 1.
1
Si observas el triángulo de Pascal, en el segundo renglón tenemos los coeficientes de (x + a) = a + b, que son 1 y
2
2
2
1. En el tercer renglón tenemos los coeficientes de (x + a) = x + 2 a x + a que son 1, 2 y 1, y así sucesivamente.
n
Una forma sencilla de encontrar los coeficientes del resultado de elevar el binomio (x + a) consiste en observar el
segundo coeficiente. Si el coeficiente es n, esos son los que buscas. Por ejemplo, el renglón donde el segundo
5
coeficiente es 5 indica que son los coeficientes del resultado de elevar (x + a) .
.
5
Ejemplo: Calcular x + a =
-
Empezamos escribiendo los coeficientes que tomamos del renglón que corresponde. Después escribimos
la literal x junto a todos los coeficientes: 1 x 5 x 10 x 10 x 5 x 1 x.
Ahora vamos a escribir los exponentes de esas literales. Empezamos con el exponente al cual estamos
elevando el binomio, en este caso, 5, y conforme avanzamos a la derecha, los exponentes van
disminuyendo, uno en cada literal:
1x
-
5
4
10x
3
10x
2
5x
1
1x
0
Ahora escribimos la otra literal, a junto a cada literal x:
1x5a
-
5x
5x4a
10x3a
10x2a
5x1a
1x0a
El siguiente paso consiste es escribir los exponentes de a. Ahora empezamos de izquierda a derecha,
también empezando con el exponente al cual estamos elevando el binomio.
34
5 0
4 1
1x a
5x a
3 2
10x a
2 3
1 4
10x a
5x a
0 5
1x a
Observa que la suma de los exponentes de cada término es igual al exponente al cual estamos elevando
el binomio.
-
Ahora lo único que falta es escribir los signos de + entre los términos y simplificar usando la ley (iv).
5
5
4 1
(x + a) = x + 5x a
3 2
+ 10x a
2 3
1 4
+ 10x a + 5x a
+ a
5
Puedes verificar que este resultado es correcto multiplicando el binomio x + a por sí mismo cinco veces. Como
ves, estemétodo es muy directo. Solo se requiere escribir el triángulo de Pascal hasta el renglón n + 1 para
n
calcular (x + a) .
1.5. BINOMIO DE NEWTON
La potencia de un binomio puede calcularse con la siguiente fórmula:
( x + a)
n
n
n
 n  n −1  n  n
=   x n +   x n −1a + ... + 
 xa +   a
0 
1 
 n − 1
n
Una pregunta que seguramente tendrás es la siguiente, ¿por qué 0!=1?. He aquí la justificación.
Teorema
0! = 1
Sabemos que el factorial tiene la siguiente propiedad:
(k + 1)! = (k + 1) ∙ k!
Por la forma como se definió. Si hacemos k = 0, obtenemos:
(0 + 1)! = (0 + 1) ∙ 0!
1! = 1 ∙ 0!
1 = 0!
Con este método, no se requiere calcular los coeficientes de las potencias anteriores del binomio que vamos a
elevar a la potencia n, sino que de manera directa los calculamos.
100
Por ejemplo, si necesitamos calcular (x + a) , con el triángulo de Pascal tendríamos que encontrar los cien
renglones anteriores para poder conocer los coeficientes de este polinomio (están en el renglón 101), pero con el
binomio de Newton, podemos encontrarlos directamente a través de las combinaciones.
.
El binomio de Newton es otro artificio matemático que puede utilizarse para calcular la potencia de un binomio. En
este caso se requieren algunos conceptos previos.
35
Definición 1
Factorial: El factorial del número natural n, que se denota n!, es igual al producto de todos los números
naturales, desde 1 hasta n.
n! = n(n – 1) (n – 2)…3.2.1
Una definición que se utiliza en el binomio de Newton, y que depende de la definición de factorial, es la siguiente:
Definición 2
Combinaciones: El número de combinaciones de m objetos distintos, tomando k objetos a la vez, es:
m
m!
 =
 k  k! ( m - k ) !
En el binomio de Newton se consideran las combinaciones porque para justificar este método se utiliza un método
de multiplicación que se conoce como el exponente fijo, y este método consiste en buscar de cuántas formas
distintas podemos multiplicar los términos de dos polinomios para obtener un exponente dado.
5
Como ejemplo, vamos a calcular (x + a) =
-
Empezamos calculando primero los valores de los coeficientes, de acuerdo a la definición de
combinaciones.
Enseguida está el cálculo del primer coeficiente, que ya sabemos, es igual a 1:
5
5!
5!
=
=1
 =
 0  0! ( 5 − 0 ) ! 5!
-
El siguiente es el segundo coeficiente:
5
5!
5! 5.4 !
=
=
=5
 =
4!
 1  1! ( 5 − 1) ! 4!
-
El siguiente es el tercer coeficiente:
5
5!
5!
5i 4i 3 !
=
=
= 10
 =
2i 3 !
 2  2! ( 5 − 2 ) ! 2!i3!
-
El siguiente es el cuarto coeficiente:
5
5!
5!
5 i 4i 3 !
=
=
= 10
 =
3 i2!
 3  3! ( 5 − 3 ) ! 3!i2!
36
-
El siguiente es el quinto coeficiente:
5 
5!
5! 5i 4 !
=
=
=5
 =
4!
 4  4! ( 5 − 4 ) ! 4!
-
Y finalmente, el sexto coeficiente:
5
5!
5!
=
=1
 =
 5  5! ( 5 − 5 ) ! 5!
Ahora que tenemos los coeficientes, procedemos como se hizo con el triángulo de Pascal, con lo que de nuevo
obtendremos:
(x + a)5 = 1x5 + 5x4a1 + 10x3a2 + 10x2a3 + 5x1a4 + 1a5
5
4 1
3 2
2 3
4
5
= x + 5x a + 10x a + 10x a + 5xa
+a
EJERCICIOS…
Resuelva los siguientes ejercicios con el triangulo de Pascal y el Binomio de Newton
1.
2.
(a + b )
5
(a - b )
7
2. COCIENTES NOTABLES
2.1. COCIENTE DE LA SUMA O RESTA DE EL CUBO DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE ESTAS
CANTIDADES.
El cociente de la suma del cubo de dos cantidades dividida entre la suma de estas cantidades es igual al cuadrado
de la primera menos el producto de estas, más el cuadrado de la segunda.
Ejemplos:
1.
37
2.
RESUELVA………..
1.
2.
2.2. COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES DE DOS CANTIDADES ENTRE LA
SUMA O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
Criterios de divisibilidad
Criterio 1. La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de
las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:
am - bm
= am-1 + am-2b + ... + abm-2 + bm-1
a-b
Ejemplo:
RESUELVA:
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
1.
2.
Criterio 2. La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la
forma general de su solución está dada por:
am - bm
= am-1 - am-2b + ... + abm-2 - bm-1
a+b
Ejemplo:
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
38
RESUELVA:
1.
Criterio 3. La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la
forma general de su solución está dada por:
am + bm
= am-1 - am-2b + ... + a2bm-3 - abm-2 + b m −1
a+b
Ejemplo:
RESUELVA:
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
1.
Criterio 4.
a) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las
cantidades. Esto es, cocientes de la forma :
am + bm
, donde m es par no son exactos.
a±b
b) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es
am - bm
decir, cocientes de la forma :
, donde m es par no son exactos.
a+b
Nota: Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al
dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.
3. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Pasos a seguir:
Se dibuja un segmento vertical; a la izquierda se escribe el número a descomponer y a la derecha el menor
número por el que es divisible aplicando para ello las reglas de divisibilidad empezando por 2, 3,
5, 7, 11,13, 17, 19, ... etc; si no es divisible por 2, se sigue con el 3; si no es divisible por 3, con el 5 y así
sucesivamente.
Debajo del número que estamos factorizando se escribe el cociente de la primera división exacta y se reitera el
39
proceso hasta que obtengamos un cociente primo, que al dividir por él, conseguimos el último cociente que es 1.
El producto
ducto de los números de la derecha es su descomposición factorial.
Ejemplo 1:: Descomponer en factores 180:
180 es divisible por 2, (lo colocamos a la derecha del segmento en la misma línea de 180) cuyo
cociente es 90, que ponemos debajo de 180.
Reiteramos
os ahora con 90, que también es divisible por 2 (en la misma línea que 90 y a la derecha
del segmento) y de cociente 45, que situamos debajo de 90.
Repetimos con 45 que no es divisible por 2 porque termina en 5, que no es 0 ni cifra par; si lo es
por 3 porque la suma de sus cifras (4 + 5 = 9) es múltiplo de 3 que significa divisible por 3 y cuyo
cociente es 15 y así sucesivamente.
RESUELVE
Descompón en factores primos los números: 80, 110, 190, 320, 624, 816, 900, 1188, 1260.
Investiga:
- ¿Crees que tiene relación el tamaño de un número y la cantidad de factores primos que lo componen?
- ¿Si descomponemos un número grande, hemos de esperar que estará formado por muchos factores?
- ¿Cuántos factores componen un número primo?
E POLINOMIOS
4. FACTORIZACIÓN DE
Antes de comenzar directamente con los casos de factoreo vamos a necesitar algunas definiciones:
Factor:
Cuando un polinomio se escribe como producto de otros polinomios, cada polinomio del producto es
un factor del polinomio original.
Factorización: es el proceso con el cual expresamos un polinomio como un producto.
Primo:
Se dice que un polinomio es primo o irreducible cuando no puede escribirse como producto de dos
polinomios de grado positivo.
Al factorizar un polinomio
io el objetivo es expresarlo como un producto de polinomios primos o potencias de
polinomios primos, tratando principalmente de trabajar con los números enteros.
La factorización juega un papel importante en una gran cantidad de aplicaciones de la matemática,
matemáti
pues nos
permite convertir expresiones muy complicadas en expresiones más simples facilitando así su estudio.
Para factorizar
ar un monomio se realiza por pura inspección, separando los
lo números y las letras entre sí.
Prueba general de los factores.. En cualquiera
lquiera de los casos de factores la prueba es la misma multiplica los
polinomios primos para ver si el resultado es el polinomio original.
40
4.1. FACTOR COMÚN
Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en
todos los términos del polinomio.
Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor
por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.
Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las
letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas.
Ejemplo:
2
2
Factoriza el polinomio 6x y + 12xy – 3xy.
Solución: M.C.D. (6, 12, 3) = 3 El término de mayor grado que divide a
2
2
(x y, xy , xy) es xy.
Factor común: 3xy
Por tanto: 6x2y + 12xy2 – 3xy = 3xy (2x + 4y – 1)
RESUELVE
Aplica el caso de factor común a las expresiones siguientes:
a)
b)
c)
d)
3a + 6
2b + 12
2
3z + 21
mn + m
e)
3a +
f)
1 1
+
2 2a
1 1
h)
+
a ab
1
1
i)
+ 2
xy x y
g)
3
5
1 3a
+
7 21
j)
2
8a – 12ab
4.2. DIFERENCIA DE CUADRADOS
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz
cuadrada exacta.
Al estudiar los productos notables teníamos que:
En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, ahora es el caso contrario:
Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.
Pasos:
1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término del binomio negativo es la
raíz del término del binomio que es negativo).
41
Ejemplo explicativo:
RESUELVE
Factoriza estas diferencias de cuadrados:
a)
b)
c)
d)
2
2
m –n
2 2
2
mn –p
2 2 2
2 2
abc –xy
2
4–a
e)
f)
g)
h)
2
x – 16
2 2
x y – 16
2 4
9x y – 169
2 2
2
25a b – 4c
4.3. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
Recordamos de cocientes notables que:
Ejemplo explicativo:
Pero en la división exacta el dividendo es igual al
divisor multiplicado por el cociente, efectuándolo nos
queda:
RESUELVE
1. Factoriza aplicando el caso de suma de cubos
3
a) a + 1
12
b) 27 + 343m
x6
6
c)
+y
3
d) 125 + b
De donde se deducen las siguientes reglas:
La suma de dos cubos perfectos se descompone en
dos factores, el primero es la suma de sus raíces
cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de
la primera raíz menos el producto de ambas raíces
más el cuadrado de la segunda raíz.
3
3
2
2. Factoriza aplicando el caso de diferencia de
cubos
a)
b)
c)
d)
2
x + y = (x + y) (x – xy + y )
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone
en dos factores, el primero es la diferencia de sus
raíces cúbicas, y el segundo se compone de el
cuadrado de la primera raíz más el producto de
ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)
42
3
3
m –n
3
3
27a – 64b
3
3
125h – 216i
3
3
8r – 1000t
4.4. DIFERENCIA O SUMA DE POTENCIAS IGUALES
De los cocientes notables recordamos que:
Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, al despejarlo nos queda:
Y esto es válido para cualquier diferencia de dos potencias iguales ya sean impares o pares.
Así también:
Al Despejarlo nos queda:
Que es válido para cualquier suma de dos potencias iguales impares únicamente (con pares no funciona).
Si tomamos también:
Al Despejarlo nos queda:
Que es válido para cualquier diferencia de dos potencias iguales pares únicamente (con impares no funciona).
De acuerdo a lo anterior, podemos concluir que:
1.
2.
3.
4.
n
n
a – b es divisible por a – b si n es par o impar.
n
n
a + b es divisible por a + b si n es impar.
n
n
a – b es divisible por a + b si n es par.
n
n
a + b nunca es divisible por a – b.
43
Ejemplo suma de potencias iguales:
9
9
Factoriza m + n .
Solución.
Comprobamos a cuál de los formatos dados pertenece. Vemos que n es impar, entonces utilizamos el formato de
la definición, es decir:
9
9
, entonces:
8
7
6 2
5 3
4 4
3 5
2 6
7
8
m + n = (m + n) (m – m n + m n – m n + m n – m n + m n – mn + n ).
RESUELVE
Factoriza estas expresiones empleando el caso correspondiente:
a)
b)
c)
d)
e)
4
x – 625
5
243n + 1
6
64b – c6
8
8
a –b
9
1 + 512p
4.5. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son
cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
2
2
4
36x + 12xy + y
2
2
Es un trinomio cuadrado perfecto. El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x) = 36x ; el último es el
2
2 2
4
cuadrado de y , pues (y ) = y , y el segundo término es el doble producto de las bases de esos cuadrados, es
2
2
2
decir de 6x y y , pues 2 x 6x x y = 12 xy
2 2
2
2
(6x + y ) = (6x + y ) (6x + y )
2
2
4
= 36x + 12xy + y
En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble
producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el
trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:
2 2
2
2
(6x - y ) = (6x - y ) (6x - y )
= (6x)2 – 12xy2 + (y2)2
O también así:
2
2
2
2
(y – 6x) = (y – 6x) (y – 6x)
2
2
2 2
= (6x) – 12xy + (y )
Ambas son respuestas aceptables.
44
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. Un trinomio ordenado con relación a una letra es
cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son
positivos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Ejemplos:
Existe una manera de lograr trinomios cuadrados perfectos a partir de binomios si simplemente les sumamos y
restamos el término que le haga falta.
1. Si tenemos un binomio cuyos dos factores tengan raíces cuadradas se siguen los siguientes pasos para la
creación de un trinomio cuadrado perfecto:
-
Se les extrae la raíz cuadrada a los dos términos.
Se encuentra el doble producto de estas raíces.
Este doble producto se suma y se resta a los dos términos que son cuadrados perfectos.
Ejemplo:
2. Si tenemos un binomio de la forma x2 + bx hace falta completarlo con el cuadrado de la mitad del coeficiente de
la raíz del término de la derecha.
Ejemplo:
RESUELVE
Factoriza las expresiones algebraicas que sean un trinomio cuadrado perfecto:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
m + 2m + 1
2
p + 2p + 16
2
4a + 18a + 81
25x2 + 40x + 16
6
3
x + 10x + 25
8
4
a + 18a + 81
45
2
4.6. TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA x + bx + c
Este tipo de
características:
-
-
trinomio
tiene
las
Más ejemplos:
siguientes
Tienen un término positivo elevado al
2
cuadrado y con coeficiente 1 (x ).
Posee un término que tiene la misma letra
que el termino anterior pero elevada a 1 (bx)
(puede ser negativo o positivo).
Tienen un término independiente de la letra
que aparece en los otros dos (+ o -).
Detengámonos un poco en los últimos ejemplos.
Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:
En el segundo podemos ver que lo que hemos
llamado “x” no es una sola letra, pero aun así se
utiliza el mismo procedimiento, esto es porque el “x”
es un factor lo que implica que no necesariamente
será una simple letra, este puede ser también un
polinomio completo.
1. Se descompone el trinomio en dos factores
binomios cuyo primer término será la raíz
2
cuadrada del término x .
2. El signo del primer binomio será el mismo
signo que tenga el término “bx”, el signo del
segundo binomio será
igual a la
multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
3. Si los dos factores tienen signos iguales
entonces se buscan dos números cuya suma
sea igual que el valor absoluto del factor “b”
de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor
absoluto del factor “c”, estos números son
los segundos términos de los factores
binomios.
4. Si los dos factores tienen signos diferentes
entonces se buscan dos números cuya
diferencia sea igual que el valor absoluto del
factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual
al valor absoluto del factor “c”, el mayor de
estos números será el segundo término del
primer factor binomio, y el menor de estos
números será el
segundo término del
segundo factor binomio.
Siguiendo con el tercero vemos su cantidad
numérica que es bastante elevada y no todos
pueden ver fácilmente los números que buscamos,
una herramienta bastante útil es descomponer este
número en sus factores primos, de esta manera
sabemos que cualquier combinación que hagamos al
multiplicar estos números para formar los dos que
busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo
me preocupare por cumplir la suma algebraica. Así:
Ejemplo explicativo:
En el cuarto ejemplo se observa que el término “c” no
2
es un simple número sino que tiene una forma “cx ”,
en este caso no se ha hecho ninguna diferencia
simplemente se ha tomado como factor “b” como si
fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta
2
98m y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que
se cumple con los requisitos.
Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa,
ya sea números, letras, o polinomios, solo se
necesita que se cumplan las reglas indicadas.
46
RESUELVE
2. Determina todos los valores enteros de c, para
los que el trinomio se puede factorizar en el
conjunto de binomios con coeficientes enteros:
1. Factoriza los trinomios siguientes:
a)
b)
c)
d)
2
x + 4x + 3
2
y – 9y + 18
p2 – 20p + 96
2
k + 7k – 450
a)
b)
c)
d)
2
z + cz + 1
2
x + cx + 4
2
y + cy + 16
2
h + ch + 18
2
4.7. TRINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c
2
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado (x ) se encuentra precedido por
un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual
detallamos a continuación:
-
2
Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “ax ” por cada término del trinomio, dejando esta multiplicación
2
2
indicada en el término “bx” de la manera “b(ax)”, y en el término “ax ” de la manera “(ax) ”.
Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del
2
término “(ax) ” la que sería “ax”.
Al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.
El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio
será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
Se buscarán los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio
anterior.
Ejemplo explicativo:
Mas ejemplos:
47
RESUELVE
a)
b)
c)
d)
e)
2
3x + 5x – 2
4
2
2k + 7k + 5
6
3
6y + 13y – 5
2
12p + 25p – 7
5u8 + 17u4 + 6
5. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
La estadística descriptiva en su función básica de reducir datos, propone una serie de indicadores que permiten
tener una percepción rápida de lo que ocurre en un fenómeno.
La primera gama de indicadores corresponde a las “Medidas de Tendencia Central”.
Existen varios
procedimientos para expresar matemáticamente las medidas de tendencia central, de los cuales, los más
conocidos son: la media aritmética, la moda y la mediana.
5.1. LA MEDIA ARITMÉTICA
Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muestrales de datos
poblacionales, la media aritmética se representa con un símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la
población, este indicador será µ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será x .
Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos tanto poblacionales como muestrales:
sin agruparlos o agrupándolos en tablas de frecuencias.
Ejemplo: El entrenador de baloncesto sabe que Miguel tiene 17 años, Pedro 16, Alberto 20, Gonzalo 19 y Camilo
23, pero está interesado en hallar la edad promedio del equipo. Para esto suma todas las edades y divide entre 5,
así:
Media =
17 + 16 + +20 + 19 + 23 95
=
= 19 La edad promedio del equipo es de 19 años.
5
5
Veamos cómo se halla el promedio si los datos se presentan en una distribución de frecuencias:
Se pregunta a 40 familias por el número de hijos de cada una de ellas y se obtienen los siguientes datos:
48
Variable (No de hijos)
Frecuencia
0
4
1
12
2
7
3
10
4
7
Total
40
Para hallar el promedio sería muy complicado sumar uno a uno los 40 datos. Es más práctico, primero, multiplicar
el número de hijos por el número de familias, para luego totalizar y dividir por el número total de casos. Para esto
se elabora una tabla como esta:
Variable (No de hijos)
0
1
2
3
4
Media= Media =
Frecuencia
4
12
7
10
7
Σf = 40
Variable x frecuencia
0
12
14
30
38
Σ(v ∙ f) = 84
84
= 2.1. En promedio, cada familia tiene 2,1 hijos, que se puede aproximar a 2 por ser una
40
variable discreta.
Media =
suma de (variable x frecuencia)
Número de datos
5.2. LA MODA
La moda es el dato que corresponde a la mayor frecuencia. Si la distribución es por intervalos se toma la marca de
clase.
En el caso del número de hijos, también se desea saber cuántos de ellos tienen la mayoría de las familias; para
esto, se busca en la tabla el dato que corresponda a la mayor frecuencia. Observa en la tabla que la mayoría de
las familias (12) tienen un hijo. A este dato se le da el nombre de MODA.
5.3. LA MEDIANA
Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite
conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones
se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de
este valor y la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se utiliza la fórmula
Ecuación 5-5
Para comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la
posición de la mediana sería:
49
Lo que nos indica que el valor de la mediana corresponde a la tercera posición de la serie, que equivale al número
(8). Si por el contrario contamos con un conjunto de datos que contiene un número par de observaciones, es
necesario promediar los dos valores medios de la serie. Si en el ejemplo anterior le anexamos el valor 15,
tendríamos la serie ordenada (2, 5, 8, 10, 13 y 15) y la posición de la mediana sería,
Es decir, la posición tres y medio. Dado que es imposible destacar la posición tres y medio, es necesario
promediar los dos valores de la posiciones tercera y cuarta para producir una mediana equivalente, que para el
caso corresponden a (8 + 10)/2 =9. Lo que nos indicaría que la mitad de los valores se encuentra por debajo del
valor 9 y la otra mitad se encuentra por encima de este valor.
En conclusión la mediana nos indica el valor que separa los datos en dos fracciones iguales con el cincuenta por
ciento de los datos cada una. Para las muestras que cuentan con un número impar de observaciones o datos, la
mediana dará como resultado una de las posiciones de la serie ordenada; mientras que para las muestras con un
número par de observaciones se debe promediar los valores de las dos posiciones centrales.
6. NOCIONES DE PROBABILIDAD
La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones
suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la
matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la
mecánica subyacente de sistemas complejos.
INTERPRETACIONES
La palabra probabilidad no tiene una definición consistente. De hecho hay dos amplias categorías de
interpretaciones de la probabilidad: los frecuentistas hablan de probabilidades sólo cuando se trata de
experimentos aleatorios bien definidos. La frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento,
cuando se repite el experimento, es una medida de la probabilidad de ese suceso aleatorio. Los bayesianos, no
obstante, asignan las probabilidades a cualquier declaración, incluso cuando no implica un proceso aleatorio,
como una manera de representar su verosimilitud subjetiva.
TEORÍA
La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas causalidades obtenidas
tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.
Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad
numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las
posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.
50
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
B. El pasatiempo creado por el grupo Newton se
basó en el siguiente gráfico:
En el colegio Americano se realizó un concurso de
pasatiempos matemáticos. Los finalistas fueron el
equipo Pitágoras y el equipo Newton.
Ambos equipos, conformados por 4 estudiantes,
diseñaron pasatiempos en los que es posible emplear
casos de factorización o el caso contario, es decir, el de
productos notables. Cuál de los dos equipos diseñó el
mejor pasatiempo?. Imagina que eres el juez del
concurso, resuelve los pasatiempos y emite tu
veredicto.
A. El pasatiempo creado por el equipo Pitágoras
se basó en una pirámide dividida en pequeños
rectángulos. En algunos de ellos se encuentran
expresiones algebraicas.
Las soluciones a los casos de factorización y
productos notables son:
A)
B)
C)
D)
E)
2
2x + 11 x + 5
2
6x + 3x
2
X – 6x + 9
3
X +1
2
X – 10x + 24
2
F) x + 2x + 1
2
G) x – 16
2
H) ax + bx + ab + b
3
I)x –1
La regla que propusieron para llenar las casillas
vacías fue:
El pasatiempo consiste en poner la letra que
identifica al polinomio en el cuadrito de la parte
superior de cada rectángulo, correspondiente a su
correcta factorización.
1. La expresión que se debe escribir en la casilla
número 3 es:
a) (x + 2)
c) (x – 2)
2
b) (x + 1)
d) (x – 2)
5. El polinomio que corresponde a la
factorización (x + 1) (x + 1) es el identificado con
la letra:
a) A
b) G
c) F
d) I
2. La expresión algebraica que debe ubicarse en
la casilla número 5 es:
2
2
a) X + 4
c) x – 4
2
b) X – 2
d) x2 – 16
6. El polinomio que corresponde al producto (x +
4) (x – 4) es el identificado con la letra:
a) B
b) G
c) A
d) H
7. El polinomio que corresponde a la
2
factorización (x + 1) (x – x + 1) es el identificado
con la letra:
a) B
b) D
c) A
d) C
3. La expresión algebraica que debe escribirse en
la casilla número 7 es:
2
3
a) X – 4
c) x + 8
3
b) X – 8
d) x – 2
8. La Factorización (x + b) (a + b) corresponde al
polinomio identificado con la letra:
a) J
b) E
c) D
d) H
4. En la casilla número 8 se debe ubicar la
expresión algebraica:
a) (x2 – 4) (x + 2)
c) (x – 2)3 (x + 2)
2
b) (x + 4) (x – 2)
d) (x + 4) (x – 2)
51
9. La Factorización (3x) (2x + 1) corresponde al
polinomio identificado con la letra:
a) B
b) G
c) D
d) C
12. El polinomio que corresponde a la
descomposición en factores (x – 6) (x – 4) es el
identificado con la letra:
a) G
b) E
c) H
d) I
2
10. La Descomposición en factores (x – 1) (x + x
+ 1) corresponde al polinomio identificado con la
letra:
a) I
b) G
c) D
d) E
13. La descomposición en factores (x + 5) (2x + 1)
corresponde al polinomio identificado con la
letra:
a) H
b) G
c) A
d) D
11. El producto (x – 3) (x – 3) es la factorización
del polinomio identificado con la letra:
a) H
b) C
c) I
d) D
52
UNIDAD 4
1. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.
Son fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma
cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si
se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de
signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.
1.1. OPERACIONES CON FRACCIONES
CCIONES ALGEBRAICAS
1.1.1. Suma y resta de fracciones algebraicas.
algebraicas Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo
hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.
denominador
Igual como ocurre con las fracciones de número
números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser
con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.
1.1.1.1. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador. Veamos el siguiente ejemplo de
suma y resta:
Como el denominador es común (x + 1),
1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como
numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando.
Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuan
cuando
do no son monomios, para no confundir luego los
signos.
Ahora sacamos los paréntesis teniendo
niendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un
signo menos (−), y nos queda:
53
Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
1.1.1.2. Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador
denominador.
Veamos el siguiente ejemplo:
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo
(m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con
denominador común.
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común
denominador (m.c.d.).
Para calcular el m.c.m. factorizamos
2
2
Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a • b • 15 que es lo
2 2
mismo que 15a b y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres
fracciones involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
2 2
Previamente, dividimos el denominador común (15a b ) por cada uno de los
Previament
denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por
cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:
54
Esta
ta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:
2 2
Encontrado el m.c.d. (15a b ) se multiplica cada fracción (tanto numerador com
como
o denominador) por los términos
que faltan por completar dicho m.c.d
m.c.d., del modo siguiente:
Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.
RESUELVE
Un ejemplo más:
Efectúa las operaciones indicadas y simplifica el
resultado cuando sea posible:
Sumar
a)
a a
+ =
3 4
b)
m m
−
=
10 15
c)
2
1
+ 2 =
3n 7 n
d)
3a
2
− 3 =
3
8a b 8a b
e)
x2
5x
2
+
+ 2
=
2
x + 2x + 1 3 x + 3 x − 1
El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común
denominador (m.c.d.) es x(x − 3)
Hacemos
¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando
el mismo denominador y simplificamos el numerador:
1.1.2. Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los
numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos qué significa esto:
Sea
una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra
55
, entonces:
Ejemplo:
Multiplicar
Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
Simplificamos antes de efectuar el producto:
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
RESUELVE
a)
b)
c)
d)
5
−3x
por 2 =
x
x
e)
6m + 5
m +1
por
=
2
3m + 3
6m − 7m − 10
Importante:
portante: es preciso dominar la factorización de productos notables.
1.1.3. Cociente o división de fracciones algebraicas
algebraicas. Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual
como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes
de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
Sea
una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra
56
, entonces:
Ejemplo 1:
Dividir
Anotamos haciendo el producto cruzado:
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes.
Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).
RESUELVE
a)
b)
c)
d)
3 x 2 y xy 2
÷
=
4 xy
2y
3mn 2 6m 2n
÷
=
5p
15 p
x +1 x +1
÷
=
2x
3x
m 3 − 27 m + 3
÷ 2
=
m−3
m −9
57
1.2. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las
fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en
el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.
Por ejemplo, simplificar:
Otro ejemplo, simplificar la fracción
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominado
denominador,
r, para quedar
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya
particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).
2. ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRAD
GRADO EN UNA VARIABLE Y SOLUCIÓN DE
PROBLEMAS.
2.1. ECUACIONES. Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado
incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
2.1.1. Ecuaciones de primer
imer grado.
grado Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades
algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los
siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita
se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso
multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
incógnita. Para resolver ecuaciones de primer grado con
una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en
el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemoss tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro
lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3
3 es +3, porque la operación inversa de
la resta es la suma).
Entonces hacemos:
58
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado
de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la
ecuación:
2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
Ejemplo:
Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra.
¿Cuáles son las longitudes de cada parte?
A) 250 cm y 50 cm
B) 150 cm y 150 cm
C) 175 cm y 125 cm
D) 200 cm y 100 cm
E) Ninguna de las medidas anteriores.
Comentario
En esta pregunta el alumno debe comprender el enunciado y a partir de los datos entregados en él debe plantear
y resolver una ecuación de primer grado con una incógnita.
Del enunciado se tiene que la tabla que mide 3 metros, que equivalen a 300 cm, se divide en dos partes, si la
parte más corta es x, la otra es 300 – x.
Además, se sabe que una de ellas es 50 cm más larga que la otra, entonces se puede concluir que x + 50 = 300 –
x, se suma el inverso aditivo de -x y el inverso aditivo de 50, a ambos lados de la igualdad, obteniéndose 2x = 250,
multiplicando por el recíproco de 2 a ambos lados de la igualdad, se llega a
Así, las medidas de cada parte de la tabla son 125 cm y 175 cm, valores que se encuentran en la opción C) .
Uno de los distractores con mayor preferencia fue A) y el error que seguramente cometen los alumnos es no
interpretar correctamente los datos del enunciado y asumir que uno de los trozos es 50 cm y como la tabla mide
300 cm el otro debe ser 250 cm.
59
Ejercicios……
1. Si un número se divide por 0,3 resulta 60, ¿cuál es el número?
a. 0,18
b. 1,8
c.
18
d. 20
e. 200
2. Los ángulos interiores de un triángulo son tales que α : β = 2 : 3 y β : γ = 3 : 4, entonces
a. 15º
b. 20º
c.
45º
d. 60º
e. Ninguna de las anteriores
3. Un vendedor recibe un sueldo base de $ 215.000, al mes, más 8% de las ventas por comisión. ¿Cuánto
debe vender para ganar $ 317.000 en el mes ?
a. $ 254.625
b. $ 532.000
c.
$ 1.275.000
d. $ 1.812.500
e. $ 3.962.500
2.2. INECUACIONES
1. ¿Para qué valores de x es x ≤ 0? Resp: sólo x =
0.
2
2. ¿Para qué valores de x es x – 1 > 0?
Resp: x < 1 ó x > 1, también podemos escribir esta
respuesta como {x ∈ ℝ ⎡x < - 1} ⋃ { x ∈ ℝ ⎡x > 1}.
.3. ¿Para qué valores de x es x + 1 ≤ 0? Resp:
Ninguno.
2
2
En general decimos que expresiones como las
anteriores, que involucran alguno de los signos <, >,
≤ o≥, definen una inecuación, y queda entendido
60
2.2.1. Inecuaciones de primer grado en una
incógnita.
que, hay que hallar aquellos valores de x que
verifican la desigualdad planteada.
Ejemplo. Resuelva: ax + b ≤ 0, con a > 0.
Las inecuaciones representan conjuntos. Para
resolver inecuaciones hay que tener muy presente
las propiedades de la relación de orden ≤ en ℝ, con
respecto a las operaciones aritméticas: Si a, b, c, con
números reales.
-
a≤b↔a+c≤b+c
a<b↔a+c<b+c
-
Si c ≥ 0, a ≤ b, entonces, ac ≤ bc
Si c ≤ 0, a ≤ b, entonces, ac ≥ bc
Ejemplo. Resolver la inecuación
hay
que
caer
en
la
La ecuación y = ax + b representa una recta, y lo que
se nos está pidiendo es averiguar para qué valores x
es y ≤ 0, o ¿para qué valores de x, los puntos ax + b
están en el semiplano inferior?
La
respuesta
es
b

 x ∈ ℝ x ≤ -  una semirecta en ℝ.
a

Se
observa en la siguiente figura.
2
≤ 1. ¡Peligro!. No
x
tentación
de
escribir:
2
≤ 1 → 2 ≤ x , luego {x ∈ ℝ ⎡ x ≥ 2} es la solución,
x
porque no sabemos a priori si x es negativo o
positivo, luego no sabemos si la desigualdad va a
cambiar de sentido al multiplicar por x. Una manera
de resolver esta dificultad es:
2
≤ 1→ 2 ≤ x .
x
2
Si x < 0 entonces
≤ 1→ 2 ≥ x .
x
En el caso ax + b ≤ 0, con a < 0 las condiciones son
Si x > 0 entonces


similares, pero la respuesta es:  x ∈ ℝ
Porqué?. La respuesta del problema también cambia
bastante si a = 0, ya que la inecuación es entonces b
≤ 0 y la solución será:
En efecto, por la cuarta propiedad arriba, y
suponiendo x < 0, esta parte de la solución se
obtiene intersectando {x ≤ 2} con {x < 0} por lo que
resulta {x < 0}. Luego la solución completa que
abarca ambos casos es:
-
{x ∈ ℝ ⎡ x ≥ 2} ⋃ {x ∈ ℝ ⎡ x < 0}; es decir, las dos
semirectas que se muestran en la siguiente figura.
No se considera x = 0, porque en este caso
b
x≥- 
a
-
2
no
x
está definido.
Representación de dos semirectas
61
∅ (vacío) si el número b es positivo, ya que si
b > 0 la recta está en el semiplano superior,
luego no hay solución.
ℝ si el número b es negativo o nulo ya que si
b ≤ 0, la recta y = b está toda en el
semiplano inferior como lo muestra la
siguiente figura. Luego todo el número real
es solución de la inecuación.
y= cx + d. Lo que se plantea lo podemos observar en
la siguiente gráfica. ¿Para cuáles valores de x el
gráfico de la primera recta está por debajo del gráfico
de la segunda recta?.
Ejemplos:
1. Resolver
- 2x + 4 ≤ 0.
Solución: restando 4 en ambos miembros, tenemos
- 2x ≤ −4, luego dividiendo por - √2 vemos que
4
x≥
= 2 2. Por lo tanto la solución es: {x ∈ ℝ
2
Ejercicios
x ≥ 2√2}.
2. Resolver
5
− 3x > 0.
6
Solución:
Restando
1. Halle el conjunto solución de: 3x – 2 < 8.
2. Halle el conjunto solución de: – 2x + 4 ≤ 7x +
8.
3. Halle el conjunto solución de: 3x – 1 < 5 √2x
+ √3.
5
a
6
ambos
miembros:
5
−3 x > − . Después, multiplicando por (- 1) tenemos
6
5
5
3 x < , luego x < . Por lo tanto la solución es
6
18
5

x ∈ ℝ x < .
18 

3. Resolver 2x + 7 < 2x + 1.
Solución: Restando 2x a ambos miembros
obtenemos 7 < 1, luego no existe solución.
Si expresamos una inecuación de primer grado de la
siguiente manera:
ax + b ≤ cx + d, podemos darle una interpretación
geométrica al considerar las dos rectas y = ax + b y
62
3. ESPACIO MUESTRAL
En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en
el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.
Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara,
cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral,
llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar
cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara,
cara)} y {(cara, cruz)}.
Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando
se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número
(del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una
descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría
construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos
espacios de muestreo descritos.
Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son
también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de
muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cual se define
la medida de probabilidad P.
Ejemplo:
63
4. INDEPENDENCIA DE EVENTOS
Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. En probabilidad condicional la
ocurrencia de un evento condiciona la probabilidad de un segundo evento. Sin embargo, hay muchos casos donde
los eventos están totalmente sin conexión, y la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia
del otro, en este caso se dice que son independientes.
Sean A y B dos eventos y sea P [B] ≠ 0., A y B son eventos independientes si: P [A/B] = P [A], como
consecuencia, si A y B son independientes y ∴ P [A/B] = P [A⋂B] / P [B] = P[A] ⇒ P [A ⋂ B] = P[A] P [B] y
viceversa.
Dos eventos A y B son independientes si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:
1. P [A/B] = P[A]
2. P [B/A] = P[B]
3. P [A ∩ B] = P[A]P[B]
Observación: la proposición 3 se llama regla multiplicativa
64
5. REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
Ya se mencionó qué son los eventos mutuamente excluyentes
y los que no lo son. Hay una regla general para calcular la
probabilidad de eventos disyuntos, es decir, que son la
combinación de eventos más simples, donde puede ocurrir uno
u otro o ambos.
Sea
A un evento probable en un fenómeno aleatorio.
P(A) su probabilidad de ocurrencia.
B otro evento probable en el mismo fenómeno aleatorio.
P(B) su probabilidad de ocurrencia.
Entonces, si son eventos mutuamente excluyentes:
P(A o B) = P(A) + P(B)
Esto significa que la probabilidad de que ocurra cualquiera de
los dos es la suma de sus probabilidades.
Pero, si no son eventos mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Esto quiere decir que la probabilidad de que ocurra uno de ellos o ambos es igual a la suma de sus probabilidades
menos la probabilidad de que ocurran ambos.
Por otra parte, un par de eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. En
una selección de elementos de un conjunto dado, sin que los elementos se reintegren al conjunto, cada selección
afecta la probabilidad de ocurrencia de las subsiguientes. En este caso tenemos eventos dependientes.
Si dos eventos son independientes, la probabilidad de ocurrencia de ambos se calcula multiplicando sus
individuales probabilidades asociadas:
P(A y B) = P(A) × P(B)
Una probabilidad condicional, de un suceso, se calcula con el conocimiento de otro suceso que ya ocurrió:
P (B A) =
P ( AyB )
P ( A)
Donde se espera que ocurra B, ya que A ya ocurrió.
Ejemplo. ¿Cuál es la probabilidad de que se integre un equipo de trabajo con dos mujeres y un hombre, si se
eligen al azar los integrantes de un grupo de seis hombres y siete mujeres? .
Para resolver el problema primero necesitamos saber cuántos equipos diferentes se pueden formar, sabemos que
el equipo es de tres integrantes y que las personas que lo pueden formar son trece.
Debemos emplear el análisis combinatorio. Calculamos las combinaciones de trece elementos tomados de tres en
tres. En las calculadoras científicas se tiene la función para el cálculo de combinaciones, el símbolo es n Cr .
65
Entonces calculamos
13
C3 .
El resultado es 286
Otra forma de calcularlos es con la expresión
n
Cr =
n!
r ! ( n − r )!
Ahora falta saber cuántos equipos se pueden formar con dos mujeres y un hombre, para ello nuevamente
recurrimos al análisis combinatorio. Puesto que la idea de que un equipo está formado por dos mujeres y un
hombre de un total de siete mujeres y seis hombres, se puede traducir en dos mujeres forman el equipo de un total
de siete y un hombre de un total de seis. Al ser eventos independientes aplicamos la regla descrita y además el
análisis combinatorio.
(7 C2 ) ( 6 C1 ) Calculando esto, se obtiene el número 126
Entonces hay 126 maneras diferentes de formar un equipo con dos mujeres y un hombre, además hay 286 formas
diferentes de integrar a los equipos. Por lo tanto la probabilidad de que un equipo esté formado por dos mujeres y
un hombre es:
P=
126
63
=
= 0.4405 = 44.05%
286 143
6. TÉCNICAS DE CONTEO
Suponga que se encuentra al final de una línea de ensamble final de un producto y que un supervisor le ordena
contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el número de
productos que lo constituyen, de inmediato usted empezará a contar un producto tras otro y al final informará al
supervisor que son, 48, 54 u otro número cualquiera. Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la
siguiente pregunta ¿cuántas muestras o grupos será posible formar con los productos del lote, si las muestras o
grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellas?.
En el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de
hacerlo, pero cuando se le hace el segundo planteamiento, al tratar de formar las muestras o grupos de ocho
elementos la persona encargada empezará a tener dificultad para hacerlo, en casos como este es
necesario hacer uso de las técnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestión (el número de
muestras posibles a formar de ocho elementos), luego, ¿qué son las técnicas de conteo?
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Ejemplo en el que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo:
-¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta
tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?
66
Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, hay que destacar
que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.
Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo.
6.1. PRINCIPIO MULTIPLICATIVO DE CONTEO
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a
realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo
paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas
El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras
otro.
Ejemplo:
Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de
cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe,
adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede
realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir paredes = 3
N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo proporcionan todas las maneras o formas posibles de
como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.
6.2. PRINCIPIO ADITIVO DE CONTEO
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de
esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N
maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa
actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o formas
67
Ejemplo:
Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las
marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la
marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o
15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE,
se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática.
¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
6.3. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una
permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una
combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
Combinación. Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de
los elementos que constituyen dicho arreglo.
Permutación. Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los
elementos que constituyen dicho arreglo.
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta
situación.
Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo
ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea
necesario.
b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero).
68
Solución:
a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material,
(aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de
tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente).
¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?
Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único
que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto,
este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras
de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos.
b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a Arturo como
secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se
muestran a continuación:
PRESIDENTE:
SECRETARIO:
TESORERO:
CAMBIOS
Daniel
Arturo
Arturo
Daniel
Rafael
Rafael
Rafael
Daniel
Arturo
Daniel
Rafael
Arturo
Obtención de fórmula de permutaciones.
Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la
misma representación?
Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.
¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro
primeros lugares de un concurso de creatividad que
se verifica en las instalaciones de un instituto, si hay
14 participantes?
Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de
función que se hace a los integrantes de la
representación original hace que definitivamente
cada una de las representaciones trabaje de manera
diferente, ¿importa el orden de los elementos en los
arreglos?. La respuesta definitivamente sería sí,
luego entonces las representaciones antes definidas
son diferentes ya que el orden o la forma en que se
asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este
caso estamos tratando con permutaciones.
Solución:
Haciendo uso del principio multiplicativo,
14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los
primeros tres lugares del concurso
A continuación obtendremos las fórmulas de
permutaciones y de combinaciones, pero antes hay
que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está
involucrado en las fórmulas que se obtendrán y
usarán para la resolución de problemas.
Esta solución se debe, a que al momento de asignar
el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos,
una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles
candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos
12 candidatos posibles para el tercer lugar y por
último tendríamos 11 candidatos posibles para el
cuarto lugar.
n!= al producto desde la unidad hasta el valor que
ostenta n.
n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n
Luego si n es el total de participantes en el concurso
y r es el número de participantes que van a ser
premiados, y partiendo de la expresión anterior,
entonces.
Ejem.
10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800
8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320
6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc.
14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r +
1)
69
Si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! /
(n – r)!, entonces
usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta,
además hay que hacer notar que no se pueden
repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n
objetos son todos diferentes.
= n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)!
/ (n – r)!
Entonces, ¿qué fórmula hay que usar para arreglos
en donde se utilicen los n objetos con que se
cuenta?
Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r,
entonces.
= n!/ (n – r)!
Por tanto, la fórmula de permutaciones de r
objetos tomados de entre n objetos es:
nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!
Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática,
entonces
nPn= n!
Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos
arreglos en donde el orden es importante y solo se
RESUELVE
1. Si lanzas dos dados de seis lados sobre una mesa plana horizontal:
a)
b)
c)
d)
e)
¿Cuántas veces es posible que la suma de los números de las caras que aparecen sea diez?
¿Cuántas veces es posible obtener suma de diez, si una de las caras es cuatro?
¿cuántas veces se obtiene suma par?
¿Cuántas veces se obtiene suma 1?.
¿Cuántas veces se obtiene suma par si los resultados en las dos caras son iguales?.
2. A una fiesta van 15 niñas y 13 niños. Considera todas las parejas que se pueden formar si dos de las
parejas son fijas por cuanto son novios intensos y no participan con el resto del grupo. ¿Cuántas de estas
parejas tendrán a una “simpática y popular niña” como uno de sus elementos?.
3. Un futbolista posee tres pares de guayos, cinco pares de medias, cinco pantalonetas y ocho camisetas.
¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse para salir a jugar?.
70
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
b) Función constante.
Carlos, Diana y Óscar son estudiante del grado
octavo A. Diana les recuerda que próximamente
serán las elecciones ara el gobierno escolar. Ella
piensa postularse como representante del curso 8A.
5. Carlos manifiesta que se puede hallar entonces
la pendiente de la función
.
La respuesta es:
Carlos le manifiesta que según el manual de
convivencia, para ser elegido a un cargo en el
gobierno escolar, es necesario obtener el apoyo de
la mitad más 1 del total de estudiantes.
Los jóvenes solicitan en secretaría el dato de
estudiantes del colegio, y les entregan la siguiente
tabla:
Grado
6°A
6°B
7°A
7°B
8°A
Estudiantes
36
36
30
34
30
Grado
8°B
9°
10°
11°
c)
b) f (x) = x + 2
d)
2. Como Diana pertenece
entonces para salir elegida
de su curso, necesita:
a) 15 votos
b) 20 votos
a)
c) m = 2
b)
d) m = – 2
6. Óscar pregunta cuántos votos necesita para
ser elegido consejero de los grados 8A y 8B al
mismo tiempo. El número de votos es:
a) 16
b) 31
c) 32
d) 30
Estudiantes
30
38
36
36
7. Carlos aspira a ser representante de todos los
estudiantes ante las directivas del colegio. El
número de votos que necesita son:
a) 306
b) 153
c) 154
d) 60
1. Óscar afirma que si f (x) = votos para ganar, x =
total de estudiantes, la condición de la mitad más
1 se puede expresar matemáticamente como:
a) f (x) = 2x + 1
d) Función geométrica.
8. La gráfica de la función
a)
es:
b)
al grado octavo A,
como representante
c) 16 votos
d) 25 votos
c)
3. Con base en el numeral 1, Carlos pregunta si la
expresión dada representa una función, Óscar
responde que sí, porque:
a) f (x) representa los votos para ganar.
b) x representa el número total de estudiantes.
c) Cada estudiante del colegio puede ser
representante de dos cursos.
d) Su representación gráfica es una línea recta.
4. La expresión dada en el numeral 1, podemos
afirmar que es una:
a) Función lineal.
c)Función cuadrática.
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d)
8. Si el número total de estudiantes del colegio es
de 306, entonces f (306), en la función
, toma el valor:
12. Si el número total de estudiantes del colegio
es de 306, entonces f (306), en la función
, toma el valor:
a) 308
b) 154
c) 153,5
d) No se puede calcular su valor.
b) 308
b) 154
c) 153,5
d) No se puede calcular su valor.
9. El estudiante aspirante a ser representante del
grado 11, necesita como mínimo:
a) 18 votos
b) 36 votos
13. El estudiante aspirante a ser representante
del grado 11, necesita como mínimo:
c) 19 votos
d) 17 votos
c) 18 votos
d) 36 votos
10. Supongamos que al colegio llegan 40
estudiantes más, de tal manera que el número de
votos necesarios para ser representante de todos
los estudiantes se aumenta en:
a) 40 votos
b) 10 votos
14. Supongamos que al colegio llegan 40
estudiantes más, de tal manera que el número de
votos necesarios para ser representante de todos
los estudiantes se aumenta en:
c) 20 votos
d) 21 votos
c) 40 votos
d) 10 votos
11. Supongamos que se retiran 30 estudiantes
del colegio. Entonces el número mínimo de
votos requeridos para ser representante de todos
los estudiantes se:
a) Aumenta en 10
b) Disminuye en 15
c) 19 votos
d) 17 votos
c) 20 votos
d) 21 votos
15. Supongamos que se retiran 30 estudiantes
del colegio. Entonces el número mínimo de
votos requeridos para ser representante de todos
los estudiantes se:
c) Aumenta en 10
d) Disminuye en 15
c) Aumenta en 30
d) Disminuye en 10
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c) Aumenta en 30
d) Disminuye en 10
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http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/01Concepto.htm
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Permutaciones.htm
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