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Preguntas propuestas
1
Álgebra
Leyes de exponentes
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL BÁSICO
6. Si se cumple que
1. Si n es el exponente final de m en
n
( m1 ⋅ m2 ⋅ m3 ⋅ ... ⋅ m )
11 2
2
2
2
⋅m
... ⋅ m
m
⋅
m
3
= 
4
5
3  4 
  ⋅  
2
27
calcule el valor de m – n.
50 veces
determine el valor de n/8.
A)25
A)2
B)7 C)3
D)5 E) 4
6 15
5 6
5 6
5
2. Si A=(2 ) ; B=(8 ) ; C=(2 · 2 ) y D=(2 · 32) · 64,
3
3
9
a
7. Si (15a)  = 3, calcule el valor de a + .
5
de las siguientes igualdades. Indique cuántas
son incorrectas.
A=D
B=D
C=A
B)– 5 C)–10
D)35 E) –15
A)2
B)5/2 C)3/4
D)1/2 E) 2/5
A=B
1
A)2
B)1 C)4
D)3 E) 0
1  −1

n

m −1 
n

= 2 24, determine el valor de 3 m2 .
8. Si  m
3. Si 3x=2, reduzca la expresión.
A)1
3 x + 3 x +1
1
B)2 C)3
D)5 E) 4
3x − 2 x
A)8
B)– 2 C)1
D)2 E) – 8
9. Si a = 2 3 2 3...
4. Indique el valor reducido de
b = 3 2 3 2...
calcule el valor de ab.
12 + 27 + 48
24 + 6
A)
...
A) 2
2
2
B)
3
3 2
C)
2
2
9
E)
2
D)2 2 5. Si 264=aa y 3
54
b
= (3 b) , halle el valor de 3a+2b.
A)48
B)96 C)66
D)99 E) 44
UNMSM 2010 - II
B) 3 C) 6
D)6 E) 36
10. Si x > 1 y además
3
5
x 2 ⋅ x −1 ⋅ x 6 = x
m
n
donde m y n son coprimos, determine el valor
de m2 – n2.
A)3
B)– 9 C)12
D)–12 E) 9
2
Álgebra
A)12
NIVEL AVANZADO
D)8 E) 2
11. Determine el valor reducido de M.
1

− 
 7 − 271− 9 2 

M = 8
−
1
6
14. Calcule el valor aproximado de (x+y),
si
0
 1
−
 1   b 
−


3
 
1+  b
b b
3
9
9
3

A)3
12. Si b ≠ 0, simplifique la expresión.
;
y
y=
x2
x
B)9 C)27
D)30 E) 81
 1− 1
b b +

4 
1+


b+ b b 
A)b
9
x=
3
A)0
B)1 C)2
D)3 E) 5
B)4 C)16
15. Si x es positivo, simplifique la expresión.
1
2
B) 1 C) 1
b
b2
M=
2
3
3
4
n
x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... n+1 x
xn
2 +3n
D)1 E) b2
13. Si se cumple que x
numérico de x
24x
x 6 x +1
=
1
2 3,
.
A)x1/2
calcule el valor
B)xn C)x2
D)x E) 1
UNMSM 2005
3
Álgebra
Productos notables
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL BÁSICO
6. Si
1. Si x2+5x=7, determine el equivalente numé(
)(
) (
)(
rico de  x + 3 x + 2 + x + 4 x

3
1
+ 1)  x ( x + 5)− 4

2
b = ( x + 6 ) − ( x + 3) ( x + 9 )
A)7
B)4 C)3
D)6 E) 5
4. Si a ∧ b son números reales, tal que
a + b = 7 ∧ ab = 3
J=
5. Indique verdadero (V) o falso (F) las siguien-
...
tes proposiciones y determine la secuencia
correcta.
I. Si x+x–1=2 → x2+x – 2=2
II. Si x+x–1=2 → x3+x – 3=2
III.1×3×5×17×257+1=216
A)FVV
B)VVF C)FVF
D)VVV E) VFF
(
x+ y
)2 − (
x− y
)2 − 4
1
α
8. Si a2+a+1=0, calcule el valor de α 4 + .
A)–1
B)0 C)1
D)2 E) – 2
9. Si se cumple que
a 2 + b2
= 1− c = a + b − 2
1+ c
determine el equivalente numérico de
ab + bc + ac .
A)1
B)2 C)3
D)4 E) 5
B)2 + 3 C)1
D)1 + 3 E)2 − 3
xy − 2 xy + 1
A)1/2
B)1/4 C)1
D)2 E) 1/5
calcule el valor no negativo a – b.
A)−2 + 3 .
reducido de J.
cuadrado perfecto, calcule el mayor valor de
ab (considere a y b enteros).
x2y5
7. Si x; y ∈ R+ tal que xy > 1, determine el valor
3. Si la expresión x 2 + a bx + 2 es un trinomio
A)6
B)2 2 C)4
D)8 E) 5
x3 − y3
A)0
B)x C)y
D)xy E) x2y3
2. Determine el valor de a+b, si
2
a = ( x + 5 ) − ( x + 2) ( x + 8 )
calcule
.
A)2
B)4 C)8
D)1 E) 3
x y
+ = 2 ; x; y ∈ R +
y x
10. Si
a − 1 = 2013
b + 1 = 2014
c + 2013 + 2014 = 0
calcule el valor de J.
a 2 ( a − 1) + b2 ( b − 1) + c 2 ( c − 1)
J=
ab (3c + 2) + 2c ( a + b)
A)–1
B)3 C)2
D)1 E) – 2
4
Álgebra
A)1
NIVEL AVANZADO
11. Si m2 +
3
m −
1
m2
= 8 , calcule el valor numérico de
1
m3
1
m−
m
14. Si x; y; z ∈ R, además se cumple que
2x(x+y)+2y(y – z)+2z(z+x)=0,
calcule el valor de
A)13
A)1
B)3 C)2
D)5 E) 4
x + 2y 5x + 2y 7x + 9 z
.
+
+
z
x
y
B)6 C)– 3
D)– 9 E) –1
B)2 C)3
D)4 E) 5
15. Si {x; y} ⊂ R y se cumple que
12. Si 3 x 2 − 3 x = − 3 , entonces ¿cuál es el valor
numérico de x 2013 +
1
x
2013
?
B)22013 C)1
A)0
D)–1 E) – 2
2 x + y = 2 2 ∧ xy = 2 , calcule el valor de M.
M=
2 2 x 3 + y 3 + 6 xy
A) 2
B)3 2
13. Si a + b + 1 = 3 3 , determine el valor de
2 − ( a + b)
3
a + b + ( a + b)
C)8 2
D)5 2
2
E) 9 2
5
( x − 1)2 + y 2
Álgebra
A)3
B)– 3 ∨ 3 C)– 2
D)3 ∨ – 2 E) no existe
Sistema de ecuaciones lineales
NIVEL BÁSICO
NIVEL INTERMEDIO
1. Resuelva el sistema y dé como respuesta el
valor de x.
x + y = 1

y + z = 5
x + z = 4

A)0
B)1 C)2
D)3 E) 4
6. Si el par ordenado (x0; y0) es una solución del
7. Indique el valor de z del siguiente sistema li-
tenga solución única.
A)4
B)5 C)6
D)7 E) 8
lineal
( n − 1) x + ( n − 2) = n + 1

(2 n + 1) x + ( n + 2) y = 4
8. Determine el valor de los parámetros p y k para
A)R
B)R – {0} C)R+
D){0} E) R – {0; 4}
sea compatible determinado?
4. Determine el valor de a2+b2 de tal forma que
el sistema
( a − 3) x + ( b − 5) y = 15

4 x + 3 y = 5
tome infinitas soluciones.
5. Determine el valor de m para que el sistema
 mx + y = 3

6 x + ( m − 1) y = 2 m
sea inconsistente.
que el siguiente sistema lineal sea indeterminado.
 kx − 6 y = 5 k − 3 p
(
 k − 4) x + 2 y = 4 k + 3
Dé como respuesta el valor de p+k.
A)16
B)17 C)18
D)24 E) 23
9. Dado el sistema no lineal
A)12
B)122 C)22
D)322 E) 421
...
neal.
x + y + z = 2

2 x + 3 y + 5 z = 4
4 x + 9 y + 25 z = 8

A)0
B)1 C)2
D)3 E) 4
3. ¿Qué valores reales toma n para que el sistema
determine el valor de 10m+2n si x0+y0=12.
A)– 4
B)– 6 C)– 2
D)2 E) 8
2. Determine el valor de λ de modo tal que el
sistema lineal
14 x + 3 y = 13

3 x − 2 y = 16
 λx + y = 7

sistema lineal de incógnitas x e y,
2 x − 5 y = 10

 mx + ny = 8

x + 2 =


x − 5 =

xy + 22
y+3
xy − 19
y−2
determine el valor de xy − 1.
A)2
B)3 C)4
D)5 E) 1
6
Álgebra
10. A partir del sistema no lineal de incógnitas x e y
x−y

 x +1− y +1 = 5

 4x + 4 − y + 1 = 4

determine el valor de x2 – y2.
A)52
B)– 60 C)– 25
D)55 E) 42
A)1/17
B)2/17 C)13/17
D)17 E) 17/2
14. Luego de resolver el sistema
NIVEL AVANZADO
 2
5
x+
y=7

 3
6

3
 3
 2 x + 10 y = 6
determine el valor de m2.
15. Dado el sistema de incógnitas x e y
ab + ac + bc
.
(10; 2)
C
L 3:a3 x+b3 y=c3
L 2:a2 x+b2 y=c2
X
A)2
B)3 C)4
D)6 E) 8
Respecto al sistema podemos afirmar que
A)su CS={(5; 4), (3; 3), (10; 2)}.
B)es compatible indeterminado.
C)es incompatible.
D)su CS{(3; 3)}.
E) tiene 2 soluciones.
13. Determine el valor de y si
L 1:a1x+b1y=c1
A(3; 3)
es compatible indeterminado, determine el
valor de
cuya representación gráfica es
B(5; 4)
12. Si el sistema lineal de incógnitas x e y
( a − 1) x + ( b − 1) y = c − 1

( b + 1) x + ( c + 1) y = a + 1
( a + b + c)2
 a1x + b1y = c1

 a2 x + b2 y = c2
a x + b y = c
 3
3
3
Y
A)1
B)4 C)9
D)6 E) 36
determine un valor de z.
A)– 8
B)– 7 C)– 5
D)3 E) 5
11. Si (m; n) es la solución del sistema lineal
 xy + x + y = 23

 xz + x + z = 41
 yz + y + z = 27

 x + y = 12 xy

 y + z = 20 yz
 x + z = 15 xz

7
Álgebra
Polinomios
NIVEL BÁSICO
6. A partir de la expresión matemática definida por
1. Si el polinomio
P( x; y; z) = 3 x m
NIVEL INTERMEDIO
2 −1 n3 − 4 6
y
z + x 8 y 23 z 6 − 6 x 8 y c z p−1
se reduce a un solo término, calcule el mayor
valor de mnp.
 
5
3. Evalúe la expresión S=(a+1)–1+(b+1)–1 para
−1
a = (2 + 3 ) y b = (2 − 3 )
−1
A)1
B) 3 C) 2
D) 3 − 1 E) 2 + 1
4. Determine el valor de 2m+3n si la siguiente
expresión
( m + 1) x + (2 n − 1) y + 6
f( x; y ) =
2x − 5y + 2
es independiente de x e y.
A)2
B)13 C)34
D)–11 E) – 34
...
5. En la clase de Matemática, Luis Miguel escribe
un polinomio P(x) mónico de 2.do grado, y
Zulema, un polinomio Q(x) de 1.er grado. Si se
dan cuenta de que la suma de esos polinomios
es ax2+3, además Q(1)=7, halle P(1).
A)–1
B)– 2 C)– 3
D)– 4 E) – 5
x + 1⋅ x
determine el valor de la siguiente expresión.
M=H(8)+H(7)+H(6)+...+H(1)
2
1
B) C)−
3
3
1
2
D) E)−
3
3
7. De la siguiente identidad
calcule el valor de P(1).
A)17
B)20 C)30
D)50 E) 80
x − x +1
A)2
A)35
B)64 C)20
D)36 E) 63
2. Si P x  = x 20 − 125 x17 + 3 x + 2
H( x ) =
(x+1)4+(x –1)4 ≡ 2x4+ax2+b
determine el valor de ab.
A)12
B)2 C)1
D)24 E) 8
8. Considere un polinomio cuadrático f con las
siguientes características
• Coeficientes enteros positivos diferentes.
• El coeficiente del término lineal es la diferencia de cuadrados de los otros dos.
• f(1)=f(f(0))
Calcule el menor valor del producto de sus coeficientes.
A)24
B)12 C)9
D)6 E) 18
9. A partir del polinomio P(x)=(2a2 – a+2)x+2a2,
donde P(–1)=1, P(m)=0 y P(0)=a+n, determine
el valor de 17m+n+a.
A)1
B)–1 C)2
D)0 E) 5
10. Dado el polinomio P(2x –1)=x2+ax+b. Se sabe
que b=2a y la suma de coeficientes de P es 7.
Determine el valor de ab.
A)14
B)12 C)10
D)8 E) 6
8
Álgebra
NIVEL AVANZADO
11. Si a ∧ b ∈ Q+, tal que f(x)=ax+bx y f(2)=1,
calcule el valor de M si
f −f
M = ( 3) ( 5)
f(1)
A)1
B)
1
C)a
ab
A)40
B)44 C)45
D)46 E) 47
D)
x +1− 2 − 2
E)
x +1− 2 +1− 2
término independiente de Q(x) si se cumple
que Q(ax2+b)=x4.
12. Se tiene un polinomio f(x) que verifica las con
x +1− 2 +1− 2
14. Si P(x)=ax+b, tal que P(3)=2P(1)=4, calcule el
D)b E) ab
diciones
I. f(1)=1
II. f(x)=f(x –1)+x; ∀ x ∈ Z+ ∧ x > 1
De acuerdo a ello evalúe f(9).
C)
A)0
D)3 E) 2
15. Dadas las expresiones algebraicas
1
1
y g( x ) = 1 −
x
x
halle f(g(x)) en términos de f(x).
f( x ) = 1 +
13. A partir de la expresión matemática
J( x ) =
x + 1 − 2, determine J(J(x)).
A)
x +1 − 2
B)
A)
D)
x − 2 +1
9
B)1 C)–1
f( x ) − 3
f( x ) − 2
f( x ) − 2
f( x ) + 2
B)
f( x ) + 2
f( x ) − 3
C)
E)
f( x ) − 2
f( x ) − 3
f( x )
2 f( x ) + 1
Álgebra
A)0
B)12 C)1
D)15 E) 14
División de polinomios
NIVEL BÁSICO
NIVEL INTERMEDIO
1. Efectúe la siguiente división
12 x 4 + 2 x 3 − x 2 − 5 x − 9
3x2 − x − 2
e indique el producto de los coeficientes del
residuo.
A)4
B)– 4 C)6
D)– 6 E) 12
6. Si la división genera un cociente de grado 55
7. Determine el resto de la siguiente división.
( x − 6 )23 + ( x − 5)26 + 5 x
cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F)
de las proposiciones.
4
8. Determine el resto de la siguiente división.
2x − x − 3 + 3x
2x + 3
I. La división es inexacta.
II. La suma de coeficientes del cociente es 3.
III.El término lineal del cociente es 3x.
A)7x+5
B)76x+2 C)7x+6
D)6x –1 E) 3x –1
9. En la siguiente división indicada
4. Determine el resto de la siguiente división.
x 5 + ( 3 2 − 2) x 3 + 2 2 + 7
5. Si el residuo de la división es de la forma
R(x)=mx+n, determine el valor de R(m – n).
2 x 17 + 3 x 14 + 4 x 2 − 1
x2 + 1
2 x 37 + nx + 7
x −1
determine el resto si se sabe que la suma de
coeficientes del cociente es igual a 80.
A)1
B)12 C)10
D)3 E) 15
x − 2 +1
A)6
B)8 C)12
D)14 E) 10
...
x3
( x + 1) ( x + 2)
3
A)FVF
B)VFV C)FVV
D)VVF E) FFV
x 2 − 11x + 30
A)7x –11
B)5x+10 C)5x – 3
D)– 7x+5 E) 7x+13
A)n+2
B)3 C)6
D)12 E) 15
3. Respecto a la siguiente división, indique la se-
determine el valor de n.
A)15
B)13 C)2
D)8 E) 10
2. Dada la división algebraica
2 nx 3 + ( n − 2) x 2 + ( n2 − 1) x + n + 1
nx − 1
halle la suma de coeficientes del cociente si se
sabe que el resto es 7.
( x 2 + 2) ( x 4 + 4) ( x 6 + 6) ... ( x 2 n + 2 n)
( x + 1) ( x 2 + 2) ( x 3 + 3) ... ( x n + n)
10. Si la división
x 4 + ( p − 3) x 2 + q + 3
es exacta
x2 + x + 1
determine el valor de p+q.
A)1
B)– 2 C)2
D)–1 E) 8
10
Álgebra
NIVEL AVANZADO
calcule el valor de
(a – m)+(b – n)+(c – p)+(d – q).
11. En la división ax4+2x3+bx2 –10x+c entre
A)3
2x+3, halle el valor de (a+b+c) si la suma de
coeficientes del cociente es – 5 y el resto es 15.
A)– 2
B)10 C)2
D)–10 E) 5
B)– 2 C)5
D)–1 E) 4
14. Sea n un número par tal que m – n=1, determine el residuo de la siguiente división.
( x − 4 ) m + ( x − 3) n + 2 x + 1
12. Halle el residuo de la siguiente división si a ≠ 0.
2ax 4 − ( a 2 + 2b) x 3 + (2ab + 2) x 2 − ( a + b2 − 1) x + b + 2
x 2 − 7 x + 12
ax 2 − bx + 1
A)6x – 4
A)R(x)=ax+2
B)R(x)=bx+2
C)R(x)=x+2
D)R(x)=x – 2
E) R(x)=ax+b
D)– 6x+4 E) 0
15. Determine el resto de la división
( x − 1) n+ 2 + x 2 n+1
13. A partir del esquema de Horner
4
a
b
0
c
d
– m+2
x2 − x + 1
A)x+1
B)x –1
C)x+2013
m+1
B)4x – 6 C)4x+6
D)0
5
m
n
11
p q
E) 2x
si n ≥ 2013
Semestral SM
Sistemas de medición angular
01 - e
04 - b
07 - a
10 - b
13 - c
02 - d
05 - c
08 - e
11 - c
14 - d
03 - e
06 - e
09 - d
12 - a
15 - e
Productos notables
01 - A
04 - E
07 - B
10 - D
13 - B
02 - D
05 - D
08 - A
11 - C
14 - B
03 - d
06 - A
09 - B
12 - A
15 - D
Sistema de ecuaciones lineales
01 - A
04 - E
07 - A
10 - D
13 - B
02 - C
05 - C
08 - E
11 - D
14 - A
03 - E
06 - E
09 - B
12 - B
15 - c
Polinomios
01 - E
04 - D
07 - D
10 - D
13 - C
02 - A
05 - C
08 - D
11 - E
14 - B
03 - A
06 - E
09 - D
12 - C
15 - A
División de polinomios
01 - D
04 - E
07 - A
10 - C
13 - C
02 - C
05 - b
08 - C
11 - A
14 - B
03 - B
06 - E
09 - E
12 - C
15 - D