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3240850 PRUEBA DE CONOCIMIENTOS ABIERTA Aspirante: El examen de conocimientos consta de dos partes. En la parte A, resuelva sólo cuatro de los seis ejercicios (de Análisis y Álgebra) propuestos a continuación, y deje claramente expresada su escogencia. La parte B es obligatoria. PARTE A. (90%) Preguntas de Análisis 1. Sean 𝐻 un espacio de Hilbert y {𝑥𝑛 } una sucesión en 𝐻. Pruebe que 𝑥𝑛 → 𝑥 si y sólo si ‖𝑥𝑛 ‖ → ‖𝑥‖ y 𝑥𝑛 ⇀ 𝑥, donde “ ⇀” significa convergencia débil. 2. Sea 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 una función continua y acotada, demuestre que ∞ lim � 𝑓(𝑥) ℎ ↓0 −∞ ℎ 𝑑𝑥 = 𝜋𝑓(0). ℎ2 + 𝑥 2 Sugerencia: Considere un cambio de variable adecuado. 3. En el presente problema trabajamos con el espacio de medida ([0,1], 𝑀, 𝜇), donde 𝑀 denota la 𝜎 −álgebra de conjuntos medibles en [0,1] y 𝜇 la medida de Lebesgue. Demuestre: i) Si un conjunto es numerable entonces tiene medida nula. ii) Si 𝐴 es medible y 𝜇(𝐴) = 1 entonces 𝐴 es denso en [0,1]. 3240850 Preguntas de Álgebra 4. Demuestre que si φ y ψ son dos operadores ⁿ de en kkⁿ diagonalizables y tales que φψ=ψφ , entonces existe una base β para V=kⁿ tal que las matrices que representan a φ y a ψ en la base β son matrices diagonales. Es decir, existe una base que diagonaliza a ambos operadores simultáneamente. 5. Sea T:V→V una transformación lineal, V un espacio vectorial real de dimensión n tal que T²=Id (Id denota el operador identidad en V). Muestre que existen subespacios W y U de V, T-invariantes (es decir, T(W)⊂W y T(U)⊂U ) tales que V es la suma directa de W y U, V=W⊕U, y tales que T restringido a W es la Identidad, y T restringido a U es -Id. 6. 4 7 Encuentre todos los posibles grupos abelianos no isomorfos de orden 2²×3 ×5 . PARTE B. (10%) 7. Escriba un breve ensayo, sobre el tema en el que desearía realizar su tesis doctoral e incluya el nombre de un profesor de la Escuela de Matemáticas con el que haya tenido contacto al respecto.