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Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Álgebra Lineal 09-1
Control 2
P1. (a) (2,0 ptos.) Sean p, q ∈ Pn , tales que {p, q} es linealmente independiente. Demuestre que {p, q, pq}
es linealmente independiente sí y sólo sí grado(p) ≥ 1 y grado(q) ≥ 1.
(b) (2,0 ptos.) Sean U, W dos s.e.v. de un e.v. V . Si dim(V ) = 3, dim(U ) = dim(W ) = 2, y U 6= W .
Demuestre que dim(U ∩ W ) = 1.
(c) (2,0 ptos.) Sean v1 = (1, 2, 1), v2 = (−2, 1, −1), v3 = (1, 1, 1). Encuentre una transformación lineal
T tal que T (v1 ) = (1, 2, 3), T (v2 ) = (0, 0, 0), T (v3 ) = (2, 1, 3).
P2. Sea T :
R3 → R3, la función definida por:
T (x, y, z) = (x + y + z, x + y − z, x + y + 3z).
(i) (1,0 ptos.) Demuestre qye T es lineal.
(ii) (1,0 ptos.) Determine una base del ker(T ) y la dimensión de ker(T ). Sea Bk dicha base.
R
(iii) (2,0 ptos.) Encuentre una base B de 3 tal que Bk ⊆ B, y usando B obtenga una base de Im(T ).
Concluya si T es inyectuva y/o epiyectiva.
R
R
(iv) (2,0 ptos.) Encuentre un s.e.v. U de 3 tal que 3 = U ⊕ Im(T ) y establezca relaciones entre los
subespacios: ker(T ), el generado por B \ Bk , U e Im(T ).
P3.
(Sección 1: Jaime González)
Sea V e.v. de dimensión n y T : V → V lineal.
(a) (2,0 ptos.) Demuestre que ker(T ) ⊆ ker(T 2 ) y Im(T 2 ) ⊆ Im(T ).
(b) (2,0 ptos.) Demuestre que T 2 = 0 sí y sólo sí Im(T ) ⊆ ker(T ), y concluya que rango(T ) ≤
(c) (2,0 ptos.) Encuentre T tal que ker(T ) = Im(T ) (considere V =
R2).
n
2.
(Sección 2: Jaime Michelow)
R
(a) (2,0 ptos.) Sea (v1 , v2 , . . . , vn ) una base ortonormal de n . Demuestre que para todo u, v
X
hu, vi ihv, vi i.
hu, vi =
i
(b) (2,0 ptos.) Dados (−1, 1, 1), (1, −1, 1) y (1, 1, −1) encuentre una base ortonormal de
R3 .
(c) (2,0 ptos.) Demuestre que si V es e.v. y A ⊆ V :
(i) A⊥ (ortogonal de A) es un s.e.v. y que A ∩ A⊥ = {0}.
(ii) A ⊆ (A⊥ )⊥ (no necesariamente se cumple con igualdad).
15 de mayo de 2009
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