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Departamento de Matemáticas
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ÁLGEBRA: Programación lineal
IV. PROGRAMACIÓN LINEAL.
1. Introducción.
La programación matemática es una rama poderosa de la investigación operativa que en alguna
ocasión se ha definido como "aplicación de las matemáticas al mundo de los negocios", lo que no es
estrictamente cierto, aunque muchas de sus aplicaciones tengan que ver con cuestiones de índole
económico.
La investigación operativa se desarrolló en el Reino Unido durante la Segunda Guerra Mundial,
teniendo sus modelos y aplicaciones un carácter netamente militar. Las matemáticas se aplicaron a la
composición y localización de escuadrillas aéreas, formación de convoyes militares, etc.
En los años sesenta en Estados Unidos se asumió la eficaz coordinación de todas las energías
y recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaba
por modelos de optimización que resuelve la programación lineal.
Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las técnicas de computación y los
ordenadores, instrumentos que harían posible la resolución y simplificación de los problemas que se
estaban gestando.
En 1.947 G. B. Danzing formula en términos matemáticos muy precisos el enunciado estándar
al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Danzing junto con una serie de
investigadores del United States Departament of Air Force formarían el grupo de estudio SCOOP
(Scientific Computation of Optimum Programs).
Una de las primeras aplicaciones del grupo SCOOP fue el puente aéreo sobre Berlín y se
continuó con otras aplicaciones de carácter marcadamente militar.
Hacia 1.950 se constituyeron en Estados Unidos grupos de estudio para desarrollar las diferentes
ramas de la programación lineal en las cuales las miradas se volvieron hacia las aplicaciones pacíficas.
Así, en 1.958 se aplicaron métodos de programación lineal para el cálculo del plan óptimo de
transporte de arena de construcción para las obras de edificación de la ciudad de Moscú. El plan óptimo
de transporte fue calculado en diez días por el ordenador Strena y rebajó un 10% los costes previstos.
Se ha estimado que si todos los países subdesarrollados utilizasen métodos de programación
lineal en su gestión, su Producto Interior Bruto ( PIB ) aumentaría entre un 10% y un 15% en tan solo
un año.
Pero: ¿qué es la programación lineal?. En general podemos decir que es un conjunto de técnicas
matemáticas que intentan obtener el mayor provecho posible de sistemas económicos, sociales,
tecnológicos, bélicos, etc. cuyo funcionamiento se puede describir matemáticamente de modo
adecuado.
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Así, resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar una función sujeta a
restricciones, entendiendo por optimizar hallar el máximo o mínimo según los casos.
Pero ese punto óptimo está sujeto a limitaciones, ya que las variables que intervienen en la
función a optimizar se encuentran relacionadas por medio de desigualdades. Por lo tanto, hay que
resolver un sistema de desigualdades y una vez resuelta ver en que punto o puntos del conjunto de
soluciones la función a optimizar alcanza su valor máximo o mínimo.
Planteado el asunto desde una perspectiva económica parece claro que hemos de hablar de
máximos cuando se hable de beneficios y mínimos cuando se hable de costes.
De todos modos en infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar,
etc. se presentan situaciones es las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran
sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
Para hacernos una idea más clara de estos supuestos veamos un ejemplo.
2. Ejemplo.
Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg. de chocolate, 100 kg. de almendra y 85
kg. de fruta. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A de calidad extra que contiene 3 kg. de chocolate,
1 kg. de almendra y 1 kg. de frutas y la caja de tipo B de calidad suprema que tiene 2 kg. de chocolate,
1'5 kg. de almendras y 1 kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A son de 1.300 pts y las de tipo
B 1.350 pts. ¿Cuántas cajas de cada tipo debe de fabricar para maximizar la venta?.
A) En primer lugar simplificaremos el problema mediante la construcción de la siguiente tabla:
Caja tipo A
Caja tipo B
Disponibles
Chocolate
3 kg.
2 kg.
500 kg.
Almendras
1 kg.
1'5 kg.
100 kg.
Frutas
1 kg.
1 kg.
85 kg.
Precio
1.300 pts
1.350 pts
B) Ahora designaremos con ecuaciones e inecuaciones lineales la información descrita:
Designaremos por x el número de cajas de tipo A y por y el número da cajas de tipo B que se
han de fabricar. Sea V la función de ventas a maximizar: V = 1.300x + 1.350y.
Las restricciones al problema viene dadas por las inecuaciones
3x+2y#500
(chocolate),
x+1'5y#100 (almendra), x+y#85 (frutas). Además, x e y han de ser no negativas, luego x$0 e y$0.
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Existe una terminología peculiar para la programación lineal. Recordemos que un problema de
programación lineal con dos variables implica la existencia de una función a optimizar, en nuestro caso
la función V. Esta función es la llamada función objetivo que es de la forma F(x,y)=ax+by, donde a, b
son números reales y donde x e y son las variables.
Asimismo, hay un conjunto de restricciones asociado al problema que es el sistema de
desigualdades que se deriva del enunciado del problema.
Al resolver ese sistema de inecuaciones, en el supuesto de que tenga solución, obtenemos una
región del plano. Ésta, acotada o no, es la región factible.
En consecuencia, para resolver un problema de programación lineal con dos variables hay que
hacerlo del siguiente modo:
1- Formular la función objetivo.
2- Formular el conjunto de restricciones.
3- Resolver el conjunto de inecuaciones para obtener la región factible.
4- " Barrer" la región factible con las líneas de nivel de la función objetivo que tengan
puntos en ella.
5- De todas ellas buscar la que corresponde al valor óptimo de la función objetivo.
En un problema de programación lineal con dos variables, si la región factible existe y es
acotada, el valor óptimo de la función objetivo se alcanza en uno de los vértices del polígono que
limita la región o a lo largo de uno de sus lados.
Si la región factible no es acotada, la función objetivo no alcanza necesariamente un valor
óptimo concreto, pero si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región.
Así en nuestro ejemplo anterior teníamos:
Función objetivo:
V = 1.300x + 1.350y
Restricciones: 3x + 2y # 500
x + y # 100
x + y # 85
x$0
y$0
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Se puede ver que cada una de las restricciones genera una región del plano.
La superposición de las cinco regiones dará lugar a la región factible de nuestro problema:
250
3x + 2y =500
85
60
100
160
x+1'5y=100 x+y=85
85
Se puede observar que la función objetivo de ventas V=1.300x+1.350y alcanza un máximo en
un punto de la región factible puesto que ésta es acotada. Además dicho máximo se alcanzaría en uno
de los vértices de dicha región, veámoslo:
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V(A)=1.300 A 0 + 1350 A 0 = 0
V(B)=1.300 A 85 +1.350 A 0 = 110.500
V(C)=1.300 A 55 + 1.350 A 33 = 112.000
V(D)=1.300 A 0 + 1.350 A 100/1'5 = 90.000
Por lo tanto la función ventas alcanza el máximo y por lo tanto el valor óptimo en el punto
(55,30). Luego el fabricante debe de producir 55 cajas de tipo A y 30 de tipo B.
Luego el calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices de la región
factible, si esta es acotada, nos dará el punto óptimo.
Si la región factible no es acotada habrá que ver, en primer lugar si el óptimo corresponde a la
zona donde hay vértices. En este supuesto se procede como si la región fuese acotada. En el caso
contrario el problema carece de solución concreta.
Otra forma de buscar la solución es gráficamente mediante las "líneas de nivel" de la función
objetivo. Sea
el vector
el vector director de la función objetivo
( -1.350, 1.300 ) o bien, simplificado,
( -1'35, 1'3 ).
Trazamos rectas paralelas a
que pasen por los vértices del polígono y se observa
gráficamente que la función alcanza su máximo en el vértice (55,30) ya que la recta que pasa por él
tiene mayor ordenada en el origen.
Evidentemente, tanto analíticamente como gráficamente obtuvimos el mismo resultado.
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3. Ejercicios.
1. Un animal debe de tomar diariamente 9 unidades de hidratos de carbono y 8 de grasas, como
máximo. En el mercado hay dos marcas de alimentos con la siguiente composición:
Hidr. Carb.
Grasas
Proteínas
Marca 1
1
2
3
Marca 2
3
1
4
Calcular la cantidad necesaria de cada marca para que tome el mayor número de posible de
unidades de proteínas.
Solución: 3 unidades de la marca 1 y 2 unidades de la marca 2.
2. Una empresa de transportes dispone de 6 autobuses de 60 plazas y 10 microbuses de 20
plazas. Suponiendo que se necesita desplazar a 400 pasajeros, se pide calcular el número de coches de
cada tipo deben usarse para que el coste sea mínimo, sabiendo que el precio de los autobuses es de 120
pts. por kilómetro y el de los microbuses 60.
Solución: Seis autobuses y dos microbuses.
3. En la fabricación de los productos A y B se emplean dos tipos de máquinas. Cada unidad del
tipo A necesita 10 horas de trabajo de la primera máquina y 7 de la segunda y deja una ganancia de 5
pts. Cada unidad del segundo producto exige 6 horas de la primera máquina y 12 de la segunda, y
produce ocho de ganancia. Determinar las unidades que interesa fabricar de cada producto, para obtener
una ganancia total máxima, si el máximo de horas disponible de cada máquina es de 160 y 190,
respectivamente.
Solución: 10 unidades de A y 10 unidades de B.
Planteamiento:
1ª máquina
2ª máquina
Ganancia
nº unidades
Tipo A
10 h
7h
5 pts
x
Tipo B
6h
12 h
8 pts
y
Disponibles
160 h
190 h
4. En una urbanización se van a construir casas de dos tipos, A y B. La empresa constructora
dispone de 300 millones de pesetas, siendo el coste de cada tipo de casa de 6'5 y 4 millones de pesetas
respectivamente. Además, las casas de tipo A han de ser el 40% del total y las de tipo B el 20% como
mínimo. Si el beneficio es de 1'5 millones de pesetas por cada casa de tipo A y de un millón por cada
casa de tipo B. ¿Cuántas casas deben de construirse de cada tipo para obtener un beneficio máximo?
Solución: 24 casas tipo A y 36 tipo B.
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f ( x , y ) = 15
' x+ y
Planteamiento:
⎧ 6'5x + 4 y ≤ 300
⎪
⎪⎪ 60 x − 40 y ≥ 0
⎨ 20 x − 80 y ≤ 0
⎪x ≥ 0
⎪
⎪⎩ y ≥ 0
5. Sabiendo que b<0, calcular su valor para que la función f(x,y)=3x + by 7 alcance su máximo
en infinitos puntos en el polígono dado por las tres condiciones:
-x#y-3 ; 5y#15-x ; x-3#y.
Solución: b=-3
6. Una piscifactoría produce truchas y salmones. El mercado admite solamente 5 Tm. de
pescado y para la exportación se necesita disponer de 1 Tm. de salmón. Sabiendo que el salmón es un
30% más caro que la trucha, calcular la distribución óptima de producción, teniendo en cuenta que las
condiciones de crianza fuerzan a que la cantidad de salmón oscile entre el doble y el triple que la
trucha.
Solución: 5 / 4 Tm. de truchas y 15 / 4 Tm. de salmones.
Planteamiento:
La función objetivo es
f ( x , y ) = x + 0'3 y
7. Un taller de bisutería produce sortijas sencillas, de las que obtiene una ganancia de 450
pts/unidad, y sortijas adornadas que producen una ganancia de 600 pts/unidad. Las máquinas
condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400 sortijas sencillas, 300
adornadas ni 500 en total. Suponiendo que se vende toda la producción:
a) ¿Cuántas sortijas de cada clase convendrá producir para obtener la ganancia máxima?.
b) ¿Cómo debería ser la ganancia en cada tipo de sortija para que hubiese más de una solución
(más de una posibilidad de obtener una ganancia máxima)?. Interprétese geométricamente.
Solución: 200 sortijas sencillas y 300 sortijas adornadas
8. Optimizar la función z=2x-5y con las restricciones x+2y#12 ; 4x-y$3 ; 5y$2x+3.
Solución: Se alcanza el máximo en ( 6, 3 ) y el mínimo en ( 1, 4 ).
9. En un problema de programación lineal:
a) ¿Cómo se llama la función que se trata de maximizar o minimizar?.
b) ¿Qué se entiende por solución factible?.
c) ¿Cuándo se dice que una solución factible es óptima?.
d) ¿Tiene siempre solución un problema de programación lineal?.
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10. Mediante un gráfico mostrar que no puede haber dos números positivos tales que su suma
sea menor que dos y que el doble de uno más el triple del otro sea mayor que 6.
11. Escribe inecuaciones que definan una región plana cerrada de modo que los puntos (1,0)
y (0,1) pertenezcan a dicha región, y que los puntos (0,0) y (2,2) no pertenezcan. Haz la representación
gráfica de la región que elijas.
12. Maximice y represente el conjunto de soluciones factibles para la función f(x,y)=2x+3y
sujeta a las restricciones x$4 ; y#6 ; y#x ; x + y#14 ; y$0.
13. Un veterinario ha recomendado que durante un mes, un animal enfermo tome diariamente
para su recuperación, al menos, 4 unidades de hidratos de carbono, 23 de proteínas y 6 de grasa. En el
mercado se encuentran dos marcas de pienso A y B con la siguiente composición:
Marca
Hidratos
Proteínas
Grasa
Precio
A
4
6
1
100 pts
B
1
10
6
160 pts
¿Cómo deben combinarse ambas marcas para obtener la dieta deseada al mínimo precio?.
Solución: 2 unidades de A y 2 de B
14. En un almacén hay 100 cajas de tipo A y 100 cajas de tipo B. La siguiente tabla nos informa
del peso, del volumen y del valor de cada una:
Tipo
Peso (en kg.)
Volumen (en dm3)
Valor
A
100
30
75.000
B
200
40
125.000
Una camioneta puede cargar 10.000 Kg. y un volumen máximo de 2.400 dm3. Averiguar como
han de cargarla para que el valor de las cajas que lleve sea el más alto posible.
Solución:40 tipo A y 30 tipo B
15. Un comerciante dispone de 500 jamones, 400 botellas de vino y 225 bolas de queso con las
que confeccionar dos lotes de regalo A y B. El lote A consta de un jamón y dos botellas de vino
mientras que el B consta de dos jamones, una botella de vino y un queso de bola. Por cada lote de tipo
A obtiene un beneficio de 2000 pts. y 3000 pts. por cada uno de tipo B. ¿Cuántos debe de fabricar de
cada clase para maximizar sus ganancias?. ¿Cuál es el beneficio obtenido?.
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16. Cada camión del modelo A cobra 15.000 pts. por viaje y puede transportar una máquina
de tipo M y tres de tipo Q. Un camión del modelo B cobra 10.000 pts. y puede transportar tres de tipo
M y una de tipo Q. Se necesitan transportar 11 máquinas de tipo M y 14 de tipo Q.
¿Cuántos camiones deben de utilizarse de cada modelo para que el coste del transporte sea mínimo?.
Solución: 4 camiones modelo A y 3 camiones modelo B.
17. Un animal necesita tomar cada día como mínimo 30 unidades de un componente europeo
y 30 de uno americano. En el mercado se encuentran dos tipos de preparados: El tipo E a 2.000 pts.
con 10 unidades de componente europeo y 2 de americano y el tipo A a 6.000 pts. que contiene 10
unidades del componente americano y 2 de europeo. ¿Qué cantidades pueden comprarse de cada tipo
para cubrir las necesidades con un coste mínimo?.
Solución: 5 unidades europeas y 2 americanas.
18. Supongamos que se ha llegado a una situación de crisis y que en el mercado sólo existen
dos alimentos: A y B. Cada uno contiene dos sustancias nutritivas P y Q suficientes para garantizar una
vida sana. Se sabe que un kilogramo de A cuesta 500 pts. y contiene 700 unidades de P, 400 unidades
de Q y contrarresta 1 unidad de colesterol; y que un kilogramos de B cuesta 100 pts. y contiene 400
unidades de P, 800 unidades de Q y aporta 4 unidades de colesterol. Las necesidades mínimas para el
organismo son de 280 unidades de P y 320 de Q semanales, siendo el máximo tolerable de 20 unidades
de colesterol. ¿Cuál es la dieta sana y adecuada que, con un mínimo coste, cubre las necesidades
personales?.
Solución: 0 Kg. de A y 0'7 kg. de B
19. En un curso hay 120 chicos y 156 chicas. El centro subvenciona con 1.800 pts cada equipo
de baloncesto, formado por cinco chicos y ocho chicas, y con 2.000 pts cada equipo de voléibol,
formado por seis chicos y ocho chicas. ¿Cuántos equipos de cada deporte conviene formar para
conseguir la máxima subvención posible?.
Solución: La máxima subvención se obtiene para 19 equipos de voléibol.
20. Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje con una
empresa que dispone de 8 autobuses de 40 plazas y 10 autobuses con 50 plazas y sólo dispone de 9
conductores. El alquiles de un autobús grande cuesta 8.000 pts. y el de uno pequeño 6.000 pts.
¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el autobús resulte lo más económico
posible?.
Solución: El gasto mínimo es para 9 autobuses de 50 plazas.
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21. Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM
emite diariamente 12 horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general.
La emisora de AM emite diariamente 5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de
información general. Cada día que emite la emisora de FM le cuesta al grupo 500.000 pts. y cada día
que emite la de AM le cuesta 400.000 pts. Sabiendo que tiene "enlatado" para emitir 120 horas de
música rock, 180 de música clásica y 100 horas de información general. ¿Cuántos días deberán emitir
con ese material cada una de las emisoras para que el coste sea mínimo?.
Solución: 10 días AM y 0 días FM.
22. Una fundición dispone de dos tipos de mezclas, compuesta de cobre y níquel. La primera
de ellas contiene dos partes de cobre y una de níquel, y la segunda una de cobre y tres de níquel. Cada
kilogramo de la primera mezcla deja un beneficio de 5 pts. y cada uno de la segunda 10 pts. Se quiere
obtener un máximo de 10 kilogramos de otra mezcla, en la que el cobre y el níquel combinen en la
misma proporción. Determinar qué cantidad de cada mezcla conviene utilizar para que el beneficio sea
máximo.
Solución: La mezcla uno 20 / 3 y la mezcla dos 10 / 3.
23. Una empresa constructora dispone de dos tipos de camiones A y B y quiere transportar 100
Tm. de material al lugar de una obra. Sabiendo que dispone de 6 camiones de tipo A con una capacidad
de 15 Tm. y con un costo de 4.000 pts por viaje y de 10 camiones de tipo B con una capacidad de 5 Tm.
y con un costo de 3.000 pts por viaje, se pide:
a) El número posible de camiones de cada tipo que puede usar (solución gráfica).
b) El número de camiones de cada tipo que debe usar para que el coste sea mínimo.
Solución: 6 camiones de tipo A y 2 de tipo B.
24. En una encuesta realizada por una emisora de televisión local se ha detectado que un
programa con 20 minutos de variedades y un minuto de publicidad capta 30.000 espectadores, mientras
que otro programa de 10 minutos de variedades y un minuto de publicidad capta 10.000 espectadores.
Para un determinado período la dirección de la red decide dedicar 80 minutos de variedades y los
anunciantes 6 minutos de publicidad. ¿Cuántas veces deberá aparecer cada programa con objeto de
captar el número máximo de espectadores?.
Solución: Cuatro programas del primer tipo y cero del segundo.
25. Un camión puede transportar como máximo 9 Tm. por viaje. En un cierto viaje desea
transportar al menos 4 Tm. de la mercancía A, y un peso de la mercancía B que no sea inferior a la
mitad del peso que transporta A. Sabiendo que se cobra 3 pts./Kg. de A y 2 pts./kg. de B, ¿cómo se
debe cargar el camión para obtener la ganancia máxima?.
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26. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las de tipo A precisan 1 gr. de oro y 1'5 gr. de plata,
vendiéndolas a 4000 pts cada una. Para la fabricación de la de tipo B se emplea 1'5 gr. de oro y 1 gr.
de plata, y las vende a 5.000 pts. El orfebre tiene sólo en el taller 750 gr. de cada uno de los metales.
Calcular cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo.
27. Una distribuidora debe enviar 400 disquetes a una tienda de la forma más económica
posible. Para el embalaje dispone de 8 cajas en las que entran 40 disquetes y 10 en que entran 50, pero
el envío se realizará en, a lo sumo, 9 cajas. Sabiendo que los portes de las cajas de 50 y 40 son,
respectivamente, 800 ptas. y 600 ptas., calcular cuántas cajas de cada tipo se utilizarán y el importe del
envío.
28. Una empresa de alimentación fabrica dos tipos de pizzas: normal y especial. Cada pizza
normal se hace con 1 kg. de masa y 0'25 de recubrimiento, y su venta rinde un beneficio de 250 pts,
mientras que una pizza especial necesita 1 kg. de masa y 0'5 de recubrimiento, pero deja 400 pts. de
beneficio. La empresa dispone diariamente de 150 kg. de masa y 50 kg. de recubrimiento.
Además, y por otro tipo de razones, la empresa no puede vender al día más de 125 pizzas de
cada clase. ¿Cuántas pizzas normales y cuántas especiales debe fabricar (y vender) diariamente a fin
de que el beneficio sea el máximo posible?.
29. Para abonar una parcela de huerta se necesitan por lo menos 8 kg de nitrógeno y 12 kg de
fósforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es 30 PTA/kg y que contiene un 10% de nitrógeno
y un 30% de fósforo. Existe en el mercado otro producto N que contiene un 20% de nitrógeno y un
20% de fósforo, y cuyo precio es 40 PTA/kg. ¿Qué cantidades se deben tomar de M y N para abonar
la parcela con el menor gasto posible?.
Solución: 20 kg de M y 30 kg de N.
30. Un ganadero utiliza un pienso que tiene una composición mínima de 12 unidades de una
sustancia A y otras 21 de una sustancia B. En el mercado sólo encuentra dos tipos: uno con 2 unidades
de A y 7 de B, cuyo precio es de 1500 PTA, y otro con 6 unidades de A y 3 de B, cuyo precio es de
2500 PTA. ¿Qué cantidad ha de comprar de cada uno de modo que el coste sea mínimo?.
Solución: 5/2 primer tipo y 7/6 del segundo.
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31. Un laboratorio utiliza las sustancias A y B en la elaboración de dos vacunas. La primera
se prepara con 2 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 3000 PTA, y la segunda se elabora con 2
unidades de A y 3 de B, siendo su precio 4000 PTA. Sabiendo que dicho laboratorio dispone de un
total de 400 unidades de A y 300 de B, ¿cuántas vacunas de cada tipo deberá preparar para obtener el
máximo beneficio?.
Solución:150 vacunas primer tipo y 50 del segundo.
32. Una compañía petrolífera requiere 9 tm, 12 tm y 24 tm de petróleo de calidad alta, media
y baja, respectivamente. La compañía tiene dos refinerías. La refinería A produce diariamente 1 tm,
3 tm y 4 tm de calidades alta, media y baja, respectivamente. La refinería B produce 2 tm de cada una
de las tres calidades. El costo diario de cada una de las refinerías es de 2000000 de pts. ¿Cuántos días
debe de trabajar cada refinería para que el costo sea mínimo?.
Solución: 5 días A y dos B
33. Un pastelero fabrica dos tipos de tarta T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C.
Dispone de 150 Kg. de A, 90 Kg. de B y 150 Kg. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 Kg.
de A, 1 Kg. de B y 2 Kg. de C; mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 Kg. de A, 2 Kg. de
B y 1 Kg. de C.
a) Si se venden las tartas T1 a 1000 pts. la unidad y las tartas T2 a 2300 pts. la unidad, ¿Qué
cantidad debe de fabricar de cada clase para maximizar las ganancias?.
b) Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1500 pts. ¿cuál será el precio de una tarta T2 si
una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T1 y 15 de la clase T2?.
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