Download v - Dr. Edgar Ayala Herrera

RESUMEN DE NOTACION VECTORIAL Y TENSORIAL
• ESCALAR: Definido por una magnitud
Se expresa con un número y las unidades apropiadas
Ej.: longitud, masa, volumen, tiempo
3 cm3 17 s
3m
4 kg
Por extensión un ESCALAR puede considerarse como un TENSOR DE ORDEN CERO
•VECTOR: Definido por una magnitud de un cierto valor (módulo) y una dirección y
sentido de aplicación
Se expresa con un número, las unidades apropiadas y una dirección de aplicación.
Ej.: fuerza, velocidad, aceleración
Se representa con una flecha cuya longitud es la magnitud y la recta de acción
asociada a su dirección y sentido.
Por extensión un VECTOR puede considerarse como un TENSOR DE ORDEN UNO
Tiene 3 componentes asociadas a las coordenadas cartesianas v = (vx, vy, vz)
V
Componentes del vector a = (ax, ay, az)
• TENSOR: Es un arreglo matricial en 3 dimensiones con 9 componentes
Ej.: Tensor esfuerzo de corte
 =
xx xy
yx yy
zx zy
xz
yz
zz
IGUALDAD DE VECTORES:
VECTORES OPUESTOS:
SUMA DE VECTORES:
Por el método del paralelogramo
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES Y TENSORES
Los distintos tipos de multiplicación posibles requieren de distintos signos: el punto
simple, el punto doble, el aspa.
• PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR:
Es otro vector de igual dirección cuyo módulo es el producto del módulo del vector
por el escalar.
• PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
El producto escalar o de punto entre los vectores a = (ax, ay, az) y b = (bx, by, bz)
a.b = (ax bx) + (ay by) + (az bz )
y en forma geométrica a.b = [a] [b] cos 
• PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
El producto vectorial o de aspa entre los vectores a = (ax, ay, az) y b = (bx, by, bz)
es otro vector perpendicular a ambos cuya dirección y sentido surgen, por ej, de la
regla de la mano derecha
Recordar que [a X b] = - [b x a]
SIGNO DE LA
MULTIPLICACIÓN
NINGUNO
PUNTO
ASPA
DOBLE PUNTO
.
X
:
ORDEN DEL
RESULTADO
suma
suma - 2
suma - 1
suma - 4
OPERADORES DIFERENCIALES



Operador nabla:
  x
 y
 z
x
y
z
Gradiente de un campo escalar: s 
s
s

 x s
 y
 z
x
z
y
v x v y  v z
Divergencia de un campo vectorial: (.v ) 

x
y
z
Rotacional de un campo vectorial:
[  v ] 
x
y
z

x
vx

y
vy

z
vz
2
Laplaciano de un campo escalar:
2
 2s  s  s
 s  (.s) 


x 2 y 2 z 2
2
Laplaciano de un campo vectorial:  2v   x 2v
x
  y  2v y   z  2v z
SIGNIFICADO FISICO DEL GRADIENTE
En la figura se representan de los puntos de una montaña que tienen la misma altitud.
Las cotas que aparecen son magnitudes escales, por lo tanto definen un campo escalar.
N
O
E
S
Un cuerpo colocado en la pendiente de la montaña requerirá de una fuerza para
mantenerlo en posición, queda así definido un campo vectorial. Esta fuerza dependerá
de la pendiente, es decir la variación de altura con la dirección, queda así definida una
derivada común.
La máxima pendiente en un punto se conoce como el gradiente en ese punto.
s   x
s
s
 y
x
y
Por ejemplo, si el cuerpo se encuentra a una altitud=1000 m y la pendiente de la ladera
es de 4 m/km hacia el E y de 3 m/km hacia el N:
a = 1000 + 4 x + 3 y
Grad a = 4 i + 3 j lo que nos está indicando que el
cuerpo se moverá en la dirección de máxima pendiente, 4 m hacia el O por cada 3 m
hacia el S
SIGNIFICADO FISICO DE LA DIVERGENCIA
Supongamos un fluido en movimiento cuya velocidad en cualquier punto está
representada por
v = vx i + vy j + vzk
Consideremos un punto cualquiera P (x, y, z) y a partir de él un paralelepípedo de caras
x, y, z.
Por cada cara entra y sale una cierta cantidad de fluido igual al componente de
velocidad en la dirección considerada multiplicada por el área de entrada.
La divergencia de v en el punto P representa la velocidad neta con que disminuye la
densidad de flujo de materia en ese punto.
La divergencia es una cantidad escalar con signo:
Si es positivo quiere decir que el campo vectorial radia hacia el exterior, es decir
posee un manantial.
Si es negativo el campo converge hacia dicho punto, es decir posee un sumidero.
vy
vx
vz
. V = x + y + z
ECUACIONES DE VARIACIÓN
LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Aplicando la ley de conservación de la materia para el fluido contenido en el interior de un
elemento de volumen x y z
z
xx, y+y, z+ z)
y
x, y,z)
x
x
Región de volumen x y z fijo en el espacio, a través del cual está circulando un fluido.
velocidad de
acumulación
de materia
=
velocidad
de entrada
de materia
-
velocidad
de salida
de materia
Analicemos primero el par de caras perpendicular al eje x
velocidad de acumulación de materia
en el elemento de volumen
velocidad de entrada de materia
a través de la cara x
velocidad de salida de materia
a través de la cara x + x
=  x y z ) dt
=
=
vx ]x y z
vx ]x+x y z
Como puede entrar materia por los 3 pares de caras, tendremos expresiones análogas para el
par de caras perpendicular al eje y y también para el perpendicular al eje z
z
vz]z+z
vy]y+y
xx, y+ y,z+ z)
vx]x
z
vx]x+x
y
x, y,z)
x
vy]y
vz]z
x
 x y z ) dt
ACUMULACIÓN
=
[ vx ]x y z
- vx ]x+x y z ]
CARA X: ENTRADA-SALIDA
+
[ vy ]y x z
- vy ]y+y x z ]
CARA Y: ENTRADA-SALIDA
+
[ vz ]z x y
- vz ]z+z x y ]
CARA Z: ENTRADA-SALIDA
Dividiendo por x y z y tomando lím cuando x y z tienden a 0
/t = /x ( vx) + /y ( vy) + /z ( vz)
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD PARA
UN OBSERVADOR ESTACIONARIO
Expresada en notación vectorial


  ·v
t
El Término

·v  se denomina divergencia de v y representa la velocidad neta de
disminución de la densidad de flujo de materia por unidad de volumen
Efectuando la diferenciación indicada y agrupando las derivadas de  en el primer miembro
Se obtiene la expresión de la derivada sustancial, que describe la velocidad de variación de
densidad desde el punto de vista de un observador que flota con el fluido
 
D
  ·v
Dt
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
PARA UN OBSERVADOR QUE SE MUEVE CON EL FLUIDO
❖ Caso Particular: Fluido incompresible
·v   0
LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
EN DISTINTOS SISTEMAS COORDENADOS
Coordenadas rectangulares (x, y, z):





(v x ) 
(v y ) 
(v z )  0
z
t x
y
Coordenadas cilíndricas (r, , z):

t

1 
(rv ) 
r r
r
1 
(v ) 
r 
Coordenadas esféricas (r, ,


z
(v )  0
z
):


1
1
(v sen) 
(v )  0
 2
(r v r ) 


t r r
r sen 
r sen 

1 
2
ECUACIONES DE VARIACIÓN
LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
La ecuación de movimiento
Segunda Ley de Newton:
F = ma.
Aplicando un balance de conservación de momento para el fluido
contenido en el interior de un elemento de volumen x y z
z
xx, y+ y, z+ z)
y
x, y,z)
velocidad de
acumulación
de cantidad de
movimiento
=
x
x
velocidad de
entrada de
cantidad de
movimiento
-
velocidad de
salida de
cantidad de
movimiento
+
suma de las
fuerza que
actúan sobre
el sistema
A diferencia de la ecuación de continuidad, que es una ecuación escalar, la ecuación de
movimiento es una ecuación vectorial o tres ecuaciones escalares, una en cada dirección.
Analicemos la componente x. Las componentes y y z se obtendrán en forma análoga.
Cantidad de movimiento en la dirección x = masa x velocidad en x
m . vx =  . (x y z) . Vx
velocidad de acumulación de
cantidad de movimiento
en el elemento de volumen
=
 x y z ) ( vxt)
La masa que entra al elemento de volumen es (.v) x y z
y sus tres componentes son:
(vx x y z )
(vy x y z)
vz x y z)
Cada una de estas componentes, multiplicada por el componente de v en la dirección de estudio
vx , es la cantidad de movimiento que ingresa por convección.
z
vz)vx]z +z
(vy)vx]y +y
xx, y+y, z+z)
(vx)vx]x
z
(vx)vx]x+x
y
x, y,z)
x
(vy)vx]y
vz)vx]z
x
CARA
x
y
z
Velocidad de entrada – salida
de cantidad de movimiento
por convección
en la dirección x
ENTRADA
v x v x x y z
v y v x x z
SALIDA
v x v x x  x y z
v y v x
x z
v zv x
v zv x
y
y z { vx vx) ]x
z
x y
y  y
- ( vx vx) ]x +x } +
x z  vy vx) ]y - ( vy vx) ]y +y } +
x y  vz vx) ]z - ( vz vx) ]z +z }
z  z
x y
suma de las fuerza que actúan sobre el sistema
velocidad de entrada de
c. de m. por las
fuerzas gravitatorias
F = m.gx = [ x y z ]. gx
velocidad de entrada de
c. de m. por las
fuerzas de presión
F = P . A = {Px – P]x+x } y z
velocidad de entrada de
c. de m. por las
fuerzas viscosas
z
zx]z +z
yx]y +y
xx, y+y, z+z)
xx]x
z
xx]x+x
y
x, y,z)
CARA
x
yx]y
zx]z
x
x
y
z
velocidad de entrada de
c. de m. por las
fuerzas viscosas
ENTRADA
 xx y z
x
 yx x z
 xx
 zx
 zx
y
z
x y
y z (xx]x - xx ]x+x ) +
x z (yx]y - yx ]y+y ) +
x y (zx]z - zx ]z+z )
SALIDA
y z
x  x
 yx
x z
y  y
Z+Z
x z
x y
Dividiendo toda la ecuación por x y z y tomando el límite cuando x, y, z tienden a
cero, se obtiene la componente x de la ecuación de movimiento.
vx
t
=-
[
vxvx +
x
vyvx
y
+
vzvx
z
xx
] - [ x
+
yx
y
+
zx
P
- g
]
z
x
x
De igual forma se obtienen la componente y
vy
t
=-
[
vxvy +
x
vyvy
y
+
vzvy
z
xy
] - [ x
yy
+
y
+
zy
P
- g
]
z
y
y
y la componente z
vz
t
=-
[
vxvz
x
+
vyvz
y
+
vzvz
z
xz
] - [ x
yz
+
y
zz
+
P
- g
]
z
z
z
(vx) (vy) vz) son los 3 componentes del vector velocidad másica v
(gx) (gy) gz) son los 3 componentes del vector aceleración gravitacional g
Px) Py) Pz) son los 3 componentes del gradiente de Presión
(vxvx) (vyvx) vzvx) (vyvx), etc. son los 9 componentes del flujo convectivo de cantidad de movimiento
vv (producto diádico entre v y v)
xx , yx , zx , xy , etc. son los 9 componentes del tensor esfuerzo de corte 
Sumando vectorialmente los 3 componentes:
(v) /t =
Velocidad de ganancia de c. de m. por unidad de volumen
{ . vv }
Velocidad de ganancia de c. de m. por unidad de volumen
debido a la convección
 P)
Fuerza de presión que actúa sobre el elemento
por unidad de volumen

-(
+g

-(
. )
Fuerza de gravedad que actúa sobre el elemento
por unidad de volumen
velocidad de ganancia de c. de m. por unidad de
volumen debido a las fuerzas viscosas
La ecuación de movimiento se puede reordenar utilizando la ecuación de continuidad:
 Dvx
Dt
= -
[
xx
x
yx
+
y
zx
+
z
]-
P
x
+
De igual forma se pueden obtener las componentes y y z.
gx
Sumándolas vectorialmente:
 Dv/Dt =
masa por unidad de volumen multiplicada por aceleración
- (  P)
fuerza de presión sobre el elemento por unidad de volumen

. )

-[
+g
fuerza viscosa sobre el elemento por unidad de volumen
fuerza gravitatoria sobre el elemento por unidad de volumen
Esta ecuación, expresada en notación vectorial, es una descripción de las variaciones que
tienen lugar en un elemento que sigue el movimiento del fluido.
Es una expresión de la Segunda Ley de Newton:
masa x aceleración = suma de fuerzas
Para poder determinar los perfiles de velocidad, es necesario expresar los  en función de los
gradientes de velocidad y propiedades del fluido.
Para un fluido newtoniano:

 2
xx
 yy  2

 2
zz
v x
x
v y
y
v z
z



2
3
2
3
2
3
 yx   xy
v y
v
  yx  x
 
 yz   zy
v y
v
  yz  z
 

 
 
 ·v
 ·v
 ·v

xz
zx
v z
 v x
x
z
Formas restringidas de la ecuación de movimiento
i. Fluido de densidad y viscosidad constantes. (Ecuación de Navier-Stokes)

Dv
  2v  p  g
Dt
ii. Sistemas de flujo sin efectos viscosos. (Ecuación de Euler)

Dv
 p  g
Dt
iii. Fluido en reposo.
0  p  g
La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares
(en función de τ )
componente x:

v x
v
v x
v x
 vx
 vy
 v z zx
t
x
y
p
 xx  yx  zx


  gx


x
x
y
z
componente y:

v y
t
 vx
v y
x
 vy
v y
y
 vz
v y
z
  p 
y
 xy
x

 yy
y

zy
z
  gy
componente z:

v z
v
v
v z
 vx z  vy
 v z zz
t
x
y
p
 xz  yz  zz


  gz


z
x
y
z
La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares
(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)
componente x:

v x
v x
v x
v x
 vx
 vy
 vz
t
x
y
z
2
2
2
 vx   vx  vx
p


  gx
2 
2
2
y
z
x
x
componente y:

v y
t
 vx
v y
x
 vy
v y
y
 vz
v y
z
 2v y  2v y  2v y
p




y
x 2
y 2
z 2
  gy
componente z:

v z
v
v
v z
 vx z  vy
 v z zz
t
x
y
2
2
2
 vz   vz  vz
p


  gz

2
y 2
z 2
z
x
La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas
(en función de τ )
componente r: 
componente
θ :

componente z: 
v r
v r v  v r  v 2  v v r   p
 vr

z
r 
r
t
r
z
r
1 

(r  )  1  r     rz
  gr


rr
r r
r 
z
r
v
v
1 p
 v r v   v  v   v r v   v z   
t
r
r 
r
z
r 
 2
1
(r  )  1    z
 2
  g

r
r 
z
r r

v z
v z v  v z  v v z   p
 vr

z
t
r
r 
z
z
1 
1 

(r 

z
 zz   gz
rz ) 
r r
r 
z
La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas
(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)
componente r: 
v r
v r v  v r  v 2  v v r
 vr

z
r 
r
t
z
r

componente
θ :

componente z: 

r
1 
rv r 

r r

  p
r
1  2v r
r2

2

2 v 
r
2


 2v r
z
2
 gr
v 
v
v v
v v
v
1 p
 vr      r   v z   
t
r
r 
r
z
r 
2 v r  2v 
1  2v 
 1 


 g
rv    2


2
2
r


r r r
r
z 2
v z
v z v  v z
v z
p
 vr

 vz

r 
r
t
z
z

1 
r r
r
v z
r

1  2v z
r
2
2

 2v z
z 2
 g z
La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas
(en función de τ )
componente r:
v 2  v 2
v
v
v
v
v
v

r
r
r
r
  p

 

 vr

t
r 
r sen  
r
r
r

1 
2
r r
2
(r  rr ) 
1  r      
1

  gr

 r  sen  
r sen  
r sen 
r
componente
v 2 cot 
θ :
v 
v  v
v
v v
v v
1 p

 vr
  
 
  r  

t
r 
r sen 
r
r
r
r 
1  r  cot 
1  2
1



    g
 2
(r  r  ) 
  sen  

r
sen


r
sen

r
r
r r
componente
Φ:
v 
v
v  v
v v
v v 
v  v 
1 p


r
cot   


 vr




r
r 
r sen  
t
r
r
r sen  
1  2
1 
1  r  2cot 
 2
(r r  ) 



    g
r sen  
r
r
r 
r r
La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas
(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)
componente r:
2
2
v

v
v
v
v
v
v
p



r
r
r

 vr
 


t
r
r
rr 
r sen  
r
v

2
  v r 
componente
θ :
componente
Φ:

2
r
2
vr 
v 
2
 v  cot   2
  gr
r sen 
 r 2
2 v
r2

2
v
v  v 
v  v  v 

 vr



t
r
r 
r sen 
r

v 2 cot 

r
v v
2 v
2cos
v
r  v 
2

r
  g
  v 
 2
 2
2
2
2 
r
sen

r
sen


r
v  v v   v v   v  v  v v r  v v 
cot 
 


1 p
r 

r sen  
r
r
r 
r
t
2
v
2cos  v
v
1 p
2
r 
  g


   v  2

2
2
2
2
r sen  r sen 
r sen  
r sen  
En estas ecuaciones:
r


2
1


1
1
sen

2
 
r r  2

2
2
2
2
r sen 
r sen  
r r
2
Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares

  2
xx
v x
x
 yy   2
 zz   2
v y
y


2
3
2
3
(·v )
(·v )
v z 2
 (·v )
z 3
 xy   yx
v x v y
  y  x
 yz   zy
v y  v z
  z
y

 

zx
xz
v z
 v x
x
z
v x v y v z
.v  x  y  z
 
Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilíndricas

  2
rr
v r
r
    2
 zz   2

2
(·v )
3
1 v  v r  2 (·v )

3
r 
r
v z  2 (·v )
z 3
 v
1 v
 r    r   r r r  r r


z

z

zr
 
 
rz
v 
z
v z

1 v z
r 
 v r
r
z
·v  1r r rv r   1 v   v z
r 
z
Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas esféricas

  2
rr

r
    2

v r
  2

2
(·v )
3
1 v v r  2 (·v )

3
r 
r
1 v  v r v  cot   2 (·v )

r sen  
3
r
r
 v
1 v
 r    r   r r r  r r
    
1 v
sen 
v

 
r  sen   r sen  
1 v r
 v
 r r r
r sen 
 r   r   
1  2
1 v 
1

r
v

sen

r
v
 r sen  
.v  r 2 r
r sen  
 


ECUACIONES DE VARIACIÓN
LA ECUACIÓN DE ENERGÍA
Si la ecuación de movimiento:

Dv
 p  .  g
Dt
se multiplica escalarmente por v:
Se obtiene la Ecuación de Energía Cinética por unidad de masa para un
elemento de fluido que se mueve con la corriente:
Utilizando la Ecuación de Continuidad puede rescribirse::
Velocidad de incremento de energía cinética por unidad de volumen
Velocidad neta de entrada de energía cinética debida al flujo global
Velocidad de Trabajo producida por la presión de los alrededores sobre el
elemento de volumen:
Velocidad de conversión reversible en energía interna
Velocidad de Trabajo producido por las fuerzas viscosas que actúan sobre el
elemento de volumen:
Velocidad de conversión irreversible en energía interna
Velocidad de Trabajo producida por la fuerza de gravedad que actúa sobre
el elemento de volumen:
El Numero de Reynolds; Re
Osborne Reynolds (1842-1912) realizó estudios experimentales para determinar cuando el flujo
era laminar o turbulento en un conducto.
El número de Reynolds en un parámetro adimensional :
 densidad del fluido
 coeficiente de viscosidad
 viscosidad cinemática
Re =
vL
vL
=


v velocidad característica
L longitud característica (diámetro del conducto o longitud del cuerpo)
El Re es importante al estudiar cualquier tipo de fluido cuando hay un cambio sustancial en el
gradiente de velocidad.
El Reynolds es el cociente entre [fuerzas inerciales] y [fuerzas viscosas]. Indica la importancia
relativa de los efectos inerciales comparados con los viscosos.
Considerando que el predominio de fuerzas inerciales está asociado a la turbulencia y el de
fuerzas viscosas al flujo laminar, es de esperar que un alto Re sea la característica de un flujo
turbulento.
Por lo contrario, un bajo Reynolds estará asociado con un flujo laminar.
La transición de flujo laminar a turbulento ocurre entre Re 2000 y 4000.
Ejemplo:
Si se mueve una cuchara en el aire y luego en miel a la misma velocidad, el valor del Re será
mucho menor en la miel.
Calcule el valor de Reynolds para los siguientes casos para observar la amplitud de su valor:
Boeing 747:
Longitud de fuselaje
Velocidad
Fluido:
L = 75 m
v = 980 km/h
Aire -40° C
Re =
6,8 x 108
 = 3x10-5 m2/s
Espermatozoide de un erizo de mar:
Longitud
Velocidad
Fluido:
L = 0.045 mm
v = 0.1 mm/s
Agua a 10° C
 = 1,25 mm2/s
Re = 3,6 x 10-3
LIMITACIÓN AL USO DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN
Las Ecuaciones de Variación brindan
gran información del flujo a escala microscópica
incluyendo perfiles de velocidad y esfuerzos cortantes
e indican con seguridad qué variables influyen en el flujo
PERO
Son difíciles de resolver para sistemas reales:
Condiciones de contorno complejas
Régimen de flujo turbulento
Partícula
de fluido
Partícula
de fluido
Camino de
la partícula
de fluido
Régimen Laminar
Camino de
la partícula
de fluido
Régimen Turbulento
En flujo laminar el fluido se mueve en capas, cada una deslizándose suavemente sobre la
siguiente. No se produce mezcla de fluido entre las capas sucesivas, dado que las fuerzas viscosas
impiden el movimiento relativo entre capas. Como cada capa de fluido se mueve sobre la
adyacente, la velocidad del fluido aumentará con la distancia a la pared del conducto. El perfil de
velocidad resultante tendrá una forma parabólica:
En flujo turbulento ya no existen estas capas ordenadas sucesivas de líquido. La inercia del
fluido supera los esfuerzos viscosos dando lugar a una continua mezcla de porciones del fluido a
lo largo de la corriente. Esto hace que el perfil de velocidad sea prácticamente plano:
Características del Flujo Turbulento
➢Flujo irregular o aleatorio
➢Esta es la razón por la cual se usan métodos estadísticos para el cálculo de turbulencia
➢Flujo difusivo
➢Favorece un mayor mezclado aumentando la velocidad de transferencia de momento,
masa y energía
➢Flujo con alto Re
➢Hay un manifiesto predominio de las fuerzas inerciales sobre las viscosas
➢Remolinos que fluctúan en las tres dimensiones
➢Son flujos tridimensionales y rotacionales con alta fluctuación de remolinos
Flujo disipativo
➢Requieren de una continua alimentación de energía dado que la energía cinética de la
turbulencia se disipa en forma de calor por influencia de la viscosidad
La turbulencia es una propiedad del flujo y no del fluido
MODELO DE FLUJO PARA UNA TUBERÍA
v
tiempo
Fluctuación respecto de
velocidad ajustada
Velocidad ajustada
tiempo
Velocidad instantánea:
v = v (t, x, y, z)
Componente fluctuante vz ´ = vz ++ vz
Velocidad ajustada
Fluctuación
Velocidad en un punto
AJUSTE DE TIEMPO DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN
Ecuación de
Continuidad
Ecuación de
Cantidad de Movimiento
Ecuación de
Continuidad
de Tiempo Ajustado
Ecuación de
Cantidad de Movimiento
de Tiempo Ajustado
Ecuación de Continudad
de Tiempo Ajustado
Ecuación de Cantidad de Movimiento
de Tiempo Ajustado
EXPRESIONES SEMIEMPÍRICAS PARA LOS ESFUERZOS DE REYNOLDS
◆ VISCOSIDAD DE REMOLINO DE BOUSSINESQ
m(t) : coeficiente turbulento de viscosidad o viscosidad de remolino
varía considerablemente con la presión
◆ LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL
➢Parte de una analogía incorrecta: “Los remolinos se mueven en igual forma que las moléculas
en un gas”
➢Asume la turbulencia como función de una longitud característica (analogía con el recorrido
libre medio en la teoría cinética de los gases)
➢De resolución matemática simple
➢Poca exactitud para flujos con paredes no planas
l : longitud de mezcla de Prandtl
proporcional a la distancia medida a la superficie sólida
v1
v2
La teoría de longitud de mezcla de Prandtl asume que:
Una porción de fluido debe viajar una distancia l antes de transferir cantidad de movimiento.
La partícula de fluido ubicada en la capa 1 tiene v1 y cuando se mueva hasta la capa 2 debido a
los remolinos turbulentos, lo hará conservando su v1 hasta el momento de arrivar a la capa 2.
Recién ahora modificará su v intercambiando cantidad de movimiento con partículas de fluido
de la capa 2. Esta acción acelera la velocidad de transferencia en la capa 2
EXPRESIONES SEMIEMPÍRICAS PARA LOS ESFUERZOS DE REYNOLDS
◆ HIPÓTESIS DE SEMEJANZA DE VON KARMAN
k2 : constante universal
varía entre 0,40 y 0,36
◆ FÓRMULA EMPÍRICA DE DEISSLER PARA LA REGIÓN PRÓXIMA A LA PARED
n: constante empírica
para flujo en tubo = 0,124