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Capítulo 2
DINÁMICA DE MEDIOS CONTINUOS
2.1
Descripción de la fuerzas
En mecánica clásica las fuerzas son la causa eficiente del cambio del movimiento. La
dinámica de cuerpos deformables requiere la representación matemática de fuerzas distribuidas en forma continua en la materia. Las hay de dos tipos, de volumen y de contacto.
2.1.1 Fuerzas de volumen
Las fuerzas de volumen pueden actuar en cualquier punto del cuerpo y se describen habi−
→ →
tualmente con un campo vectorial del tipo espacial F (−
x , t), de modo que la fuerza que
actúa sobre un diferencial de volumen se indica con:
−→ −
−
→
→ →
→
x , t)Ei d3 x.
(2.1)
dF = F (−
x , t)d3 x = Fi (−
−
→
Las dimensiones físicas de F son las de fuerza por unidad de volumen [F ] = M L−2 T −2 .
−
→
La resultante R de las fuerzas de volumen sobre un volumen finito V de materia se calcula
con la integral
Z
−
→
−
→−
R =
F (→
x , t)d3 x.
(2.2)
V
−
→
En ciertos casos es más conveniente emplear la fuerza por unidad de masa, F , cuyas
dimensiones son las de una aceleración, [F] = LT −2 y se define por
→
−
→ 1−
F = F.
ρ
(2.3)
Las fuerzas de volumen son llamadas también fuerzas exteriores. No siempre,
pero a menudo su origen es exterior al medio contínuo. Tal el caso más común de la
fuerza de gravedad sobre la superficie terrestre:
−
→
−
→
F = −ρg Ez ,
(2.4)
−
→
donde g = 981cm/s2 , aproximedamente, Ez es el vector de módulo unidad orientado según
la dirección, z, de la vertical del lugar, cuya causa se debe a la atracción de la masa de la
Tierra. Esta fuerza es, como se sabe sabe, en buena aproximación constante para muchas
aplicaciones prácticas, dentro de distancias y alturas de algunos centenares de metros.
−−→
−
→
La fuerza de gravedad por unidad de masa F = − g Ez es conservativa y deriva de un
potencial
−
→
F = −grad(Ω), Ω = gz.
(2.5)
Sin embargo, en otros casos las fuerzas de volumen tienen origen en el mismo
cuerpo bajo estudio. Al examinar el equilibrio de una estrella, se debe tener en cuenta
que el material que la forma es autogravitante. Cada elemento de volumen ejerce atracción
gravitatoria sobre los demás y la fuerza sobre un elemento particular resulta de la influencia
de todas las otras masas presentes en la estrella. En este caso el potencial satisface la
ecuación de Poisson, con fuentes que son interiores al sistema y dependen de la distribución
de densidad,
→
→
x , t) = −4πGρ(−
x , t),
(2.6)
∇2 Ω(−
Descripción de la fuerzas
28
donde ∇2 es el operador Laplaciano (∇2 ≡ ∂ 2 /∂xj ∂xj ) y G es la constante de la gravitación universal (G = 6.67 × 10−8 g −1 cm3 s−2 ).
Otro ejemplo de fuerza de volumen es la fuerza de Lorentz, debida al pasaje de
corriente eléctrica por un medio conductor en presencia de un campo magnético. Sea
−
→−
j (→
x , t) la densidad de corriente eléctrica en un fluido que es un buen conductor, y sea
−
→−
B (→
x , t) el campo magnético presente. La fuerza de Lorentz (por unidad de volumen)
vale
1−
−
→−
−
→ →
→ →
F (→
x , t) = j (−
x , t),
(2.7)
x , t) × B (−
c
donde la constante depende del sistema de unidades. En el sistema cgs-ues, c, es la
velocidad de la luz en el vacío, c = 3 × 1010 cm/s, aproximadamente. El campo magnético
en el cuerpo puede ser generado por corrientes que circulan en bobinas externas, pero en
−
→ →
algunos experimentos j (−
x , t) llega a ser tan intensa que genera un campo magnético
propio significativo. En esas circunstancias la fuerza se debe esencialmente a factores
interiores al cuerpo.
2.1.2 Fuerzas de superficie
Además de las fuerzas de volumen, las fuerzas de superficie tienen un papel crucial en
la mecánica de medios contínuos. Esta fuerzas actúan por contacto directo entre dos
partes cualesquiera del cuerpo y se definen como fuerzas por unidad de área. Si las partes
en contacto se separan, las fuerzas de superficie, ejercidas cuando las partes estaban
unidas, desaparecen, es decir, no operan a distancia finita. Las fuerzas de contacto son la
resultante de un gran número de acciones atómicas o moleculares de muy corto alcance
que obran a escala microscópica.
Para definir las fuerzas de superficie comenzamos por introducir la noción de corte
(o sección) dentro del medio contínuo. Con ello entendemos una pequeña área orientada,
−→
→
→
∆S = −
n ∆S, que pasa por un punto P cualquiera del cuerpo, ubicado en −
x , con una
−
→
−
→
normal positiva n (| n | = 1) que permite distinguir la cara positiva (el lado que mira
hacia la normal) de la cara negativa (el lado que yace en dirección opuesta a la normal).
Un corte es un elemento geométrico ideal, que podemos imaginar a voluntad ubicado en
cualquier parte del medio continuo, con una orientación completamente arbitraria. Por
un punto P pasan infinitos cortes, no sólo porque sus áreas pueden ser más o menos
→
extendidas, sino porque a igualdad de ∆S, existe una infinidad de orientaciones de −
n.
Ahora podemos referirnos a la fuerza de contacto que actúa a través de un corte. El
−→
material que está del lado positivo del corte ejerce una fuerza ∆f (n) sobre la materia que
está del lado negativo. Notemos que esta fuerza depende del tamaño del área, la posición
dentro del medio continuo, el tiempo y la orientación del corte
−→ → −
−→
x , t; →
n ).
∆f (n) = ∆f (−
(2.8)
Se entiende que hablamos de las capas inmediatamente adyacentes a la superficie del corte
(la materia alejada del corte no siente la acción de esas fuerzas de superficie). Destacamos:
la materia que ejerce la fuerza es la que se apoya sobre la cara positiva, la materia que
recibe la acción es la que toca la cara negativa del corte. Pero si consideramos un segundo
−
→
→
n,
corte, orientado exactamente a 180 grados del primero, es decir, cuya normal es n0 = −−
−→
−→
entonces ∆f (n0 ) = ∆f (−n) es la fuerza que ejerce la materia que está del lado negativo
sobre la materia ubicada en el lado positivo del primer corte. Agente y recipiente de
la interacción en la primera configuración han intercambiado sus papeles en el segundo
corte. Como en mecánica las fuerzas, de cualquier índole, satisfacen el principio de acción
y reacción, debe ser
−→
−→
∆f (−n) = −∆f (n) .
(2.9)
Dicho en palabras, la fuerza que opera sobre la materia en contacto con el lado negativo
debe ser igual y contraria a la fuerza que recibe la materia ubicada en el lado positivo de
la superficie.
Descripción de la fuerzas
29
Las investigaciones de Evangelista Torricelli y Blaise Pascal durante el siglo XVII,
Daniel Bernouilli y Leonhard Euler en el siglo XVIII, fueron abriendo camino a la noción
de presión en líquidos y gases, hasta que Euler puso este concepto en términos matemáticos
mediante su introducción en las ecuaciones en derivadas parciales de la fluidodinámica.
La idea es que en el seno de un fluido, líquido o gas, la fuerza que se transmite a través
de cualquier corte de área muy pequeña (diferencial) arbitrariamente orientado, es una
presión, es decir, una fuerza ejercida en dirección opuesta a la normal. La ecuación que
traduce este concepto con notación moderna es,
−
→
→
df (n) = −p−
n dS.
(2.10)
→
Fórmula en la que aparece una magnitud escalar positiva, la presión p = p(−
x , t), con
dimensiones de fuerza por unidad de área, definida por
¯−→ ¯
¯
¯
¯∆f (n) ¯
p = lim
,
(2.11)
∆S→0
∆S
donde [p] = M L−1 T −2 . Con notación de componentes
df(n)i = −pni dS,
(2.12)
donde ni , i = 1, 2, 3, son los cosenos directores de la normal (respecto de los ejes de
coordenadas). Para una superficie finita, digamos la superficie S que encierra un volumen
V de fluido, se escribe
I
−
→
→
f = − p−
n dS,
(2.13)
s
la cual es la resultante de todas las acciones que se ejercen a través de la superficie S,
causadas por la materia externa que rodea el volumen elegido y está en contacto con su
frontera.
−→
Mientras la intensidad de ∆f (n) depende de la extensión del área ∆S, la densidad
superficial de fuerza, p, tiene¯ la ventaja
de eliminar esa dependencia, o por lo menos, de
¯
¯−→ ¯
hacer explícito el hecho que ¯∆f (n) ¯ es proporcional a ∆S cuando esta área tiende a cero.
El significado de 2.10 es que la acción sobre la parte negativa del corte es siempre un
→
empuje en dirección contraria a la normal, como quiera que se oriente −
n , o sea, para
cualquier corte por un punto dado.
En condiciones de equilibrio de líquidos, hidrostática, esta propiedad había sido
demostrada por Pascal (matemático y físico genial y además una cumbre de la mística de
todos los tiempos, 1623 - 1662) en célebres experimentos sobre el principio de la prensa
hidráulica. Euler, más adelante, considera aplicable la 2.10 a cualquier configuración
de movimiento de un líquido o de un gas y con esta hipótesis pone las bases de una
construcción teórica, el modelo de fluidos ideales. En verdad, este modelo es sólo una
aproximación puesto que ignora el fenómeno de la viscosidad. La observación de los fluidos
−
→
en movimiento muestra que la fuerza de contacto, df (n) , no es unicamente paralela a la
normal, como indica 2.10.
La generalización de estas nociones acerca de las fuerzas de superficie a un material
cualquiera, sólido deformable o fluido y la extensión de 2.10 tuvo lugar en la primera
mitad del siglo XIX y se debe a Augustin Louis Cauchy (1789-1857) uno de los máximos
matemáticos de su época, quien se ocupó también de teoría de la elasticidad (1822) y de
teoría de los cristales. Veamos como Cauchy pensó esta cuestión. Sea un corte arbitrario
−→ −
∆S = →
n ∆S. Las partículas atómicas α adyacentes a la superficie de separación del lado
−
→(αβ)
+ de un corte, ejercen fuerzas de tipo binario z (n) sobre los átomos β que yacen sobre
−
→(αβ)
el corte del lado −. La fuerza z (n) representa la interacción entre dos partículas α y β,
α 6= β. La fuerza asociada al corte, 2.8, es la resultante de todas estas interacciones
X X −
−→
→(αβ)
(2.14)
∆f (n) =
z (n) .
α
β
Descripción de la fuerzas
30
La fuerza media por unidad de área que actúa sobre la materia del lado − del corte es
−→
∆f (n) /∆S. Cauchy introduce la hipótesis que en todo punto P del medio contínuo, en
→
todo tiempo y para cualquier orientación −
n , existe y es finito el límite
−−→ (−
→
σ
(n) x , t) = lim
∆S→0
P P −
→(αβ)
α
β z (n)
∆S
−→ −
→
∆f ( →
x , t; −
n)
,
∆S→0
∆S
= lim
(2.15)
que se realiza mediante una sucesión de cortes, que pasan por P , con áreas cada vez más
→
→
−−→(−
pequeñas y manteniendo fija la orientación −
n . La fuerza por unidad de área σ
(n) x , t)
se denomina esfuerzo interno. La fuerza de superficie asociada con un diferencial de área
dS vale
−−→ −−→
df(n) = σ (n) dS,
(2.16)
−−→
y depende de la orientación del corte; df(n) actúa sobre el material ubicado en el lado
opuesto a la normal. La resultante de las fuerzas de contacto sobre una superficie cerrada
S es
I
−
→
−−→dS,
f = σ
(2.17)
(n)
s
y para las componentes tenemos
fi =
I
σ (n)i dS.
(2.18)
s
−−→ es un vector pero no es un campo
Algunas observaciones. a) El esfuerzo σ
(n)
−
→
vectorial, porque en cada punto x se asigna una infinidad de vectores, uno por cada
→
−−→ se calcula mediante un tensor
dirección −
n del espacio. Veremos más adelante que σ
(n)
de esfuerzos.
b) La observación relacionada con 2.9 es válida aquí y podemos escribir
−→
−−→ = −−
σ−
σ
(n)
(−n) ,
(2.19)
en virtud del principio de acción y reacción que deben cumplir cada una de las interacciones
−
→(βα)
−
→(αβ)
binarias z (n) = − z (n) mencionadas.
c) El modelo de fluidos ideales de Euler corresponde al caso particular
−
→
→
−−→ = −p−
n = −pni E i .
σ
(n)
(2.20)
Un esfuerzo de este tipo se suele denominar hidrostático porque es característico de las
situaciones de equilibrio de los fluidos, aunque como se ha dicho en los fluidos ideales se
asume su validez también en estado de movimiento. Sin embargo, en general es
→
−−→ = σ −
σ
(n)
(n)i E i ,
(2.21)
donde las componentes σ(n)i no son proporcionales a ni (salvo en el modelo de Euler).
→
d) Tomando el producto escalar de 2.21 por −
n se obtiene
−−→ • −
→
σ
n = σ nn = σ (n)i ni ,
(n)
(2.22)
−−→ en la dirección de la normal, σ , conocidas las comla componente del esfuerzo σ
nn
(n)
ponentes σ (n)i (no hay suma en σ nn puesto que n no es un índice que varía de uno a
−−→ paralela a la normal. Cuando
tres). Otra notación para σ nn es σ k , la componente de σ
(n)
σ k > 0 decimos que se ejerce una tracción a través del corte. Un esfuerzo de tracción es
muy común en los sólidos, pero no se da nunca en los gases y, salvo en circunstancias muy
excepcionales, no se da en los líquidos. En cambio, cuando σ k < 0 decimos que el esfuerzo
sobre el corte es una presión. En los fluidos, normalmente se da este último caso.
e) La diferencia
−
−
→
−−→
σ→
(2.23)
⊥ = σ (n) − σ k n ,
Descripción de la fuerzas
31
es la parte del esfuerzo perpendicular a la normal y por lo tanto es un vector que yace en
el plano del corte. Se denomina, precisamente, esfuerzo de corte o de cizalla. El fenómeno
de la viscosidad en los líquidos y en los gases produce este tipo de esfuerzo. En el modelo
de fluidos ideales, 2.10, evidentemente −
σ→
⊥ = 0. Resumiendo, en general el esfuerzo interno
se escribe como
→ −→
−−→ = σ −
(2.24)
σ
(n)
k n + σ⊥.
−→
−
→(αβ)
f) Un sistema de fuerzas como las z (n) no sólo equivale a una resultante, ∆f (n) ,
−−→
sino también a un momento resultante ∆m(n)
X X
−−→
−
→(αβ)
−
r→
∆m(n) =
(2.25)
β × z (n) ,
α
β
donde −
r→
β es la posición del átomo sobre el cual actúa la fuerza, respecto del punto P , centro
del corte y polo de momentos. Sea el área ∆S proporcional a ε2 , donde ε es una pequeña
r→
dimensión lineal, evidentemente |−
β | es a lo sumo una distancia de orden ε. Puesto que
−→
0
∆f (n) /∆S es de orden ε , y tiende a un valor finito cuando ∆S → 0, concluimos que
−−→
∆m(n) /∆S es de orden ε y tiende a cero junto con el área del corte. Por lo tanto, la
densidad superficial del momento de las fuerzas de corte respecto del centro del corte es
cero. Este argumento tiene una excepción posible: la existencia de cuplas (fuerzas iguales
y opuestas con distinto punto de aplicación). En principio, podrían existir materiales
con cuplas de gran intensidad, que dieran lugar a una densidad superficial de momento
significativa, junto con el esfuerzo interno, en cada corte del cuerpo. Este es un tópico
especializado de la física de materiales exóticos y existen teorías para tales materiales que
se denominan polares. No vamos a tratarlos en estas notas, de modo que en los medios
−−→
continuos considerados aquí, ∆m(n) /∆S → 0.
Elegido un sistema de coordenadas cartesianas, xi , en el espacio euclidiano ordi−
→
nario de tres dimensiones, con su base ortonormal E i , podemos elegir tres cortes en los
−
→
−
→
−
→
→
cuales −
n es paralela a E 1 , E 2 , E 3 , respectivamente. En cada punto del medio continuo
queda definida una terna de esfuerzos internos
¡−−→ −−→ −−→¢
,
(2.26)
σ ,σ ,σ
(1)
(2)
(3)
que se denominan esfuerzos principales (asociados al sistema de ejes adoptado). Los
esfuerzos principales −
σ→
(i) , i = 1, 2, 3, corresponden a cortes cuyas normales son los vectores
−
→
de la base, E i . A su vez cada esfuerzo principal tiene tres componentes cartesianas
−
→
−
→
−
σ→
σik = −
σ→
i, k = 1, 2, 3.
(2.27)
(i) = σ ik E k ,
(i) • E k ,
Por lo tanto, la terna de esfuerzos principales define un cuadro, o matriz de esfuerzos, S,
con nueve componentes


σ 11 σ12 σ 13
(2.28)
S ≡  σ 21 σ22 σ 23  .
σ 31 σ32 σ 33
En σ ik , el primer índice representa un esfuerzo principal y el segundo índice corresponde
a la componente de ese esfuerzo. El primer índice, entonces, va asociado a la orientación
del corte, el segundo con el carácter vectorial del esfuerzo. Es evidente, ut supra, que
las componentes diagonales corresponden a presiones o tracciones (según el signo en cada
caso) mientras que todas las componentes no diagonales representan esfuerzos de corte o
cizalla. Por ejemplo, σ 22 es la componente según el eje x2 del esfuerzo asociado con un
corte normal a x2 , mientras que σ 31 es la componente según x1 del esfuerzo correspondiente a un corte cuya normal está alineada con x3 , y así siguiendo. He aquí un ejemplo
destacado de magnitud física que depende de la especificación simultánea de dos direcciones en el espacio. Para este tipo de magnitudes se desarrolla el concepto de tensor de
rango dos en el dominio del álgebra lineal.
Sin embargo, no podemos avanzar más en el examen de los esfuerzos principales y
el carácter tensorial de sus componentes, sin considerar primero los postulados dinámicos.
Los principios de la mecánica de medios continuos
2.2
32
Los principios de la mecánica de medios continuos
2.2.1 Sistemas inerciales
La noción de sistema inercial ocupa una posición central en los fundamentos de la mecánica clásica. Cuando el observador realiza sus mediciones de posición y tiempo en un
sistema inercial, SI, todo movimiento libre de fuerzas es un movimiento de translación
con velocidad uniforme. En un SI, cuando no hay fuerzas un cuerpo en estado de reposo
permanece en reposo. Decimos también que en un SI se cumple la segunda ley de Newton.
−
→
→
Por ejemplo, la aceleración −
a del movimiento en un SI se debe a la fuerza F que opera
−
→
→
sobre la masa m, m−
a = F . Para un cuerpo libre de fuerzas se cumple el principio de
→
inercia, i.e., su movimiento es tal que −
a = 0. De aquí se sigue que si hemos encontrado un
sistema inercial, hemos encontrado infinitos. Todo sistema de referencia en movimiento
de translación uniforme respecto de un SI, es también un SI.
En la definición de SI hay riesgo de caer en un vicio circular: para poder aplicar las
leyes de Newton debemos comenzar por ubicarnos en un SI, pero para saber si el sistema
de referencia elegido es un SI hay que verificar que se cumplan las leyes de Newton. Por
otra parte si encontramos discrepancias con las leyes de Newton, ¿a qué causa debemos
atribuir el hecho? ¿nos falta alguna fuerza que aún no conocemos o el sistema de referencia
no es exactamente un SI ?
Hay que tener presente que el concepto de SI no es puramente teórico, se basa
en la evidencia empírica acumulada durante el desarrollo de la mecánica y consiste de
una serie de refinamientos que fueron establecidos en varias etapas. La noción de SI es
el resultado de un desarrollo histórico y está vinculada al avance de las observaciones y a
la precisión de los métodos de medición. Que este concepto sea delicado no sorprenderá
al lector si reflexiona que Newton mismo no estaba en posesión de esta noción y que
introdujo la idea de un espacio absoluto (que llamó sensorium Dei) para escapar al problema de la relatividad del movimiento respecto del observador, que acecha el contenido
y la consistencia de la segunda ley. Recién en el último cuarto del siglo XIX el espacio
absoluto se derrumba bajo el empuje de la crítica especializada.
Es un hecho que en cada etapa del progreso de la mecánica, acompañado por
un avance de la precisión de las observaciones, los investigadores pudieron identificar un
SI con el grado de aproximación requerido y pudieron asegurar dentro de ese marco el
conocimiento de todas las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Suponemos conocido por
el lector el hecho que la segunda ley de ningún modo es una definición de la fuerza actuante.
Para tener sentido la segunda ley debe contar con un conocimiento a priori de las fuerzas
que operan sobre el cuerpo, sólo así se convierte en una ecuación que permite predecir las
órbitas. Sólo en este contexto las fuerzas son la ”causa ” de movimientos no uniformes.
Pero esto no basta, hay que especificar también como se calculará la aceleración, ya que
cambiando un observador por otro en movimiento no uniforme respecto del primero, se
modifica la aceleración. Por lo tanto, la solución del vicio circular mencionado tiene que
venir de la experiencia y esta debe resolver simultáneamente las dos cuestiones: especificar
las fuerzas y señalar cuales son los sistemas de referencia legítimos, los SI.
La primera aproximación a un sistema inercial es la de un observador en reposo
sobre la superficie terrestre. Dentro de cierto grado de precisión las leyes de Newton
permiten describir la mecánica de puntos masivos sujetos a la fuerza de gravedad y al
inevitable rozamiento, en acuerdo con lo observado. La desviación de la vertical en la
caída de los graves, el proceso de las mareas de 12 horas y más adelante el péndulo de
Foucault, señalan los límites de este SI. Además la mecánica celeste necesita un sistema
de referencia fijo al Sol para estudiar las órbitas planetarias. Los astrónomos introducen
el sistema heliocéntrico, orientado según tres estrellas ”fijas”, es decir tres estrellas de
nuestra galaxia. Este SI es mucho más preciso y mediante su introducción encuentran su
explicación las anomalías observadas en el sistema geocéntrico. Pero el SI de la astronomía
planetaria a su vez no es suficiente para el estudio del movimiento de las estrellas de nuestra
galaxia, o el movimiento de las galaxias vecinas, porque su orientación, aunque sea poco,
varía y esta variación afecta las observaciones de alta precisión. Entonces los astronomos
Los principios de la mecánica de medios continuos
33
recurren a SI galácticos cada vez más refinados, empleando la orientación dada por tres
galaxias lejanas. La identificación de un SI, como se ve, es un proceso experimental de
sucesivas aproximaciones.
2.2.2 El principio de la cantidad de movimiento
La formulación de este principio se remonta a la hidrodinámica de Euler, en la cual el
esfuerzo interno sólo da cuenta de la presión. La versión moderna es como sigue. Sea
una porción cualquiera de un medio continuo, que ocupa un volumen movil V(t) rodeado
por una superficie S(t). El primer postulado de la dinámica afirma que en un SI se debe
cumplir la ecuacíon
Z
Z
I
d
−
→ 3
3
−−→dS ,
−
→
σ
F d x+
ρvd x=
(2.29)
(n)
dt V(t)
V(t)
S(t)
para cualquier elección de V(t). La expresión para las componentes es de la forma
Z
Z
I
d
3
3
ρvi d x =
Fi d x +
σ (n)i dS .
(2.30a)
dt V(t)
V(t)
S(t)
Como vemos, el enunciado afirma que, en un sistema inercial, la causa de la variación de
la cantidad de movimiento por unidad de tiempo de cualquier parte del medio continuo
(siguiendo el movimiento de esa porción material) se debe a la suma de todas las fuerzas
aplicadas sobre la misma. Estas fuerzas consisten en la resultante de las fuerzas de volumen y la resultante de las fuerzas de superficie. Las últimas palabras del enunciado son
cruciales, la ecuación debe valer para toda fracción arbitrariamente elegida del cuerpo,
con cualquier tamaño y forma, desde el volumen total del sistema hasta un diferencial
de volumen ubicado en cualquier posición. Por lo tanto, el postulado no expresa sólo
una ecuación vectorial, sino una infinidad de ecuaciones similares, una para cada posible
elección de V(t) y S(t).
Empleando la fórmula del transporte para la cantidad de movimiento, 1.100,
podemos escribir la 2.30a como
Z
I
(Fi − ρai )d3 x +
σ (n)i dS = 0.
(2.31)
V(t)
S(t)
Notemos que en esta ecuación podemos reemplazar V(t) y S(t) por dominios fijos V y S,
como hemos comentado en relación con la fórmula 1.106. En el caso del equilibrio estático
tenemos que la resultante de las fuerzas aplicadas es nula
Z
I
Fi d3 x +
σ (n)i dS = 0,
(2.32)
V(t)
S(t)
condición necesaria para el equilibrio de un cuerpo rígido cuando se aplica al volumen total
del sólido. Que sea necesaria también para un cuerpo deformable es plausible, en base a
un argumento intuitivo que podemos llamar principio de ”congelación”. Si pudieramos
”congelar” los grados de libertad internos del cuerpo, de modo que todas sus partes queden
rígidamente vinculadas, la condición 2.32 para el volumen total sería necesaria para el
equilibrio. Como en verdad, se trata de un cuerpo deformable es preciso que se cumpla,
además, para cada porción del sistema, es decir para cualquier V(t) y S(t). El pasaje de
la estática a la dinámica se realiza a la manera propuesta por D’Alembert. Como el lector
recordará de sus estudios de mecánica, se sustituyen las fuerzas aplicadas por las fuerzas
”efectivas”, es decir Fi por (Fi − ρai ). Por lo tanto, se pasa de la condición de equilibrio
estático 2.32 a la condición de ”equilibrio dinámico” 2.31, en la cual se incluyen las fuerzas
de inercia −ρai en el sistema de fuerzas. Estos comentarios no son una demostración del
primer postulado, 2.29, tan sólo una indicación sumaria del origen de las ideas que el
postulado contiene.
Las ecuaciones dinámicas locales
34
2.2.3 El principio del momento angular
Los comentarios acerca del origen del primer postulado conducen también al segundo
principio de la dinámica. En efecto, sabemos que la condición 2.32 no es suficiente para
el equilibrio estático de un cuerpo rígido, es necesario también que el momento de las
fuerzas aplicadas se anule
Z
I
−
→ −
→
−−→ × −
x d3 x +
x dS = 0.
(2.33)
σ
F ×→
(n)
V(t)
S(t)
En esta fórmula hemos elegido el origen de coordenadas como polo de momentos. En
componentes, escribimos
Z
I
εijk Fj xk d3 x +
εijk σ (n)j xk dS = 0,
(2.34)
V(t)
S(t)
donde εijk es el símbolo alternante de Levi-Civita. La extensión, ut supra, de esta condición a la dinámica de un cuerpo deformable sugiere un segundo postulado, el cual en un
SI toma la forma
Z
Z
I
d
−
→ −
→
→
−−→ × −
→
x d3 x +
x d3 x =
x dS .
(2.35)
σ
F ×→
ρ−
v ×−
(n)
dt V(t)
V(t)
S(t)
En palabras, en un sistema inercial la variación temporal del momento angular debe
balancear el momento de todas las fuerzas aplicadas, las de volumen y las de superficie. La
condición debe valer para cualquier porción de materia del medio contínuo. Naturalmente,
el momento angular debe ser calculado con el mismo polo que se emplea para el momento
de las fuerzas. Utilizando componentes el segundo principio se escribe como
Z
Z
I
d
ρεijk vj xk d3 x =
εijk Fj xk d3 x +
εijk σ (n)j xk dS .
(2.36)
dt V(t)
V(t)
S(t)
Aplicando la fórmula del transporte para el momento angular 1.101 podemos escribir el
principio del momento angular en la forma
Z
I
−
→
−
→
→
−−→ × −
−
→
3
x dS = 0,
(2.37)
σ
(F − ρ a ) × x d x +
(n)
V(t)
S(t)
similar a la expresión 2.31 para el principio de la cantidad de movimiento. Aquí también
podemos sustituir V(t) y S(t) por dominios fijos V y S. Las ecuaciones 2.31 y 2.37 revelan
su afinidad con los principios de la estática.
El lector habrá notado que estamos elevando a la jerarquía de postulado una ecuación que en la mecánica de sistemas de puntos materiales aparece como teorema, derivado
de las leyes de Newton. Si 2.31 es una generalización de la segunda ley de Newton, ¿no
cabe esperar que la ecuación de la variación del momento angular se pueda demostrar?
En verdad, a pesar de la semejanza de muchas nociones, la mecánica de cuerpos deformables tiene principios y desarrollos propios. Es un error creer que la dinámica de medios
continuos es reducible a la mecánica newtoniana de sistemas de puntos. Veremos pronto
−−→ y de la matriz S que no se
que el segundo principio permite obtener propiedades de σ
(n)
pueden deducir a partir del primer postulado. Los dos postulados de la dinámica son independientes y ambos son necesarios para construir la teoría. A nuestro parecer, la mejor
manera de intuir la independencia de los dos principios, contenidos en las expresiones 2.29
y 2.35, es recordando su relación con la estática.
2.3
Las ecuaciones dinámicas locales
Los dos postulados de la dinámica de medios contínuos de la sección 2.2 están dados en
forma integral. El propósito de esta sección es la derivación de la forma local de estos
principios, es decir de las importantes ecuaciones en derivadas parciales que regulan el
movimiento, cuyas primeras versiones para los fluidos se deben a los trabajos pioneros de
Euler y Lagrange y luego a Cauchy para los medios continuos en general.
Las ecuaciones dinámicas locales
35
2.3.1 El lema del tetraedro de Cauchy
En primer lugar vamos a obtener una aplicación particular de gran importancia del primer
postulado dinámico, ecuación 2.31. Se trata de elegir un volumen material con forma de
tetraedro, en el cual tres caras son normales a los ejes de coordenadas xi , con áreas ∆Si
i = 1, 2, 3, la cuarta cara, de área ∆S yace sobre un plano que corta los tres ejes y tiene
−
→
→
→
por normal (de módulo uno) −
n , donde ni = cos(∠−
n E i ). De modo que tres caras yacen
sobre los planos de coordenadas y por lo tanto son normales entre sí, mientras que la
cuarta está sobre un plano inclinado respecto de los anteriores, que pasa a una distancia
h del origen, el cual constituye un vértice del tetraedro. Se entiende que este vértice está
situado en cualquier punto P del material y que podemos siempre ubicar allí el origen de
coordenadas. Examinando el volumen descripto, notamos que se trata de una pirámide
(tumbada) cuya base es la cara oblicua ∆S y cuya altura es h. Por lo tanto el volumen
vale
1
∆V = h∆S.
(2.38)
3
También notamos que las áreas ∆Si de las caras que yacen en los planos de coordenadas
son iguales a la proyección del área ∆S sobre estos planos, es decir
∆Si = ni ∆S.
(2.39)
La idea de Cauchy es considerar una sucesión de tetraedros cada vez más pequeños, todos
→
con el mismo vértice en P , la misma orientación −
n de la base y cuya altura h → 0.
Apliquemos el primer postulado de la dinámica, en la forma 2.31, a un tetraedro cualquiera de la sucesión. Puesto que se trata de un volumen pequeño pero finito,
empleamos el teorema del valor medio del cálculo integral escribiendo
1
→ +∆Sσ (n)i |−
→ −∆Sk σ ki |−
→ = 0.
(2.40)
h∆S(Fi − ρai ) |−
ξ
ζn
ζk
3
→
−
→ −
→ −
En esta fórmula ξ , ζ n , ζ k , k = 1, 2, 3, son puntos intermedios del volumen y de las
cuatro superficies, respectivamente, según el enunciado del teorema del valor medio. Como
contribución de las integrales de superficie aparecen, naturalmente, el esfuerzo asociado
→
con el corte orientado con −
n , σ (n)i , y los esfuerzos principales, σ ki , correspondientes a
−
→
las cortes cuyas normales son E k . En relación con estos cortes notamos que sus normales
apuntan hacia el interior del cuerpo y por lo tanto hay que cambiar el signo de σ ki para
tener, correctamente, todas las fuerzas de superficie actuando desde la cara exterior hacia
la cara interna, sobre cada una de las cuatro superficies del tetraedro. Aplicando la
relación 2.39
1
→ +σ (n)i |−
→ −nk σ ki |−
→ = 0,
(2.41)
h(Fi − ρai ) |−
ξ
ζn
ζk
3
→
−
→ −
→ −
y teniendo en cuenta que a medida que h → 0, los puntos ξ , ζ n , ζ k , convergen a un
punto común, P , el vértice del tetraedro, llegamos a la conclusión que
σ (n)i = nk σ ki ,
−→
−−→ = n −
σ
k σ (k)
(n)
(2.42)
→
en todo punto −
x de un medio continuo en movimiento y en cualquier instante del tiempo,
−−→ con los tres esfuerzos principales σ
−−→, constituye
t. Esta fórmula, que liga el esfuerzo σ
(n)
(k)
el lema del tetraedro de Cauchy. Con la relación 2.42 podemos calcular el esfuerzo asociado
→
a un corte de orientación −
n arbitraria si conocemos la matriz de esfuerzos, S = [σ ki ].
Sobre la superficie externa de un cuerpo, generalmente las fuerzas son datos conocidos, por ejemplo, la presión atmosférica en la superficie de un líquido. La relación 2.42
llevada a la superficie S del material permite, entonces, dar las condiciones de contorno
del problema. La condición de contorno
σ (n)i |S = −p0 ni ,
(2.43)
Las ecuaciones dinámicas locales
36
igual en todos los puntos de la superficie del material, con presión p0 constante, se denomina carga hidrostática. Esto puede corresponder al caso de un cuerpo deformable en
contacto con la atmósfera. En el caso de un cuerpo sumergido en un líquido pesado en
reposo, también se aplica la condición de contorno 2.43, pero ahora p0 varía con la profundidad. La condición de contorno hidrostática se da también en la superficie de separación
entre agua y aire.
Otro ejemplo de condición de contorno simple es la configuración denominada
de carga uniaxial. En este caso el esfuerzo de superficie corresponde sólo a tracciones,
todas paralelas a una dirección indicada por el vector unitario ei (el el = 1). Para la carga
uniaxial el tensor de esfuerzos en la superficie S vale
σki |S = σek ei ,
(2.44)
donde σ > 0 es una constante. Naturalmente, para cualquier vector di normal a ei resulta
σ ki |S di = 0, propiedad que caracteriza la carga uniaxial. En la carga uniaxial el vector
de esfuerzo en superficie, en virtud de 2.42, vale
σ (n)i |S = σei (ek nk ),
(2.45)
de manera que varía de un punto a otro del contorno junto con la dirección de la normal
local.
2.3.2 Carácter tensorial de la matriz de esfuerzos
Ahora estamos en condiciones de probar que las componentes σ ki forman un tensor σ de
rango dos,
→
−
→ −
(2.46)
σ =σ ki Ek ⊗ Ei
verificando que cumplen la ley de transformación dada en apéndice A (ver también, Santaló, L., Vectores y tensores). Sean dos sistemas de ejes cartesianos con el mismo origen,
−
→
−
→
−
→
x = xi E i = x0k Ek0 ,
(2.47)
cuyas fórmulas de transformación son
x0k = Qki xi ,
−
→
−
→
Ek0 = Qki E i .
(2.48)
La matriz de la transformación Q =[Qki ] es ortogonal, y las componentes Qki son los
−
→
−
→ −
−
→
→
cosenos directores de la base Ek0 respecto de la base E i (Qki = cos(∠Ek0 , E i ). Volvamos
→
a considerar el corte asociado con la base del tetraedro, orientando la normal −
n de modo
−
→0
−−→ es un esfuerzo principal en el sistema de
que coincida con Ek . En ese caso el esfuerzo σ
(n)
−−→
ejes x0k , de modo que la notación apropiada para ese esfuerzo es σ 0(k) . En componentes,
−−
→
−
→
−
→
→
σ 0(k) = σ0kl El0 = nj −
σ (j) = Qkj σji Ei ,
(2.49a)
donde las dos últimas igualdades provienen de aplicar 2.42 y la definición de las compo−
→
nentes de la matriz de transformación. Tomando el producto escalar por Ep0 resulta
→
−
→ −
σ 0kp = σ0kl δ lp = Qkj σ ji Ei • Ep0 = Qkj Qpi σ ji ,
(2.50)
la ley de transformación de los tensores cartesianos de rango dos. Por lo tanto, σ, cuyo
cuadro de componentes es σ ji es un tensor, denominado tensor de esfuerzos, o también
tensor de las tensiones. El lector habrá notado que la deducción de esta propiedad depende
críticamente de la validez del lema de Cauchy y que este a su vez se basa en el primer
postulado de la dinámica. Por lo tanto, el carácter tensorial de los esfuerzos internos de
un medio continuo no es una propiedad puramente geométrica, como por ejemplo en el
caso del tensor de inercia de la mecánica de cuerpos rígidos, sino una propiedad dinámica.
Las ecuaciones dinámicas locales
37
2.3.3 Fórmulas de transformación de integrales de superficie.
Otro paso para llegar a las ecuaciones locales de la dinámica, es disponer de un conjunto
fórmulas útiles que se derivan del teorema de la divergencia de Gauss
Z
I
∂Ai 3
d x=
Ai ni dS.
(2.51)
V ∂xi
S
Sustituyendo Ai por φκi donde φ(xk ) es una función escalar y κi es un vector constante
(∂κi /∂xk = 0) resulta
µZ
¶
I
∂φ 3
κi
d x−
φni dS = 0
(2.52)
V ∂xi
S
y como κi es arbitrario debe cumplirse la ecuación
Z
I
∂φ 3
d x=
φni dS.
V ∂xi
S
(2.53)
Se obtiene una ecuación para transformar la integral de volumen de un gradiente en una
integral de superficie
Z
I
3
→
grad(φ)d x =
φ−
n dS.
(2.54)
V
S
Podemos escribir una lista con tres ecuaciones como esta, sustituyendo φ por cada una
de las componentes de un campo vectorial Aj y obtener un cuadro con nueve fórmulas
Z
I
∂Aj 3
d x=
Aj ni dS, i, j = 1, 2, 3.
(2.55)
V ∂xi
S
De estas, multiplicando por εkij (el símbolo de Levi-Civita) resulta
Z
I
∂Aj 3
εkij
d x=
εkij Aj ni dS,
∂xi
V
S
(2.56)
o sea un teorema para cambiar la integral de volumen de un rotor por una integral de
superficie
Z
I
−
→
−
→ 3
−
→
(2.57)
n × A dS.
rot( A )d x =
V
S
Volviendo a 2.53, ahora identificamos φ, paso a paso con cada una de las componentes
→
de una matriz que sea función de −
x , por ejemplo S = [σ jk ]. Resulta un cuadro con 27
ecuaciones
Z
I
∂σjk 3
d x=
σ jk ni dS, i, j, k = 1, 2, 3.
(2.58)
V ∂xi
S
De estas, sumando índices, podemos obtener relaciones interesantes, como por ejemplo
Z
I
∂σ jk 3
d x =
σ jk nj dS, k = 1, 2, 3,
(2.59)
∂xj
ZV
IS
∂σji 3
d x =
σ ji ni dS, j = 1, 2, 3.
V ∂xi
S
Estas son generalizaciones del teorema de la divergencia a matrices que son funciones de
la posición. Como vemos, hay dos operaciones de divergencia, en una se suma sobre filas,
en la otra sobre columnas. Las dos formas de la divergencia coinciden cuando la matriz
es simétrica, σjk = σ kj . Con procedimientos semejantes se pueden obtener muchas otras
fórmulas de transformación de integrales de superficie. Las que hemos presentado son
suficientes para nuestros propósitos.
Las ecuaciones dinámicas locales
38
2.3.4 La ecuación indefinida de Cauchy
Volvamos a 2.31 aplicado a un volumen arbitrario de materia, que podemos considerar
fijo
I
Z
V
(Fi − ρai )d3 x +
σ (n)i dS = 0.
Haciendo uso de2.42 escribimos
Z
I
(Fi − ρai )d3 x +
nj σ ji dS = 0.
V
(2.60)
S
(2.61)
S
Aplicamos la fórmula 2.58 para pasar la integral de superficie a una integral de volumen
I
Z
∂σ ji 3
nj σ ji dS =
d x,
(2.62)
S
V ∂xj
fórmula que nos muestra que la resultante de las fuerzas de superficie es equivalente a una
fuerza de volumen dada por la divergencia del tensor de esfuerzos
∂σ ji
.
∂xj
(2.63)
Reuniendo todo bajo una sola integral
Z
∂σ ji 3
(Fi − ρai +
)d x = 0.
∂xj
V
(2.64)
Esto debe valer para todo volumen V , con cualquier forma, ubicación y tamaño. Por lo
tanto el integrando, contenido en el paréntesis, debe anularse en todas partes. Porque,
supongamos por el absurdo que en algún lugar el paréntesis no se anula. Puesto que se
trata de una función que representa cantidades con sentido físico que varían en forma
contínua, buscamos en ese lugar un entorno más restringido de modo que el paréntesis
tenga allí un signo definido (positivo o negativo). Elegimos el volumen V de modo que
coincida con ese entorno. El absurdo consiste en que la integral de una función con signo
definido debe ser nula. Para escapar a esta conclusión debemos admitir que el integrando
se anula en todos los puntos del medio continuo. Naturalmente, el argumento se basa en
la posibilidad de elegir arbitrariamente el volumen.
El resultado es una ecuación en derivadas parciales, denominada ecuación de
Cauchy o también ecuación indefinida,
ρai = Fi +
∂σ ji
,
∂xj
(2.65)
→
que debe valer para todo −
x , t, en el medio continuo. La interpretación de la ecuación es
transparente: la masa por unidad de volumen multiplicada por la aceleración es igual a la
suma de la fuerza de volumen con otra fuerza de volumen ”equivalente”, la cual aparece
como consecuencia de la acción de los esfuerzos internos. Es evidente que los esfuerzos
internos pueden modificar la aceleración sólo si varían de un lugar a otro. Cuando están
uniformemente distribuidos, la divergencia de σ se anula, y la influencia de los esfuerzos
desaparece. El nombre de ecuación indefinida proviene del hecho que no tiene un contenido
concreto hasta que no se especifiquen las propiedades de σ ji . Tal como está, es válida
para cualquier medio deformable, sólido, líquido o gas. Falta definir un modelo para
el cuerpo material. Hay que dar más propiedades de la estructura de la materia bajo
estudio. La ecuación indefinida es el punto de partida, tanto de la teoría de la elesticidad,
cuanto de la fluidodinámica, y en verdad, de todo medio contínuo, con cualquier grado
de complejidad. La indefinición, o mejor, la indeterminación es también matemática:
la ecuación de Cauchy representa tres ecuaciones para ai = dvi /dt, o sea, para las tres
componentes incógnitas del campo de velocidad, pero σ ji en el segundo miembro introduce
Las ecuaciones dinámicas locales
39
nueve incógnitas adicionales (en verdad seis, como veremos enseguida). El lector recordará
que ya tenemos una ecuación de evolución para la densidad, 1.88.
En el caso particular del modelo de Euler, 2.20, σ (n)i = −pni , y en virtud de 2.42
σ ij = −pδ ij .
(2.66)
Reemplazando en 2.65 y recordando 1.30, se obtiene
µ
¶
∂vi
∂vi
∂p
ρ
+ Fi ,
+ vk
=−
∂t
∂xk
∂xi
(2.67)
la célebre ecuación del movimiento de los fluidos ideales. En notación vectorial esta
ecuación, debida a Euler, se escribe como
µ −
¶
∂→
v
−
→
−
→
−
→
ρ
+ v • grad( v ) = −grad(p) + F .
(2.68)
∂t
En este caso sólo se precisa una ecuación adicional para la presión, la cual será discutida
en el capítulo dedicado a los fluidos ideales.
2.3.5 La simetría del tensor de esfuerzos
El postulado del momento angular 2.35 puede escribirse en la forma 2.37 que reescribimos
en componentes
Z
I
εijk
(Fj − ρaj )xk d3 x + εijk
σ (n)j xk dS = 0.
(2.69)
V(t)
S(t)
Ahora aplicamos el lema de Cauchy, 2.42 y consideramos V = V(t), S = S(t), fijos
Z
I
εijk (Fj − ρaj )xk d3 x + εijk
nl σ lj xk dS = 0.
(2.70)
V
S
En el último término pasamos de la integral de superficie a una integral de volumen, 2.58,
Z
∂(σ lj xk ) 3
]d x = 0
(2.71)
εijk [(Fj − ρaj )xk +
∂xl
V
y desarrollando la divergencia
Z
∂σ lj
)xk + σlj δ lk ]d3 x = 0.
εijk [(Fj − ρaj +
∂xl
V
En vista de 2.65, resulta
Z
(2.72)
εijk σkj d3 x = 0,
(2.73)
εijk σ kj = 0,
(2.74)
V
es decir
en virtud de la posibilidad de elegir arbitrariamente V . La última ecuación expresa la
simetría del tensor de los esfuerzos
σ kj = σ jk .
(2.75)
La consecuencia local del principio del momento angular no es una nueva ecuación diferencial, sino una propiedad que debe cumplir el tensor de los esfuerzos, σ, en todo punto del
medio continuo y en cualquier momento del tiempo. Todos los materiales que no poseen
las cuplas de superficie mencionadas en el inciso f) de la sección dedicada a las fuerzas de
contacto, tienen tensores de esfuerzo simétricos.
El significado físico de esta condición puede ser aclarado considerando, en cualquier posición dentro del medio, un pequeño volumen τ en forma de cubo, alineado con
Representación espectral y cuádrica asociada al tensor de esfuerzos
40
los ejes de coordenadas y cuyas caras son cuadrados de lados 2ε, de modo que τ = 8ε3
y el área de las caras del cubo es ζ = 4ε2 El momento de las fuerzas de volumen, incluyendo la inercia, respecto del centro del cubo es una magnitud de orden ε4 , por lo tanto
muy inferior al momento de las fuerzas de superficie, que es de orden ε3 , cuando ε → 0.
Comenzando con la componente M3 del momento de estas fuerzas según el eje x3 , tenemos
M3 = (2σ 12 − 2σ 21 ) × 4ε2 × ε + O(ε4 ),
(2.76)
a menos de términos de orden ε4 , donde hemos despreciado, por ser de orden ε, la diferencia entre los valores de σ 12 , σ 21 en las caras opuestas del cubo, normales respectivamente
a x1 y a x2 . A medida que ε es cada vez más pequeño, se comprende que en la posición
ocupada por el volumen se debe alcanzar la igualdad
σ 12 = σ 21 ,
(2.77)
de otro modo M3 6= 0 y el cubo no podría satisfacer el segundo postulado. En otras
palabras, quedaría sin posibilidad de ser compensada por la inercia angular del volumen
examinado, de orden ε4 , una cupla mucho mayor de orden ε3 . El volumen rotaría entonces con velocidad angular creciente, sin límite, alrededor del eje x3 . El argumento,
naturalmente, se puede repetir para los tres ejes.
2.4
Representación espectral y cuádrica asociada al tensor de esfuerzos
2.4.1 Descomposición espectral
Todo tensor simétrico de segundo rango tiene una estructura particular y una representacíon gráfica que facilita la comprensión de sus propiedades. Veamos estas nociones para
el caso del tensor de esfuerzos.
→
La simetría del tensor de los esfuerzos permite hallar, para todo −
x , t una base
−
→
−
→
−
→
ortonormal e1 , e2 , e3 , en la cual σ tiene la siguiente descomposición espectral
−
→
→
→
−
→ −
−
→ −
σ = σ1−
e→
1 ⊗ e1 + σ 2 e2 ⊗ e2 + σ 3 e3 ⊗ e3 =
3
X
k=1
−
→
e→
σk −
k ⊗ ek ,
(2.78)
mediante coeficientes σ 1 , σ 2 , σ 3 .
→
Otro modo de expresar esto es afirmar que existe una base especial −
ei tal que la
0
matriz S en esa base es diagonal
S0 = diag(σ 1 , σ 2 , σ 3 ),
(2.79)
y que las componentes del tensor se escriben, en esa base, como
σ0jk = σ j δ (j)k ,
(2.80)
ecuación en la cual no hay suma sobre j̇ (el paréntesis (j) corta la suma sobre índices
repetidos). Las componentes σ j se llaman tensiones principales y las direcciones de la
base −→
e(k) son los ejes principales de tensión, que indicaremos con x̄1 , x̄2 , x̄3 .
Otra forma de presentar el mismo concepto es la siguiente. Consideradas en una
→ −
→
−
→ −
terna cualquiera de ejes cartesianos, E 1 , E 1 , E 3 , las componentes del tensor simétrico
σ pueden siempre representarse como
−
→
−
→
E i • σ• E j
(1) (1)
(2) (2)
(3) (3)
= σij = σ 1 ui uj + σ 2 ui uj + σ3 ui uj
=
3
X
(2.81)
(l) (l)
σ l ui uj
l=1
−
→ −
→ −
→
(l)
En esta expresión ui son los cosenos directores de −
e→
(l) en la base E 1 , E 1 , E 3 , i.e.,
−
→
−
→ −→
(l)
ui = cos(∠ −
e→
(l) , E i ) = E 1 • e(l) .
Representación espectral y cuádrica asociada al tensor de esfuerzos
(l)
41
(l) (l)
La magnitud Pij ≡ ui uj (sin suma en l) representa un operador de proyección
→
−
→
−
→ −
→ −
→
(l) −
en la dirección de −
e→
(l) , P ( A ) = B . En efecto, sean Ak las componentes en E 1 , E 1 , E 3 ,
−
→
de cualquier vector A , entonces
(l)
(l)
(l)
Bi = Pij Aj = (Aj uj )ui ,
(2.82)
¯−
¯
−
→
¯ → −→¯
e→
son las componentes de un vector B k −
(l) cuyo módulo es ¯ A • e(l) ¯. Si repetimos la
operación
(l)
(l)
(l)
(l)
(l)
(l)
(l)
(l)
Pij Bj = Pij (Pjk Ak ) = (Pij Pjk )Ak = (Ak uk )ui = Bi = Pik Ak ,
resulta
(l)
(l)
(l)
(l)
(2.83)
(l)
Pij Pjk = Pji Pjk = Pik .
(2.84)
¡ (l) ¢2
= P (l) , el cuadrado del operador es igual al operador. Esta es la propieEs decir, P
dad que define los operadores de proyección.
Por lo tanto, la descomposición espectral de un tensor simétrico de segundo rango,
2.81, afirma que el tensor se puede siempre representar como una combinación lineal, mediante tres coeficientes, σ 1 , σ 2 , σ 3 , de tres operadores de proyección sobre tres direcciones
ortogonales entre sí
3
X
σ=
σ l P (l) .
(2.85)
l=1
La interpretación física de las precedentes expresiones es que en todo punto del
medio contínuo existen tres cortes, según tres planos ortogonales entre sí, para los cuales
−−→
el esfuerzo interno está alineado con la normal, σ0(k) = σ k −→
e(k) (el paréntesis (k) suspende la
convención de suma). Los esfuerzos de cizalla para esos cortes desaparecen . Por supuesto,
de acuerdo con la nomenclatura establecida en la sección 2.1, σ k > 0 corresponde a
tracción, σ k < 0 a presión.
El enunciado anterior se deduce de los resultados del problema de autovalores de
una matriz simétrica y en verdad la manera más cómoda de probar estas propiedades
es mediante la notación y las operaciones con matrices (ver apéndice B para una breve
revisión de estas nociones). Los elementos diagonales σ 1 , σ 2 , σ 3 son las tres raíces λ(α) ,
α = 1, 2, 3, de la ecuación secular
´
³
(α)
(2.86)
σ ik − λ(α) δ ik ek = 0.
(α)
−
→ −
→
Los autovectores ek , oportunamentes normalizados, constituyen la base −
e→
1 , e2 , e3 en
la cual el tensor toma la forma diagonal. En el caso de autovalores repetidos, llamado
degenerado, hay que proceder a construir la base ortogonal. Esto siempre es posible, pero
en el caso degenerado la base ortogonal no es única. La matriz ortogonal Q que permite
−
→
→
pasar de la base E k a la base −
ei , en la cual la representación de σik es diagonal, se
(α)
construye mediante las componentes de los autovectores, ek , k, α = 1, 2, 3.
2.4.2 Presión mecánica
Los detalles del procedimiento se reproducen en el apéndice B. Allí se recuerda también
que la traza de un tensor de rango dos es un invariante. En el caso del tensor de esfuerzos
la traza es la suma de las tensiones pricipales
Tr (S) = σ ll = σ 1 + σ 2 + σ 3 ,
(2.87)
de acuerdo con B.15. La parte isótropa del tensor σ ik es (1/3) σ ll δ ik , según la descomposición invariante
σik = (1/3) σ ll δ ik + (σ ik − (1/3) σ ll δ ik ),
(2.88)
Representación espectral y cuádrica asociada al tensor de esfuerzos
42
mencionada en B.2. La diferencia entre el tensor y su parte isótropa
σ 0ik ≡ σ ik − (1/3) σ ll δ ik ,
(2.89)
se denomina desviador del tensor de esfuerzos. Evidentemente, la traza del desviador es
nula. La parte isótropa es el resultado de promediar la proyección del tensor sobre una
dirección nk (nk nk = 1)
σ k = σ ik ni nk ,
(2.90)
sobre la esfera de radio unidad
nl nl = 1,
(2.91)
o sea, sobre el ángulo sólido 4π de todas las direcciones del espacio. Este promedio, realizado en un punto del medio material, de modo que las componentes σ ik son constantes,
se calcula como
I
­ ®
1
σk =
σ ik ni nk dΩ,
(2.92)
4π
4π
donde dΩ es un diferencial de ángulo sólido. Evidentemente
­ ®
σ k = σ ik hni nk i
(2.93)
y el promedio de hni nk i puede ser calculado mediante la integración sobre la esfera de
radio unidad. El siguiente argumento de carácter conceptual evita realizar el cálculo
explícito. Dado que ni nk es un tensor, su promedio sobre la esfera debe ser un tensor
isótropo, puesto que el resultado no puede variar con las direcciones del espacio. El más
general tensor isótropo de rango dos es aδ ik , donde a es un coeficiente, por lo tanto
hni nk i = aδ ik .
(2.94)
Tomando la traza de esta expresión resulta 1 = a × 3 y entonces
hni nk i = (1/3)δ ik .
Finalmente concluimos que
­
®
σ k = (1/3)σ ll ,
(2.95)
(2.96)
es decir, hemos identificado el coeficiente que multiplica δ ik en la parte isótropa del tensor
de esfuerzos.
Como consecuencia de esta discusión se define, en general, la presión mecánica p
de un punto, en un medio continuo cualquiera, como el promedio de σ k cambiado de signo
­ ®
p = − σ k = −(1/3)σ ll .
(2.97)
Naturalmente, en los casos en que p resulte negativo se prefiere hablar de una tracción
o tensión media, reservando el nombre de presión mecánica para los valores positivos.
Cuando se escribe que el tensor es suma de una parte isótropa y un desviador
σ ik = −pδ ik + σ 0ik ,
(2.98)
se entiende que p es la presión mecánica (un promedio). El lector notará que la presión
definida de este modo coincide con la presión del modelo de Euler, σ ik = −pδ ik . En el
modelo de fluidos ideales el desviador es siempre cero y σk no depende de las direcciones
en el espacio.
Representación espectral y cuádrica asociada al tensor de esfuerzos
43
2.4.3 Cuádrica asociada a un tensor
Supongamos que la diagonalización ha sido efectuada y que los ejes de coordenadas donde
esto ocurre, por simplicidad de notación son x1 , x2 , x3 . En tal caso la forma cuadrática
σ ik xi xk = σ 1 x21 + σ 2 x22 + σ 3 x23 = C,
(2.99)
donde C es una constante arbitraria, representa una superficie, una cuádrica, asociada con
el tensor. Puesto que la superficie constituye un elemento gráfico que ayuda a visualizar la
acción de un tensor simétrico, el valor de la constante se elige en función de las necesidades
de escala del dibujo y el signo de manera de tener una cuádrica real. La forma canónica
de la cuádrica es
x2 x2 x2
± 21 ± 22 ± 23 = 1,
(2.100)
a1
a2
a3
p
p
p
donde |C/σ 1 | = a1 , |C/σ 2 | = a2 , |C/σ3 | = a3 , son los valores de los semiejes
principales de la superficie y los signos ± corresponden al signo de los cocientes σ i /C,
i = 1, 2, 3.
Cuando los signos de los tres términos son positivos tenemos un elipsoide. Si los
tres signos fueran negativos, basta cambiar el signo de la constante C y tener una superficie
real, nuevamente un elipsoide. Por ejemplo, con σ 1 = σ 2 < 0, y σ 3 < 0, elegimos C < 0,
para obtener la cuádrica
¡ 2
¢ 1
x2
x1 + x22 2 + 23 = 1,
(2.101)
a1
a3
que representa un elipsoide de revolución alrededor del eje x3 ; mediante una sección con
el plano x3 = 0 obtenemos una circunferencia de radio a1 ; una sección con el plano x2 = 0
nos revela una elipse con semiejes a1 según x, y a3 según x3 . Una cuádrica de este
tipo corresponde a esfuerzos de presión en los ejes principales de tensión, no igualmente
distribuidos. Cuando σ 1 = σ 2 = σ3 = σ el elipsoide degenera en una esfera y en este caso
el tensor es de la forma σ ik = σδ ik en cualquier sistema de coordenadas; se denomina
isótropo o esférico (ver apéndice B). Si el tensor adopta esta forma en todo el medio
material y σ = −p < 0, estamos en el caso del modelo de fluidos ideales.
Cuando dos términos tienen el mismo signo y el restante tiene el signo opuesto, se
trata de hiperboloides de una y dos hojas. Los hiperboloides poseen un cono asintótico.
Un hiperboloide real de una hoja está contenido dentro de un ángulo sólido Ω, limitado
por el cono asintótico. En direcciones contenidas en el ángulo sólido complementario,
4π − Ω, no encontramos la superficie. Pero, cambiando C → −C la cuádrica real es ahora
un hiperboloide de dos hojas, cuyo cono asintótico es igual al precedente y la superficie
se ubica en el ángulo sólido complementario 4π − Ω. De manera que cuando σ 1 , σ 2 , σ 3
presentan alguna variación de signo, la cuádrica asociada al tensor está siempre formada
por los dos tipos de hiperboloides de una y dos hojas y estas superficies se encuentran en
regiones complementarias del espacio. Esto ocurre en el caso en el cual hay presión según
un eje y tracción en algún otro eje principal de tensión. Por ejemplo, sean σ1 = σ 3 > 0 y
σ 2 < 0, cuando C > 0 resulta
¡ 2
¢ 1
x2
x1 + x23 2 − 22 = 1,
a1
a2
(2.102)
es un hiperboloide de revolución alrededor del eje x2 de una hoja, cuyo cono asintótico es
q
a2
x2 = ±
x21 + x23 .
(2.103)
a1
En el plano x3 = 0 la sección es una hipérbola
x2
x21
− 22 = 1,
2
a1
a2
(2.104)
Ejercicios capítulo 2
44
cuyas direcciones asintóticas son
a1
x1
=± ,
x2
a2
(2.105)
y vértices en los puntos (±a1 , 0). Con C > 0 la superficie real existe sólo dentro de un
cono de direcciones, pero sustituyendo C → −C la cuádrica es ahora
¢ 1
x22 ¡ 2
− x1 + x23 2 = 1,
2
a2
a1
(2.106)
un hiperboloide de revolución de dos hojas (con el mismo cono asintótico) ubicada en el
cono de direcciones complementario al precedente. En el plano x3 = 0 la sección es una
hipérbola
x2
x22
(2.107)
− 21 = 1,
2
a2
a1
cuyas direcciones asintóticas son nuevamente
a1
x1
=± ,
x2
a2
(2.108)
pero los vértices se encuentran en los puntos (0, ±a2 ).
−
→
Un pequeño desplazamiento δx sobre la cuádrica satisface la ecuación
(σik xi )δxk = 0, ⇒ σ (n)k δxk = 0,
(2.109)
porque
σ ik xi
xk
,
= σ ik ni = σ (n)k ,
(2.110)
nk = −
→
x|
x|
|→
|−
→
−−→ asociado con
−−→ • −
δx = 0. Esto quiere decir que el esfuerzo σ
lo que significa que σ
(n)
(n)
−
→
un corte normal a la dirección de x (vector de posición de un punto de la superficie) es
→
normal al plano tangente a la cuádrica por el punto −
x . Ahora conocemos la dirección de
−
−
→
σ (n) , para dibujar la flecha correspondiente a este esfuerzo en el gráfico de la cuádrica, nos
→
alcanza con conocer su proyección sobre la dirección −
x , o sea sobre la normal al corte,
σ k = σ ik ni nk = σ 1 n21 + σ 2 n22 + σ 3 n23 . Podemos notar que
C
σ k = σik ni nk = σ 1 n21 + σ 2 n22 + σ 3 n23 = −
2,
→
|x|
(2.111)
de modo que al recorrer la cuádrica esta fórmula nos da en cada punto el valor de σ k como
función inversa del cuadrado de la distancia al origen. Resumiendo: una vez dibujada la
cuádrica podemos trazar en cada punto P de esa superficie la flecha correspondiente al
→
−−→ (para el cual el corte es normal a la dirección −
OP , del origen al punto)
esfuerzo σ
(n)
porque sabemos que su dirección es normal al plano tangente que pasa por P , y además
conocemos el valor de una proyección σ k .
2.5
Ejercicios capítulo 2
Ejercicio 2.1 Dos sistemas de fuerzas aplicadas sobre una parte de un medio material
que ocupa un volumen V se dicen equipolentes cuando producen la misma fuerza
resultante y el mismo momento resultante sobre V . Probar que un campo gravita→
→
torio uniforme, −
g es equipolente a una única fuerza, paralela a −
g , que actúa sobre
el centro de masa de V , cuya intensidad es igual al peso de la porción V del cuerpo.
Ejercicio 2.2 Demostrar que si el esfuerzo interno en un medio continuo es una presión
pura (el desviador es nulo)
−−→ = −p−
→
σ
n,
(2.112)
(n)
constante en todo el cuerpo, entonces la resultante y el momento resultante de las
fuerzas de contacto sobre una parte cualquiera de volumen V del material, son nulos.
Ejercicios capítulo 2
45
Ejercicio 2.3 Sea un movimiento de un medio continuo contenido en un recipiente esta→
→
n = 0.
cionario, tal que sobre las paredes Sr del recipiente se cumple la condición −
v •−
Hallar la reacción del medio material sobre recipiente como fuerza de contacto re−
→
−→
sultante, fr , y momento resultante de las fuerzas de contacto, Mr . Demostrar que
−
→ −→
si el movimiento del material es estacionario, fr y Mr tienen el mismo valor que en
el caso que el medio continuo está en reposo.
Ejercicio 2.4 Probar que cuando, en un punto dado de un medio continuo, para cualquier
→
→
par de cortes con normales unitarias −
n y−
m se cumple
→
−−→
σ−
n•−
(m) = m • σ (n) ,
(2.113)
σ ik = σki ,
(2.114)
entonces
es decir, el tensor de esfuerzos es simétrico (teorema recíproco de Cauchy - no haría
falta agregar que no se puede invocar la simetría en el curso de la demostración).
Ejercicio 2.5 (a) Probar que para cualquier campo tensorial Tkl definido en un medio
continuo vale la ecuación
I
Z
∂Tkl
Ki =
εijk xj Tkl nl dS =
εijk (xj
+ Tkj )dx3 ,
(2.115)
∂xl
S
V
donde V es el volumen de una porción arbitraria del material, S la superficie que
→
encierra esa parte y −
n la normal unitaria. (b) Considere el caso particular del
tensor de tensiones magnéticas de Maxwell
Tkl = −PM δ kl +
1
Bk Bl ,
4π
PM ≡
1
Bk Bk ,
8π
(2.116)
donde Bl son las componentes del campo magnético, PM es la presión magnética y
Tkl nl representa el esfuerzo de origen magnético que se ejerce sobre un corte cuya
normal es nl . Este esfuezo de superficie se ejerce en un fluido conductor por el cual
circula corriente eléctrica en presencia de un campo magnético. Calcular Ki para
este caso y dar una interpretación física de la fórmula obtenida. (c) ¿Cuánto vale
Ki para un tensor Tkl simétrico y cuya divergencia es nula?
Ejercicio 2.6 Partiendo de la ecuación indefinida de Cauchy, 2.65, probar que para cualquier magnitud de interés físico, Ψ = Ψ(xj , t), y todo volumen V de un medio
continuo cualquiera vale la siguiente ecuación
Z
I
Z
∂Ψ 3
σ ik
dx =
Ψσ ik nk dS +
Ψρ(Fi − ai )dx3 .
(2.117)
∂x
k
V
S
V
Ejercicio 2.7 Considere el caso particular Ψ = xj en el ejercicio anterior y encuentre
una fórmula para calcular el valor medio σ ij del tensor de esfuerzos en un volumen
V cualquiera de un medio continuo en reposo (equilibrio estático)
·I
¸
Z
1
3
(2.118)
σij = Cij , Cij ≡
σ ik nk xj dS +
ρFi xj dx .
V
S
V
La primera integral representa la carga sobre la superficie S, la segunda integral es
la carga de volumen. Cuando V es el volumen total del cuerpo y S es su contorno
externo, a menudo ambas magnitudes son datos.
Ejercicio 2.8 Aplicar el resultado del ejercicio precedente a un cuerpo en reposo de
volumen V rodeado por una superficie externa Se , el cual en su interior contiene una
cavidad cuya superficie es Sc y cuyo volumen es Vc , bajo las siguientes condiciones:
(a) la carga sobre Se es puramente hidrostática con presión externa p0 ; (b) la carga
Ejercicios capítulo 2
46
sobre la superficie interior Sc también es hidrostática con presión interna pc ; (c) no
hay carga de volumen o es despreciable frente a las anteriores, Fi = 0. Demostrar
que las cargas hidrostáticas generan un campo tensorial de esfuerzos cuyo promedio
es hidrostático y vale
·
¸
Vc
σ ij = −P δ ij , P ≡ p0 + (p0 − pc ) .
(2.119)
V
Notar que en el interior del cuerpo σ ij no es, generalmente, hidrostático (a menos
que el cuerpo sea un fluido) pero su promedio sí lo es. Cuando p0 = pc el esfuerzo
medio coincide con la presión aplicada sobre el cuerpo, pero si p0 > pc entonces el
esfuerzo medio es siempre mayor que p0 .
Ejercicio 2.9 Considere un cuerpo en reposo sujeto sólo a esfuerzos de superficie ( Fi =
0) del tipo de carga uniaxial descripta en 2.44, 2.45, σ(n)i |S = σei (ek nk ). Demuestre
que el campo tensorial de esfuerzos generado por una carga uniaxial es uniaxial en
promedio, en otras palabras, si bien σ ij en el interior del cuerpo no es necesariamente
uniaxial, lo es en cambio su valor medio σ ij .
Ejercicio 2.10 Estudie la cuádrica asociada al tensor de esfuerzos definido como proporcional al tensor del ejercicio B.4 del apéndice B,


√
0 1 0
2
1 0 1 ,
(2.120)
[σ ij ]= α
2
0 1 0
donde α es una constante con dimensiones de fuerza por unidad de superficie. Verificar que se trata de hiperboloides de una y dos hojas. Grafique en alguna sección
−−→ soapropiada las hipérbolas correspondientes. Dibujar con flechas los vectores σ
(n)
−
→
◦
bre las hipérbolas, correspondientes a direcciones de n entre 0 y 180 , con pasos
de 15◦ . Dar la interpretación física de esta representación gráfica.