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PRUEBA DE CONOCIMIENTOS ABIERTA
Aspirante: El examen de conocimientos consta de dos partes. En la parte A, resuelva sólo cuatro de
los seis ejercicios (de Análisis y Álgebra) propuestos a continuación, y deje claramente expresada su
escogencia. La parte B es obligatoria.
PARTE A. (90%)
Preguntas de Análisis
1.
Sean 𝐻 un espacio de Hilbert y {𝑥𝑛 } una sucesión en 𝐻. Pruebe que 𝑥𝑛 → 𝑥 si y sólo si ‖𝑥𝑛 ‖ → ‖𝑥‖ y
𝑥𝑛 ⇀ 𝑥, donde “ ⇀” significa convergencia débil.
2.
Sea 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 una función continua y acotada, demuestre que
∞
lim � 𝑓(𝑥)
ℎ ↓0 −∞
ℎ
𝑑𝑥 = 𝜋𝑓(0).
ℎ2 + 𝑥 2
Sugerencia: Considere un cambio de variable adecuado.
3.
En el presente problema trabajamos con el espacio de medida ([0,1], 𝑀, 𝜇), donde 𝑀 denota la
𝜎 −álgebra de conjuntos medibles en [0,1] y 𝜇 la medida de Lebesgue. Demuestre:
i)
Si un conjunto es numerable entonces tiene medida nula.
ii)
Si 𝐴 es medible y 𝜇(𝐴) = 1 entonces 𝐴 es denso en [0,1].
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Preguntas de Álgebra
4.
Demuestre que si φ y ψ son dos operadores ⁿ de
en kkⁿ diagonalizables y tales que φψ=ψφ
,
entonces existe una base β para V=kⁿ tal que las matrices que representan a φ y a ψ en la base β
son matrices diagonales. Es decir, existe una base que diagonaliza a ambos operadores
simultáneamente.
5.
Sea T:V→V una transformación lineal, V un espacio vectorial real de dimensión n tal que T²=Id (Id
denota el operador identidad en V). Muestre que existen subespacios W y U de V, T-invariantes (es
decir, T(W)⊂W y T(U)⊂U ) tales que V es la suma directa de W y U, V=W⊕U, y tales que T
restringido a W es la Identidad, y T restringido a U es -Id.
6.
4
7
Encuentre todos los posibles grupos abelianos no isomorfos de orden 2²×3 ×5 .
PARTE B. (10%)
7.
Escriba un breve ensayo, sobre el tema en el que desearía realizar su tesis doctoral e incluya el
nombre de un profesor de la Escuela de Matemáticas con el que haya tenido contacto al respecto.