Download I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra

Desarrollo de competencias Matemáticas I
:
Algebra
Josefina De las Mercedes Cribeiro y Díaz
David Benítez Mojica
I. Actividades de
Aprendizaje del Álgebra
MATE III
Josefina Cribeiro Díaz
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
COMPETENCIAS GENERALES

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la
comprensión conceptual, la comunicación de ideas matemáticas y la
solución de problemas con el uso del álgebra.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos algebraicos para la comprensión, análisis y solución de
problemas reales, hipotéticos y formales.

Utiliza Excel y/o Wxmaxima para facilitar la comprensión de conceptos, el
desarrollo de procedimientos y el cálculo algebraico.

Introduce variantes de los problemas resueltos, mediante el cambio de
hipótesis o de situaciones contextuales para llevar a nuevos problemas con
soluciones diferentes o con los mismos modelos matemáticos.

Argumenta los procedimientos de trabajo hallados por ti y el método de la
solución de los problemas, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y
geométrico para justificar por la teoría algebraica, cada paso realizado.
“Hojas de trabajo”
-5-
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
COMPETENCIAS PARTÍCULARES DE LA UNIDAD I

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para
la comprensión conceptual, la comunicación de ideas matemáticas y la
solución de problemas con el uso del álgebra.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos algebraicos para la comprensión, análisis y solución de
problemas reales, hipotéticos y formales.

Construye tablas y gráficos, mediante el uso de Excel y/o Geogebra para
facilitar la comprensión de los conceptos de cálculo de porcenajes,
variación directa, variación inversa, polígonos regulares, perímetro, área,
polinomio, desarrollar procedimientos y efectuar el cálculo algebraico.

Introduce variantes de los problemas resueltos, mediante el cambio de
hipótesis o de situaciones contextuales para llevar a nuevos problemas
con soluciones diferentes o con los mismos modelos matemáticos.

Argumenta los procedimientos de trabajo hallados por ti y el método de la
solución de los problemas, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico
y geométrico para justificar por la teoría algebraica, cada paso realizado.
“Hojas de trabajo”
-6-
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad I.
Hoja de Trabajo No. 1
Tema:
Operaciones Sub -tema:
aritméticas
básicas
y Cálculo de porcentajes
aplicaciones
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma y papel.
Fecha: _____________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y
la gráfica de hallar el porciento de una cantidad, mediante el uso de
lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del
significado de realizar cálculos porcentuales.

Utiliza tablas, gráficas y fórmulas de Excel para facilitar la comprensión
del significado algebraico, contextual y geométrico de hacer cálculos
porcentuales para resolver problemas.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico del
concepto de porcentaje, mediante lenguaje verbal y simbólico, para
determinar un procedimiento que permita hallar la solución de
problemas con el uso de cálculos porcentuales.
ESTRATEGIA DIDÁCTICA
a. Expresa con una expresión algebraica cada una de las expresiones
verbales.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
-7-
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
1. Explica con palabras, con un gráfico y en forma algebraica, lo que significa para
ti hallar:
i. El 15% de 40
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Expresión gráfica y algebraica
ii. El porcentaje que es 20 de 60
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Expresión gráfica y algebraica
iii. El número del cual 15 es el 20%
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Expresión gráfica y algebraica
“Hojas de trabajo”
-8-
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
2. En una tienda de la ciudad están rebajando los precios como estrategia para
atraer mayor clientela. A determinado producto le han aplicado dos descuentos
sucesivos, el primero del 10% y el segundo del 20%. ¿Estos dos descuentos
equivalen a uno del 30%?
A. Si
B. No
C. No Sé
Explica la respuesta.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3. Cuando compras artículos generalmente te hacen descuentos y te cobran
impuestos. Por ejemplo, en la compra de cierto artículo, ofrecen un descuento del
10% y se debe pagar un impuesto del 15%. ¿Qué prefieres que te calculen
primero: el impuesto o el descuento?
A.
B.
C.
D.
Primero el descuento
Primero el Impuesto
Es indistinto calcular primero el impuesto o el descuento
No sé.
Explica la respuesta.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4. En una tienda el precio de un corte fino de carne sube de 60 a 75 pesos, ¿Qué
porcentaje de aumento ha tenido el precio de la carne?
A
B
C
D
E.
15%
20%
25%
30%
35%
“Hojas de trabajo”
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I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Explica la respuesta.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
5. ¿El 20% del 50% de cierta cantidad, es igual al 50% del 20% de esa misma
cantidad?
D. Si
E. No
F. No Sé
Explica la respuesta.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
6. Los taxistas de la ciudad cobran una tarifa diurna de cierta cantidad y un
recargo nocturno del 25%. Si una persona usó el servicio de taxi en la noche y
pagó $50 ¿Cuánto debería haber pagado si hubiese usado el taxi durante el día?
G.
H.
I.
J.
K.
$37.5
40
$62.5
$75
No sé
Explica la respuesta.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
“Hojas de trabajo”
- 10 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
7. En un supermercado presentan los productos, su precio y un porcentaje de
descuento. Completa la siguiente tabla.
Producto
Precio por
kilogramo
Porcentaje de
descuento
Cantidad a pagar
por kilogramo
$ 52
50 %
$ 26
10%
$ 20
$ 25
$ 20
5%
$ 98
$ 200
“Hojas de trabajo”
$ 10
10 %
$ 150
- 11 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
Ahora vas a completar los espacios en blanco, teniendo en cuenta lo siguiente:
a. P1 representa el precio por kilogramo del producto No. 1
b. C1 representa la cantidad a pagar por cada kilogramo del producto
No.1
c. C2 representa la cantidad a pagar por cada kilogramo del producto
No.2
d. i % representa el porcentaje de descuento para el producto No 2.
Producto
Precio por
kilogramo
Porcentaje de
descuento
Cantidad a pagar
Por kilogramo
Producto No. 1
Producto No. 2
P1
C1
i%
C2
Explica la forma de determinar el i % de una cantidad B.
Explica la forma de determinar el valor B inicial si conoces que A es el i% de B.
Explica la forma de determinar que por ciento es A de B.
“Hojas de trabajo”
- 12 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
Argumenta las respuesta de las preguntas de la sección de motivación, haciendo
uso de lenguaje verbal y simbólico y de los conceptos sobre porcentaje, con el fin
de justificar la validez de tus respuestas.
“Hojas de trabajo”
- 13 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Tema:
Operaciones Sub -tema:
aritméticas
básicas
y Cálculo de porcentajes
aplicaciones
Material: Lápiz, pluma, papel
Fecha: _____________
y Excel
Unidad I.
Hoja de Trabajo No. 2
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica de hallar el porciento de una cantidad, mediante el uso de lenguaje
verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado de
realizar cálculos porcentuales.

Utiliza tablas, gráficas y fórmulas de Excel para facilitar la comprensión del
significado algebraico, contextual y geométrico de hacer cálculos
porcentuales para resolver problemas.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico del concepto
de porcentaje, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un
procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso de
cálculos porcentuales.
ESTRATEGIA DIDÁCTICA
a. Expresa con una expresión algebraica cada una de las expresiones verbales.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 14 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
En un lago hay una población inicial de 15,000 peces. Por diversos factores como
la falta de oxigeno, La escasa alimentación y la pesca hay una pérdida anual del
30% de la población. Anualmente nace una cantidad fija de 3000 peces. Realiza
las siguientes actividades:
1. Esta pregunta debe ser contestada sin ayuda de la tecnología. Si la
situación descrita anteriormente se mantiene por varios años ¿Qué crees
que ocurra con la población de peces?
a. La población de peces va a ser mayor de 15,000 peces
b. La población se extinguirá
c. La población disminuye pero no se puede predecir cuantos peces
habrá en un año específico.
d. La población disminuye y se estabiliza alrededor de determinado
valor.
Justificación de la respuesta
DIAGNÓSTICO
1. Calcula en tu cuaderno el 10% de pérdida anual de un capital inicial de
10,000 pesos, durante tres años consecutivos. ¿Qué capital se tiene al
finalizar el tercer año?
2. Dado un capital inicial de 10,000 pesos si tienes una pérdida anual de 10%
y una entrada fija de 1000 pesos anuales. Halla el capital existente al cabo
de tres años.
3. Calcula en tu cuaderno el 5% de ganancia anual de un capital inicial de
10,000 pesos, durante cuatro años consecutivos.
“Hojas de trabajo”
- 15 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
En los siguientes puntos podrás usar Excel para contestar cada una de las
preguntas.
2. Usa Excel para construir una tabla con dos columnas. En la primera
ubicarás el tiempo y en la segunda pondrás la cantidad de población
usando la siguiente fórmula:
3. Cuando n es “muy grande” ¿Hacia dónde se aproxima la cantidad de
peces? ____________________________________________________
4. Usa Excel para construir un gráfico. En el eje x pondrás el tiempo y en el
eje y ubicarás la población de peces.
Espacio para reproducir el gráfico
“Hojas de trabajo”
- 16 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
5. Completa la siguiente tabla
Tiempo en años
0
1
Cantidad de Peces
15000
(1-
3
10
)* 15000+ 3000
2
3
4
5
10
N
6. Realiza la gráfica de situaciones como las siguientes: En un lago hay una
población inicial de 15,000 peces. Por diversos factores como la falta de
oxigeno, la escasa alimentación y la pesca hay una pérdida anual del (10%,
20%, 30%, 40%) de la población. Anualmente nace una cantidad fija de
3000 peces.
“Hojas de trabajo”
- 17 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
1.-Establece un procedimiento de trabajo para hallar una pérdida consecutiva de
un 15% con una recuperación anual fija de 1000 unidades, siendo el capital inicial
de 150,000 pesos.
2.- Argumenta cada paso con lenguaje verbal y simbólico, con el fin de justificar la
validez del procedimiento.
Establece un procedimiento de trabajo para hallar una pérdida consecutiva de un
i% mensual con una recuperación de k unidades mensuales si el capital inicial es
A.
“Hojas de trabajo”
- 18 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad I.
Tema:
Operaciones Sub -tema:
aritméticas
básicas
y Variación Directa
aplicaciones
Material que puedes usar: Fecha: _____________
Lápiz, pluma y papel y Excel
Hoja de Trabajo No. 3
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica de hallar la variación directa, mediante el uso de lenguaje verbal,
algebraico y geométrico para la comprensión del significado de determinar
la variación directa.

Utiliza tablas, gráficas y fórmulas de Excel a fin de facilitar la comprensión
del significado algebraico, contextual y geométrico de calcular variaciones
directas para resolver problemas.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico del concepto
de variación directa, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar
un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso
de cálculos de variaciones directas.
ESTRATEGIA DIDÁCTICA
a. Expresa con una expresión algebraica cada una de las expresiones verbales.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 19 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
Un indicador muy importante en la economía nacional es el tipo de cambio del
peso con respecto a algunas monedas extranjeras como el Dólar y el Euro.
1. Averigua cuántos Pesos mexicanos hay que pagar por un Dólar y cuántos por
un Euro.
Peso
Peso
Dólar
1
Euro
1
DIAGNÓSTICO
1. Expresa que operación debes hacer para convertir dólares a pesos
2. Expresa que operación debes hacer para convertir pesos a dólares
“Hojas de trabajo”
- 20 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DESARROLLO DE CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
2. Una casa de cambio quiere construir una tabla que ayude a los clientes a
realizar las cuentas para diferentes cantidades de dólares. Utilizando las
fórmulas apropiadas en Excel, construye una tabla para cambiar de dólares a
pesos mexicanos. (Realiza una tabla con 10 filas como mínimo). Los
resultados que aparecen en la computadora escríbelos en la siguiente tabla:
3. Realiza una gráfica con los resultados de la tabla anterior. En el eje x ubicarás
la cantidad de dólares y en el eje y la cantidad de pesos mexicanos
“Hojas de trabajo”
- 21 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
4. Completa la siguiente tabla. Advertencia: M representa cualquier cantidad de
dólares.
Dólares
Pesos
2
125
165
1200
M
EN ACCIÓN
5. La misma casa de cambio quiere construir una tabla que ayude a los clientes a
realizar el cambio de moneda. Utilizando las fórmulas apropiadas en Excel,
construye una tabla para cambiar de Pesos Mexicanos a Euros. (Realiza una
tabla con 15 filas como mínimo). Los resultados que aparecen en la
computadora escríbelos en la siguiente tabla:
“Hojas de trabajo”
- 22 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
6. Realiza una gráfica con los resultados de la tabla anterior. En el eje x ubicarás
la cantidad de Pesos Mexicanos y en el eje y la cantidad de Euros.
7. En la Columna C realiza la división de la cantidad de Euros entre la cantidad
respectiva de pesos. Responde las siguientes preguntas:
a. ¿Qué puedes concluir acerca de las cantidades que aparecen en la
columna C?
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
b. ¿Qué representa la cantidad que aparece en la comuna C?
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
“Hojas de trabajo”
- 23 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
8. Completa la siguiente tabla. Advertencia: R representa cualquier cantidad de
Pesos.
Pesos
Euros
56
235
726
1200
R
9. Diseña una tabla en Excel para pasar de Dólares a Euros.
Dólares
Euros
10. Explica la forma de pasar:
i)
De Pesos a Dólares y viceversa,
ii)
De Pesos a Euros y viceversa,
iii)
De Dólares a Pesos y viceversa,
“Hojas de trabajo”
- 24 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
iv)
De Euros a Pesos y viceversa
v)
De Dólares a Euros y viceversa.
11. Expresa de forma única en lenguaje natural y simbólico las variaciones
efectuadas en el cambio de una moneda a otra.
EVALUACIÓN
1.- Si tienes 1500 pesos y la tasa de cambio a dólares y euros es la trabajada en
la presente hoja de trabajo
i) ¿cuántos dólares te deben de dar en la casa de cambio?
ii) ¿cuántos euros te deben de dar en la casa de cambio?
“Hojas de trabajo”
- 25 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad 1
Tema:
Operaciones
aritméticas
básicas
y Sub -tema: variación inversa
aplicaciones
Material que puedes usar: Fecha: _____________
Lápiz, pluma y papel Excel
Hoja de Trabajo No. 4
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica de hallar la variación inversa, mediante el uso de lenguaje verbal,
algebraico y geométrico para la comprensión del significado de determinar
la variación directa.

Utiliza tablas, gráficas y fórmulas de Excel a fin de facilitar la comprensión
del significado algebraico, contextual y geométrico de calcular variaciones
inversas para resolver problemas.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico del concepto
de variación directa, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar
un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso de
cálculos de variaciones inversas.
ESTRATEGIA DIDÁCTICA
a. Expresa con una expresión algebraica cada una de las expresiones verbales.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
e. Identifica patrones de comportamiento a partir de los casos particulares
estudiados.
“Hojas de trabajo”
- 26 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
Actividad 1.
Un tanque de reserva se llena en 15 horas empleando 6 llaves que tienen el
mismo diámetro. Se quiere calcular la cantidad de llaves del mismo diámetro, que
se deben abrir para que el mismo tanque se llene en 5 horas. Ante esta situación,
consideras que la cantidad de llaves que se necesitan es:
a.
Mayor
b. Menor
c. Igual
c. No sé
Justifica tu respuesta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
DIAGNÓSTICO
Observa la tabla y establece una relación algebraica entre los dos juegos de datos
Número
de llaves
abiertas
Tiempo
(t) (horas)
1
2
3
4
5
6
90
45
30
22.5
18
15
Relación algebraica entre ll y t
“Hojas de trabajo”
- 27 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DESARROLLO DE CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Utiliza Excel para hacer la siguiente tabla:
Llaves abiertas
Tiempo (horas)
6
15
8
11.25
9
10
10
9
12
7.5
Usa el comando de gráfico y obtén una esquema que te puede ayudará darle
solución a la situación planteada. Copia el gráfico en el siguiente recuadro.
Ahora responde ¿Cuántas llaves iguales, abiertas son necesarias para llenar el
tanque en 5 horas? ______________________
Justifica tu respuesta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
¿Qué sucede con el tiempo a medida
aumenta?________________ Justifica
que
la
cantidad
de
llaves
__________________________________________________________________
¿Qué sucede con el tiempo a medida que la cantidad de llaves disminuye?
_____________ Justifica
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
“Hojas de trabajo”
- 28 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Utilizando Excel en la columna C escribe la formula siguiente:
=A2* B2
¿Utilizando rellenado con Excel completa la tabla hasta doce llaves. Como son los
valores de la columna C?
__________________________________________________________________
EN ACCIÓN
Actividad 2.
El tiempo y la cantidad de trabajadores que laboran en la construcción de un
edificio esta relacionados como se muestra en la siguiente tabla.
Trabajadores
Tiempo (días)
7
60
10
42
30
14
12
Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta la información que se proporciona
en la tabla anterior
Trabajadores
Tiempo
(días)
7
60
5
“Hojas de trabajo”
2
20
17
- 29 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Expresa con tus palabras la relación existente entre los dos juegos de datos
expresados en los diferentes problemas planteados
Expresa mediante símbolos matemáticos la relación existente entre los dos juegos
de datos
EVALUACIÓN
Argumenta lo que sucede con un juego de datos cuando el otro juego crece,
mediante lenguaje verbal y simbólico, a fin de justificar la validez de la expresión
matemática que relaciona los dos juegos de datos.
“Hojas de trabajo”
- 30 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad I.
Hoja de Trabajo No. 5
Tema:
Operaciones Sub -tema:
aritméticas
básicas
y Perímetros y áreas
aplicaciones
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma, papel y Fecha: _____________
Geogebra
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica de los conceptos de polígono regular, baricentro, apotema, perímetro
y área, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la
comprensión del significado de relacionar perímetros, baricentros, apotemas
y áreas de un polígono regular.

Utiliza tablas, gráficas y fórmulas de Geogebra a fin de facilitar la
comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de los
conceptos de polígonos regulares, sus perímetros, áreas, baricentros y
apotemas.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico del concepto
de polígono regular, perímetro, área y apotema, mediante lenguaje verbal y
simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución
de problemas con el uso de cálculos de áreas de polígonos regulares.
ESTRATEGIA DIDÁCTICA
a. Expresa con una expresión algebraica cada una de las expresiones verbales.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 31 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
1. En las instalaciones de una escuela se tiene un espacio donde se puede
hacer una piscina. El terreno donde se construirá la piscina tiene forma
rectangular de 300 por 200 metros. El director quiere que la piscina tenga
forma de un polígono regular y que en el baricentro del mismo tenga un
pequeño espacio para colocar banderas, al cual se llegará por un puente.
Ha pedido a todo el personal que labora o estudia en el centro que aporte
ideas a fin de que el costo sea menor y tenga la mayor área posible.
Plantea en el recuadro siguiente la forma que debe tener la piscina para
que se cumplan las condiciones planteadas anteriormente. Justifica tu
propuesta. ¿Necesitas conocer el costo del m2 de paredes y el de m de los
borde y puente? Tampoco se ha establecido la profundidad de la piscina,
¿lo necesitas para hacer el diseño de la piscina?.
300 metros
200 m
DIAGNÓSTICO
2. Entra a Geogebra y realiza las siguientes construcciones:
a. Con el comando polígono regular construye polígonos de (3, 4, 5, 6 y
7 ) lados.
b. En todas las figuras queda marcado un punto que corresponde al
baricentro de cada polígono. Traza una perpendicular a un lado del
polígono que pase por ese punto.
c. Señala el punto de intersección de la recta perpendicular con el lado.
Traza un segmento desde el baricentro hasta el pie de la
perpendicular. A este segmento le seguiremos llamando apotema.
d. Oculta la recta perpendicular.
“Hojas de trabajo”
- 32 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
3. Realiza medidas en Geogebra para completar la siguiente tabla:
Figura
Longitud
del
apotema
Perímetro
“Hojas de trabajo”
(Perímetro)* Área
(Apotema)
- 33 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
4. En el siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre la relación
que existe entre el perímetro, el apotema y el área de un polígono regular
de cualquier cantidad de lados.
Espacio para construir la conjetura
¿Cómo relacionas los resultados obtenidos en los incisos 2, 3 y 4 con el problema
original?
EVALUACIÓN
Argumenta la solución obtenida del problema, mediante lenguaje verbal y
simbólico para justificar la validez del procedimiento utilizado.
“Hojas de trabajo”
- 34 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad I.
Hoja de Trabajo No. 6
Tema: Lenguaje algebraico Sub -tema:
y aplicaciones
Conceptos
básicos
Álgebra.
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma y papel.
Fecha: _____________
de
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica de los conceptos básicos de polinomio, grado de un polinomio,
término, variable, coeficiente, exponente, mediante el uso de lenguaje
verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado delos
mismos.

Construye tablas, gráficas y fórmulas mediante Excel a fin de facilitar la
comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de calcular
variaciones directas para resolver problemas.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de los
conceptos básicos de polinomio, grado de un polinomio, término, variable,
coeficiente, exponente directa, mediante lenguaje verbal y simbólico, para
determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas
con el uso de polinomios.
ESTRATEGIA DIDÁCTICA
a. Expresa con una expresión algebraica cada una de las expresiones verbales.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 35 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
 Carlos quiere averiguar sobre su árbol genealógico hasta 12 generaciones
antecedentes, se dio cuenta que tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho
bisabuelos. ¿Cuántas personas componen la doceava generación de
Carlos?
 En una bolsa hay monedad de $1, $2, $5 y $10 pesos. Expresa con
símbolos la cantidad monedas de diferentes evaluaciones, las cuales se
encuentran en esa bolsa.
DIAGNÓSTICO
 Expresa el significado de potencia de un número y la potencia de una
variable
 En la expresión 5x7 señala el coeficiente y el exponente, describe sus
significados en el caso que x tenga el valor 2, el valor 3, o un valor k
 En la expresión matemática 3x4 – 2x3 + 5x + 6, señala cuantos sumandos
tiene la expresión y el mayor exponente que aparece
“Hojas de trabajo”
- 36 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Sobre el concepto de polinomio.
a) Observa, analiza y describe las características de los ejemplos de
polinomios siguientes:
5, x, 3x,
b) Observa,
analiza
2x3  y + 3, x10 + ¼x  , 11rs4 + r2s3  s
y describe las características de los ejemplos de
expresiones que no son polinomios que se te presentan a continuación.
x¼, ¼ es un exponente fraccionario
7xy2, 2 es un exponente negativo.
c) Analiza la definición de polinomio que se da a continuación: un polinomio es
una suma de términos en los cuales el coeficiente es un número real y cada
uno de los exponentes de las variables es un número entero no negativo
(recuerda que los números enteros no negativos pertenecen al conjunto 0, 1,
2, ...). ¿Concuerda esta definición con tus análisis anteriores?
Un polinomio con un solo término es un monomio.
Un binomio es un polinomio con dos términos y
un trinomio es un polinomio con tres términos.
“Hojas de trabajo”
- 37 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2. En la segunda columna de la tabla 1, específica si la expresión algebraica que
se te presenta en la primera columna es un monomio, un binomio, un trinomio, un
polinomio o no es un polinomio. En caso que no sea un polinomio, en la tercera
columna debes explicar porque no le es.
Expresión algebraica
Tipo
Justificación
1
5  ¾z8w
r½ + 2r  6
2x3z + x2z2 z +25
2+
7
x
2 + 5x + 3xy
Tabla1
2. Sobre el grado de un polinomio.
El grado de una variable en un monomio es el exponente a que está elevada
la variable. El grado de un monomio es la suma de los grados de todas sus
variables. Si el monomio es constante su grado es cero.
a) Observa como se procede para determinar el grado de 9x4y5z3.
El grado de la variable x es 4.
El grado de la variable y es 5.
El grado de la variable z es 3.
Luego, el grado del monomio 9x4y5z3 es 4 + 5 + 3 = 12.
“Hojas de trabajo”
- 38 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos,
después de haber simplificado.
EN ACCIÓN
b) Observa como se procede para determinar el grado de
2ab + a2b5  b10  14.
El grado de 2ab es 2.
El grado de a2b5 es 7.
El grado de b10 es 10.
El grado de 14 es 0.
Por tanto, el grado del polinomio 2ab + a2b5  b10  14 es 10.
c) En la segunda columna de la tabla 2 escribe el grado del polinomio que
aparece en la primera columna.
Polinomio
Grado del polinomio
3 + r2s  rs2
20z3w2  zw4 + w5
3 +2x
60t7s3 + 4t5s4 -15t2s5 + 16
43x4y4 – 68x3y2 +72x2y - 98
2x3y2z5 + 4x6y3z2 – 35x4y2z6 + 23
9w2t5 – 3w4t2 + 6w3t4 + 5wt8 –w4t4
Tabla 2
“Hojas de trabajo”
- 39 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
4. Sobre el orden de los polinomios
a) Analiza las afirmaciones que se presentan en los dos recuadros siguientes:
El polinomio st2 + s2t + 31 está ordenado en forma descendente
con respecto a la variable t, ya que los exponentes de t
decrecen al recorrer los términos de izquierda a derecha.
El polinomio ab6 + a3b + 3a7b3 a10 está ordenado en forma
ACTIVACIÓN CONCEPTUAL
ascendente con respecto a la variable a, ya que los exponentes
de a crecen al recorrer los términos de izquierda a derecha.
b) En la segunda y tercera columna ordena el polinomio que aparece en la
primera columna en forma descendente y en forma ascendente, en la variable
que se indica, respectivamente.
Polinomio
Orden descendente
Orden ascendente
a2x2  3ax4 + 6 a5x
Variable x
Variable a
yz  z3 + y2z2  y
Variable z
Variable y
Tabla 3
“Hojas de trabajo”
- 40 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
5. Se denomina término de un polinomio a
__________________________________________________________________
6. Un polinomio es
Donde los coeficientes son
__________________________________________________________________
y los exponentes son
__________________________________________________________________
i) Un polinomio con un solo término se denomina___________________________
ii) Un polinomio con dos términos se denomina____________________________
iii) Un polinomio con tres términos se denomina____________________________
7. El grado de un polinomio se determina
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
8. Los polinomios pueden ser ordenados en forma ascendente o descendente
respecto a cada una de sus variables de la forma siguiente:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
EVALUACIÓN
9. Construye un polinomio de grado 10 con dos variables y cuatro términos.
10. Construye un trinomio de grado 7 con tres variables y cinco términos.
“Hojas de trabajo”
- 41 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
COMPETENCIAS PARTICULARES DE LA UNIDAD II

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para
la comprensión conceptual, la comunicación de ideas matemáticas y la
solución de problemas modelados mediante sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos variables con el uso del álgebra.

Construye modelos matemáticos de sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos variables mediante la aplicación de expresiones algebraicas para
la comprensión, análisis y solución de problemas reales, hipotéticos y
formales.

Interpreta modelos matemáticos de sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos variables mediante la aplicación de procedimientos algebraicos
para la comprensión, análisis y solución de problemas reales, hipotéticos y
formales.

Construye tablas y gráficos, mediante el uso de WxMáxima para facilitar
la comprensión de desarrollar procedimientos que permitan hallar la
solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
efectuando el cálculo algebraico.

Resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,
mediante la aplicación de procedimientos algebraicos para hallar la
solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
efectuando el cálculo algebraico.

Introduce variantes de los problemas resueltos, mediante el cambio de
hipótesis o de situaciones contextuales para llevar a nuevos problemas
con soluciones diferentes o con los mismos modelos matemáticos.

Argumenta los procedimientos de trabajo hallados por ti y el método de la
solución de los problemas, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico
y geométrico para justificar por la teoría algebraica, cada paso realizado.
“Hojas de trabajo”
- 42 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad II.
Hoja de Trabajo No. 1
Tema:
Sistemas
de Sub -tema:
Ecuaciones Lineales con Graficación
dos variables
Material que puedes usar:
pluma,
regla,
papel Fecha: _____________
cuadriculado y el programa
WXMáxima.
INSTRUCCIONES
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica de ecuaciones lineales, mediante el uso de lenguaje verbal,
algebraico y geométrico para la comprensión del significado contextual,
algebraico y geométrico de la pendiente y el intercepto con el eje “y” de
las ecuaciones lineales.

Expresa en forma de tablas y gráficos las ecuaciones de rectas, mediante
el uso de WXMáxima para facilitar la comprensión del significado
algebraico, contextual y geométrico de la pendiente y el intercepto con el
eje “y” de ecuaciones lineales de dos variables.

Argumenta el significado geométrico de la pendiente y el intercepto con el
eje “y” de ecuaciones lineales de dos variables, mediante lenguaje verbal
y simbólico, para hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra.
ACCIONES METODOLÓGICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 43 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
La ganancia de dos compañías A y B en el año pasado están dadas por las
ecuaciones y = x ; y =( ½ )x + 4 respectivamente, donde x expresa el tiempo en
meses. Construye en un gráfico las ganancias de ambas compañías y responde

¿Cuál de las compañías comenzó el año sin ganancias?

A partir de que mes la compañía que empezó sin ganancias, superó a la
otra compañía. Argumenta que sucedió para que superara a la que
comenzó el año con ganancias.
“Hojas de trabajo”
- 44 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Utiliza un graficador o papel cuadriculado si no puedes utilizar graficador, para
graficar las siguientes funciones: y = x; y = 2x; y = 3x; y = (2/3)x. Reproduce
TODAS las gráficas en el siguiente plano.
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Escribe en la segunda columna el coeficiente de la x en cada una de las
funciones.
Y= x
Y = 2x
Y = 3x
Y = (2/3)x
Y =(½)x
“Hojas de trabajo”
- 45 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Observa la posición de las rectas y los valores de los coeficientes de x, en base a
ello explica el efecto que produce en la posición de las rectas, los valores de los
coeficientes de x
 mayores que 1
 menores que 1
EN ACCIÓN
Escribe en la segunda columna el coeficiente de la x en cada una de las
expresiones.
Y= -x
Y =- 2x
Y = -3x
Y =- (2/3)x
Y =-(½)x
Expresa con palabras el efecto crees que produzca en los gráficos, los coeficiente
negativos de la x
“Hojas de trabajo”
- 46 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Grafica mediante un software ó en papel cuadriculado y luego reproduce TODAS
las gráficas en el siguiente plano. Compara tu respuesta anterior con las gráficas.
¿Cómo será la gráfica de la función en el caso que el coeficiente de la x sea 0?
Expresa el caso anterior en lenguaje algebraico
“Hojas de trabajo”
- 47 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Expresa en la siguiente tabla la relación existente entre el coeficiente m de la “x” y
la posición de las rectas. En la primera columna anota las expresiones de acuerdo
al signo de m. En la tercera todas las gráficas
Y = m*x
m
Gráfica
m>0
m <0
m=0
Al sumar a las funciones anteriores un número cualquiera ¿qué modificaciones se
obtienen en cada una de ellas?
“Hojas de trabajo”
- 48 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Selecciona una de las funciones anteriores y súmale un número cualquiera (uno
positivo y uno negativo) Primero grafica en la computadora y luego reproduce
TODAS las gráficas en el siguiente plano. Por ejemplo Y = 3x + 5; y = 3x – 3; Y =
3x
Si se mantiene igual m y cambia b explica la relación entre las rectas
Si se mantiene igual b y cambia m explica la relación entre las rectas
Explica las condiciones de b y m para que dos rectas sean paralelas
Explica las condiciones de b y m para que dos rectas se corten en un punto
Comparte con los compañeros de tu equipo los resultados obtenidos. A partir de
la discusión de los distintos casos, llenen la siguiente tabla
“Hojas de trabajo”
- 49 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Y = mx + b
m
b
m > 0
b > 0
m> 0
b <0
m< 0
b> 0
m < 0
b<0
m=0
b> 0
m=0
b<0
“Hojas de trabajo”
Gráfica
- 50 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
Grafica los casos en que b = 0
En las dos gráficas determina el signo de b y m
Escribe a partir del gráfico los valores de m y b
“Hojas de trabajo”
- 51 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Tema:
Sistemas
Ecuaciones Lineales
dos variables.
Unidad II.
de
con Sub -tema:
Graficación
Material:
pluma,
regla,
papel cuadriculado y el Fecha: _____________
programa wxMaxima.
Hoja de Trabajo No. 2
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica de ecuaciones lineales, mediante el uso de lenguaje verbal,
algebraico y geométrico para la comprensión del significado contextual,
algebraico y geométrico de los coeficientes de las variables y el término
independiente de los sistemas de dos ecuaciones lineales.

Representa en forma gráfica los sistemas de ecuaciones lineales mediante
el uso de WXMáxima para facilitar la comprensión del significado algebraico,
contextual y geométrico de los coeficientes de las variables y el término
independiente de un sistema de dos ecuaciones lineales de dos variables.

Argumenta el significado geométrico de los coeficientes de las variables de
los sistemas de ecuaciones lineales de dos variables, mediante lenguaje
verbal y simbólico, para hallar la solución de problemas con el uso del
Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 52 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
Un equipo de jockey sabe que necesita 60 puntos en la temporada para pasar a
las finales. Un juego ganado vale 2 puntos y un empate 1 punto.
I.
Escribe en forma de ecuación el número de juegos ganados (g) y el
número de juegos empatados (e) que necesitará el equipo para pasar a
finales.
II.
Si sólo quedan ocho juegos y el equipo tiene 50 puntos, ¿para que
combinación de juegos ganados y empatados puede el equipo pasar a
finales?
DIAGNÓSTICO
En las siguientes ecuaciones de la forma Ax + By + C = 0 despeja del valor y.
Determina los valores de m y b, comparando con la nueva forma y = mx + b
Ax + By + C = 0
y = mx + b
4x – 2y + 2 = 0
I.
m=
b=
– 4x + 2y + 2 = 0
II.
m=
b=
4x – 2y + 6 = 0
III.
m=
b=
“Hojas de trabajo”
- 53 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
I.-I) Completa la siguiente tabla
Ax + By + C = 0
Relación con la
expresión
y=mx+b
recta
A
B
C
L1
4
-2
2
Y = 2x + 1
L2
4
-2
6
Y = 2x + 3
L3
12
-2
18
Y = 6x + 9
L4
-9
3
6
Y = 3x - 2
L5
A
B
C
“Hojas de trabajo”
m
b
Graficar la ecuaciones
formadas.
- 54 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
II) Reproduce en el plano siguiente las gráficas de L1 y L2 Relaciona los valores
de m y b, en ambas rectas. Relaciona los valores de A, B y C con los de m y b
III) Reproduce en el plano siguiente las gráficas de L2 y L3. Relaciona los valores
de m y b en ambas rectas. Relaciona los valores de A, B y C con los de m y b.
“Hojas de trabajo”
- 55 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
IV) Reproduce en los planos siguientes las gráficas de L 1 y L4. Relaciona los
valores de m y b en ambas rectas. Relaciona los valores de A, B y C con los de m
yb
V) Observa en los incisos II, III y IV, la posición de las rectas y explica la
relación entre la posición de las rectas y los valores de m y b. Explica esa relación
en términos de A, B y C
VI) Analiza si la relación entre los valores de A, B y C ocurre para cualquier par
de rectas que sean paralelas, que coincidan o se corten en un punto, o por el
contrario estos son casos aislados. Argumenta tus ideas en cada caso. Debate
con tus compañeros de equipo.
“Hojas de trabajo”
- 56 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
II.-Determina por simple inspección observando los valores de A, B y C si los
pares de expresiones algebraicas siguientes, representan geométricamente dos
rectas que se cortan, que coinciden o que son paralelas. Argumenta en cada caso
tu respuesta. Grafícalas y comprueba lo que señalaste por simple inspección.
1.
3x – y = 7; 2x + 3y = 12
2.
2x – 3y = 7 ; -2x + 4y = -8
3.
3x – y = 2 ; x – 3y = - 10
4.
3x + 2y = 4 ; 6x + 4y = 21
5.
3x + 2y = 4 ; 6x + 4y = 8
6.
2x + y = 3 ; 5x + 2y = 5
III.-A partir de la siguiente gráfica contesta las preguntas.
“Hojas de trabajo”
- 57 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
I.
¿Crees que l1 y l4 tienen el mismo valor de m? Argumenta tu respuesta
II.
¿Consideras que l1 y l4 se cortan en un punto? Argumenta tu repuesta.
III.
Observa las rectas que se cortan en un punto. Señala los pares de
rectas. En cada caso determina el signo y valor de m y el valor de b.
IV.
Expresa las condiciones que se cumplen para esos pares de rectas en
términos de A, B y C
EVALUACIÓN
1. Explica el significado geométrico de los coeficientes de las ecuaciones de las
rectas escritas en forma general y en función de su pendiente y su intercepto
con el eje y.
“Hojas de trabajo”
- 58 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2. Escribe en términos de A, B y C las condiciones que tienen que cumplirse para
que dos rectas:

Se corten.

Sean paralelas.

Coincidan.
3. Escribe en términos de m y b las condiciones que tienen que cumplirse para
que dos rectas:

Se corten.

Sean paralelas.

Coincidan.
4.
Interpreta el problema enunciado en la motivación geométricamente,
algebraicamente y da la respuesta en términos de juegos que se necesitan ganar
y empatar para pasar a finales.
“Hojas de trabajo”
- 59 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad II.
Hoja de Trabajo No. 3
Tema:
Sistemas
de Sub -tema:
Ecuaciones Lineales con dos Solución
de
sistemas.
variables
Método de sustitución
Material: pluma, regla, papel
cuadriculado y el programa Fecha: _____________
wxMaxima.
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica de sistemas de ecuaciones lineales, mediante el uso de lenguaje
verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado
contextual, algebraico y geométrico de conjunto solución de sistemas de
ecuaciones lineales con dos variables.

Representa los coeficientes de las ecuaciones lineales y las operaciones
algebraicas que se deben realizar con ellos mediante el uso de Excel
para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y
geométrico de hallar el conjunto solución de sistemas de ecuaciones
lineales de dos variables, por el método de sustitución.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de conjunto
solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables, mediante
lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita
hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Divide el grupo de clases en tres partes y trabaja las hojas 3, 4 y 5 con
diferentes estudiantes en la misma actividad lectiva.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
e. Discute con los otros equipos las analogías y diferencias de los tres métodos.
“Hojas de trabajo”
- 60 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
Un concierto de rock vendió 5300 boletos. Los boletos se podían comprar por
adelantado a $35.00 o en la entrada a $60.00. Si el evento reunió un total de
$248,000 ¿cuántos boletos por adelantado se vendieron?
DIAGNÓSTICO
I.- Se denomina conjunto solución de dos rectas al conjunto de puntos que
satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones. Señala MEDIANTE LENGUAJE
VERBAL el conjunto solución de:

Dos rectas que se corten en un punto

Dos rectas que son paralelas

Dos rectas que coinciden
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
II.- A partir de los resultados obtenidos en la hoja anterior señala los sistemas de
ecuaciones que tienen solución única, los que tienen infinitas soluciones y los que
no tienen solución, explica tus conclusiones.
1) 2x + 4y = 12; 3x + y = 6
2) 3x + y = 6; 6x + 2y = 12,
3) 6x + 2y = 12; 6x + 2y = 21
4) x + y = 8; 2x + 7y = 36
5) x + y = 36; 67x +100y = 2940
“Hojas de trabajo”
- 61 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
6) Expresa en forma verbal una estrategia para hallar cada conjunto solución,
destacando en forma geométrica y algebraica las coordenadas de los puntos.
Discute con tus compañeros de equipo tu estrategia. Lleguen a un consenso con
todos los alumnos del aula y con el profesor de un procedimiento válido para hallar
el conjunto solución.
II- 1) ¿La pareja de números (-3/2, 3), es solución del sistema simultáneo?
2x + 3y = 6
6x +7y = 12
_______ Explica tu conclusión
2) a.- ¿Cómo podrías determinar algebraicamente el punto de intersección de
ambas rectas, a partir de sus ecuaciones?
b.-¿Crees que el punto de intersección tiene los mismos valores de
mismos valores de “y”? _____________ Explica tu respuesta.
“x” y los
c.- Expresa el significado numérico de que “x” de L1 y “x” de L2 sean iguales.
“Hojas de trabajo”
- 62 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
d.- Expresa el significado numérico de que “y” de L1 y “y” de L2 sean iguales.
e.-Si los valores de las coordenadas del punto de intersección son los mismos,
¿Cómo expresas estos valores de “x” y de “y”, a partir de las ecuaciones de las
dos rectas dadas en 1)?
f.- Escribe en las columnas A, B, C los valores de los coeficientes de x, de y, el
término independiente de las ecuaciones originales. En las columnas D, E, F
expresa los cambios efectuados en el inciso (e) a los valores de A, B y C.
A
B
C
D
E
F
g.- Observa en las expresiones obtenidas en el inciso e) los cambios (respecto a
las ecuaciones originales dados en el inciso 1) efectuados en los términos
independientes y en los coeficientes de “x” y de “y” , expresa con palabras los
cambios de D respecto de A, de E respecto de B, de F respecto de C.
h.-A partir de la respuesta del inciso g) señala si al modificar las expresiones
algebraicas trabajas con los valores de las variables o de los coeficientes de las
variables.
“Hojas de trabajo”
- 63 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
i.-Sin efectuar las operaciones, solamente indicando las operaciones continúa
trabajando hasta obtener las expresiones que dan el valor de “x” y de “y”
j.- Escribe el procedimiento efectuado para hallar los valores de “x” y de “y”
III.-Haciendo uso de los resultados obtenidos en las preguntas anteriores de II.
1) A partir de los sistemas de ecuaciones dadas en I, explica por qué existe
solución única del sistema, en términos de A1, B1 , C1 y A2 , B2 , C2
A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2
“Hojas de trabajo”
- 64 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2) Explica las condiciones de A1, B1, C1 y A2 , B2 , C2 del sistema para obtener
infinitas soluciones.
A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2
3) Señala cómo deben ser los valores de A1, B1, C1 y A2 , B2 , C2 del sistema para
que el sistema no tenga solución.
A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2
4) Expresa una estrategia algebraica válida para hallar la solución del sistema
simultáneo.
EN ACCIÓN
A) Haciendo uso de las estrategias planteada por ti halla la solución de los
sistemas dados en II.
“Hojas de trabajo”
- 65 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
B) Plantea estas estrategias para cualquier par de ecuaciones de la forma:
A1x+ B1 y = C1
A2 x+ B2 y = C2
C) Observa las operaciones realizadas con A1, B1, C1, A2, B2, C2. Explica
paso a paso las operaciones efectuadas, interpretando además su
significado geométrico.
IV.- Resuelve analíticamente las siguientes gráficas
1)
“Hojas de trabajo”
- 66 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2)
EVALUACIÓN
V.- Utiliza el método de eliminación para resolver el siguiente sistema de
ecuaciones
2x + 5y = 10
x – 3y = 7
VI.- Utiliza el método de sustitución para resolver el sistema dado por: el doble de
un número más el triple de otro es cinco y la diferencia de ambos resultó 10.
“Hojas de trabajo”
- 67 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Explica el significado algebraico y geométrico del sistema simultáneo de
ecuaciones.
Explica el significado algebraico y geométrico del conjunto solución del sistema
simultáneo de ecuaciones.
Escribe paso a paso el procedimiento algebraico de sustitución, utilizado para
hallar la solución del sistema simultáneo de ecuaciones.
“Hojas de trabajo”
- 68 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad II.
Hoja de Trabajo No. 4
Tema:
Sistemas
de Sub -tema:
Ecuaciones Lineales con dos Solución
de
sistemas.
variables
Método de determinantes
Material: pluma, regla, papel
cuadriculado y el programa Fecha: _____________
wxMaxima.
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica de sistemas de ecuaciones lineales, mediante el uso de lenguaje
verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado
contextual, algebraico y geométrico de conjunto solución de sistemas de
ecuaciones lineales con dos variables.

Representa los coeficientes de las ecuaciones lineales y las operaciones
algebraicas que se deben realizar con ellos mediante el uso de Excel
para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y
geométrico de hallar el conjunto solución de sistemas de ecuaciones
lineales de dos variables, por el método de determinantes.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de conjunto
solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables, mediante
lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita
hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Divide el grupo de clases en tres partes y trabaja las hojas 3, 4 y 5 con
diferentes estudiantes en la misma actividad lectiva.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
e. Discute con los otros equipos las analogías y diferencias de los tres métodos.
“Hojas de trabajo”
- 69 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
Se tienen tres aleaciones de cobre, zinc y níquel, con los porcentajes de estos tres
elementos del volumen de aleación siguientes: La primera aleación tiene 70% de
cobre, 20% de zinc y 10% de níquel. La segunda tiene porcentajes de 40, 30 y 30.
La tercera aleación tiene 25 % de cobre y 75 % de níquel. ¿Qué cantidad de cada
una de las aleaciones debe mezclarse para obtener 50 kilogramos de una aleación
con 30 % de cobre, 20 % de zinc y 50% de níquel
DIAGNÓSTICO
I.- Se denomina conjunto solución de dos rectas al conjunto de puntos que
satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones. Señala MEDIANTE LENGUAJE
VERBAL el conjunto solución de:

Dos rectas que se corten en un punto

Dos rectas que son paralelas

Dos rectas que coinciden
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
II.- A partir de los resultados obtenidos en la hoja anterior señala los sistemas de
ecuaciones que tienen solución única, los que tienen infinitas soluciones y los que
no tienen solución, explica tus conclusiones.
1) 2x + 4y = 12; 3x + y = 6
2) 3x + y = 6; 6x + 2y = 12,
3) 6x + 2y = 12; 6x + 2y = 21
“Hojas de trabajo”
- 70 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
4) x + y = 8; 2x + 7y = 36
5) x + y = 36; 67x +100y = 2940
6) Expresa en forma verbal una estrategia para hallar cada conjunto solución,
destacando en forma geométrica y algebraica las coordenadas de los puntos.
Discute con tus compañeros de equipo tu estrategia. Lleguen a un consenso con
todos los alumnos del aula y con el profesor de un procedimiento válido para hallar
el conjunto solución.
II- 1) ¿La pareja de números (-3/2, 3), es solución del sistema simultáneo?
2x + 3y = 6
6x +7y = 12
_______ Explica tu conclusión
2) a.- ¿Cómo podrías determinar algebraicamente el punto de intersección de
ambas rectas, a partir de sus ecuaciones?
b.-¿Crees que el punto de intersección tiene los mismos valores de
mismos valores de “y”? _____________ Explica tu respuesta.
“Hojas de trabajo”
“x” y los
- 71 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
c.- Expresa el significado numérico de que “x” de L1 y “x” de L2 sean iguales.
d.- Expresa el significado numérico de que “y” de L1 y “y” de L2 sean iguales.
e.-Si los valores de las coordenadas del punto de intersección son los mismos,
¿Cómo expresas estos valores de “x” y de “y”, a partir de las ecuaciones de las
dos rectas dadas en 1)?
f.- Escribe en las columnas A, B, C los valores de los coeficientes de x, de y, el
término independiente de las ecuaciones originales. En las columnas D, E, F
expresa los cambios efectuados en el inciso (e) a los valores de A, B y C.
A
B
C
D
E
F
g.- Observa en las expresiones obtenidas en el inciso e) los cambios (respecto a
las ecuaciones originales dados en el inciso 1) efectuados en los términos
independientes y en los coeficientes de “x” y de “y” , expresa con palabras los
cambios de D respecto de A, de E respecto de B, de F respecto de C.
“Hojas de trabajo”
- 72 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
h.-A partir de la respuesta del inciso g) señala si al modificar las expresiones
algebraicas trabajas con los valores de las variables o de los coeficientes de las
variables.
i.-Sin efectuar las operaciones, solamente indicando las operaciones continúa
trabajando hasta obtener las expresiones que dan el valor de “x” y de “y”
j.- Escribe en las columnas A, B, C de la tabla, los valores de los coeficientes de x,
de y, el término independiente de la ecuación original. En las columnas D, E, F
expresa los cambios efectuados a los valores de A, B y C, obtenidos en el inciso
(i).
A
B
C
D
E
F
k.- Escribe los coeficientes de las dos ecuaciones en la misma posición que se
encuentran en el sistema, omitiendo las variables.
“Hojas de trabajo”
- 73 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
l.-Observa en la tabla del inciso (j) las operaciones realizadas con esos números y
exprésalo algebraicamente, a fin de obtener los valores de “x” y de “y”
m.- Escribe el procedimiento efectuado para hallar los valores de “x” y de “y”
III.-Haciendo uso de los resultados obtenidos en las preguntas anteriores de II.
1) A partir de los sistemas de ecuaciones dadas en I, explica por qué existe
solución única del sistema, en términos de A1, B1 , C1 y A2 , B2 , C2
“Hojas de trabajo”
- 74 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2
2) Explica las condiciones de A1, B1, C1 y A2 , B2 , C2 del sistema para obtener
infinitas soluciones.
A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2
3) Señala cómo deben ser los valores de A1, B1, C1 y A2 , B2 , C2 del sistema para
que el sistema no tenga solución.
A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2
4) Expresa una estrategia algebraica válida para hallar la solución del sistema
simultáneo.
5) Escribe el procedimiento efectuado para hallar los valores de “x” y de “y”
“Hojas de trabajo”
- 75 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
D) Haciendo uso de las estrategias planteada por ti halla la solución de los
sistemas dados en I.
“Hojas de trabajo”
- 76 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
E) Plantea estas estrategias para cualquier par de ecuaciones de la forma:
A1x+ B1 y = C1
A2 x+ B2 y = C2
F) Observa las operaciones realizadas con A1, B1, C1, A2, B2, C2. Explica
paso a paso las operaciones efectuadas, interpretando además su
significado geométrico.
IV.- Resuelve analíticamente las siguientes gráficas
1)
“Hojas de trabajo”
- 77 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2)
EVALUACIÓN
IV.- Utiliza el método de determinantes para resolver el siguiente sistema de
ecuaciones
2x + 5y = 10
x – 3y = 7
V.- Utiliza el método de determinantes para resolver el sistema dado por: el doble
de un número más el triple de otro es cinco y la diferencia de ambos resultó 10.
“Hojas de trabajo”
- 78 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
“Hojas de trabajo”
- 79 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad II.
Hoja de Trabajo No. 5
Tema:
Sistemas
de
Ecuaciones Lineales con
dos variables
Material: pluma, regla, papel
cuadriculado y el programa
wxMaxima.
Sub -tema:
Solución
de
sistemas.
Método de suma y resta
Fecha: _____________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y
la gráfica de sistemas de ecuaciones lineales, mediante el uso de
lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del
significado contextual, algebraico y geométrico de conjunto solución de
sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.

Representa los coeficientes de las ecuaciones lineales y las operaciones
algebraicas que se deben realizar con ellos mediante el uso de wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico,
contextual y geométrico de hallar el conjunto solución de sistemas de
ecuaciones lineales de dos variables.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de
conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables,
mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento
que permita hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Divide el grupo de clases en tres partes y trabaja las hojas 3, 4 y 5 con
diferentes estudiantes en la misma actividad lectiva.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
e. Discute con los otros equipos las analogías y diferencias de los tres métodos.
“Hojas de trabajo”
- 80 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
Una agencia de venta de paquetes turísticos vendió 15300 paquetes para asistir a
los Juegos Olímpicos. Los paquetes turísticos se podían comprar al contado a
$13,500 o a pagar en seis meses a $16,000. Si se obtiene por la venta de los dos
tipos de paquetes un total de $244,050,000 ¿cuántos paquetes turísticos se
vendieron al contado?
DIAGNÓSTICO
I.- Se denomina conjunto solución de dos rectas al conjunto de puntos que
satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones. Señala MEDIANTE LENGUAJE
VERBAL el conjunto solución de:

Dos rectas que se corten en un punto

Dos rectas que son paralelas

Dos rectas que coinciden
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
II.- A partir de los resultados obtenidos en la hoja anterior señala los sistemas de
ecuaciones que tienen solución única, los que tienen infinitas soluciones y los que
no tienen solución, explica tus conclusiones.
1) 2x + 4y = 12; 3x + y = 6
2) 3x + y = 6; 6x + 2y = 12,
“Hojas de trabajo”
- 81 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
3) 6x + 2y = 12; 6x + 2y = 21
4) x + y = 8; 2x + 7y = 36
5) x + y = 36; 67x +100y = 2940
6) Expresa en forma verbal una estrategia para hallar cada conjunto solución,
destacando en forma geométrica y algebraica las coordenadas de los puntos.
Discute con tus compañeros de equipo tu estrategia. Lleguen a un consenso con
todos los alumnos del aula y con el profesor de un procedimiento válido para hallar
el conjunto solución.
II- 1) ¿La pareja de números (-3/2, 3), es solución del sistema simultáneo?
2x + 3y = 6
6x +7y = 12
_______ Explica tu conclusión
2) a.- ¿Cómo podrías determinar algebraicamente el punto de intersección de
ambas rectas, a partir de sus ecuaciones?
b.-¿Crees que el punto de intersección tiene los mismos valores de
mismos valores de” y”? _____________ Explica tu respuesta.
“Hojas de trabajo”
“x” y los
- 82 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
c.- Expresa el significado numérico de que “x” de L1 y “x” de L2 sean iguales.
d.- Expresa el significado numérico de que “y” de L1 y “y” de L2 sean iguales.
e.-Si los valores de las coordenadas del punto de intersección son los mismos,
¿Cómo expresas estos valores de “x” y de “y”, a partir de las ecuaciones de las
dos rectas dadas en 1)?
f.- Escribe en las columnas A, B, C los valores de los coeficientes de x, de y, el
término independiente de las ecuaciones originales. En las columnas D, E, F
expresa los cambios efectuados en el inciso (e) a los valores de A, B y C.
A
B
C
D
E
F
g.- Observa en las expresiones obtenidas en el inciso e) los cambios (respecto a
las ecuaciones originales dados en el inciso 1) efectuados en los términos
independientes y en los coeficientes de “x” y de “y” , expresa con palabras los
cambios de D respecto de A, de E respecto de B, de F respecto de C.
“Hojas de trabajo”
- 83 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
h.-A partir de la respuesta del inciso g) señala si al modificar las expresiones
algebraicas trabajas con los valores de las variables o de los coeficientes de las
variables.
3) ¿Cómo se obtiene la ecuación -67x - 67y = -2412 a partir de x + y = 36?
4) ¿Esta nueva expresión algebraica corresponde a la misma recta?
_____________ ¿Por qué?
5) El sistema simultáneo -67x – 67y = -2412
67x +100y = 2940
¿Tiene el mismo conjunto solución que el sistema
x + y = 36
67x +100y = 2940
____________
Justifica tu respuesta
6) Cómo puedes hacer para encontrar una ecuación que tenga el mismo conjunto
solución que la recta 2x + 3y = 6 y el mismo coeficiente de la “x” que la recta
6x + 7y = 12
7) Cómo puedes hacer para encontrar una ecuación que tenga el mismo conjunto
solución que la recta
2x + 3y = 6 y el mismo coeficiente de la “y” que la recta
6x + 7y = 12
“Hojas de trabajo”
- 84 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
8) Efectúa la suma de las ecuaciones del sistema II.5) y representa gráficamente
mediante WX-Maxima las ecuaciones de las rectas y el resultado de realizar esa
operación de suma.
Argumenta el trabajo realizado algebraicamente y
geométricamente.
9) Escribe un procedimiento para obtener el valor de “y”, y el valor de “x” del
conjunto solución, a partir de expresiones algebraicas diferentes que representan
las mismas rectas
“Hojas de trabajo”
- 85 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
III.-Haciendo uso de los resultados obtenidos en las preguntas anteriores de II.
1) A partir de los sistemas de ecuaciones dadas en I, explica por qué existe
solución única del sistema, en términos de A1, B1 , C1 y A2 , B2 , C2
A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2
2) Explica las condiciones de A1, B1, C1 y A2 , B2 , C2 del sistema para obtener
infinitas soluciones.
A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2
3) Señala cómo deben ser los valores de A1, B1, C1 y A2 , B2 , C2 del sistema para
que el sistema no tenga solución.
A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2
4) Expresa una estrategia algebraica válida para hallar la solución del sistema
simultáneo.
“Hojas de trabajo”
- 86 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
G) Haciendo uso de las estrategias planteada por ti halla la solución de los
sistemas dados en I.
H) Plantea estas estrategias para cualquier par de ecuaciones de la forma:
A1x+ B1 y = C1
A2 x+ B2 y = C2
“Hojas de trabajo”
- 87 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
I) Observa las operaciones realizadas con A1, B1, C1, A2, B2, C2. Explica
paso a paso las operaciones efectuadas, interpretando además su
significado geométrico.
IV.- Resuelve analíticamente las siguientes gráficas
1)
2)
“Hojas de trabajo”
- 88 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
IV.- Utiliza el método de eliminación para resolver el siguiente sistema de
ecuaciones
2x + 5y = 10
x – 3y = 7
V.- Utiliza el método de determinantes para resolver el sistema dado por: el doble
de un número más el triple de otro es cinco y la diferencia de ambos resultó 10.
Explica el significado algebraico y geométrico del sistema simultáneo de
ecuaciones.
Explica el significado algebraico y geométrico del conjunto solución del sistema
simultáneo de ecuaciones.
“Hojas de trabajo”
- 89 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Escribe paso a paso el procedimiento algebraico de eliminación, utilizado para
hallar la solución del sistema simultáneo de ecuaciones.
Escribe paso a paso el procedimiento algebraico de determinantes utilizado para
hallar la solución del sistema simultáneo de ecuaciones.
“Hojas de trabajo”
- 90 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Tema:
Sistemas
de Sub -tema:
Ecuaciones Lineales con Solución de sistemas
dos variables
Material: pluma, regla,
Hoja de Trabajo No.
Fecha: _____________
6
Unidad II.
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica de sistemas de ecuaciones lineales, mediante el uso de lenguaje
verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado
contextual, algebraico y geométrico de conjunto solución de sistemas de
ecuaciones lineales con dos variables.

Construye, interpreta y resuelve modelos matemáticos determinísticos
mediante
la
aplicación
de
procedimientos
algebraicos
para
la
comprensión, análisis y solución de situaciones reales, hipotéticas y
formales.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de conjunto
solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables, mediante
lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita
hallar un modelo con variantes de los problemas planteados.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 91 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
I.- Martha trabaja en la tienda de telefonía celular llamada HOLA. La compañía
ofrece dos tipos de teléfonos: el teléfono tipo A cuesta $350 y el tipo B cuesta
$520. Martha reportó $151,160 por la venta de 360 teléfonos celulares. Carlos, el
jefe de Martha, preguntó: ¿Cuántos teléfonos se vendieron de cada tipo? Martha
no registró las ventas de cada tipo de teléfono. Para recuperar la información que
el jefe solicita, Martha hizo algunas cuentas que se presentan en la siguiente tabla:
Número de
Teléfonos del tipo
A
200
250
260
300
Número de
teléfonos del tipo B
Total de la Venta
160
110
100
60
70,000 + 83,200
87,500 + 57,200
91,000 + 52,000
105,000 + 31,200
Martha está haciendo mucho esfuerzo por encontrar los datos. Sin embargo, no lo
ha logrado. Ella está en riesgo de perder su empleo.
DIAGNÓSTICO
¿Qué estrategia utilizarías tú para encontrar la respuesta que requiere el jefe de
Martha?
“Hojas de trabajo”
- 92 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
¿Cuántos teléfonos se vendieron de cada tipo?
Espacio para hacer los cálculos y describir el método de solución
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
I.-Usa los datos y las condiciones del problema planteado en la sección de
motivación, para completar la siguiente tabla. Utiliza una estrategia que te permita
encontrar una solución al problema planteado.
Número de Teléfonos del tipo
A
Número de teléfonos del tipo
B
Total de la Venta
II. Utiliza letras para simbolizar el hecho que existen dos tipos de celulares, de tal
manera que en total Martha vendió 360 celulares.
III. Utiliza las mismas letras del punto anterior, simboliza el hecho que Martha
reportó $151,150 por la venta de los celulares:
“Hojas de trabajo”
- 93 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
IV.
A) Realiza una representación gráfica del problema que estás resolviendo
en esta sección. En el eje horizontal se representan el número de teléfonos
del tipo A y en el eje vertical el número de teléfonos del tipo B.
B) Representa gráficamente las expresiones algebraicas dadas en II y III
“Hojas de trabajo”
- 94 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
C) ¿Es posible que “x” y “y” tomen valores negativos, fraccionarios o
irracionales? _______ Justifica tu respuesta
EN ACCIÓN
I-Un inversionista coloca parte de su dinero al 5% y resto al 10% de interés
simple, percibiendo anualmente $2500 de intereses.
1.- ¿Cuál es el dinero que se debe invertir al 5% y al 10% para que generan estos
intereses? ________________
2.- ¿Existe sólo esas cantidades de dinero, que puedan producir esos
intereses?________ Entonces, cita al menos dos maneras de inversión.
3.- Escribe una ecuación que represente al problema.
4.- Si el inversionista hizo un desembolso de $30,000, ¿cuánto tendrá que invertir
para que le genere los $2,500?_________________________ ¿Por qué?
“Hojas de trabajo”
- 95 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
5.-Escribe el modelo matemático que exprese las condiciones descritas
anteriormente.
6.- Construye la representación gráfica del modelo.
7.- Encuentra la solución algebraica del sistema y responde el planteamiento
hecho al inicio.
8.- Si la inversión al 5% es de $40000 ¿Cuánto dinero se generan por concepto
de intereses?____________________ ¿Por qué?
9.- Si hacen inversiones de $20,000 y $10,000 al 5% y 10% respectivamente, el
inversionista obtendrá los mismos intereses al año________ ¿Por qué?
“Hojas de trabajo”
- 96 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
II.- La siguiente gráfica representa el costo de alquilar de un automóvil por un día
en la Compañía A y en la B
¿Cuál compañía no cobra tarifa inicial por alquilar un automóvil?
¿Cuántos kilómetros pueden ser recorridos en un día por $50 para cada
compañía?
¿Cuántos kilómetros pueden ser recorridos para que los costos sean los mismos?
¿Cuál compañía es la más barata?
¿Cuál es la diferencia en los costos?
¿En qué caso es indiferente la compañía que contrate?
“Hojas de trabajo”
- 97 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
III.-Mezclas de soluciones
1.- ¿Cuántas onzas de una solución salina al 5% y cuántas de solución al 20% se
deben mezclar para obtener 50 onzas de solución salina al 15%?
2.- ¿Cuál es la cantidad de onzas de solución salina al 5%, que se requiere para
la preparación de la mezcla?__________________
3.- ¿Cuál será el sentido de la expresión 0.12y, si y es la cantidad de litros de una
solución alcohol agua?
4.-Se tiene 10 litros de solución de alcohol-agua al 25% ¿Cuántos litros de alcohol
se necesitan para preparar esta mezcla?
5.- ¿Sabes la cantidad de onzas de solución al 20% necesaria para lograr la
preparación de la mezcla? ______entonces;
¿Cómo lo representarías?
_______________________ ¿Por qué?
6.-¿Qué cantidad de sal hay en la solución al 5%?__________________________
7.- ¿Cuánta sal tiene la solución al 20%? _________________________________
8.-Diga la cantidad de sal en la mezcla? _________________________________
9.- ¿Cuál será la cantidad de onzas de la mezcla? _________________________
10.-Describe el significado de la ecuación x + y = 50
“Hojas de trabajo”
- 98 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
11.-Representa el modelo
¿Qué significado se obtendrá de la ecuación x +y = 50, si x = 0?
Escribe
el
modelo
matemático
arriba_________________
apropiado
para
la
gráfica
de
¿El par ordenado (20,10) satisface a la línea recta mostrada arriba? ________
¿Por qué?
¿Crees que la gráfica representa al problema de la solución salina? _________
¿Por qué?
“Hojas de trabajo”
- 99 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
IV.- Juan fue a la tienda y compró 2 paletas y un chocolate pago dulces en total
pagó 30 pesos.
1.- ¿Cuál es el precio de cada paleta y el chocolate? ______ y _______
2.- Bajo las condiciones del problema ¿Existen otras respuestas diferentes a las
que encontraste en el punto anterior, para el precio de una paleta y un chocolate?
______. En tu cuaderno explica tu respuesta
3.- En tu cuaderno construye una expresión matemática que describa esta
situación.
4.- Sí al día siguiente, Juan realizó una nueva compra: cuatro paletas y dos
chocolate y pagó $60 ¿Cuánto pago por cada artículo?
5.- Si Juan comprará k paletas y p chocolates pagará t pesos, construye un
Modelo Matemático que se ajuste a la condición dada.
6.- Construye una forma de representación gráfica para el problema dado.
7.- ¿Cuánto pagó, Juan por cada paleta y chocolate en la compra?
_________________ ¿Por qué?
“Hojas de trabajo”
- 100 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
8.- ¿Cuál es el precio de cada paleta si el chocolate cuesta $ 10?
_________________
9.-
Si
la
paleta
cuesta
$15
¿Cuántos
chocolates
obtendrás
de
la
compra?_______________ ¿Por qué?
10.- ¿Cuál es el precio de cada chocolate, si la paleta tiene un costo de 40
centavos?_______________ explica
V.- Expresa el enunciado de un problema que responda al Modelo Matemático
x + y = 8; 2x + 7y = 36. A partir de la solución hallada en la hoja # 2, responde la
pregunta del problema.
1.-a) Explica la forma en que escoges las variables de un problema.
b) Explica la forma en que identificas la relación entre las variables escogidas.
c) Explica el significado de los datos de los problemas
“Hojas de trabajo”
- 101 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2.-Explica la relación entre los enunciados de los problemas planteados en esta
hoja, la representación algebraica de esos enunciados, la representación
geométrica y la solución obtenida mediante el método de eliminación o el método
de determinantes.
3.-Inventa nuevos problemas similares a los que estamos trabajando en la
presente hoja de trabajo.
“Hojas de trabajo”
- 102 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
COMPETENCIAS PARTICULARES DE LA UNIDAD III

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para
la comprensión conceptual, la comunicación de ideas matemáticas y la
solución de problemas con el uso del álgebra.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos algebraicos para la comprensión, análisis y solución de
problemas reales, hipotéticos y formales.

Construye tablas y gráficos, mediante el uso de wx-Maxima para facilitar
la comprensión de los conceptos de hallar en casos notables, el producto
de polinomios y la factorización de polinomios desarrollando procedimientos
algebraicos.

Introduce variantes de los problemas resueltos, mediante el cambio de
hipótesis o de situaciones contextuales para llevar a nuevos problemas
con soluciones diferentes o con los mismos modelos matemáticos.

Argumenta los procedimientos de trabajo hallados por ti y el método de la
solución de los problemas, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico
y geométrico para justificar por la teoría algebraica, cada paso realizado.
“Hojas de trabajo”
- 103 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad III.
Tema: Productos Notables
Hoja de Trabajo No. 1
Sub -tema:
Binomio al Cuadrado
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________
calculadora
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y
la gráfica del producto de un binomio por si mismo, mediante el uso de
lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del
significado contextual, algebraico y geométrico de hallar el cuadrado
de un binomio.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado
algebraico, contextual y geométrico de hallar el producto de un
binomio por si mismo.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de hallar
el cuadrado de un binomio, mediante lenguaje verbal y simbólico, para
determinar un procedimiento que permita hallar la solución de
problemas con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDACTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las
relaciones halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 104 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Efectúa el producto de los siguientes binomios
(x + a)* (x + a) =
(p + 2)*(p + 2) =
(t + 3)*(t + 3) =
(6 + r)*(6 + r) =
(mp3 + 1)*(mp3 + 1) =
(2/5 + Y)*(2/5 + Y) =
MOTIVACIÓN
El profesor de Matemáticas pone un juego en un Ralley que prepara para sus
estudiantes.
Ganará el equipo que encuentre en menos tiempo
16 ositos
enterrados en un terreno cuadriculado como aparece en el gráfico. Los equipos
son de 4 estudiantes.
En las orientaciones se indica que:
i) hay 8 ositos enterrados en las posiciones de las rectas y = 6, x = 4 y que
coinciden con puntos que se encuentran a 5 unidades de (2,3), a 4 unidades de
“Hojas de trabajo”
- 105 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
(5,-7), o a tres unidades de (-4,6). Se pide dar las coordenadas de los puntos
donde se encuentran los 8 ositos.
ii) hay 8 ositos enterrados en las posiciones de las rectas y = x, y = -x y que
coinciden con puntos que se encuentran a 5 unidades de (2,3), a 4 unidades de
(5,-7), o a tres unidades de (-4,6). Se pide dar las coordenadas de los puntos
donde se encuentran los 8 ositos.
Halla los lugares donde están enterrados los 16 ositos y establece una estrategia
para ganar.
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Aplica el comando expand (o desarrollar) a las expresiones de las columnas
1 y 2 para multiplicar y completar la columna 2 de la tabla 1. Posteriormente
completa la columna tres de esta tabla.
Columna 1
Columna 2
1ª expresión
Expresión de
de entrada
salida
Columna 3
Conclusiones. Completa la
igualdad.
(x + a)2
(x + a)2 =
(y + b)2
(y + b)2 =
(p + 2)2
(p + 2)2 =
(t + 3)2
(t + 3)2
(6 + r)2
(6 + r)2 =
(9 + s)2
(9 + s)2 =
1

m   2
3

1

 m   2=
3

(2 x + 6)2
(x + y)2
(xy2 + 3x)2
(x5 + p3)2
(2x + 6)2 =
(x + y)2 =
(xy2 + 3x)2 =
(x5 + p3)2 =
Tabla No. 1
“Hojas de trabajo”
- 106 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 2
escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos
comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de
la tabla No. 1
Regularidades de las expresiones de la
Regularidades de las expresiones
columna No. 1
de la Columna No. 2
Tabla No 2
3. En el siguiente espacio redacta un procedimiento para calcular ( A + B)2
“Hojas de trabajo”
- 107 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
4. Aplica el comando expand (o desarrollar) a las expresiones de las columnas
1 y 2 para multiplicar y completar la columna 2 de la tabla 3. Posteriormente
completa la columna cuatro de esta tabla.
Columna 1
1ª expresión
Columna 2
Columna 3
Expresión de salida Conclusiones. Completa la
de entrada
igualdad.
(x - a)2
(x – a)2 =
(y - b)2
(y - b)2 =
(n - 3)2
(n - 3)2 =
1

d   2
5

1

d   2
5

(7 - r)2
(7 - r)2 =
(9 - h)2
(9 - h)2 =
(2 k - 6)2
(2k - 6)2 =
(t - w)2
(xy2 - 3x)2
(q3 - v3)2
=
(t - w)2 =
(xy2 - 3x)2 =
(q3 - v3)2 =
Tabla No. 3
5. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 4
escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos
comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes
de la tabla No. 3.
“Hojas de trabajo”
- 108 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Regularidades de las expresiones de la
Regularidades de las expresiones
columna No. 1
de la Columna No. 2
Tabla No 4
En el siguiente espacio redacta un procedimiento para calcular ( A - B)2
6. Compara los procedimientos para calcular (A + B)2 y (A – B)2 Y escribe un
único procedimiento que sirva para los dos casos.
“Hojas de trabajo”
- 109 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
7. Completa la tabla No 5, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda
columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la computadora; y después
verificar tu respuesta con la computadora.
Calcular el
Calcular el
Comparar los resultados de
producto sin
producto con
las columnas 2 y 3. Explica
ayuda de la
ayuda de la
y corrige los errores
computadora
computadora
(y+10)2
(2(x)1/2+6x)2
(ab+z)2
(3/5 + t3)2
(a5b4 + w7)2
Tabla No 5
8. Completa la tabla No 6, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda
columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la calculadora; y después
verificar tu respuesta con la calculadora.
Calcular el
Calcular el
Comparar los resultados de
producto sin
producto con
las columnas 2 y 3. Explica
ayuda de la
ayuda de la
y corrige los errores
calculadora
calculadora
(k - 3)2
(3(p)2/3 -wp)2
(ab - z)2
(mp3 – 1)2
(5xy4 – 3x3y7)2
Tabla No 6
“Hojas de trabajo”
- 110 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
Halla el cuadrado de los siguientes binomios sin efectuar el producto. Utiliza el
procedimiento que tu escribiste.
(3x2y4 + 2y)2 =
(Z3w – 7)2 =
(15a5b7 + 4/7)2 =
(2(x)1/2 - xy)2 =
“Hojas de trabajo”
- 111 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad III.
Tema: Productos Notables
Sub -tema:
Producto de binomios con término
común
Hoja de Trabajo No. Material que puedes usar:
2
Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________
calculadora
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica
y la gráfica del producto de dos binomios conjugados, mediante el
uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión
del significado contextual, algebraico y geométrico del producto de
dos binomios con término común.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado
algebraico, contextual y geométrico y hallar el producto de dos
binomios con término común.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de hallar
el producto de dos binomios con término común, mediante lenguaje
verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita
hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDACTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las
relaciones halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 112 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Efectúa la multiplicación de los siguientes binomios:
(2x + 5)(2x – y) =
(3t – 4x)(3t – 5) =
(s – 4)(s +25y) =
(xy + 3a)(xy + 2b) =
MOTIVACIÓN
En la figura siguiente se puede apreciar que el área del mayor rectángulo es igual
a la suma de las áreas de los cuatro rectángulos que contiene. Determina el área
del mayor rectángulo y de cada uno de los cuatro rectángulos que él contiene.
Comprueba que esta área es igual a la suma de las cuatro pequeñas áreas.
x
4
x
2
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1.- Aplica el comando expand a las expresiones de las columnas 1 y 2 para
completar la columna 3 de la tabla 1. Posteriormente completa la columna cuatro
de esta tabla, utilizando el método de tu preferencia.
Columna 1
1ª
expresión
Columna 2
Columna 3
2ª expresión Expresión de salida
de entrada
Columna 4
Conclusiones. Completa la
igualdad.
de entrada
(x + 2)
(x – 3)
(x + 2)(x – 3)=
(2y + 5)
(2y + 1)
(2y +5)(2y + 1)=
(x2  7)
(x2 – 3)
(x2  7) (x2 – 3) =
(a/2 1)
(a/2 + 4)
(a/2 1) (a/2 + 4) =
(5p3 + 4)
(5p3 –3)
(5p3 + 4)(5p3 - 3)=
Tabla 1
“Hojas de trabajo”
- 113 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2.
Completa la tabla 2, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda
columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la calculadora; y después
verificar tu respuesta con la calculadora.
Multiplicación
Calcular el
Calcular el
Comparar los resultados de
producto sin
producto con
las columnas 2 y 3. Explica
ayuda de la
ayuda de la
y corrige los errores
calculadora
calculadora
(y–10)(y + 2t)
(2x–6)(2x+3y)
(xy– z)(xy + z)
Tabla 2
3. Contesta las preguntas y analiza detalladamente lo que te presentamos a
continuación, en donde la P significa primer término y la S segundo término.
a) ¿Qué tienen en común los binomios (2x – 3) y (2x + 4)
b)
Analiza la multiplicación de esos dos polinomios que a continuación te
presentamos: P (primer término), S (segundo término)
P
S P
S
P P
S P
S
P
S S
(2x – 3)(2x + 4) = 2x(2x + 4) +(– 3)(2x + 4) = 2x(2x) + 4(2x) + (3)(2x) + (3)(4)
P2 + (S + S ) P
+
SS
= (2x)2 + (4 + (3))(2x) + (3)(4) = 4x2 + 2x  12
“Hojas de trabajo”
- 114 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
c) Describe con tus palabras un procedimiento, en correspondencia con tu
análisis anterior, para obtener el producto de los dos binomios del inciso b)
directamente, sin necesidad de efectuar la multiplicación paso a paso.
d) Aplica el procedimiento que describiste en el inciso c) para poner
directamente el resultado de la multiplicación de los binomios (3y – 5) y
(3y – 6)
P
S P
S = P2 + (S +
S )P
+
SS
(3y – 5)(3y – 6) =
e) Analiza esta otra variante del método anterior, en donde la P y la S tiene el
mismo significado que anteriormente y, la I y la E significan términos
interiores y exteriores, respectivamente.
P
S
P
E
I
S
(2x – 3)(2x + 4) = (2x)(2x) + (4)(2x) + (3)(2x) + (3)(4)
= 4x2 + (4 3)(2x)  12
I
E
“Hojas de trabajo”
- 115 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
f) Describe con tus palabras un procedimiento, en correspondencia con tu
análisis anterior, para obtener el producto de los dos binomios del inciso e)
directamente, sin necesidad de efectuar la multiplicación paso a paso.
Llámale a tu procedimiento PEIS.
g) Aplica el procedimiento PEIS para poner directamente el resultado de la
multiplicación de los binomios (5p  7) y (5p – 6).
P
E
I
S
(5p  7)(5p – 6) =
EN ACCIÓN
h) Escoge uno de los dos procedimientos, que te hemos mostrado, para poner el
producto de dos binomios con un término común sin realizar la multiplicación.
Explica por qué escogiste ese método.
“Hojas de trabajo”
- 116 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
4. Determina el área del rectángulo mayor de la figura 1,
x
3
x
2
Fig. 1
a) Encuentra las áreas de las figuras que lo componen y súmalas después.
b) Encuentra las longitudes de sus lados y multiplícalas.
5. Justifica por qué las expresiones halladas en los incisos a) y b) del ejercicio
anterior son iguales y establece una igualdad entre ellas.
“Hojas de trabajo”
- 117 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
6. Determina el área del rectángulo de la figura 2 formado por la unión de los
rectángulos de color rojo y color crema.
2x
3y
2x
2y
Fig. 2
a) Encuentra las áreas de los rectángulos de color rojo y de color crema y
súmalas después.
b) Encuentra las longitudes de sus lados y multiplicálas.
7. Justifica por qué las expresiones halladas en los incisos a) y b) del ejercicio
anterior son iguales y establece una igualdad entre ellas.
“Hojas de trabajo”
- 118 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
8. Con las expresiones halladas para el área del rectángulo mayor en los incisos
a) y b) de los ejercicios 4 y 6,
a) Determina la mayor cantidad posibles de expresiones equivalentes al producto
(x + 2)(x + 3).
b) Plantea otras adicionales y dibuja una figura que al encontrar su área en dos
formas diferentes se tenga la igualdad de las expresiones que tu propusiste en el
inciso a) de este ejercicio. Explica la relación entre las expresiones algebraicas y
geométricas.
9. Ernesto hace pulseras para ayudar a sus padres a pagar sus estudios. Por
cada metro del material que utiliza obtiene 20 pulseras. Para invitar a su novia a
pasear en las vacaciones quiere vender un lote de pulseras. Su amigo Juan se
comprometió a ayudarlo buscando material para 30 pulseras. Su tío José le dijo
que le compraba el material que necesitara para ese lote de pulseras, como regalo
por su dedicación y éxito en los estudios. Tiene varios compradores a mayoreo a
quienes les vende de acuerdo a la cantidad de mercancía. El precio por lote lo
tiene establecido de acuerdo a los metros utilizados para hacer las pulseras como
20x + 50. Ayuda a Ernesto a calcular el dinero que obtendrá por la venta de x
lotes de pulseras y el dinero que tendrá para las vacaciones, si su tía Lupita le dijo
que le regalaba 100 pesos. Según lo que tu necesitarías para tus vacaciones
¿cuántos metros de material le pedirías al tío José?
“Hojas de trabajo”
- 119 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
Halla el producto de los siguientes binomios
(3x + y)(3x + 5) =
(ax + 3)(ax – 4) =
(2s – t)(2s + t) =
(3(p)2/3 - 4p)(3(p)2/3 - 5p) =
(mp3 – 1) (mp3 – 7) =
(5xy4 – 3x3y7) (5xy4 + 3x) =
“Hojas de trabajo”
- 120 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad III.
Hoja de Trabajo No. 3
Tema: Productos Notables
Sub-tema:
Binomios
conjugados
Parte I
Material: Lápiz, pluma, papel
Fecha: _____________
y el programa de wxMaxima.
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica del producto de dos binomios conjugados, mediante el uso de
lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del
significado contextual, algebraico y geométrico del producto de dos
binomios conjugados.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico,
contextual y geométrico y hallar el producto de dos binomios conjugados.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de hallar el
producto de dos binomios conjugados, mediante lenguaje verbal y
simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución
de problemas con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDACTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 121 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Efectúa el producto de los siguientes binomios y exprésalos de la forma mas
simplificada posible.
(z + 3)*(z – 3) =
(2 + t)*(2 – t) =
(3x + 2)*(3x – 2) =
(yz5 + t)*(yz5 – t) =
MOTIVACIÓN
Selecciona en una hoja de papel un cuadrado de lado igual a x centímetros, suma
una franja de 3 cms de ancho y resta 3 cms de largo. Halla el área del rectángulo
resultante. Compara con tus compañeros de aula sus resultados. Describe el
trabajo realizado y tu interpretación.
“Hojas de trabajo”
- 122 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Aplica el comando expand (o desarrollar) a las expresiones de las columnas 1
y 2 para multiplicar y completar la columna 3 de la tabla 1. Posteriormente
completa la columna cuatro de esta tabla.
Columna 1
Columna 2
Columna 3
Columna 4
1ª expresión
2ª
Expresión de
Conclusiones. Completa la
de entrada
expresión
salida
igualdad.
de entrada
(x + 2)
(x – 2)
(x + 2)(x – 2)=
(y + 1)
(y –1)
(y +1)(y -1)=
(p + 4)
(p – 4)
(p + 4)(p - 4)=
1

z  
2

1

z  
2

1 
1

z   z   =
2 
2

(10 + r)
(10 – r)
(10 + r)(10 – r) =
(9 + s)
(9 - s)
(9 + s)(9 - s) =
(2x + 6)
(2x - 6)
(2x + 6)(2x - 6)=
(x + y)
(x – y)
(x + y)(x – y)=
(xy2 + 3x)
(xy2 - 3x)
(x5 + p3)
(x5 - p3)
(xy2 + 3x)(xy2 - 3x)=
(x5 + p3)(x5 - p3)=
Tabla 1
2. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 2
escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos
comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes
de la tabla 1.
“Hojas de trabajo”
- 123 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Regularidades de las expresiones de la columna
Columna 1
Columna 2
Columna 3
Tabla 2
3. Escribe en la primera columna de la tabla 3 las regularidades de las
expresiones de las columnas 1 y 2 de la tabla 2; y en la segunda columna los
rasgos que diferencian a estas expresiones.
Regularidades de las expresiones de las
Rasgos que diferencian a las
columnas 1 y 2
expresiones de las columna 1 y 2
Tabla 3
“Hojas de trabajo”
- 124 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
4. Completa la tabla 4, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda
columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la computadora; y después
verificar tu respuesta con la computadora.
Calcular el
Calcular el
Comparar los resultados de
producto sin
producto con
las columnas 2 y 3. Explica
ayuda de la
ayuda de la
y corrige los errores
computadora
computadora
(y–10)(y+10)
(2x–6)(2x+ 6)
(xy–z)(xy + z)
Tabla 4
5. Utiliza la ley conmutativa de la multiplicación para completar la tabla 5.
Entonces, por la ley conmutativa
de la multiplicación, se tiene
Si
(x + 2)(x – 2) = x2 - 4
x2 – 4 = (x - 2)(x + 2)
x
x   2 x2 

 y    y   =  y  2 
z
z 
z 

(z2 + y3) (z2 - y3) = (z4 – y6)
Tabla 5
6. Sean A y B monomios. Expresa en forma breve el procedimiento para hallar
el producto notable (A+B)*(A-B) sin necesidad de efectuar el producto.
“Hojas de trabajo”
- 125 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
7. Determina la mayor cantidad de expresiones iguales al producto
(3x – z5)(3x + z5) y forma con ellas una cadena de igualdades.
8. Sean A y B monomios. Escribe diferentes monomios para A y B
A
B
A+B
“Hojas de trabajo”
A-B
(A+B)*(A-B)
- 126 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
Hallar el producto de los siguientes binomios conjugados
(2x2 + 10) (2x2 - 10) =
(5y3 – 4) (5y3 + 4) =
(7t5 + 2s) (7t5 - 2s) =
(3xy4 – 5yz) (3xy4 + 5yz) =
(t2s4 + 9) (t2s4 - 9) =
“Hojas de trabajo”
- 127 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad III.
Hoja de Trabajo No. 4
Tema: Productos Notables
Sub-tema:
Binomios
conjugados
Parte II
Material: Lápiz, pluma, papel
Fecha: _____________
y el programa de wxMaxima.
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y
la gráfica del producto de dos binomios conjugados, mediante el uso de
lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del
significado contextual, algebraico y geométrico del producto de dos
binomios conjugados.

Utiliza
wxMaxima para facilitar la comprensión del significado
algebraico, contextual y geométrico y hallar el producto de dos binomios
conjugados.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de hallar
el producto de dos binomios conjugados, mediante lenguaje verbal y
simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la
solución de problemas con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDACTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 128 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Comprueba mediante operaciones algebraicas que
m(m – 2) + 2(m – 2) = m2 – 4
a(a + b) – b(a + b) = a2 – b2
t(t – s) + s(t – s) = t2 – s2
MOTIVACIÓN
En la figura 1a que a continuación se presenta, la longitud del lado del cuadrado
AEFH es de x unidades y la longitud del lado del cuadrado ABCD es de y
unidades.
H
G
F
x
D
C
A
B
Fig. 1a
E
y
x-y
Fig. 1b
Completa la frase siguiente:
El área de la figura sombreada es igual a_____________________________
“Hojas de trabajo”
- 129 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
1.1 Completa la tabla 1 para determinar el área de la figura sombreada de la
figura 1a.
Área
Del cuadrado AEFH
Del cuadrado ABCD
De la figura sombreada
Tabla No.1
Completa la tabla 2 para determinar el área de la figura sombreada.
Área
Del rectángulo BEFG
Del rectángulo DCGH
De la figura
sombreada
Tabla No. 2
Comprueba mediante operaciones algebraicas que:
x(x-y) + y(x-y) = x2 – y2.
CONCEPTOS Y HABILIDADES
2. En la figura 2a los lados de los cuadrados ABCD y CEFG tienen x e y unidades,
respectivamente. Observa que si se prolongan los lados AB y FE por B y E,
correspondientemente, hasta intersecarse, se forma la figura 2b.
F
G
F
G
x
D
C
A
y B
x
E
D
C
A
B
y
Fig. 2a
E
H
x
Fig. 2b
“Hojas de trabajo”
- 130 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
El área de la región sombreada de la figura 1 a, es igual al área del rectángulo
BHFG menos el área del rectángulo AHED, de la figura 2 b. Utilizando esta
información, completa la tabla 3.
Calcula
En la figura 2b, el área del
En la figura 2b, el área del
El área de la región
rectángulo AHED
rectángulo BHFG
sombreada de la
figura 1b.
Tabla No.3
2.2 Comprueba que:
x(y + x) – y(y + x) = x2 – y2.
2.3 Explica por qué cuando restas el área de AHED del área de BHFG,
obtienes el área de la figura sombreada de la figura 1.
3. La figura 3 se ha formado trasladando el rectángulo DCGH a la parte superior
del rectángulo BECG de modo que coincidan los lados GF y HD. Por tanto las
áreas de las figuras sombreadas de las figuras 1a y 3 coinciden.
G
H
G
C
F
H
D
D
C
A
B
E
Fig. 1a
A
B
E
Fig. 3
“Hojas de trabajo”
- 131 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
3.1 Completa la tabla 4.
Calcula en la figura 3
La longitud del lado BE del
La longitud del lado EC
El área del rectángulo
rectángulo BECG
del rectángulo BECG
BECG.
Tabla No.4
3.2 Teniendo en cuanta las distintas expresiones que has encontrado que
corresponden al área de la figura sombreada de la figura 1 a, determina la
mayor cantidad de expresiones iguales al producto (x – y)(x + y) y forma
con ellas una cadena de igualdades.
EN ACCIÓN
4. Determina para el área de la región sombreada:
a) una expresión algebraica,
b) la expresión algebraica en forma factorizada.
x
y
x+y
“Hojas de trabajo”
- 132 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
5. Determina para los cuatro lados de la caja (no considere ni el fondo ni la tapa):
b-a
b
a
a) una expresión algebraica,
b) la expresión en forma factorizada
5. Escribe para la región sombreada:
a) una expresión algebraica,
b) la expresión factorizada
y
x
7. Utiliza desarrollar de wxMaxima y escribe en la segunda columna, el resultado
del producto que aparece en la primera columna.
Producto
Resultado
(p + q) (p – q)
(t + 3) (t – 3)
(xy + 2) (xy – 2)
(r – 9) (r + 9)
(3x + 2) (3x – 2)
“Hojas de trabajo”
- 133 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
8. Observa todos los resultados obtenidos y expresa mediante lenguaje verbal un
procedimiento que establezca el producto de dos binomios conjugados y su
significado geométrico. Discute con tus compañeros de equipo primero y con
todos los compañeros del aula y el profesor después, hasta llegar a un consenso
sobre la interpretación geométrica y la redacción del procedimiento .
EVALUACIÓN
Expresa el resultado del producto de los productos de los binomios conjugados
siguientes, sin hacer uso de la computadora.
Producto
Resultado
(A + B) (A – B)
(t + 4) (t – 4)
(5 + xy) (5 – xy)
(M2n + 1) (M2n – 1)
(3 – x3) (3 + x3)
(2x – y) (2x + y)
“Hojas de trabajo”
- 134 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Sub-tema:
Unidad III.
Tema: Productos Notables
Material:
Hoja de Trabajo No. 5
Lápiz,
Binomio al Cubo
pluma,
papel y el programa de Fecha: _____________
wxMaxima
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información contextual y la representación algebraica
de un binomio al cubo, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico
para la comprensión del significado contextual y algebraico de elevar un
binomio al cubo.

Utiliza
wxMaxima para facilitar la comprensión del significado
algebraico, de hallar un binomio al cubo.

Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de hallar
un binomio al cubo, mediante lenguaje verbal y simbólico, para
DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar directamente
sin necesidad de multiplicar, el valor de un binomio al cubo
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico las relaciones halladas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 135 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Obtenga los productos de polinomios siguientes
(x + 1) (x + 1) =
(X2 + 2x + 1) (x + 1) =
(m2 + n) (m2 + n) =
(m4 + 2m2 n + n2) (m2 + n) =
(xy + 3)2 =
(x2y2 - 6xy + 9) (xy – 3) =
MOTIVACIÓN
Halla el volumen de un cubo que pueda contener en su interior sin que sobre
espacio, dos cubos, uno de lado “x” y otro de lado “3”. Dibuja los dos cubos
“Hojas de trabajo”
- 136 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Aplica el comando expandir de wxMaxima, a las expresiones de la columna 1
y completa la columna 2 de la tabla 1. Posteriormente completa la columna tres de
ésta tabla.
Columna 1
1ª expresión
de entrada
Columna 2
Columna 3
Conclusiones.
Completa la Igualdad
Expresión de salida
b)3
(a + b)3 =
(x + y)3
(x + y)3 =
(m + k)3
(m + k)3 =
(y + 2)3
(y + 2)3 =
(r + 4)3
(r + 4)3 =
1

z   3
5

1

z   3
5

(a +
=
(3 + w)3
(3 + w)3 =
(5 + q)3
(5 + q)3 =
(2 x + 5)3
(2 x + 6)3 =
(xy2 + 2e)3
(xy2 + 2e)3 =
(x2 + y3)3
(x2 + y3)3 =
(xs2 + yt3)3
(xs2 + yt3)3 =
(x2y + y3)3
(x2y + y3)3 =
(x4 + y3)3
(x4 + y3)3 =
Tabla No. 1
2. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 2
escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos
comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de
la tabla No. 1.
“Hojas de trabajo”
- 137 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Regularidades de las expresiones de la
columna No. 1
Regularidades de las expresiones de la
Columna No. 2
Tabla No 2
3. Completa la tabla No 3, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda
columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la computadora; y después
verificar tu respuesta con la computadora.
Calcular el producto
sin ayuda de la
computadora
Calcular el
producto con
ayuda de la
computadora
Comparar los resultados de
las columnas 2 y 3. Explica y
corrige los errores
(y + 3)3
(2x + 1)3
(ab + z)3
Tabla No 3
4. En el siguiente espacio redacta un procedimiento para calcular (A + B)3
“Hojas de trabajo”
- 138 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
5. Aplica el comando expandir de wx-Maxima, a las expresiones de las columnas
1 y 2, para multiplicar y completar la columna 2 de la tabla 4. Posteriormente
completa la columna cuatro de esta tabla.
Columna 1
Columna 2
Columna 3
1ª expresión
de entrada
Expresión de salida
Conclusiones. Completa la Igualdad
(m - 2)3
(m - 2)3 =
(n - 1)3
(n - 1)3 =
(z - 3)3
(z - 3)3 =
1

d   3
5

1

d   3
5

(2 - r)3
(2 - r)3 =
(4 - h)3
(4 - h)3 =
(2 k - 5)3
(2k - 5)3 =
(t - w)3
=
(t - w)3 =
(ab - 2x)3
(ab - 2x)3 =
(q2 - v3)3
(q2 - v3)3 =
Tabla No. 4
6. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 5
escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos
comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de
la tabla No. 4.
Regularidades de las expresiones de la
Regularidades de las expresiones de la
columna No. 1
Columna No. 2
Tabla No 5
“Hojas de trabajo”
- 139 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
7. Completa la tabla No 6, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda
columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la computadora; y después
verificar tu respuesta con la computadora.
Calcular el producto sin Calcular el producto
Comparar los resultados
ayuda de la
con ayuda de la
de las columnas 2 y 3.
computadora
computadora
Explica y corrige los
errores
(b - 3)3
(2p -q)3
(t
w
-
e)3
Tabla No 6
8. En el siguiente espacio redacta un procedimiento para calcular (A - B)3
9. Compara los dos procedimientos y establece uno solo que englobe a los dos
“Hojas de trabajo”
- 140 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
Escribe Diferentes monomios para A y B. Completa la tabla siguiente
A
B
A-B
(A – B)3
A+B
(A + B)3
A+B
(A + B)3
A-B
(A – B)3
EVALUACIÓN
Completa la siguiente tabla
A
B
“Hojas de trabajo”
- 141 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad III.
Hoja de Trabajo No. 6
Tema: Factorización
Sub -tema:
Factor Común
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________
calculadora
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información verbal y la representación algebraica, de
sacar factor común, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico
para la comprensión del significado verbal y algebraico de factorizar.

Utiliza
wxMaxima para facilitar la comprensión del significado
algebraico, y verbal de simplificar mediante el uso de sacar factor
común.

Argumenta el significado contextual y algebraico de sacar un factor
común, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un
procedimiento que permita factorizar directamente.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa en una tabla cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y
expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y verbal las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 142 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Observa en cada una de las expresiones siguientes los elementos comunes en
todos los términos. Enciérralos en un círculo.
2x + 3xy – 5xz
2ax – 2abxy + 2axw
3by + (3*2)byz
MOTIVACIÓN
Federico y Ramón compiten entre sí para ver quien es más rápido haciendo
operaciones algebraicas. El profesor les puso una tabla con 7 ejercicios para
simplificar y realizar operaciones con la instrucción de multiplicar el resultado
Ri
obtenido en cada fila i por la expresión indicada en la siguiente
Ramón
2x 5 y 5  2x 3 y 7
2x3 y 5 (x 2  y 2 )
(
x

y
)
.( x  y ) =
2x 3 y 3  2x 2 y 4
2 x 2 y 3 ( x  y)
= R1
xy 2 ( x  y ) 2
R1 *
1
= R2
( x  y)
xy 2
( x  y)
1
R2*
3
= R3
xy 3
3( x  y )
y
R3*
y3
= R4
6( x  y )
R4*
2
= R5
y2
2x 6 y 5  2x 5 y 6  2x 4 y 7  2x3 y 8
2x 3 y 3  2x 2 y 4
2x 6 y 5  2x 5 y 6  2x 4 y 7  2x 3 y 8
2x 4 y 3  2x 3 y 4  2x 3 y 4  2x 2 y 5
6x 6 y 5  6x 5 y 6  6x 4 y 7  6x 3 y 8
2x 5 y 6  2x 4 y 7  2x 4 y 7  2x 3 y 8
y2
2
1
R5 * ( y  7) = R6
( y  7)
R6* ( y  7) = R7
y 2  49
R7*
Federico
4
= R8
xy
“Hojas de trabajo”
- 143 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
A los 10 minutos el director llamó al profesor para reunión urgente, le pidió los
trabajos a los estudiantes y les dijo no importa que no concluyeran, gana el que
tenga el trabajado mejor realizado y mas adelantado. Explica por qué Federico
estaba mas atrasado en las operaciones.
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Aplica el comando factorizar a las expresiones de las columnas y completa la
siguiente tabla:
Columna 1
1ª expresión
Columna 2
Columna 3
Expresión de salida Conclusiones. Completa la
de entrada
ab+2a
xy2 + 2ax + 5x
3mn + 6mnx
igualdad.
ab+2a =
xy2 + 2ax + 5x =
3mn + 6mnx =
8x2y3 + 2x2y + 16x2y
8x2y3 + 2x2y + 16x2y =
4x3y3 + 2x2y2 + 6xy2
4x3y3 + 2x2y2 + 6xy2 =
5x3y3 + 10xy + 15xy2
5x3y3 + 10xy + 15xy2 =
25xy3 + 10x7 + 5x3y2
25xy3 + 10x7 + 5x3y2 =
- s5t4 – s4t6 – s4t2
- s5t4 – s4t6 – s4t2 =
- s5t4 + s4t6 – s4t2
- s5t4 + s4t6 – s4t2 =
9ax4 – 6ax3 + 27ax
9ax4 – 6ax3 + 27ax =
9ax4 – 6ax3 - 27ax
9ax4 – 6ax3 + 27ax =
33cx5 – 121cdx3y
33cx5 – 121cdx3y =
Tabla No. 1
“Hojas de trabajo”
- 144 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 2
escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos
comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de
la tabla No. 1.
Regularidades de las expresiones de la
Regularidades de las expresiones de
columna No. 1
la Columna No. 2
Tabla No 2
3. Completa la tabla No 3, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda
columna el resultado de factorizar sin utilizar la computadora; y después verificar
tu respuesta con la computadora.
Factoriza sin
ayuda de la
computadora
Factoriza con
ayuda de la
computadora
Comparar los resultados de
las columnas 2 y 3.
Explica y corrige los errores
7x – 21x5y
4e3b2 + 12eb2 +
20e2b4
(2/3)xg3 + (4/9)xg2
2(√x)y5 – 6(√x)y4
-15abx3 – 75abcx8
Tabla No 3
“Hojas de trabajo”
- 145 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
4. En el siguiente espacio redacta un procedimiento para sacar el factor común de
una expresión algebraica
EN ACCIÓN
5. Completa la siguiente tabla SIN USAR la computadora.
2a2 – 6ab3 =
(1/5)br2 + (1/10)br2 + (3/5)b2r =
3m3b + 9mb2 + 81m2b =
65y3t – 13y2t3 – 52y5t6 =
-17x10y7 – 68x5y14 – 51x6y9 =
-15y8z14 + 90y6z5 – 105y7z10 =
11et12 + 121e2t7 – 66et4 =
18cx4y4 – 36cx2y6 + 63cx3y5 =
8(x)1/3 + 4 x2 – 64x =
98(x)2/3 + 28xy + 42xy3 =
25(x)3/2 + 35xt – 45x2t2 =
19x(y)5/3 + 11xy + 17x2y3 =
4mn2 – 3m3n4 – 6m5n2 =
174s6t5 – 36s5t6 – 30s8t7 =
√3xy3 – 9x3y2 – 3x5y6 =
“Hojas de trabajo”
- 146 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
Halla el factor común y escribe cada una de las expresiones algebraicas
siguientes en forma simplificada
46zy7 + 6z3y4 + 8z5y3 – 14z2y5 =
-72mex3 – 90ex6 – 108e3x8 =
-√5x4yz5 – 25x3y2z4 – 75x9y6z8 – 5x2y7z6 =
3s(t)2/5 - 3√3s5t10 + 5√3s2 (t)3/5 + 6s3t2 =
4xy3 + 8x4y6 – 12x3y5 – 16x5y2 =
-2z4w5 + 18z6w3 -300z5w7 -120z3w6 =
“Hojas de trabajo”
- 147 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad III.
Tema: Factorización
Hoja de Trabajo No. 8
Sub-tema:
Diferencia
de
Cuadrados
Material: Lápiz, pluma, papel,
regla, tijeras y programa de Fecha:
wxMaxima
_____________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información verbal y la representación algebraica, de la
factorización de una diferencia de cuadrados, mediante el uso de
lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal
y algebraico de la factorización de una diferencia de cuadrados.

Utiliza
wxMaxima para facilitar la comprensión del significado
algebraico, y verbal de simplificar una diferencia de cuadrados

Argumenta el significado contextual y algebraico de factorizar una
diferencia de cuadrados, mediante lenguaje verbal y simbólico, para
determinar un procedimiento que permita factorizar directamente una
diferencia de cuadrados.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa en una tabla cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y
expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y verbal las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 148 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Recordando los productos notables, halla el producto de los siguientes binomios
conjugados y utiliza la ley conmutativa de la igualdad (A = B, por tanto B = A)
Producto notable
Ley conmutativa
(A + B)(A – B) =
= (A + B)(A –B)
(X+5)(x – 5) =
= (x + 5)(x – 5)
(t2 + 3)(t2 – 3) =
= (t2 + 3)(t2 – 3)
(√t + 1)(√t – 1) =
= (√t + 1)(√t – 1)
(3xy + t)(3xy – t) =
= (3xy + t)(3xy – t)
MOTIVACIÓN
1. En una hoja de papel dibuja un cuadrado.
2. En una esquina dibuja otro cuadrado.
3. Recorta el cuadrado que dibujaste en la esquina.
4. Realiza el siguiente doblez y recorta por donde está la línea punteada.
“Hojas de trabajo”
- 149 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
5. Mueve el rectángulo que recortaste en el punto anterior y ubícalo de la
siguiente manera:
a. Si le llamas X al lado del cuadrado que usaste en la sección de motivación
¿Cómo calculas el área del cuadrado?
b. Si le llamas y al lado del cuadrado que dibujaste en la esquina del primer
cuadrado ¿Cómo calculas el área de la figura resultante en el paso tres de
la sección de motivación?
“Hojas de trabajo”
- 150 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
c. ¿Cómo calculas el área de la figura resultante en el paso cinco de la
sección de motivación?
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
1. Aplica el comando Factor a las expresiones de la columna No 1 para
completar la siguiente tabla:
Columna No 1
Expresiones de entrada
Columna No 2
Expresiones de salida
x2  4
m 2  25
y 2 1
p 2  16
z 2  64
n 2  169
100  r 2
225  k 2
S 2 – t2
x2 – s6t6
4 – m2
2 – x2y2
9x2y2 – t2
2. En el siguiente espacio en blanco escribe las cosas en común
(regularidades) que observes en las expresiones de las columnas 1 y 2 de
la tabla anterior:
“Hojas de trabajo”
- 151 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Regularidades para las expresiones la
Columna No 1
Regularidades para las expresiones
de la Columna No 2
3. Completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta que debes factorizar
PRIMERO SIN computadora y después verificar tu respuesta CON
computadora.
( y 2  100 )
Respuesta
SIN
ayuda
de
computadora.
la Respuesta CON
la ayuda
de
computadora.
la Compara las columnas 1 y 2.
la En caso que las respuestas
sean diferentes, encuentra y
explica
el
error
que
cometiste.
( 4 x 2  36 )
Respuesta
SIN
ayuda
de la computadora.
la Respuesta CON
ayuda
de
computadora.
la Compara las columnas 1 y 2.
la En caso que las respuestas
sean diferentes, encuentra y
explica
el
error
que
cometiste.
( 25  p 2 )
Respuesta
SIN
ayuda
de la computadora.
la Respuesta CON
ayuda
de
computadora.
la Compara las columnas 1 y 2.
la En caso que las respuestas
sean diferentes, encuentra y
explica
el
error
que
cometiste.
“Hojas de trabajo”
- 152 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
4. En el siguiente espacio en blanco redacta una regla para factorizar las
expresiones que estamos estudiando en la presente hoja de trabajo.
EN ACCIÓN
5. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo, completa la
siguiente tabla SIN USAR LA COMPUTADORA. En caso que encuentres
un espacio en blanco, debes proponer un ejercicio que se pueda factorizar
con las leyes que haz construido en la presente hoja de trabajo.
( x  1) ( x  1) 
h2 
1

4
x 2  49 
1
1
(p  ) (p  )
3
3
( z  3) ( z  3) 
2
2
(5n  )(5n  )
3
3
y2 7 
9 2 5
y 
4
6
9m 2  5 
5n2 – 3 =
x2  y2 
t2 – (xy)4 =
7s2 – t2 =
45x2 – 25 =
t–1=
(√x + 4)(√x – 4) =
3x2 – y2 =
144x2 – 49 =
s2t2 – 9 =
x4 – 16 =
x6 – 25 =
x8 – 64 =
100 – x10 =
5 – x4 =
79x2 – 43 =
(√5x + 3) (√5x - 3) =
“Hojas de trabajo”
- 153 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
Selecciona 5 monomios para A y 5 para B, expresa una diferencia de cuadrados y
su factorización.
1.- A =
A2 – B2 =
2.- A =
A2 – B2 =
3.-
B=
=(
=(
B=
A2 – B2 =
=(
4.-
A=
B=
A2 – B2 =
=(
5.-
B=
A2 – B2 =
)
)(
)
)(
)
)(
)
)(
)
B=
A=
A=
)(
=(
Factoriza las siguientes expresiones
1. (xy)2 – 16 =
2. m2 – 2 =
3. 7t2 – 169 =
4. 3 – y2 =
“Hojas de trabajo”
- 154 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad III.
Hoja de Trabajo No. 9
Tema Factorización
Material:
Lápiz,
papel y calculadora.
Sub-tema:
Suma y diferencia de cubos
pluma,
Fecha: _____________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la
diferencia y suma de cubos, mediante el uso de lenguaje verbal y
algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de la
diferencia y suma de cubos.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de hallar la factorización de la diferencia y suma de cubos.

Argumenta el significado algebraico de hallar la factorización de una suma
y diferencia de cubos, mediante lenguaje verbal y simbólico, para
DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la factorización
de sumas y diferencias de cubo con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 155 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
I ) ¿ (a
 b)3 es
igual a
a3  b3 ?
a. Siempre
b. Algunas veces. c. Nunca
Justificación________________________________________________________
__________________________________________________________________
II ) ¿ (a
 b)3 es
igual a
a3  b3 ?
a. Siempre
b. Algunas veces. c. Nunca
Justificación_____________________________________________________
_______________________________________________________________
Efectúa el producto de los polinomios siguientes
(a + b) (a + b) =
(a + b) (a – b) =
(a – b) (a – b) =
(a2 + 2ab + b2) (a + b) =
(a2 – 2ab + b2) (a – b) =
(a2 + ab + b2) (a – b) =
(a2 – ab + b2) (a + b) =
“Hojas de trabajo”
- 156 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
Toma dos hojas de papel con una de las hojas construye un cubo de lado x + 2.
Con la otra construye un cubo de lado x y otro de lado 2. Compara el primer cubo
con los otros dos y determina si el primero es igual a la suma de los otros dos.
Explica tus conclusiones.
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
1. Aplica el comando expandir de wxMaxima las expresiones de las
columnas 1 y completa la columna 2 de la tabla 1. Posteriormente completa
la columna tres de esta tabla.
Columna 1
1ª expresión
de entrada
Columna 2
Expresión de salida
Columna 3
Conclusiones. Completa la
Igualdad.
a3  b3
a3  b3
x3  y3
x3  y3
t 3  w3
t 3  w3
x3  2 3
x3  2 3
a3  64
a3  64
m3  13
m3  13
Tabla No. 1
“Hojas de trabajo”
- 157 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 2
escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos
comunes)
que
observes
en
las
expresiones
de
las
columnas
correspondientes de la tabla No. 1.
Regularidades de las expresiones de la
columna No. 1
Regularidades de las expresiones
de la Columna No. 2
Tabla No 2
3. Completa la tabla No 3, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda
columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la calculadora; y después
verificar tu respuesta con la calculadora.
Calcular el producto sin
ayuda de la
computadora
Calcular el
producto con
ayuda de la
computadora
Comparar los
resultados de las
columnas 2 y 3.
Explica y corrige los
errores
m3  1253
a3  b3
a3  1
Tabla No 3
“Hojas de trabajo”
- 158 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
4. En el siguiente espacio redacta un procedimiento para factorizar
a3  b3
5. Aplica el comando expandir de wxMaxima a las expresiones de las columnas 1
y 2 para multiplicar y completar la columna 2 de la tabla 4. Posteriormente
completa la columna cuatro de esta tabla.
Columna 1
Columna 2
Columna 3
1ª expresión
Expresión de salida
Conclusiones. Completa la Igualdad.
de entrada
a3  b3
a3  b3 =
x3  y3
x3  y3 =
t 3  w3
t 3  w3 =
x3  2 3
x3  2 3 =
a3  64
a3  64 =
Tabla No. 4
6. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 5
escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos
comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de
la tabla No. 4.
“Hojas de trabajo”
- 159 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Regularidades de las expresiones de la
columna No. 1
Regularidades de las expresiones de
la Columna No. 2
Tabla No 5
7. Completa la tabla No 6, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda
columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la computadora; y
después verificar tu respuesta con la computadora.
Calcular el producto sin
ayuda de la computadora
Calcular el producto
con ayuda de la
computadora
Comparar los resultados
de las columnas 2 y 3.
Explica y corrige los
errores
m3  273
a3  8
a3  1
b3 + 27
X3 + 93
TABLA 6
“Hojas de trabajo”
- 160 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
8. En el siguiente espacio redacta un procedimiento para calcular
a 3  b3 .
Compara
con el procedimiento para a3 - b3
EN ACCIÓN
Selecciona 5 monomios para A y 5 para B. Expresa con ellos A 3 – B3 y A3 + B3.
Halla la factorización de la diferencia de cubos y la de la suma de cubos
1. A =
B=
A3 – B3 =
A3 + B3. =
2. A =
B=
A3 – B3 =
A3 + B3. =
3. A =
B=
A3 – B3 =
“Hojas de trabajo”
- 161 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
A3 + B3. =
4. A =
B=
A3 – B3 =
A3 + B3. =
5. A =
B=
A3 – B3 =
A3 + B3. =
EVALUACIÓN
Expresa la descomposición de las siguientes suma y diferencia de cubos:
1.- t3 + 125 =
2.- x3 – 64 =
3.- y3 – 125 =
4.- z3 + b3 =
5.-27s3 + 64w3 =
6.-729 – 27x3 =
“Hojas de trabajo”
- 162 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad III.
Tema: Factorización
Hoja de Trabajo No. 10
Sub-tema:
Trinomio
Perfecto
Cuadrado
Material:
Lápiz,
pluma,
Fecha: _____________
papel y computadora.
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas

Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la
factorización de un trinomio cuadrado perfecto, mediante el uso de lenguaje
verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico
de la factorización de un trinomio cuadrado perfecto.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de hallar la factorización de un trinomio cuadrado perfecto.

Argumenta el significado algebraico de hallar la factorización de un
cuadrado
perfecto,
mediante
lenguaje
verbal
y
simbólico,
para
DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la factorización de
un trinomio cuadrado perfecto con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 163 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Recordando los productos notables estudiados en la hoja 1 de esta unidad, halla
el producto de los siguientes binomios, es decir el cuadrado de un binomio y utiliza
la ley conmutativa de la igualdad (A = B, por tanto B = A)
Producto notable
Ley conmutativa
(A + B)2 =
= (A + B)(A +B)
(A – B)2 =
= (A – B)(A – B)
(x + 5)2 =
= (x + 5)(x - 5)
(x – 5)2 =
= (x – 5)(x – 5)
(t2 + 3)2 =
= (t2 + 3)(t2 + 3)
(t2 - 3)2 =
= (t2 - 3)(t2 – 3)
(√t + 1)2 =
= (√t + 1)(√t + 1)
(√t – 1)2 =
= (√t - 1)(√t – 1)
(3xy + t)2 =
= (3xy + t)(3xy + t)
(3xy – t)2 =
= (3xy - t)(3xy – t)
MOTIVACIÓN
i) Calcula el área de la siguiente figura:
ii) Calcula el área de cada uno de los rectángulos incluidos en el cuadrado de lado
x+2
iii) Comprueba algebraicamente que el área del cuadrado mayor es igual a la
suma de las áreas de cada uno de los rectángulos.
“Hojas de trabajo”
- 164 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Utiliza el comando Factorizar de wx-Maxima para completar la siguiente
tabla:
Expresiones de entrada
Expresiones de salida
x2 + 6x + 9
m2 + 10m + 25
z2 + 2z + 1
k2 + 2km + m2
r2 – 16r + 64
n2 – 20n + 100
m2 - 30m + 225
“Hojas de trabajo”
- 165 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2. En el siguiente espacio en blanco escribe TODAS las cosas en común
( regularidades) que observes en las expresiones de entrada y de salida:
Regularidades para las expresiones de
Regularidades para las expresiones
entrada
de salida
3. Completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta que debes factorizar
PRIMERO SIN computadora y después verificar tu respuesta CON
COMPUTADORA.
Calcular el
Calcular el
Comparar los resultados de
producto sin
producto con
las columnas 2 y 3. Explica
ayuda de la
ayuda de la
y corrige los errores
computadora
computadora
x2 – 14x + 49
m2 -18m + 81
m2 - 8m + 16
y2 + 32y +256
t2 + 12t + 36
49t2 + 42t + 9
(xy)2 – 2xyz + z2
16s2 – 40s + 25
“Hojas de trabajo”
- 166 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
4. En el siguiente espacio en blanco redacta un procedimiento para reconocer
un trinomio cuadrado perfecto y factorizarlo.
EN ACCIÓN
5. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo, completa la
siguiente tabla SIN USAR LA COMPUTADORA. En los espacios en blanco
que aparecen, debes proponer un trinomio cuadrado perfecto no visto en
esta hoja de trabajo que se pueda factorizar con las leyes que has
construido.
( x  6) ( x  6) 
1
(h  ) 2 
4
x 2  2x  1 
1
1
(p ) (p )=
3
3
( z  3 p) ( z  3 p) 
2
2
(5n  ) (5n  ) =
3
3
y 2  10 y  25 
( y  3) 2 =
9m 2  30 m  25 
9m2 - 15m + 25/4 =
(2x  3) 2 
(4x2 + 5/2)2 =
“Hojas de trabajo”
- 167 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
Determina si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos. En caso de que lo
sea, utiliza el procedimiento que escribiste para factorizar.
1.-4t2 – 24t + 36 =
2.-256m2 + 128mb + 16b2 =
3.-2x2 – 6x + 5 =
4.-169y2 – 390y + 225 =
5.-4x4 – 6x2 + 9/4 =
6.-3s2 + 5s + 6 =
“Hojas de trabajo”
- 168 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad III.
Tema: Factorización
Hoja de Trabajo No. 11
Material:
Lápiz,
papel y calculadora.
Sub-tema:
Trinomio de la forma
x2 + bx + c
pluma,
Fecha: _____________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
 Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la
factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c, mediante el uso de
lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y
algebraico de la factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de hallar la factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c.

Argumenta el significado algebraico de hallar la factorización de un
trinomio de la forma x2 + bx + c, mediante lenguaje verbal y simbólico, para
DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la factorización
de un trinomio de la forma x2 + bx + c con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 169 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Efectúa los siguientes productos y utiliza la ley conmutativa de la igualdad.
Producto en la forma x2 + bx + c
Si A = B entonces B = A
(x + 2) (x + 3) =
(x + 3) (x + 5) =
(x – 2) (x – 7) =
(x – 4) (x + 3) =
MOTIVACIÓN
1. Calcula el área de la siguiente figura:
“Hojas de trabajo”
- 170 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
2. Utiliza el comando Factor de wx-Maxima para completar la siguiente tabla:
Expresiones de entrada
Expresiones de salida
x 2  5x  6
m 2  17 m  70
z 2  20 z  75
k 2  28 k  192
r 2  r 12
n 2  5n  84
m 2  13m  40
y 2  28 y  195
3. En el siguiente espacio en blanco escribe TODAS las cosas en común
(regularidades) que observes en las expresiones de entrada y de salida:
“Hojas de trabajo”
- 171 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Regularidades para las expresiones
Regularidades para las expresiones
de entrada
de salida
4. Completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta que debes factorizar
PRIMERO SIN EL WX-MAXIMA y después verificar tu respuesta CON
computadora.
x 2  7 x  12
Respuesta SIN la Respuesta CON la ayuda Compara las columnas 1 y 2.
ayuda
de la computadora.
de la computadora.
En caso que las respuestas
sean diferentes, encuentra y
explica el error que cometiste
“Hojas de trabajo”
- 172 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
m 2  19 m  60
Respuesta SIN la Respuesta CON la ayuda Compara las columnas 1 y 2.
ayuda
de la computadora.
de la computadora.
En caso que las respuestas
sean diferentes, encuentra y
explica el error que cometiste
5. En el siguiente espacio en blanco redacta un procedimiento para factorizar
las expresiones que estamos estudiando en la presente hoja de trabajo.
“Hojas de trabajo”
- 173 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
6. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo, completa la
siguiente tabla SIN USAR LA COMPUTADORA. En caso que encuentres
un espacio en blanco, debes proponer un ejercicio que se pueda factorizar
con las leyes que haz construido en la presente hoja de trabajo.
( x  3) ( x  7) 
(h  2)( h  3) 
p 2  19 p  90 =
1
1
(p  ) (p  ) =
2
3
( z  3) ( z  5) 
1
2
(n  ) (n  ) =
3
3
y 2  10 y  25 
y 2  ( 3  1) y  3 =
m2  m  12
y 2  11y  28
EVALUACIÓN
Efectúa la factorización de los siguientes trinomios:
1.-x2 – 17x + 30 =
2.-m2 – 5x – 150 =
3.-(y – ½)(y – 3/5) =
4.-y2 + y + ¼ =
5.-p2 + p – 72 =
6.-z2 – 17x – 60 =
7.-n2 - 24x + 80 =
“Hojas de trabajo”
- 174 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad III.
Tema: Factorización
Hoja de Trabajo No. 12
Material:
Lápiz,
papel y calculadora.
Sub-tema:
Trinomio de la forma
ax2 + bx + c
pluma,
Fecha: _____________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
 Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la
factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c, mediante el uso de
lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y
algebraico de la factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de hallar la factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c.

Argumenta el significado algebraico de hallar la factorización de un
trinomio de la forma ax2 + bx + c, mediante lenguaje verbal y simbólico,
para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la
factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 175 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Efectúa los siguientes productos y utiliza la ley conmutativa de la igualdad.
Producto en la forma x2 + bx + c
Si A = B entonces B = A
(x + 2) (2x + 3) =
(2x + 3) (x + 5) =
(x – 2) (3x – 7) =
(7x – 4) (x + 3) =
MOTIVACIÓN
La altura en pies h sobre el suelo de una pelota de futbol depende del tiempo
en segundos t que ha estado en vuelo. ¿Cuánto tiempo tarda en tocar el
suelo? si la altura de la pelota está dada por h = 80t – t2 + 20
“Hojas de trabajo”
- 176 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Utiliza el comando Factor de wx-Maxima para completar la siguiente tabla:
Expresiones de entrada
Expresiones de salida
2 x 2  11x  15
8m2  10m  3
21 z 2  62 z  45
2k 2  61k  30
10 r 2  6r  28
6n2  13n  5
12m2  19m  5
63  159 y  28 y 2
2. En el siguiente espacio en blanco escribe TODAS las cosas en común
(regularidades) que observes en las expresiones de entrada y de salida:
“Hojas de trabajo”
- 177 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Regularidades para las expresiones de Regularidades para las expresiones
entrada
(cantidad
de
sumandos, de salida (cantidad de paréntesis, los
coeficientes, exponentes, etc.)
signos,
coeficientes,
términos
independientes, etc.)
3. Usa las conclusiones a las que llegaste en el punto anterior para completar
la siguiente tabla, teniendo en cuenta que debes factorizar PRIMERO SIN
computadora y después verificar tu respuesta CON computadora.
6 x 2  11x  4
Respuesta
ayuda
SIN
de
la Respuesta CON la ayuda Compara las columnas 1 y 2. En
la de la computadora.
computadora.
caso que las respuestas sean
diferentes, encuentra y explica
el error que cometiste
“Hojas de trabajo”
- 178 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
40m2  47m  7
Respuesta
SIN
ayuda
la Respuesta CON la ayuda Compara las columnas 1 y 2. En
de la calculadora.
de la calculadora.
caso que las respuestas sean
diferentes, encuentra y explica
el error que cometiste
4. En el siguiente espacio en blanco redacta procedimiento paso a paso, para
factorizar las expresiones que estamos estudiando en la presente hoja de
trabajo.
“Hojas de trabajo”
- 179 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
5. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo, completa la
siguiente tabla SIN USAR LA COMPUTADORA. En caso que encuentres
un espacio en blanco, debes proponer un ejercicio que se pueda factorizar
con las leyes que haz construido en la presente hoja de trabajo.
(2x  1) (5x  7) 
(3h  2)(h  9) 
12 p 2  129 p  90 =
1
1
(2 p  ) ( p  ) =
2
5
( z  3) (2 z  5) 
(5n  1) (3n  7) =
2 y 2  19 y  35 
2 y 2  ( 7  2) y  7 =
6m 2  m  12 =
24 y 2  58 y  28 =
EVALUACIÓN
Efectúa la descomposición de los trinomios siguientes mediante el procedimiento
redactado por los alumnos del aula.
a.42w2- 5w – 2 =
b.8x2 + 30x + 27 =
c.3y2 + y – 24 =
d. – 15x2 – 2x + 13 =
e. – 6x2 + 5x – 1 =
f. 2y2 + y – 15 =
g. 4x2 + 8x – 21 =
“Hojas de trabajo”
- 180 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
COMPETENCIAS PARTICULARES DE LA UNIDAD IV

Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la
gráfica, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para
la comprensión conceptual, la comunicación de ideas matemáticas y la
solución de problemas con el uso del álgebra.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos algebraicos para la comprensión, análisis y solución de
problemas reales, hipotéticos y formales.

Construye tablas y gráficos, mediante el uso de Excel y/o Geogebra para
facilitar la comprensión de los conceptos de cálculo de por ciento, variación
directa, variación inversa, polígonos regulares, perímetro, área, polinomio,
desarrollar procedimientos y efectuar el cálculo algebraico.

Introduce variantes de los problemas resueltos, mediante el cambio de
hipótesis o de situaciones contextuales para llevar a nuevos problemas
con soluciones diferentes o con los mismos modelos matemáticos.

Argumenta los procedimientos de trabajo hallados por ti y el método de la
solución de los problemas, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico
y geométrico para justificar por la teoría algebraica, cada paso realizado.
“Hojas de trabajo”
- 181 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad IV.
Hoja de Trabajo No. 1
Tema: Fracciones
Sub -tema:
Adición y sustracción
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________
calculadora
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
 Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la
adición y sustracción de fracciones, mediante el uso de lenguaje verbal y
algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico
de la
adición y sustracción de fracciones.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de hallar la adición y sustracción de fracciones.

Argumenta el significado algebraico de hallar la adición y sustracción de
fracciones, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN
PROCEDIMIENTO que permita hallar la adición y sustracción de
fracciones con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 182 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Efectúa la adición y sustracción de las siguientes fracciones:
1.-
3
7 4 1
+
+ + =
5
5 5 5
3 4
2.- +
=
4 5
3.-
2 4
=
7 3
4.-
5
2 4 2
+
+ + =
6
3 7 5
5.-
8 3 4
+ + =
x x x
6.-
4
2
3
+
+
=
x
z
y
MOTIVACIÓN
De acuerdo con la teoría de la relatividad de Einstein, debemos sumar dos
velocidades V1 y V2 para obtener una velocidad V de acuerdo con la expresión
V=
V1  V2
VV
1  1 22
C
Donde C es la velocidad de la luz si V1 =
4
5
y V2 = . Calcular la velocidad V
y
y
“Hojas de trabajo”
- 183 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Sobre la adición de fracciones con denominadores iguales
a) Analiza como se ha realizado la adición de las fracciones
a
b
3


xy xy xy
a
b
3
ab3



xy xy xy
xy
b) Describe con tus palabras como se obtuvieron el numerador y el denominador
de la fracción suma
c) Analiza como se ha realizado la adición de las fracciones
4
3a
2


x2 2x x2
4
3a
2
4
a3
2




=
x2 2x x2 x2 x2 x2
=
4  a  3  2 a 1

x2
x2
d) Describe qué (y cómo) se hizo para obtener las fracciones con un mismo
denominador.
e) Explica, con tus palabras, como se obtuvo la suma de las fracciones con igual
denominador.
f) Analiza si la descripción de la suma de varias fracciones con igual denominador
que se te presenta en le recuadro, concuerda con tus descripciones anteriores.
“Hojas de trabajo”
- 184 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Adición de fracciones de igual denominador
La suma de varias fracciones de igual denominador es otra fracción cuyo
denominador es el mismo y cuyo numerador es la suma de los numeradores de
las fracciones sumandos.
g) Realiza las adiciones, primero sin WX-Maxima y después con computadora,
siguientes:
g1)
4
a
g2)
g3)
g5)
g6)
2

3
a

2
5
a2
4
a
x


ab ab ba
ab
a 2b

a  2b
a 2b
a3
3a 2  8a  3
x2
x 2  6x  9



2a  b
a 2b
2
a2  9
x3
x3
“Hojas de trabajo”
- 185 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
h)
Describe el procedimiento por ti empleado para determinar la suma de
fracciones con denominadores comunes.
2. Sobre la adición de fracciones con denominadores diferentes. Primer
procedimiento.
5
a) Analiza como se ha realizado la adición
6x
5
6x
2

a
3
=
5(8 x 3 y )  6 x 2 (a)
5
48 x y
8x y

2

40 x 3 y  6ax 2
5
48 x y
b) Analiza como se ha realizado la adición
a
8x 3 y

2x 2 (20 xy  3a)
5
48 x y

20 xy  3a
24 x 3 y
x
5x 2

x  3 x2  9
x( x 2  9)  ( x  3)(5 x 2 ) 6 x 3  15 x 2  9 x
x
5x 2




x  3 x2  9
( x  3)( x 2  9)
( x  3)( x 2  9)
3 x(2x  1)( x  3)
( x  3)( x 2  9)

3x(2x  1)
( x 2  9)
“Hojas de trabajo”
- 186 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
c) Describe, con tus palabras, el procedimiento seguido para obtener la fracción
suma correspondientes a las adiciones de los incisos a) y b).
Analiza si el procedimiento por ti propuesto en el inciso anterior conduce a la
fracción suma que se define en el recuadro siguiente
Suma correspondiente a la adición de dos fracciones
La suma correspondiente a la adición de dos fracciones a/b y c/d es la fracción
que resulta de simplificar la fracción (ad + bc)/bd; o sea ,
a c
ad  bc
  fracción
simplificada
b d
bd
“Hojas de trabajo”
- 187 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
ACLARACIONES:
1) En el procedimiento anterior para determinar la suma de dos fracciones,
primeramente se obtiene una fracción que tiene por denominador el
producto de los denominadores de las fracciones sumandos (que no
necesariamente coincide con el M.C.D. de estos denominadores) y
después, por lo general, es necesario realizar una simplificación de la
fracción así obtenida.
2) Se puede obtener la fracción suma, sin necesidad de simplificar, utilizando
como denominador el M.C.D. de las fracciones sumandos
3. Sobre la adición de fracciones con denominadores diferentes. Segundo
procedimiento.
a) Analiza el procedimiento aplicado para hallar la suma correspondiente a al
adición
5
6x
2

a
8x 3 y
.
Primer paso. Transformar las fracciones sumandos en fracciones equivalentes
con un denominador común mínimo.
5
6x
2
a

3

8x y
20 xy
3

24x y
3a
24x 3 y
Segundo paso. Aplicar el procedimiento para hallar la suma de dos fracciones
con un denominador común.
20 xy
3
24 x y

3a
3
24 x y
=
20 xy  3a
24 x 3 y
.
“Hojas de trabajo”
- 188 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
b) Aplica el procedimiento utilizado en el inciso a) para encontrar la suma de la
adición
3
2x
5


2
2
xy x y
a( x  y )
b1) Comprueba que el M.C.D. de las fracciones sumandos es a(x + y)(x – y).
b2) Transforma las fracciones sumandos en fracciones equivalentes con un
denominador común mínimo.
b3) Aplica el procedimiento para hallar la suma de dos fracciones con un
denominador común.
“Hojas de trabajo”
- 189 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
c) Aplica el procedimiento utilizado en los dos incisos anteriores a las operaciones
que a continuación se te presentan. Comprueba los resultados utilizando la
computadora.
c1)
1
2
1


2
3a  6 a  8a  12 4  a 2
c2)
2
3
 2
3  x x  4x  3
“Hojas de trabajo”
- 190 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
Efectúa las operaciones de suma y resta indicadas
1.-
x2
x 1
+ 2
=
x  10 x  16
x  9 x  14
2.-
x 1
x
 2
=
x  5x  6 x  9
2
2
3.- a 
4.-
2
4

=
a  1 3a  3
2
2x  1
3

 2x =
x  2 x  15 x  5
2
“Hojas de trabajo”
- 191 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad IV.
Tema: Fracciones
Hoja de Trabajo No. 2
Sub -tema:
Simplificación
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________
calculadora
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
 Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la
simplificación de fracciones, mediante el uso de lenguaje verbal y
algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de la
simplificación de fracciones.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de hallar la simplificación de fracciones.

Argumenta el significado algebraico de hallar la simplificación de
fracciones, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN
PROCEDIMIENTO que permita hallar la simplificación de fracciones con el
uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 192 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Simplificar
6x 6 y 5  6x 5 y 6  6x 4 y 7  6x 3 y 8
2x 5 y 6  2x 4 y 7  2x 4 y 7  2x 3 y 8
=
MOTIVACIÓN
Federico y Ramón compiten entre sí para ver quien es más hábil haciendo
operaciones algebraicas.
El profesor les puso una tabla con
ejercicios para
simplificar y realizar operaciones con la instrucción de multiplicar el resultado
Ri
obtenido en cada fila i por la expresión indicada en la siguiente. Ramón simplificó
el trabajo y Federico no simplificó las operaciones ¿puedes ayudarlos a concluir su
trabajo?
Ramón
2x 5 y 5  2x 3 y 7
2x3 y 5 (x 2  y 2 )
(
x

y
)
.( x  y ) =
2x 3 y 3  2x 2 y 4
2 x 2 y 3 ( x  y)
= R1
xy 2 ( x  y ) 2
R1 *
1
= R2
( x  y)
xy 2
( x  y)
1
R2*
3
= R3
xy 3
3( x  y )
y
R3*
y3
= R4
6( x  y )
R4*
2
= R5
y2
2x 6 y 5  2x 5 y 6  2x 4 y 7  2x3 y 8
2x 3 y 3  2x 2 y 4
2x 6 y 5  2x 5 y 6  2x 4 y 7  2x 3 y 8
2x 4 y 3  2x 3 y 4  2x 3 y 4  2x 2 y 5
6x 6 y 5  6x 5 y 6  6x 4 y 7  6x 3 y 8
2x 5 y 6  2x 4 y 7  2x 4 y 7  2x 3 y 8
y2
2
1
R5 * ( y  7) = R6
( y  7)
R6* ( y  7) = R7
y 2  49
R7*
Federico
4
= R8
xy
xy2
R8* 2
y  9 y  14
“Hojas de trabajo”
- 193 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Utiliza el comando factorizar de WX-Maxima para efectuar las siguientes
operaciones
Columna 1
Columna 2
2x4 y
xy 2
10b3 y m 2 z 3
5b3 y z 2
x n  2 ( a  b )3
x n ( a  z )3
a  2ab
2ab  4ab2
x2  5x  6
x 2  7 x  12
2. Leyes Fundamentales de las fracciones
Nos limitaremos al caso en que las expresiones algebraicas del numerador y del
denominador sean polinomios.
a) Observa y analiza los ejemplos siguientes:
a1)
3x
x2+1
a2)
۰ (x 2 + 1) = 3 x
x+ 3
x -1
۰ (x - 1)
= x + 3,
x1
Si A y B son dos expresiones algebraicas, entonces
A
B  A
B
para todos los valores de las variables y parámetros tales que B  0.
“Hojas de trabajo”
- 194 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
b) Simplificación de fracciones
b1) Observa y analiza los ejemplos siguientes:
1)
21a 3b 3 c 2
2 4 2

28 a b c
2)
3)
3a  6
2
a 4

3a
4b
3 ( a  2)
3

(a  2)(a  2) a  2
x 2  3x  10
2x 2  3 x  2

( x  2)( x  5)
x5

( x  2)( 2x  1) 2x  1
b2) Ajusta tu análisis a la regla siguiente
Si A, B, B  0, y C, C  0, son expresiones algebraicas; entonces
AC A

BC B
En otras palabras: Si dividimos el numerador y el denominador de una fracción por la
misma cantidad (distinta de cero), el resultado es otra fracción igual a la dada.
Aclaraciones. Una fracción se dice que está reducida a su más simple expresión
cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, esto es, cuando no
tienen factor común alguno. Los ejemplos anteriores son fracciones reducidas a su
más simple expresión.
Igualdad de fracciones: Dos fracciones algebraicas que contienen la
variable x son iguales sobre un dominio de la variable, si, y solo si, ellas
tienen el mismo valor numérico cuando se asigna a x cualquier número en
este dominio, para el cual las dos fracciones están definidas
“Hojas de trabajo”
- 195 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
c) No existen leyes de simplificación para la suma ni para la resta
c1) Evalúa las dos fracciones
5( x  3)
53
para a = 2 y x = 7.
y
a( x  2) a 2
y compara los resultados.
c2) Observa que la segunda fracción se obtuvo de la primera eliminado la x; y
que ambas fracciones son distintas.
Aclaración. Según la ley sobre simplificación de fracciones los factores comunes
pueden eliminarse de ambos términos de una fracción y simplificar ésta; pero
términos iguales de expresiones que sean sumas o restas no pueden en general
eliminarse sin alterar la fracción.
Es decir,
ac a
 ,
bc b
porque en este caso las c están como sumandos y suprimirlas equivale a
restarles al numerador y al denominador una misma cantidad c, que no es lo
mismo que dividirlos por una misma cantidad, que es lo que se puede hacer
sin alterar el valor de la fracción.
“Hojas de trabajo”
- 196 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
3. En la segunda columna de la tabla, reduzca a la más simple expresión las
fracciones que aparecen en la primera columna y comprueba el resultado con la
computadora.
Columna 1
Columna 2
8a 4b 3 c 2
12a 6b 3 c
100 xn yn  2 z3
150 xn yn 1z 2
x 5 ( y  z )3
x 6 ( y  z) 4
5ac  bc
25a2  b2
x 2  7x  10
x 2  11x  30
EVALUACIÓN
Simplifica las siguientes fracciones
1.-
25  x 2
=
x 2  3x  10
63x 4 y 3
2.=
42 x 3 y 7
“Hojas de trabajo”
- 197 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad IV.
Tema: Fracciones
Hoja de Trabajo No. 3
Sub -tema:
Productos
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________
calculadora
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
 Transita entre la información verbal y la representación algebraica del
producto de fracciones, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico
para la comprensión del significado verbal y algebraico del producto de
fracciones.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de hallar el producto de fracciones.

Argumenta el significado algebraico de hallar el producto de fracciones,
mediante
lenguaje
verbal
y
simbólico,
para
DETERMINAR
UN
PROCEDIMIENTO que permita hallar el producto de fracciones con el uso
del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 198 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Factoriza y simplifica primero. Efectúa después el producto de las expresiones
siguientes:
1 3
1.-⅓*⅜= . =
3 8
3 10 3 2.5
2.-(3/5)*(10/9) = .
= .
=
5 9
5 3 .3
3.-
xy
16( x  2)( x  3)
=
.
4( x  2)
5x
4.-
25byz 3ax( x  4)
=
.
9ax
5by
5.-
(5a )(5b) (4a )(3b)
.
=
12
5ab
6.-
4( x  3) 2
x 2  x  20

64( x 2  x  12) x 2  8 x  15
“Hojas de trabajo”
- 199 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
Federico y Ramón compiten entre sí para ver quien es más hábil haciendo
operaciones algebraicas.
El profesor les puso una tabla con
ejercicios para
simplificar y realizar operaciones con la instrucción de multiplicar el resultado
Ri
obtenido en cada fila i por la expresión indicada en la siguiente. Ramón simplificó
primero y después efectuó el producto y Federico multiplicó antes de simplificar
Ayúdalos a concluir su trabajo y explica cual método te gusta más
Ramón
2x 5 y 5  2x 3 y 7
2x3 y 5 (x 2  y 2 )
(
x

y
)
.( x  y ) =
2x 3 y 3  2x 2 y 4
2 x 2 y 3 ( x  y)
= R1
xy 2 ( x  y ) 2
R1 *
y
= R2
( x  y)
R2*
3
= R3
xy 3
R3*
4y3
= R4
6( x  y )
R4*
2
= R5
y2
R5 *
Federico
2x 6 y 5  2x 5 y 6  2x 4 y 7  2x3 y 8
2x 3 y 3  2x 2 y 4
y7
= R6
4
R6* ( y  7) = R7
R7*
R8*
4
= R8
xy
xy2
y 2  9 y  14
“Hojas de trabajo”
- 200 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Multiplicación de fracciones
a) Observa y analiza como se han efectuado las multiplicaciones en los ejemplos
siguientes
2xy 2 6abx 2 5az
a1) Efectuar:


3a 2 z 10yz 4by
2  6  5 a 2bx 3 y 2 z x 3
2xy 2 6abx 2 5az




3  10  4 a 2b y 2 z 2 2z
3a 2 z 10yz 4by
Observa que es más conveniente simplificar antes de efectuar las multiplicaciones
indicadas, por ejemplo
2xy 2 6abx 2 5az x x 2 1 x 3


 
 
3a 2 z 10yz 4by 1 z 2 2z
a2) Efectuar:
x 2  x  12
1 x 2

x 2  x  2 x 2  4x  3
x  4x  3  1  x 1  x  
x  x  2 x  4x  3 x  2x  1 x  3x  1
x  4x  3  1  x 1  x    x  4
=
x  21  x  x  3x  1 x  2
x 2  x  12
2

1 x 2
2

Observa que fue necesario realizar un cambio de signo para poder simplificar.
b) Efectúa las multiplicaciones indicadas
b1) Efectuar:
8a 2
4 2
 9a 2 x 3 y
3x y
b2) Efectuar:
5 y 2( x  3)

2a y( x  2)
“Hojas de trabajo”
- 201 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
c) Estudia la regla para la multiplicación de fracciones racionales que se presenta
a continuación, comprueba que es compatible con tus análisis del inciso a) y
tus acciones en el inciso b); en caso contrario rectifica tus análisis o acciones
utilizando la regla.
Regla para la multiplicación de fracciones.
El producto de dos o más fracciones algebraicas es otra fracción algebraica
cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el
producto de los denominadores de las fracciones dadas.
Regla simbólica para la multiplicación de dos fracciones.
Si A, B, C y D son expresiones algebraicas, entonces
A C AC
 
,
B D BD
para todos los valores de las variables y parámetros que en ellas intervienen,
tales que B  0 y D  0
Aclaración importante. Es conveniente antes de efectuar la multiplicación de
fracciones:
1) Factorizar los numeradores y los denominadores de las fracciones, cuando
no aparezcan factorizados.
2) Eliminar todo factor común a un numerador y a un denominador.
“Hojas de trabajo”
- 202 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2. Sobre errores frecuentes que se cometen al multiplicar fracciones.
a) Analiza los dos procedimientos que se presentan y evita el incorrecto
Correcto
2ax  1 3a
6a 2 x  1


bx  3  x  3 bx  3 2
 3a  6x  1
2ax  1Incorrect
o
b( x  3) x  3
b
b) Determina la posición donde se encontraban (numerador o denominador de la
fracción) de las expresiones que se han eliminado.
c) Prueba que el resultado bajo el título “Incorrecto”, realmente es incorrecto.
Sustituye por un sistema de valores de las variables y parámetros, por ejemplo, a
= 1, b = 3 y x = 5, y comprueba que los valores de los lados derecho e izquierdo
de la desigualdad son desiguales. Establece una conclusión.
“Hojas de trabajo”
- 203 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
No se puede eliminar expresiones iguales que estén, ambas, en los numeradores
o en los denominadores.
c) Analiza los dos procedimientos que se te presentan y evita el incorrecto
Correcto
Incorrecto
5 x  3 5 3
.

a x  2 a  2
5 x 3

a x2
No hay simplificación posible
b) ¿En qué operación algebraica se encuentra involucrada la variable x.
c) Prueba que el resultado bajo el título “Incorrecto”, realmente es incorrecto.
Sustituye por un sistema de valores de las variables y parámetros, por ejemplo, a
= 2 y x = 7, y comprueba que los valores de los lados derecho e izquierdo de la
desigualdad son desiguales. Establece una conclusión.
“Hojas de trabajo”
- 204 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
No se puede eliminar de expresiones racionales términos que aparezcan en
sumas o restas sin alterar la fracción.
3. Comprueba
x 2  x  12
2

que
el
x2  1
2
x  x  2 x  4x  3
valor
numérico
para x = 3 es,
del
producto
de
las
fracciones
6 8
1


10 24
5
Establece un procedimiento para evaluar el producto de dos fracciones.
Conclusiones:
1)
Al atribuir valores numéricos a los parámetros y variables que figuran en
los factores de las fracciones de un producto, resulta un valor numérico
igual al producto de los valores numéricos de los factores.
2)
Al evaluar un producto de fracciones es, por lo general, más fácil evaluar
cada uno de los factores y después multiplicar; que efectuar el producto y
después evaluar.
“Hojas de trabajo”
- 205 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
4. Potenciación de fracciones.
i) Analiza el proceso de elevar a una potencia natural las fracciones de los
ejemplos siguientes:
2a 2a 2a 2a3
8a 3
 2a 
a)   




3b 3b 3b 3b3 27b 3
 3b 
3
xy
x  y 2
 
b) 
xy
x  y 2
2
ii)Establece un procedimiento para elevar a potencia una fracción
iii) Comprueba que el resultado del proceso anterior se corresponde con la regla
que se muestra a continuación.
Regla para elevar una fracción racional a una potencia natural.
Para elevar una fracción a una potencia entera se eleva a esa potencia tanto el
numerador como el denominador de la fracción.
Regla simbólica para elevar una expresión racional a una potencia
natural
Si A y B, B  0, son expresiones algebraicas, entonces
n
An
A
   n
B
B
“Hojas de trabajo”
- 206 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
5. Coloca en la columna 2, el resultado de simplificar y llevar el producto a su más
simple expresión y en la columna 3 el resultado final de la multiplicación; como
se muestra en la fila 1. Comprueba los resultados con la computadora.
Columna 1
Columna 2
Columna 3
6a 2 15abc
.
b 9a 2 b 2
2 5ac
.
1 b2
10ac
b2
3 xyz 10aby
.
4ax 2 6by 2 z
24m 2 n 3 20 pq
.
15mnp 8mnq
2a 2
5
.3b 2 .
b
12ab
2x 2 x  2
.
4  x 2 8x 5
15a 3b 2 c 4 9b
.
27a 2 b 3 c 5ac 2
16  x 2
x 2  x  12
.
x 2  2 x  8 16  8 x  x 2
x3  2x
x2
.
2x 2 x 4  2x 2
x 2  5x  6 2 x 2  5x  3
. 2
4x 2  1
x  6x  9
3x 3  6 x 2 4 xy
.
x2 y
4  x2
4y  2
y2  2y
. 3
y  2 2 y  3y 2  y
“Hojas de trabajo”
- 207 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
6. Coloca en la columna 2 las fracciones con el numerador y el denominador
factorizado y en la columna 3 el resultado de simplificar las expresiones de la
columna 2 hasta llegar a su más simple expresión; como se indica en la fila 1.
Comprueba los resultados con la computadora.
Columna 1
Columna 2
Columna 3
x 2  3x  2 x 2  1
.
x 2  3x  2 x 2  x  6
( x  2)( x  1) ( x  1)( x  1)
.
( x  2)( x  1) ( x  3)( x  2)
( x  1) 2
( x  2)( x  3)
a
.( x 2  81)
4 x  36
6
n 2  4n  3
.
2n
n2  9
a2 1 x  3 x  3
.
.
x2  9 a 1 a 1
2 x 2  3x  2
bx  2b
. 2
.(bx)
bx  2b
2 x  3x  2
x2  y2
6x
.
2
3x
( x  y) 2
( x  y )( x  y ) 2 9 x 2  4 y 2
. 2
(3x  2 y ) 3
x  2 xy  y 2
( x 2  2 x  1) 2 6 x 2
. 2
3( x  1)
x 1
( x  1) 3 ( x  1) ( x  3)( x  3) 2
.
x( x  3)
( x  1) 2 ( x  1) 2
x 2  y 2 x 2  4x  4
.
x2
yx
x2  4
x 2  5x  6
.
2x  6
x 2  4x  4
“Hojas de trabajo”
- 208 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
7. Potenciación de fracciones.
Simplifica primero, en caso de ser posible. Eleva luego a potencia en la segunda
columna.
3
 x2  4 

 =
3 
 ( x  2) 
 x y

4
 ( x  y)
3

 =

5
 (9 x 2  1) 4

7
 (3 x  1)

 =

 x 3  3x 2
 5
3
 x  5x
4

 =

3
 5ab 3 c 5 

 =
2
 25a b 
EVALUACIÓN
Simplifica los productos de fracciones siguientes. Eleva a potencia la fracción
cuando se indique.
3
 x 2  4  ( x  2) 7 ( x 2  4 x  4)

 .
3 
( x  2) 2
 ( x  2) 
 x y

4
 ( x  y)
3

( x  y )10
 . 2
2
2
2
 ( x  y )( x  2 xy  y )
 (169 x 2  1) 4

7
 (13 x  1)
 x 3  3x 2
 5
3
 x  5x
4
 (169 x 2  13 x) 3
 .
(13 x  1)15

 x 5
.
 x3
3
 5ab 3 c 5  125a 4 b

 .
2
c6
 25a b 
“Hojas de trabajo”
- 209 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad IV.
Tema: Fracciones
Hoja de Trabajo No. 4
Sub -tema:
Productos y cocientes
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________
calculadora
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
 Transita entre la información verbal y la representación algebraica del
producto de fracciones, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico
para la comprensión del significado verbal y algebraico del producto y
cociente de fracciones.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de hallar el producto y cociente de fracciones.

Argumenta el significado algebraico de hallar el producto de fracciones,
mediante
lenguaje
verbal
y
simbólico,
para
DETERMINAR
UN
PROCEDIMIENTO que permita hallar el producto y cociente de fracciones
con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 210 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Halla el recíproco de:
1.- 2
2.-
4.-
1
2
1
4
5.- 10
3.- 4
6.-
1
10
Comprueba que el producto de los números anteriores por su recíproco es igual a
la unidad.
MOTIVACIÓN
En las vacaciones tres estudiantes del aula hicieron viajes a diferentes ciudades
del país y cada uno considera que viajó a mayor velocidad promedio que los
otros. Rodrigo planteó la forma de hallar la velocidad promedio del viaje redondo
como el recíproco de la semisuma de los recíprocos de la velocidad de ida y de la
velocidad de regreso.
De acuerdo al planteamiento de Rodrigo, determina la
mayor velocidad promedio si las velocidades de ida y regreso están dadas en la
tabla siguiente
RODRIGO
RAÚL
ROBERTO
IDA
90 KM/H
110 KM/H
120 KM/H
REGRESO
120 KM/H
110 KM/H
100 KM/H
“Hojas de trabajo”
- 211 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Inversión de una fracción
a) La inversa o recíproca de la fracción
8a 2
3x 4 y 2
es la fracción
3x 4 y 2
8a 2
.
Comprueba que su producto es 1.
b) Halla la fracción recíproca de la fracción
3x 2 y 2
y comprueba que el producto
10a 2b 3
de estas dos fracciones es 1.
Regla para invertir una fracción.
Para invertir una fracción A/B se intercambian su numerador y denominador. La
nueva fracción B/A que se obtiene se llamada inversa o recíproca de la fracción
dada. Estas dos fracciones cumplen la propiedad
A B AB
A 1
 
 1 o, equivalentemente,

B A BA
B A
B
“Hojas de trabajo”
- 212 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2. Analiza el procedimiento aplicado para efectuar las divisiones siguientes:
a) Efectúa la división
6x 2 y
5ab 2
6x 2 y
5ab
b) Efectúa la división
2
x  25
2
x  16

2

10a 2b 3
3x2y2

=
x 2  16
x2 +2x 15

2
2
a b

yx

2
10a2b2
3x2y2
=
4ab
y
x 2  2x  15
x 2  x  12

2
x  25
x 2  16
=
c) Efectúa la división
6x 2 y
5ab
10a2b2
x 2  25
x2 +x 12
3x 2 y 2
x2 +x 12

x2 +2x 15
( x  5)( x  5) ( x  4)( x  3) x  5


( x  4)( x  4) ( x  5)( x  3) x  4
a2  b2
ab

yx
x2  y2
a+b
x2 y2
a2  b2


yx
= 
x2 y2
a+b
(a  b)(a  b) ( x  y )( x  y )
.
  (a  b)( x  y )
xy
ab
Observa . En el ejemplo c) realizamos un cambio de signo para poder simplificar.
“Hojas de trabajo”
- 213 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Generalización:
La división de una fracción por otra, es otra fracción que se obtiene
multiplicando la fracción dividendo por la fracción recíproca de la fracción
divisor. Es decir, si A, B, B  0, C, C  0, y D son expresiones algebraicas,
entonces
A C A D AD
   
B D B C BC
3. Escribe en la columna 2 el producto del dividendo por el recíproco del divisor de
la división indicada en la primera columna, en la tercera columna el producto
factorizado y en la columna 4 el resultado final ya simplificado en su más simple
expresión; como se indica en la fila 1. Comprueba los resultados obtenidos con la
calculadora.
Columna 1
Columna 2
x 2  3x  2 x 2  x

3x  3
x2  1
x 2  3x  2 x 2  1

3x  3
x2  x
Columna 3
Columna 4
x  2x  1  x  1x  1 x  2x  1
3x
3( x  1)
xx  1
a2
a

x  25 5  x
6n
n2  9

3n2  3n
n2  4n  3
bx  2b
bx  2b
 2
2
2 x  3x  2 2 x  x
4x 2  y 2
2y  x

2
x  2x  1 1  x
“Hojas de trabajo”
- 214 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
4. Multiplicación y división combinadas
Cuando aparezcan multiplicaciones y divisiones combinadas en una misma
expresión se efectúan primero las operaciones incluidas en paréntesis
a) Analiza el ejemplo resuelto siguiente.
Efectúa
 a2  4 a  2  x  3



 x2  9 x  3  a  2


 a2  4 a  2  x  3  a2  4 x  3  x  3



=


 x2  9 x  3  a  2  x2  9 a  2  a  2




=
a2  4 x  3 x  3


x2  9 a  2 a  2
Observa:
1) Cuando aparezcan multiplicaciones y divisiones combinadas en una misma
expresión se efectúan primero las operaciones incluidas en paréntesis.
2) Se eliminaron los paréntesis en el paso anterior porque todas las
operaciones eran de multiplicación.
=
x3
(a  2)(a  2) x  3 x  3



x3
( x  3)( x  3) a  2 a  2
EN ACCIÓN
5. Efectúa las operaciones indicadas y da tu respuesta lo más simplificada posible.
 6 x3 
  2y
a) 

 x2y 3 


“Hojas de trabajo”
- 215 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra

x 2  3a 2
b)  x 3 


 x
a


 x 2  16 2x  8  ax  bx

c) 

 a 2  b 2 9b  9a  3x  12


 n2  4

1
  (n  2)
d) 

 n 2  64 n 2  4n  4 


“Hojas de trabajo”
- 216 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
 2 xy  6 y 2 4 xy  12 y 2  9 x 2 y

e)  3

2
x  2 y  5a( x  y)
 3x  6 x y
EVALUACIÓN
Efectúa los cocientes de las fracciones siguientes:
1)
16 x 2  9 y 2
4x  3
 2
2
x  7 x  10 x  3x  10
2)
2 x 2  13x  28
x2

2x 2  7
14 x 4  49 x 2
3)
x 2  5 x  6 x 3  27
 3
x2  4
x 8
“Hojas de trabajo”
- 217 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad IV.
Hoja de Trabajo No. 5
Tema: Función Cuadrática
Sub -tema:
Ecuación Cuadrática
Gráficas
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma, papel y la Fecha: _____________
calculadora.
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
 Transita entre la información verbal, la representación geométrica y
algebraica de la función cuadrática, mediante el uso de lenguaje verbal y
algebraico para la comprensión del significado verbal geométrico y
algebraico de la función cuadrática.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado geométrico,
algebraico y verbal de la función cuadrática.

Argumenta el significado geométrico y algebraico de la función cuadrática,
mediante
lenguaje
verbal
y
simbólico,
para
DETERMINAR
UN
PROCEDIMIENTO que permita hallar gráficamente la solución de una
ecuación cuadrática.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 218 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
i) Grafica las siguientes funciones cuadráticas en el plano cuadriculado.
y = x2
; y = (x – 2)2 ; y = (x -3)2 ;
y = (x + 2)2
;
y = (x + 3)2
y - 1= x2 ; y + 1 = x 2 ; y -1 = (x – 2)2 ; y + 2 = (x -3)2 ; y - 2 = (x + 3)2
ii) Halla los cuadrados de los binomios y expresa cada una de las funciones en la
forma y = ax2 + bx + c
“Hojas de trabajo”
- 219 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
Dibuja la trayectoria de una pelota de volley ball , la cual es golpeada a un metro
del suelo y cuya altura en cada instante está dada por h = -t2 + 2t + 1
Determina a que tiempo la altura es cero, es decir cae al suelo.
“Hojas de trabajo”
- 220 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
Las funciones cuadráticas tienen la siguiente forma general:
Y  ax 2  bx  c
donde a, b, c pueden ser cualquier número real y
a0
1. En esta hoja de trabajo, vamos a graficar la función Y  ax 2  bx  c . Para ello,
fijaremos los números a y b, hacemos variar el número c y estudiamos el efecto
que esto produce sobre la gráfica. Usa programa de Geogebra, para graficar sobre
la pantalla cada función cuadrática. Dibuja sobre el mismo plano TODAS las
gráficas de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
Y  x2  5x  6
;
Y  x2  5x  9
;
Y  x2  5x  1
;
Y  x2  5x  4 ;
“Hojas de trabajo”
Y  x2  5x  7
- 221 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
2. ¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica por el cambio del valor c?
En tu explicación puedes usar palabras, ecuaciones y gráficos.
2.1 Ahora fijaremos los números b y c, hacemos variar el número a (en esta
primera parte estudiaremos el efecto números a negativos). Usa programa
Geogebra, para graficar sobre la pantalla cada función cuadrática. Dibuja sobre
mismo plano TODAS las gráficas de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
Y   x2  5x  3
;
Y  2 x 2  5 x  3
;
Y  4 x 2  5 x  3 ; Y  7 x 2  5 x  3
“Hojas de trabajo”
;
Y  9 x 2  5 x  3
- 222 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica por el cambio del valor a?
En tu explicación puedes usar palabras, ecuaciones y gráficos.
2.2 Ahora fijaremos los números b y c, hacemos variar el número a (en esta
primera parte estudiaremos el efecto números a positivos). Usa programa
Geogebra, para graficar sobre la pantalla cada función cuadrática. Dibuja sobre
mismo plano TODAS las gráficas de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
Y  x2  7 x  1
;
Y  2 x2  7 x  1
;
Y  3x 2  7 x  1
“Hojas de trabajo”
- 223 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica por el cambio del valor a?
En tu explicación puedes usar palabras, ecuaciones y gráficos.
3. ¿La gráfica de la función Y  ax 2  bx  c se abre hacia arriba cuando a es
negativo? En tu explicación puedes usar palabras, ecuaciones y gráficas
4. ¿La gráfica de la ecuación Y  ax 2  bx  c se abre hacia abajo cuando a es
positivo? En tu explicación puedes usar palabras, ecuaciones y gráficas
“Hojas de trabajo”
- 224 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
5. Usa el programa Geogebra para completar la siguiente tabla:
Función
Cuadrática
Corte No 1
Corte No 2
Con el eje x
Con el eje X
Valor de X Máximo
o
donde Y es mínimo valor de
máximo
o Y
mínimo
Y = 2x2 + 3x - 2
Y = x2 - 9
Y= x2– 14x + 24
Y = - 2x2 + 6x
Y = x2 + 3x - 3
Y = 3x2 + 6x - 2
Y= -4x2 – 3x + 1
Y = x2 – 4x + 4
Comprueba en cada caso que el valor de X para el cual Y es mínimo o máximo,
se puede calcular así:
X
b
2 a
“Hojas de trabajo”
- 225 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
6. Usa el comando para encontrar las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0.
Función
Cuadrática
Soluciones de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
Y = ax2 + bx + c
Y = 2x2 + 3x - 2
Y = x2 - 9
Y= x2– 14x + 24
Y = - 2x2 + 6x
Y = x2 + 3x - 3
Y = 3x2 + 6x - 2
Y= -4x2 – 3x + 1
Y = x2 – 4x + 4
7. ¿Qué representan las soluciones de la ecuación cuadrática en la gráfica de la
Función cuadrática? Compara los resultados de las dos tablas anteriores para
construir la respuesta.
En tu explicación puedes usar palabras, gráficas o
ecuaciones.
“Hojas de trabajo”
- 226 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
Utiliza Geogebra para graficar
intersección con el eje X.
las funciones y obtener las coordenadas de
Utiliza WX-Maxima para hallar la solución de la
ecuación cuadrática. Dibuja las funciones en la siguiente gráfica.
1)Y = x2 + 6x + 9 ; 2) Y = -x2 – 6x – 9 ; 3) Y = -x2 + 6x + 9 ; 4)Y = 2x2 – 13x -7
5)Y = 3x2 -4x – 17 ; 6) Y = 2x2 + 9x – 7 ; 7) Y = 4x2 – 19x – 5 ;8) Y = 2x2 +3x – 1
9)Y = 2x2 –x – 1 ; 10) Y = 4x – 4 – x2
; 11)Y = 2x2 -5x + 2
; 12) Y = 2x2 -6x + 2
EVALUACIÓN
Escribe la expresión de tres funciones cuadráticas, dos que abran hacia arriba y
una hacia abajo cuyos máximos o mínimos están en x = 2, x = 3 y x = 4
“Hojas de trabajo”
- 227 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad IV.
Hoja de Trabajo No. 6
Tema: Función Cuadrática
Sub -tema:
Ecuación Cuadrática
Solución por fórmula general
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma, papel y la Fecha: _____________
calculadora.
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
 Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la
solución de una ecuación cuadrática, mediante el uso de lenguaje verbal y
algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico
de
hallar la solución de una ecuación cuadrática.

Utiliza wx-Maxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de hallar la solución de una ecuación cuadrática.

Argumenta el significado algebraico de hallarla solución de una ecuación
cuadrática, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN
PROCEDIMIENTO que permita hallar la solución de una ecuación
cuadrática con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 228 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Efectúa la factorización de las siguientes expresiones cuadráticas y escribe la
ecuación cuadrática.
Expresión cuadrática
Ecuación cuadrática
42w2- 5w – 2 =
8x2 + 30x + 27 =
3y2 + y – 24 =
– 15x2 – 2x + 13 =
– 6x2 + 5x – 1 =
2y2 + y – 15 =
4x2 + 8x – 21 =
MOTIVACIÓN
Los antiguos babilonios se hicieron la siguiente pregunta:
Elijamos cualquier
número b. ¿Existe otro número x tal que cuando lo sumamos a su recíproco
obtenemos b? En la tabla siguiente en la segunda columna traduce al lenguaje
del álgebra esta pregunta. Efectúa la suma indicada, pasa todos los términos al
primer miembro y escribe el resultado.
Selecciona cinco valores de b y
sustitúyelos en la expresión de la primera fila
Valores de b
Pregunta en lenguaje algebraico
“Hojas de trabajo”
- 229 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
Las ecuaciones cuadráticas tienen la siguiente forma general:
ax2  bx  c  0
a, b y c son números reales con a≠0
1. Recuerda usar WX-Maxima para resolver la ecuación cuadrática.
2. Usa el comando resolver para completar la siguiente tabla: En los espacios
en blanco escoge tu los valores de a, b y c
Ecuación
Solución No 1
Solución No 2
X2 + 7X + 12 = 0
X2 + 3X – 10 = 0
X2 + 5X – 24 = 0
X2 – 3X + 36 = 0
-2X2 + 7X + 5 = 0
X2 - 4X - 20 = 0
-5X2 – 3X + 10= 0
“Hojas de trabajo”
- 230 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
3. Ahora aprenderemos a comprobar si un número es solución de una
ecuación cuadrática. Para ello completa la siguiente tabla:
Ecuación
Soluciones
Comprobación
(reemplazando el valor
de x en la ecuación
original)
x 2  7 x  12  0
1ª solución X=-3;
1ª. Solución x=-3
2da. Solución X = -4
(-3)2+7(-3)+12=921+12=0
2da. Solución x= -4
(-4)2+7(-4)+12=1628+12=0
x2  3x  10  0
x 2  5 x  24  0
x 2  13x  36  0
En esta parte aprenderemos a calcular la solución de la ecuación cuadrática.
Sea la ecuación
ax2  bx  c  0
recuerda que a, b y c son números reales
con a≠0.
“Hojas de trabajo”
- 231 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
5. Usa el WX-MAXIMA para encontrar la solución de las siguientes ecuaciones
cuadráticas: En el espacio en blanco escribe una diferente a las anteriores.
Columna 1
Columna 2
1ª expresión
Conclusiones.
de entrada
Completa la igualdad.
ax2  bx  c  0
x=
o
x=
Ecuación
conclusión
y=
ay 2  by  c  0
o
mz 2  nz  q  0
z=
y=
o
z=
cr 2  dr  e  0
r=
o
r=
6. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 2
escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos
comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de
la tabla No. 1.
“Hojas de trabajo”
- 232 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Regularidades de las expresiones de la Regularidades de las expresiones de la
columna No. 1
Columna No. 2
Tabla No 2
7. Completa la tabla No 3, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda
columna el resultado de la solución de las ecuaciones cuadráticas sin utilizar la
calculadora; y después verificar tu respuesta con la calculadora.
Calcular
las Calcular
soluciones
sin soluciones
ayuda
de
computadora
wx 2  ux  v  0
la ayuda
las Comparar
de
computadora
con resultados
los
de
las
la columnas 2 y 3. Explica
y corrige los errores
x=
X=
hs 2  ts  k  0
s=
s=
“Hojas de trabajo”
- 233 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
r 2  3r  2  0
r=
r=
Tabla No 3
Ejemplo No 1. Encontrar las soluciones de la ecuación x2  5x  6  0 . En este
caso a =1, b= -5 y c= -6. Reemplazando estos valores en la ecuación:
x
 b  b2  4 a c
2 a
Obtenemos lo siguiente:
x
x
 (5)  (5) 2  4 (1) (6)
2 (1)
5  25  24 5  49 5  7


2
2
2
De aquí se puede ver que hay dos soluciones:
x1 
5  7 12

6
2
2
x2 
57 2

 1
2
2
“Hojas de trabajo”
- 234 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
8. Usa la fórmula general (estudiada en el ejemplo anterior) para calcular las
soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Una vez termines de
calcular, verificas la repuesta de dos maneras: la primera es usar el WXMaxima.
La segunda forma de comprobación debe ser con el
procedimiento explicado en el punto No 3.
ECUACIÓN
ESPACIO PARA CÁLCULOS
X
X2
X2 + X – 2 = 0
32X2 – 5X + 2 = 0
5X2 + 9X +1 = 0
“Hojas de trabajo”
- 235 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
3X2 – 6X + 1 = 0
2X2 – 4X + 4 = 0
9X2 – 10X + 3 = 0
32
7X2 + 8X – 5 = 0
“Hojas de trabajo”
- 236 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
9. Usando el programa GEOGEBRA, realiza las gráficas de las funciones
cuadráticas asociadas a las ecuaciones del punto anterior. En el siguiente
espacio explica porqué algunas ecuaciones cuadráticas no tienen raíces
reales.
EVALUACIÓN
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general
1)Y = x2 + 6x + 9 ; 2) Y = -x2 – 6x – 9 ; 3) Y = -x2 + 6x + 9 ; 4)Y = 2x2 – 13x -7
5)Y = 3x2 -4x – 17 ; 6) Y = 2x2 + 9x – 7 ; 7) Y = 4x2 – 19x – 5 ;8) Y = 2x2 +3x – 1
9)Y = 2x2 –x – 1 ; 10) Y = 4x – 4 – x2
; 11)Y = 2x2 -5x + 2
“Hojas de trabajo”
; 12) Y = 2x2 -6x + 2
- 237 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad IV.
Hoja de Trabajo No. 7
Tema: Función Cuadrática
Ecuación Cuadrática
Material que puedes
Lápiz, pluma, papel
calculadora.
Sub -tema:
Discriminante de la ecuación
cuadrática.
usar:
y la Fecha: _____________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
 Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la
importancia del discriminante en la solución de una ecuación cuadrática,
mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del
significado verbal y algebraico de la importancia del discriminante en hallar
la solución de una ecuación cuadrática.

Utiliza wx-Maxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de de la importancia del discriminante en hallar la solución de una
ecuación cuadrática.

Argumenta el significado algebraico de hallar
la
importancia del
discriminante en hallar la solución de una ecuación cuadrática, mediante
lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO
que permita hallar la solución de una ecuación cuadrática con el uso del
Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 238 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
i) Determina el valor de la cantidad subradical de la fórmula general para resolver
ecuaciones cuadráticas
1)Y = x2 + 6x + 9 ; 2) Y = -x2 – 6x – 9 ; 3) Y = -x2 + 6x + 9 ; 4)Y = 2x2 – 13x -7
5)Y = 3x2 -4x – 17 ; 6) Y = 2x2 + 9x – 7 ; 7) Y = 4x2 – 19x – 5 ;8) Y = 2x2 +3x – 1
ii) Clasifica estas cantidades de acuerdo a su signo o valor nulo
ECUACIÓN
SIGNO POSITIVO
SIGNO
VALOR NULO
NEGATIVO
iii)
Explica como influye ese valor en el valor de las raíces de la ecuación.
“Hojas de trabajo”
- 239 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
i) Revisa las hojas de trabajo 5 y 6 . Escribe en la primera columna la función
cuadrática, en la segunda columna el número de veces que corta al eje de las x,
en la tercera columna los valores de las soluciones de la ecuación y en la cuarta
columna el valor de la cantidad subradical de la fórmula,
Función cuadrática Interceptos con el Valores
eje x
de
soluciones
las Signo
de
la
cantidad
subradical
ii) Observa la relación entre el número de veces que la función cuadrática corta al
eje de las x, los valores de la solución de la ecuación cuadrática y el signo o valor
nulo de la cantidad subradical. Explica tus conclusiones
“Hojas de trabajo”
- 240 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Resuelve la ecuación cuadrática: ax
2. En la solución de la ecuación
que tiene la forma:
2
 bx  c  0
ax2  bx  c  0 , se encuentra una expresión
b 2  4ac
Esta expresión comúnmente se conoce con el nombre de discriminante de la
ecuación cuadrática. Calcula el discriminante de las siguientes ecuaciones:
Ec
Ecuación
Va
Valor
del
Si Signo del discriminante
VaValor de las raíces
discriminante
(en
caso
que
el de la ecuación
discriminante sea cero
debes escribir nulo)
X2 – 17 X – 6 = 0
X2+ 5X + 7 = 0
X2 + 17X + 6 = 0
X2 + 3X + 9 =0
x2x X2 + 2X – 7 = 0
x2 X2 + 8X + 16 = 0
X2 – 2X + 1 = 0
4X2 + 8X + 1 = 0
3X2 + 8X + 6 = 0
X2 + 14X - 5 = 0
X2 - 3X + 15 = 0
X2 + 4X + 8 = 0
2X2 + 7X - 12 = 0
-X2 + 6X + 4 = 0
-X2 + 3X + 9 = 0
7X2 + 8X - 13 = 0
“Hojas de trabajo”
- 241 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
3. Utiliza los resultados de la tabla anterior para unir con una línea los enunciados
de la izquierda con los de la derecha
A. Reales y distintas.
1. Discriminante Nulo
B. Reales e iguales
2. Discriminante Positivo
C. Complejas y distintas
3. Discriminante Negativo
4. Te daremos tres funciones cuadráticas, con ellas debes realizar las siguientes
actividades:
A. Graficar la función
B. Encontrar el discriminante de la ecuación cuadrática.
C. Encontrar las raíces de la ecuación.
Función
Gráfico
Discriminante
Raíces
Y  x2  2 x
Y  x 2  3x  7
Y  x2  4x  4
“Hojas de trabajo”
- 242 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
Función cuadrática Interceptos con el Valores
eje x
de
raíces
las Signo
del
DISCRIMINANTE
Reales iguales
Reales distintas
complejas
Reales distintas
complejas
Reales iguales
Reales distintas
complejas
Reales iguales
Reales distintas
Reales iguales
EVALUACIÓN
Función cuadrática Interceptos con el Valores
eje x
de
soluciones
las Signo
del
DISCRIMINANTE
positivo
positivo
positivo
negativo
negativo
negativo
nulo
nulo
nulo
positivo
positivo
“Hojas de trabajo”
- 243 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad IV
Tema:Función Cuadrática,
Sub-tema:
Solución por factorización
Hoja de Trabajo No. 8
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma, papel y la Fecha:______________
calculadora.
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
 Transita entre la información verbal y la representación algebraica de las
soluciones de una ecuación cuadrática por factorización , mediante el uso
de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal
y algebraico
de hallar la solución de una ecuación cuadrática por
factorización.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de hallar la solución de una ecuación cuadrática por factorización.

Argumenta el significado algebraico de hallar el producto de fracciones,
mediante
lenguaje
verbal
y
simbólico,
PROCEDIMIENTO que permita hallar
para
DETERMINAR
UN
la solución de una ecuación
cuadrática por factorización con el uso del Álgebra.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 244 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Transforma cada una de las siguientes expresiones en una ecuación cuadrática
de la forma ax2 + bx + c = 0
Expresión
Ecuación cuadrática de la Factorización
forma ax2 + bx + c = 0
(x – x1)(x – x2) = 0
3
4
+
=6
x5 x2
3x – 9 =
x2
4
4x  3
=x+2
x
x2 x3

6
x5 x2
4  x2
x7
6
 2

x  2 x  4 x  21 x  3
“Hojas de trabajo”
- 245 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
MOTIVACIÓN
Lupita y Alicia discuten de la mejor forma de resolver una ecuación de segundo
grado. Lupita dice que ella prefiere usar siempre la forma general porque es válida
para todos los casos y Alicia dice que cuando se puede descomponer fácilmente
en factores ella prefiere hacer la descomposición.
Resuelve las siguientes
ecuaciones y expresa tu opinión.
Forma general
Descomposición
x 2  13 x  42  0
8 x 2  34 x  21  0
4 x 2  3x  2  0
x 2  10 x  21  0
x 2  10 x  25  0
x 2  7 x  12  0
Expresa tu criterio:
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Analiza la información que se te presenta a continuación:
a) Ejemplos de ecuaciones cuadráticas.
4x2 + 4x + 1 = 0
3x = 5  x2
(x 1)(x + 2) = 0.
b) Toda ecuación que se puede transformar en una ecuación de la forma
ax2 + bx + c = 0, a  0 se denomina ecuación cuadrática.
Forma canónica de una ecuación cuadrática
ax2 + bx + c = 0, a  0,
donde a, b y c son números reales.
“Hojas de trabajo”
- 246 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
c) La resolución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización se basa en la
propiedad del factor nulo. Esta propiedad se te enuncia en el recuadro
siguiente. Analízala con detenimiento.
Propiedad del factor nulo
Para todos los números reales a y b, si a.b = 0; entonces,
a = 0 o b = 0 o ambos son cero ( a = 0 y b = 0)
2. Aplicación de la propiedad del factor nulo para resolver ecuaciones cuadráticas
del tipo (dx + e)(fx + g) = 0.
a) Analiza como se ha aplicado la propiedad del factor nulo para resolver la
ecuación (y  3)(2y +1) = 0.
a1) Como (y  3)(2y +1) = 0, entonces y  3 = 0 o 2y +1 = 0
a2) Resolvemos la ecuación
y3= 0
y = 3.
a3) Resolvemos la ecuación
2y +1 = 0
2y =  1
y = 1/2
a4) Verificación.
y = 1/2
y=3
(y  3)(2y +1) = 0
(3  3)(2.3 +1) = 0
0. 7 = 0
0=0
(y  3)(2y +1) = 0
(1/2 3)(2(1/2) +1) = 0
(7/2).0 = 0
0 = 0.
a5) Conclusión: si y = 0 o si y = ½, entonces (y  3)(2y +1) = 0. Luego
y = 0 e y = ½,
son soluciones de la ecuación (y  3)(2y +1) = 0.
“Hojas de trabajo”
- 247 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
b) Resuelve la ecuación (3r  6)(r + 4) = 0, aplicando los pasos que se realizaron
en el inciso a).
c) Escribe con tus palabras como se procede para resolver una ecuación del tipo
(dx + e)(fx + g) = 0
3. Toma como guía el ejemplo resuelto en la tabla 1. Plantea una ecuación
cuadrática factorizada en la primera columna de la primera fila de la tabla 2.
Completa las columnas 2, 3 y 4 de la tabla 2, tomando como guía el ejemplo
resuelto en la tabla 1. .
Ecuación
Propiedad
factorizada
factor nulo
(z +3) (z 2)
del Ecuación
Ecuación
correspondiente al correspondiente
primer factor nulo
primer factor nulo
z+3=0
z +3 = 0
z 2 = 0
o
z=3
z=2
al
z2=0
“Hojas de trabajo”
- 248 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Verificación de la solución del primer Verificación de la solución del segundo
factor
factor
( 3+3) ( 3 2) = 0.( 5) = 0
(2 +3) (2 2) = 5.0 = 0
Conclusiones: z =  3 y z = 2 son las soluciones de la ecuación
Tabla 1
Ecuación
Propiedad
factorizada
factor nulo
del Ecuación
Ecuación
correspondiente al correspondiente
primer factor nulo
al
primer factor nulo
Verificación de la solución del primer Verificación de la solución del segundo
factor
factor
Conclusiones:
Tabla 2
“Hojas de trabajo”
- 249 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
4. Completa las columnas 2 y 3 como se muestra en el ejemplo 1) resuelto y
después completa la columna 4 con la ayuda de la computadora. Comprueba
adicionalmente que las soluciones son correctas, resolviendo la ecuación con la
computadora.
Columna 1
Columna 2
Columna 3
Ecuación
Ecuación
Factorizada
2
1) x + 2x – 15 = 0 (x + 3 )(x – 2) = 0
Columna 4
Resuelve la ecuación Verifica los resultados
factorizada
x+3=0
x–2=0
x=3
x=2
( 3 + 3 )(  3 – 2) =
0.(  5) = 0
(2 + 3 )(2 – 2) = 5.0
=0
Resuelve la ecuación con ayuda de la Conclusiones
computadora y compara los resultados
Tabla 3
5. Resuelve utilizando el método de factorización de la ecuación
2x2 - 3x – x2 = -5x – 1
a) Utiliza la propiedad de la suma para obtener una ecuación equivalente con
todos sus términos en un solo lado y el otro lado igual a 0.
b)
Suma todos los términos semejantes para obtener una ecuación canónica
equivalente.
“Hojas de trabajo”
- 250 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
c) Factoriza la ecuación canónica.
d) Iguala a cero cada factor.
e) Resuelve cada ecuación.
f) Determina la solución de la ecuación original.
g) Verifica las soluciones en al ecuación original.
h) Utiliza la computadora para resolver la ecuación.
“Hojas de trabajo”
- 251 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
6. Completa las columnas 2 y 3 como se muestra en el ejemplo 1) resuelto y
después completa la columna 4 con la ayuda de la calculadora.
Columna 1
Columna 2
Columna 3
Columna 4
Ecuación dada
Ecuación
Simplificada
Factorización
Raíces
Resuelve la ecuación
con ayuda de la
computadora
y
compara los resultados
1) 2x2 - 3x – x2 = -5x - 1
x2 +2x +1 = 0
(x+1)(x+1) = 0
x1 = -1; x2 = -1
2) 3m2 –3 = 4m – m2 –3
3) –2x + x3 + 4= -x2 + 3x + x3
4) 
1
x
x
 2x 2  2  x 2 
6
6
6
5)
1
1 1
 x 2  x    x  2x 2
5
25 5
6) x2 +(x+5)2 = 5 + 16(3-x)
“Hojas de trabajo”
- 252 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
COMPETENCIAS PARTICULARES DE LA UNIDAD V

Transita entre la información contextual y la representación algebraica de
la simplificación de expresiones con exponentes y radicales, mediante el
uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión
conceptual, la comunicación de ideas matemáticas y la solución de
problemas con el uso del álgebra.

Construye e interpreta modelos matemáticos de la simplificación de
expresiones con exponentes y radicales mediante la aplicación de
procedimientos algebraicos para la comprensión, análisis y solución de
problemas reales, hipotéticos y formales.

Construye tablas, mediante el uso de Excel y/o WX-Maxima para facilitar
la comprensión de los conceptos de la simplificación de expresiones con
exponentes y radicales, desarrollar procedimientos y efectuar el cálculo
algebraico.

Introduce variantes de los problemas resueltos, mediante el cambio de
hipótesis o de situaciones contextuales para llevar a nuevos problemas
con soluciones diferentes o con los mismos modelos matemáticos.

Argumenta los procedimientos de trabajo hallados por ti y el método de la
solución de los problemas, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico
y geométrico para justificar por la teoría algebraica, cada paso realizado.
“Hojas de trabajo”
- 253 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad V
Hoja de Trabajo No. 1
Tema: Exponentes
Sub-tema:
Simplificación
expresiones
exponentes enteros .
de
con
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma, papel y la Fecha:______________
calculadora.
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
 Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la
simplificación de expresiones con exponentes enteros, mediante el uso de
lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y
algebraico.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de hallar la simplificación de expresiones con exponentes enteros .

Argumenta el significado algebraico, mediante lenguaje verbal y simbólico,
para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar
la
simplificación de expresiones con exponentes enteros.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 254 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Sea a ≠0, n, m
enteros
Si en general
Entonces en particular
am * an 
a9 * a5 
(a m ) n 
(( 2) 3 ) 7 
(a * b) n 
(2 * 3) 5 
1

an
am

an
a0 
1

56
30 
0a 
09 
48

410
Tabla 1
MOTIVACIÓN
Muchos mecanismos se ven sometidos en su funcionamiento a oscilaciones.
Parte de estas oscilaciones son propias del sistema y otras son producto de una
fuerza externa al sistema, estas son denominadas oscilaciones forzadas.
Determinar la amplitud de las oscilaciones forzadas es de suma importancia
porque si sobrepasan cierto valor el sistema se destruye.
Así por ejemplo un puente sufre oscilaciones en su estructura , pero de acuerdo a
las fuerzas externas que se le apliquen debido al paso de vehículos y personas se
introducen otras oscilaciones forzadas. El no tomar en cuenta esto hizo que un
puente se derrumbara al paso de un batallón de infantería marchando sobre él.
La amplitud de las oscilaciones forzadas está dada por
a
D( w) 
b
2
 p 2 w2   w2
 2 * 2   1  2
b  
b
b



2
Los valores a, b, p y w son parámetros específicos de cada sistema, donde w es la
frecuencia de las oscilaciones forzadas y b la frecuencia de las oscilaciones
propias
“Hojas de trabajo”
- 255 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Suponiendo que a= 2, b = 4 y p = 3, determina los valores de D a partir de
diferentes valores de w. En la primera columna asigna diferente valores a w, en
la segunda columna sustituye los valores dados de w, a, b y p, y en la tercera
columna efectúa las operaciones indicadas para hallar el valor de D(w) si hacer
uso de la computadora.
w
D(w)
a
D( w) 
b
2
 p 2 w2   w2
 2 * 2   1  2
b  
b
b



2
Tabla 2
“Hojas de trabajo”
- 256 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Sobre las leyes de los exponentes.
1.1 Ley de exponentes para el producto.
a) Analiza lo que se te presenta a continuación.
a2.a5 = (a.a).(a.a.a.a.a) = a.a.a.a.a.a.a = a7 = a2+5
Ley del producto para exponentes
Si m y n son números enteros y a es cualquier número real, entonces
am.an = an + m
b) Aplica la ley del producto para exponentes para llenar la columna 2 de la tabla
c) Determina el producto indicado en la primera columna por medio de la
computadora y pon el resultado en la tercera columna. Si no son iguales los
resultados de las columnas dos y tres, señala en la cuarta columna el error
cometido.
Multiplicación
Producto
Producto
sin
con
Comentario
computadora computadora
210 * 217 
227
3 4 * 315 
5 40 * 53 
75 * 76 
Tabla 3
d) Completa los espacios en blanco
Para multiplicar expresiones exponenciales con una base común, Conserva la
_______________________y suma ____________________________________.
“Hojas de trabajo”
- 257 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
1.2 Ley de exponentes para el cociente.
a) Analiza lo que se te presenta a continuación.
a7a5 =
a 7 a .a .a .a .a .a .a
= a.a = a2 = a7-5.

a .a .a .a .a
a5
Ley de exponentes para cociente
Para todo número real distinto de cero a y números enteros distintos de
cero se tiene
am
= am  n
an
b) Aplica la ley de exponentes para el cociente y llena la columna 2 de la tabla 4.
Determina el cociente indicado en la primera columna por medio de la calculadora
y pon el resultado en la tercera columna. Si no son iguales los resultados de las
columnas dos y tres, señala en la cuarta columna el error cometido.
División
y6

y2
Cociente
Cociente
sin computadora
con computadora
Comentario
y4
x7

x3
10 3

10 2
z7

z5
Tabla 4
c) Completa los espacios en blanco
Para dividir expresiones exponenciales con una base común, Conserva la
____________________ y resta _______________________________________
“Hojas de trabajo”
- 258 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
1.3 Ley del exponente negativo.
a) Analiza la ley que se te presenta en este inciso.
1
1
1
1
= 52, 2 = 52, x4 =  4 x-4 = 4
2
x
x
5
5
Ley del exponente negativo
Para todo número real distinto de cero a y cualquier número entero no negativo
m. se tiene
am =
b)
1
am
Aplica la ley del exponente negativo a las expresiones que aparecen en la
primera columna de la tabla 5 para llenar la columna 2 con una expresión
equivalente pero sin exponentes negativos.
Expresión con al menos un exponente Expresión equivalente sin exponentes
negativo
negativos.
 4 x 2 z 5
 4z 5
x2
10ab 3 c 4
6 rs
t 1
3
 7 x 2 y 3
z 2
Tabla 5
c) Completa el espacio en blanco.
Para cambiar un factor de un numerador a un denominador, o viceversa (de un
denominador a un numerador) se cambia ________________________________
“Hojas de trabajo”
- 259 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
1.4 Ley del exponente nulo.
a) Analiza lo que se te presenta a continuación.
1=
x4
= x4  4 = x0
x4
Ley del exponente nulo
Para todo número real distinto de cero a se cumple que
a0 = 1.
b) Aplica la ley del exponente nulo a las expresiones que aparecen en la primera
columna de la tabla 5 para llenar la columna 2 con una expresión equivalente pero
sin exponente nulo.
Expresión con al menos un exponente Expresión equivalente sin exponentes
nulo
nulos.
r0 
 (8 x) 0 
 8x 0 
(a  2) 0 
1  2z 0 
x6

x6
6 xy 7 6 x y 7
 * *

2 xy 7 2 x y 7
50 x 3 y 4

25 x 2 y 4
53 x 2 y 4

52 x 2 y
Tabla 5
“Hojas de trabajo”
- 260 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EN ACCIÓN
Efectúa las operaciones indicadas en la columna 1 de la tabla 6 y escribe en la
columna dos la ley utilizada en representación algebraica.
17
x x
Expresión a simplificar

23
Ley de exponentes
5 y 10 y 14 
4s 3 s 7 
1

t 14
3

5s 6
6x5 y 3

x8
9m 8 n 5

6m 7 n 3
8a 5 b 4

16a 3b 2
3x  
4 p n 
4 4
3
2 5
 5x 2 y 5

4
 3m

6

 

EVALUACIÓN
Efectúa las operaciones indicadas y en cada paso indica la ley de los exponente
utilizada.
 4x5 y 7
1.-  3 8
 3x y
6

 

6
 3m 5 n 6 
2.-   4 5  
 9m n 
“Hojas de trabajo”
- 261 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Unidad V
Tema: Exponentes
Sub-tema:
Simplificación
de
expresiones
con
exponentes fraccionarios.
Hoja de Trabajo No. 2
Material que puedes usar:
Lápiz, pluma, papel y la Fecha:______________
calculadora.
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
 Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la
simplificación de expresiones con exponentes fraccionarios, mediante el uso de
lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y
algebraico.

Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y
verbal de hallar la simplificación de expresiones con exponentes fraccionarios.

Argumenta el significado algebraico, mediante lenguaje verbal y simbólico,
para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar
la
simplificación de expresiones con exponentes fraccionarios.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas.
b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas
y los
gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones.
c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones
encontradas.
d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso.
“Hojas de trabajo”
- 262 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
DIAGNÓSTICO
Si en general
Sea a>0, n, m, p,
q enteros
1
n
(a ) 
m
1
2
(2 ) 
3
p
q
m
n
Entonces en particular
2
5
4
3
3 *3 
a *a 
p
q
3
 mn 
a  
 
 
 13  2
5  
 
 
1
1
 b n
  
a
 5 2
  
4
Tabla No.1
MOTIVACIÓN
La policía algunas veces utiliza la expresión s  30 fd para estimar la velocidad s
(en millas por hora) de un automóvil que se deslizó d pies antes de detenerse. La
variable f es el coeficiente de fricción determinado por el tipo de camino y la
humedad o sequedad del mismo. La siguiente tabla da algunos valores de f:
Mojado
Seco
Concreto
0.4
0.8
Tabla No.2
Alquitrán
0.5
1.0
i)¿Cuán rápido frenó un automóvil en un camino de concreto si las marcas de
deslizamiento fueron de 80 pies de largo en un día lluvioso?
ii)¿Cuán rápido frenó un automóvil en un camino de alquitrán si las marcas de
deslizamiento fueron de 60 pies en un día seco?
“Hojas de trabajo”
- 263 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
CONCEPTOS Y HABILIDADES
1. Sobre las leyes de los exponentes fraccionarios.
¿Se cumplirán las mismas leyes para los exponentes fraccionarios que para los
exponentes enteros?
1.1 Ley de exponentes para el producto.
a) Analiza lo que se te presenta a continuación. Utiliza wxmaxima para comprobar
los valores
32 * 32
9 * 9  32 2
9 2  34
81
Decrece
31 * 31
3 * 3  311
91  3 2
9
1 1

9 32
31
3
1
3
1
1
1 1
  
2 2
32 *32
3
22 * 22
4 * 4  2 2 2
42  24
16
21 * 21
2 * 2  211
41  2 2
4
1 1

4 22
21
2
1
2
1
2
2 *2
1
2
2
1 1
  
2 2
42 * 42
16 *16  4 2 2
16 2  4 4
256
41 * 41
4 * 4  411
42
16
1
1
 2
16 4
41
4
1
4
1
1
42 *42
4
1 1
  
2 2
Tabla No.3
Observa la relación entre los exponentes y establece una conjetura en el recuadro
siguiente:
“Hojas de trabajo”
- 264 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Ley del producto para exponentes
Si m, n, p y q son números enteros, n y q distintos de 0, a es cualquier
número real positivo, entonces
m
n
p
q
a *a  a
m p
  
n q
b) Aplica la ley del producto para exponentes para llenar la columna 2 de la tabla
c) Determina el producto indicado en la primera columna por medio de la
computadora y pon el resultado en la tercera columna. Si no son iguales los
resultados de las columnas dos y tres, señala en la cuarta columna el error
cometido.
Multiplicación
Producto
Producto
sin
con
Comentario
computadora computadora
1
2
1
3
2
3
3
2
2
1
2 *2
3 *3
2
1 1
  
 2 3
5
 26
55 * 53
3
2
74 *73
1
3
43 * 45
Tabla No.4
d) Completa los espacios en blanco
Para multiplicar expresiones exponenciales con una base común, Conserva la
_______________________y suma ____________________________________.
“Hojas de trabajo”
- 265 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
1.2 Ley de exponentes para el cociente.
a) Analiza lo que se te presenta a continuación.
Ley de exponentes para cociente
Para todo número real positivo, distinto de cero a, m, n, p y q números
enteros distintos de cero se tiene
m
an
a
p
q
a
m p
  
n q
b) Aplica la ley de exponentes para el cociente y llena la columna 2 de la tabla 4.
Determina el cociente indicado en la primera columna por medio de la calculadora
y pon el resultado en la tercera columna. Si no son iguales los resultados de las
columnas dos y tres, señala en la cuarta columna el error cometido.
División
y
y
x
x
z
z
3
2
1
2
1
3
2
3
3
5
2
5
Cociente
Cociente
sin computadora
con computadora
Comentario
2
2
y
3 1
  
2 2
y  y1


Tabla No.5
“Hojas de trabajo”
- 266 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
c) Completa los espacios en blanco
Para dividir expresiones exponenciales con una base común, Conserva la
____________________ y resta _______________________________________
1.3 Ley de la potencia de los exponentes fraccionarios.
c) Analiza la ley que se te presenta en este inciso.
Ley de la potencia de exponente fraccionario
Para todo número real positivo distinto de cero a y cualesquier números
enteros no negativos m, n, p y q se tiene
p
 mn  q
 a   a n.q
 
 
m. p
d)
Aplica la ley de potencia de los exponentes fraccionarios a las expresiones
que aparecen en la primera columna de la tabla 6 para llenar la columna 2 con una
expresión equivalente.
Expresión con potencias de exponentes Expresión equivalente
fraccionarios.
 13 
x 
 
 
4
x 
3
5 2
4
 12  5
a 
 
 

y


5
2




2
3
Tabla No.6
“Hojas de trabajo”
- 267 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
c) Completa el espacio en blanco.
Para
efectuar la potencia de un exponente fraccionario
se
deja la base
y
se________________________________ los exponentes
EN ACCIÓN
Aplica las leyes de los exponentes fraccionarios a las expresiones que aparecen
en la primera columna de la tabla 7 para llenar la columna 2 con una expresión
equivalente.
Expresión con exponentes fraccionarios Expresión equivalente
2
m2n 3 n3
7
5

p






 32
y
 5
 y2






4
3
x x
5
3
2
2
3
b 
5
2 2
6
 43  8
c 
 
 
Tabla 7
“Hojas de trabajo”
- 268 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
EVALUACIÓN
Aplica las leyes de los exponentes fraccionarios a las expresiones que aparecen
en la primera columna de la tabla 8 para llenar la columna 2 con una expresión
equivalente. En los espacios en blanco plantea expresiones donde tengas que
usar las leyes de los exponentes fraccionarios
Expresión con exponentes fraccionarios Expresión equivalente
 2 34
 x y
 3
7
 x5 y4 y 2

5
3




Tabla 8
“Hojas de trabajo”
- 269 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Arcavi,A. & Hadas, N (2002) Computer mediated learning: an example o fan
approach. International Journal of Computers for Mathematical Learning 5: 25-45
2000. Kluver Academic Publishers. Printed in the Netherlands.
Balacheff, N. & Kaput,J. (1996) Computer Based Environments in mathematics. En
A. Bishop et al. (Eds.), International Handbook of Mathematical Education. Kluwer
Academia Publishers.
Barrera, F. Y Santos, M. (2002) Cualidades y procesos matemáticos importantes
en la resolución de problemas: un caso hipotético de suministro de medicamentos.
En Ministerio de Educación Nacional (Ed.), Seminario Nacional de Formación de
Docentes: Uso de las Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. p.p. 166185. Santa Fe de Bogotá.
Benítez, D. (2006) Formas de razonamiento que desarrollan estudiantes
universitarios en la resolución de problemas con el uso de tecnología. Tesis de
Doctorado. Departamento de Matemática Educativa. CINVESTAV. México, D.F.
Benítez, D.(1999) The Role and Importante of Students initial Perception in
Mathematical Problem Solving. In Hitt, F & Santos, M (Eds). Proceedings of
Twenty First Annual Meeting of the North American Chapter of the International
Group for the Psychology of Mathematical Education.
Benítez, D. (2004) ¿Cómo propiciar el desarrollo del Pensamiento Matemático en
estudiantes de secundaria? Secretaría de Educación Pública – Coahuila.
Boletín Oficial del Estado No. 158 (3 de julio de 2003). Currículo de Matemáticas
en la ESO.
Cribeiro, J (2006) Importancia en Matemática Educativa, de la interrelación entre la
Teoría Matemática, Técnicas Modernas de Cómputo y Problemas del Contexto
Empresarial para motivar a Docentes y Estudiantes. Investigaciones sobre
Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas. Un reporte Iberoamericano. ClameDíaz de Santos. México. ISBN 84-7978-803-8 pp 39-60
De Guzmán, M. (1994). Para pensar mejor: Ediciones Pirámide. Madrid
De Olaizola, I., Santos, M. (2004). Hacia una redefinición de la cultura matemática
en el salón de clases: argumentando la inexistencia de soluciones. Educación
Matemática, vol 16(1), pp.5-27
Duval, R. (1999) Representation, vision and visualization: Cognitive functions in
mathematical thinking. Basic issues for learning. En F. Hitt & M. Santos (Eds.),
“Hojas de trabajo”
- 270 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Proceedings of the Twenty First Annual Meeting of the North American Chapter of
the International Group for the Psychology of Mathematics Educations. Pp. 3-26.
Colombus, OH: ERIC Clearinghouse of Science, Mathematics and Environmental
Education.
Dick, T. (1992). Supercalculator: implication for calculus curriculum, instruction and
assessment. En J.T. Fey (Ed.), Calculators en Mathematicas Education: 1992 Year
Book of the National Council of Teachers of Mathematicas, (pp. 145-157). Reston,
VA:NCTM.
Estrada, J. (1998). La formulación o reformulación de problemas como una
actividad fundamental en el aprendizaje de las matemáticas. Tesis de Doctorado
no publicada. Departamento de Matemática Educativa. CINVESTAV-IPN, México.
Goldenberg, E. P, (1996) Habits of mind as an organizar for the currículo. Journal
of Education. Vol 178, No.1 (pp. 13-34)
Hernández, M (2006). El desarrollo de competencias matemáticas en estudiantes
de tercer año de secundaria. Tesis de Maestría. Universidad Autónoma de
Coahuila.
Hitt, F. (1997). La modelación matemática con el apoyo de la calculadora
gráficadora TI-92. En Memorias del VIII Seminario Nacional Calculadoras y
Microcomputadoras en Educación Matemática. Hitt, F; Hernández, V y Villalba, M.
(Eds.) (pp.303-313)
Hitt, F. (2003). Una reflexión sobre la construcción de Conceptos Matemáticos en
Ambientes con Tecnología. Boletín de la Asociación Venezolana de Matemáticas.
Vol. X. No.2. (pp. 213-223)
Lovaglia, F; Elmore, M; Conway, D. (1972) Algebra. Harla México ISBN 063155133
Mason, J., Burton, L, Stacey, K. (1989). Pensar Matemáticamente. Madrid Labor
Mederos, O; González, B. (2005). La Modelación Matemática en la Educación
Matemática. Universidad Autónoma de Coahuila
Ministerio de Educación Nacional (2003).
matemáticas. Santa Fe de Bogotá.
Estándares curriculares para
NCTM (1980). Problem Solving en School Mathematics. (1980 Year Book, S.
Krulik, Ed.) Reston VA: NCTM.
NCTM (1991).
NCTM.
Professional Standars for Teaching Mathematics. Reston, VA:
“Hojas de trabajo”
- 271 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
NCTM (1995). Assessment Standards for School Mathematics. Reston, VA:
NCTM.
NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA:
NCTM.
Pea (1985). Cognitive Technologies for Mathematics education. En A. Schoenfeld
(Ed.). Cognitive Science and Mathematics Education. (pp.66-122). New York:
Lawrence Earlbaum Associates.
Phillips, E; Butts, T; Shaughnessy, M ( 1988) Algebra con Aplicaciones. Harla.
México. ISBN 968-6034 93-5.
Polya, G. (1965). ¿Cómo plantear y resolver problemas de matemáticas? Editorial
Trillas. México.
Polya, G. (1966). Matemáticas y razonamiento plausible. Editorial Tecnos.
Rodríguez, F (2008) Estudio didáctico de la solución de sistemas de ecuaciones
con dos y tres variables en nivel preparatoria. Tesis de maestría. Universidad
Autónoma de Coahuila.
Santos, M. (1990). Mas allá de los contenidos: la importancia de la resolución de
problemas en el diseño curricular. Memorias del VI Congreso Internacional. Eb
Educación Matemática. México. (pp. 37-48)
Santos, M. (1992). La resolución de problemas: El trabajo de Alan Schoenfeld:
Una propuesta a considerar en el aprendizaje de las matemáticas. Educación
Matemática, Vol. 2. No. 2. (pp. 16-24).
Santos, M. (1993). La naturaleza de las matemáticas y sus implicaciones
didácticas. Mathesis, Vol. 9. (pp. 419-432).
Santos, M. (1997). Principios y métodos de la resolución de problemas en el
aprendizaje de las matemáticas. México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Santos, M. Y Benítez D. (2000). El uso espontáneo de representaciones y la
importancia de las estrategias metacognitivas para el entendimiento y la solución
de problemas. En Hitt, F. Y Hernández, A. (Eds.). Experimentaciones en
Educación Matemática. (pp. 151-165).
“Hojas de trabajo”
- 272 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
Santos, M y Benítez, D. (2003). Herramientas tecnológicas en el desarrollo de
sistemas de representación en la resolución de problemas. Perfiles Educativos.
Vol. XV. No 100 (pp. 23-41).
Saucedo, L. (2007). Un estudio sobre el perfil profesional de los profesores de
matemáticas del nivel medio superior. Tesis de Maestría. Universidad Autónoma
de Coahuila.
Schoenfeld, A. (1985). Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press.
Schoenfeld, A. (1987). Cognitive Science and Mathematics Education. Hillsdale.
NJ: Earlbaum Assoc.
Schoenfeld, A. (1989) Explorations of students mathematical beliefs and
behaviour. Journal for Research in Mathematics Education. 20. (pp. 338-355).
Schoenfeld, A. (1992). Learning to Thinking Mathematically: Problem Solving,
metacognitions ans sense making in mathematics. En D. Grouws (Eds.),
Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334-370).
NCTM.
SEP (2008). Programa Sectorial de Educación. México.
http://upepe.sep.gob.mx/prog.sec.pdf
http://www.sep.gob.mx/wb/sep1/sep1. Educacion Media Superior
http://www.inee.edu.mx/
http://www.geogebra.org/cms/
http://wxmaxima.sourceforge.net/
http://www.nctm.org/
http://www.mineducation.gob.co/1621/channel.html
http://www.anuies.mx/
“Hojas de trabajo”
- 273 -
I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra
“Hojas de trabajo”
- 274 -