Download OPCIÓN A EJERCICIO 1 Una empresa edita un libro en dos tipos

ARAGÓN / JUNIO 03. LOGSE/ MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES / ÁLGEBRA / OPCIÓN A / EJERCICIO 1
OPCIÓN A
EJERCICIO 1
Una empresa edita un libro en dos tipos de formato “normal” y de “bolsillo”, de un
ejemplar del primer formato se obtiene un beneficio de 5 unidades monetarias y de un
ejemplar del segundo 3. La producción de un ejemplar normal requiere 8 unidades de
materia prima y 4 unidades de tiempo y la de bolsillo 4 unidades de materia prima y 3 de
tiempo, disponiendo para ello de 800 unidades de materia prima y 480 unidades de
tiempo.
a) ¿Cuántos ejemplares de cada formato se han de editar para que el beneficio total sea
máximo?
b) Si el beneficio de producir un ejemplar normal fuera de 4 unidades monetarias,
¿podría cambiar la solución del apartado anterior?
Solución:
Se trata de un problema de programación lineal.
Ordenamos los datos para expresarlo en forma estándar.
Normal
Bolsillo
Disponible
Cantidad
x
y
Materia prima
8x
4y
800
Tiempo
4x
3y
480
Beneficio
5x
3y
Función objetivo: maximizar B(x, y) = 5x + 3y
Restricciones:
8x + 4y ≤ 800
4x + 3y ≤ 480
x ≥ 0; y ≥ 0
a) El conjunto de soluciones es el sombreado en la siguiente figura.
www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM
ARAGÓN / JUNIO 03. LOGSE/ MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES / ÁLGEBRA / OPCIÓN A / EJERCICIO 1
Como sabemos, la solución óptima (máximos y mínimos) se da en la frontera −el borde− de esa
figura; en particular en alguno de los vértices.
Las coordenadas de esos vértices son:
8x + 4 y = 800
⇒ Q = (60, 80) y R = (100, 0).
O = (0, 0), P = (0, 160), Q: 
4 x + 3 y = 480
El beneficio en esos vértices es:
En O,
En P,
En Q,
En R,
B(0, 0) = 0.
B(0, 160) = 480
B(60, 80) = 540
B(100, 0) = 500.
El beneficio total máximo se alcanza en el vértice Q; esto es, fabricando 60 libros de formato
normal y 80 de bolsillo.
b) En este caso, la función objetivo es B´(x, y) = 4x + 3y.
Los beneficios serán:
B´(O) = 0;
B´(P) = 480; B´(Q) = 480; B´(R) = 400
El beneficio máximo es menor, de 480 unidades monetarias. Sigue valiendo la solución del
apartado anterior, pero se amplia a cualquier punto del segmento PQ. Esto es, también vale la
solución (0, 160) y todas las posibles −enteras− del segmento PQ.
www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM