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Inst. Edu JORGE ROBLEDO.
PLANEACION DEL CURTO PERIODO
Núcleo
Variación temático
Matemáticas grado 11°
Tema
año 2016
Logro
I.
II.
III.
IV.
V.
Integral de una constante.
Integral de una variable.
Integral indefinida.
Integración
de
funciones
Integral definida
algebraicas en forma directa
Integral indefinida de funciones
algebraicas
VI. Integral de
e
VII. Integral indefinida de funciones Integración
de
trigonométricas
trigonométricas
funciones
VIII.
Integración por
sustitución
Integración
de
funciones
algebraicas y trigonométricas por
sustitución
IX. Integración por partes.
Integración
de
algebraicas por partes
X. Integración por sustitución
trigonométrica.
Integración
de
algebraicas
por
trigonométricas
XI. Integración por fracciones
parciales
Integración
de
funciones
algebraica por fracciones parciales
funciones
funciones
sustitución
BIBLIOGRAFÍA:
RIRCARDO ALENADRO D., NELSON JIMENEZ R., FABERTH ALBERTO D.,
GUSTAVO CENTANO., MARCO FIDEL ROYANO. “Nuevo Pensamiento Matemático
11” Editorial libros & libros S.A 2004.
LARSON ROLAND E., HOSTETLER ROBRER P. "Matemáticas” 11°", McGraw-Hill.
Edición 1996.
MATERIALES:
Cuaderno, hoja milimetrada, calculadora, lápiz, borrador .
INTEGRACIÓN
En integración el trabajo consiste en
encontrar una F ( x) dada una función
f (x)
Solución:
,es
3
a
f ( x )dx
F ( x) 
1
x4  c
2
La prueba consistiría en derivar
este resultado y obtener la
función inicial:
 f '( x)  2x2  0  2x2
b
a
En síntesis, el proceso de
integración definida consiste
en:
 f ( x )dx  F(x)  F (b)  F ( a)
b
a
En resumen para formular
una integral, se utiliza una de
dos expresiones: para la
indefinida  f ( x )dx y para la

Lo que equivale a decir que:
El símbolo de integración
es 
Variable de diferenciación (dx,
dy , dh) respectiva
El símbolo de integración
es 
integrando( f ( x ) ,
f ( y ) , f (h)
respectivamente.
Variable de diferenciación
(dx, dy , dh) respectiva.
integral definida
1
 c  x4  c
2
-
El planteamiento se ,
compone de tres partes:
b
31
La integral definida es el
trabajo que
consiste en
encontrar
un valor(área)
dado
las
condiciones
iníciales o limites superiores
e inferiores:
La integral indefinida es el
trabajo que consiste en
encontrar una función F  x 
dada una función f  x  , más
una constante de integración
C.
-
2
 2 x dx  3  1 x
El proceso de
integral
se puede
implementar de dos formas: Indefinida y
definida
-
f ( x)  2 x 3
función
decir, dada una función f ' ( x ) ,
se busca aquella función F ( x) que
derivada da como resultado la anterior.
-
Ejemplo integración
indefinida: Integrar la
,
con las cuales se plantea
hallar una F ( x )  c o un área
respectivamente.
b
a
Ejemplo de integración
definida: Integrar la función
f ( x)  2 x 3
[2,4].
Se tiene que la función a integrar es
2x 3 , pero se plantea un intervalo de
integración lo que conlleva a una integral
definida.
Reescribiendo la función para su
integración queda:

4
2
2 x 3 dx
La solución es:
x 4 4  ( 4 )4   ( 2 ) 4 
  

]2 = 
2
 2   2 
256 16
=

= 128  8 = 120
2
2
3
 2 x dx =
Nota: En ambos casos se puede efectuar
una integración directa, que es aquel
proceso aplicable cuando se identifica la
función primitiva de forma inmediata;
esto es, cuando se conoce la regla de
derivación que al aplicarla permite hallar
el integrando a partir de la función
primitiva;
METODOS DE INTEGRACIÓN
Los métodos de integración
consisten en
fórmulas
o
teoremas que se aplican de
forma
directa
una
vez
identificado el ejercicio a
solucionar
a la integral
indefinida.
I.
Integral de una
constante.  adx  ax  c
II. Integral de una variable.
 xdx

x2
c
2
III. Integral de una variable
más una constante
x2
 ( x  a)dx  2  c
VI. Integral de una variable
con coeficiente “a” a la
1
n
x n 1  c
n  ax dx 
a   n  1
VII.
Integral definida
VIII.
Integral indefinida
de funciones algebraicas
IX. Integral indefinida de
funciones
trigonométricas
X. Integración por
sustitución
XI. Integración por partes.
XII.
Integración por
sustitución
trigonométrica.
XIII.
Integración por
fracciones parciales
Desarrollo
Integral de una constante
Ejemplo, Hallar las siguientes
integrales
1. 0dx
,
2. 1dx
3. 2 dy
,
,
4. 3dt
Solución:
1. 0dx En este caso se trata de
integrar la constante cero
 0dx
 0
IV. Integral de una variable
a n  x n dx 
x n1
c
n 1
V. Integral de una variable
con coeficiente “a” a la
a
n
x n 1  c
n  ax dx 
n 1
2. 1dx
Explicación: Al integrar la
constante 1 con respecto a
, se obtiene
dx
x  c
 1dx  x  c
Rta:

d.
x
2

dx
x3
3
 c
Integrar  7 y dy
9
Solución
7 9 1
7
y  c  y 10  c
9 1
10
9
 7 y dy 
3. 2 dy
e.
Explicación: Al integrar la
constante 2 con respecto a dy , se
obtiene 2 y  c
 2dy  2 y  c
Rta:
9
5 x
7
Integrar
9
5x
7
dx
1  8
 9

 x +c
 5 7+1
dx = 
9 8
 9 1 8
  x +c=
x +c
40
 5 8
=
3
4. 3dt
1
f.
Explicación:
Al integrar
la
constante 3 con respecto a dt , se
obtiene
pero
3t
como es una integral definida, se
tiene que indicar el límite de
integración, de la siguiente forma
3
Rta: 1 3dt  3t  13  3(3)  3(1)  9  3  6
Teorema
1:
 kdx
 kx  c
Integración de un constante con respecto a
una derivada es igual a la constante por la
variable de integración más una constante
de integración C, excepto cero,
 64t
g.
c.
 xdx
Solución
Integrar
Solución
x
x2
2
2
dx
11

 5 x 12

 c =
 12

EJEMPLOS DE INTEGRAL
DEFINIDA
 c
x 2 dx =
Integrar
16m 8 9 16( 9 )8 16( 5 )8
]5 =

5
8
8
8
( 16 )( 43046721 ) ( 16 )( 390625 )
=

8
8
 86093442  781250 =85312192
9
xdx 
 85 x  dx
Integrar
x 3 3 ( 3 )3 ( 1 )3
] 1 =

1
3
3
3
27 1
26
=
 =
3 3
3
DE INTEGRAL INDEFINIDA

dt
10 x 12
C
3
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx  k  F ( x)  c
Integrar
13
64 14
t c
14

Teorema 3:
b.
dt 
 64t
11
 8 5 x dx  8
3
a.
13
Integrar
16m 7 dm =
Teorema 2:
 ax
n
dx 
a
x n 1  c
n 1
La integral de una variable con
coeficiente y exponente diferente de
uno es igual al coeficiente dividido
por el exponente más uno y como
exponente el exponente más uno
un término elevado a la

menos uno o
dx
una
x
variable en el denominador a
la uno, el integrando es
ln x  c
Ejemplos.
Teorema3:
  f ( x)  g ( x )  
f ( x ) dx 
 g ( x)dx
La integral de
la suma o resta de
funciones, es igual a la suma o resta de
las funciones.
13dx 13
= ln x  c
7x
7
a.

b.
 0.23 x
1
dx
= 0.23 ln x
c
Ejemplo: Hallar la integral de
 4x
12
 6 x 7  2 x 5  127dx
Ejemplo
Solución:
 4 x + 6 x  2 x + 127dx
=  4 x dx +  6 x dx   2 x
12
7
5
12
7
5
x +  127dx
4 x 13
6x8
2x 6
c
c
 c  127 x  c
13
8
6
4 x 13 6 x 8 2 x 6



 127 x  C
13
8
6

 8 x 4  3x 2  9
dx

3x 2
Efectuando la división se obtiene
Reuniendo las constantes de
integración en una sola.

4 x 13 3 x 8 x 6


 127 x  C
13
4
3
Simplificando en los casos
requeridos
a
Teorema 4:
 x b dx 
b
x
ab  b
ab . b
b
c
La integral de un término con
exponente racional es similar a los
casos anteriores, solo que se debe
tener en cuanta de efectuar la
operación en los racionales.
INTEGRALES QUE DAN COMO
LA FUNCION RESULTADO UN
LOGARITMO
Caso especial, cuando se
1
tiene la integral de  x dx
Prueba:
Si x  0 entonces
x  x
y
ln x  ln x
por lo que: D x (ln x )  D x (ln x) 
1
x
Si x  0 entonces x   x y
ln x  ln( x ) por lo que:
D x (ln x )  D x (ln  x) 
1
1
 1 
x
x
De esta manera queda comprobada la
igualdad dada.
5.
En general se tiene que

4y2
25 
 2 y  5dy    2 y  5  2 y  5 

 2 ydy   5dx   
Observe que la expresión en el
denominador debe tener exponente uno y
que además en el integrando debe
aparecer la derivada de f(x).
6.
25 
 dx
2 y  5 
5y2  6y
 10 y  3 dy Ejercicio para
el estudiante
Ejemplos:
En muchas ocasiones, cuando la
integración directa no es tan obvia,
es posible resolver la integral
simplemente con hacer un cambio
de
variable
adecuado;
este
procedimiento se conoce como
integración por sustitución.
1.
2.
3.
Note que
Considera el siguiente ejemplo:
 x x
2

2
 1 dx . Una forma de
resolver la integral, consiste en
encontrar el desarrollo del binomio.
multiplicar este resultado por x,
separar las integrales y luego aplicar
las regla básicas de integración.
 x  x  1 dx   x x  2 x
   x  2 x  x  dx
  x dx   2 x dx   xdx
2
Nota:
Cuando en un cociente, la variable de la
expresión en el numerador tiene
exponente mayor o igual al de la variable
en el denominador, debe efectuarse
primero una división y luego integrar
como se especifica en los ejemplos
siguientes:
4.
3y
 y  5dy   3 
15
dy 
y5
2
5
4

 1 dx
3
5

2
3
x6
x4
x2


C
6
2
2
El método empleado para este
ejercicio no es muy práctico, para
exponentes mayores que 2, por
ejemplo ¿qué pasaría si tuviéramos
dy
que calcular:
 3dy  15 y  5
 x x
2

1
10
dx
Dicho método se conoce como
integración por sustitución, y
consiste en hacer un cambio de
variable que permita expresar la
integral dada en una integral que
tenga la forma de las integrales
inmediatas o básicas.
I.
La integral de
KU n 1
n
KU
dU

C

n 1
siempre que n  1 .
 x x
Ejemplo.
Para hacer la integración por
sustitución seguimos los siguientes
pasos:
1) Hacer la elección de U, digamos
U = f(x). Casi siempre U está entre
paréntesis, en el caso de funciones
trigonométricas
sencillas,
en
expresiones logarítmicas o algunas
funciones exponenciales.;
elevado
a un exponente o dentro de un
radical.
2) Hallar la derivada de la expresión
U = f(x) , es decir :
dU
 f / ( x)
dx
3) despejar dx, es decir hacer:
dx 
dU
f / ( x)
4. Hacer la sustitución en la integral
y tratar de dejar toda la expresión
en función de U.
5. Encontrar la integral en términos
de U , para luego volver a dejar todo
en función de x.
Si al realizar las sustituciones, no es
posible
de
dejar
la
integral
únicamente en función de U, se
debe buscar otro método apropiado
para resolver la integral.
En la aplicación de la integración por
sustitución, se debe expresar las
integrales básicas en función de la
variable U. es decir
2

1
10
dx
Llamamos U a la expresión que se
encuentre entre paréntesis: U  x 2  1
.
Encontramos su derivada:
Despejamos dx: dx 
dU
 2x
dx
dU
2x
Realizamos las sustituciones en la
integral dada y simplificamos los
términos semejantes.
 xx
=
2
+1

10
dx =
 xU
10
dU
2x
U 10 dU 1
10
 2 = 2  U dU
Encontramos la última integral:


1 U 11
 C sustituimos
2 11
nuevamente U por equivalente:
10
2
 x x  1 dx 
 x  1
 x x  1 dx  22
2
Ejemplo.
 3x
11
2
10
23
5x
3
C

5
 4 dx
Sabemos la integral la podemos
expresar como:


5
2
3
 3x 5 x  4 3 dx
Llamamos U a la expresión que se
encuentre entre paréntesis:
U  5x3  4 .
3 x 2 dU
dU 1 dU
 U 12 x 2   4U  4  U
Encontramos la última integral:
Encontramos su derivada:
dU
 15x 2 ; Despejamos dx:
dx
dx 
dU
15x 2
3x 2
1
 4 x3  5 dx  4 Ln U  C
Sustituimos nuevamente U por
equivalente:
Realizamos las sustituciones en la
integral dada y simplificamos los
términos semejantes.
3x 2
1
3
 4 x3  5 dx  4 Ln 4 x  5  C
5
2
3
3
x
5
x
+
4
3 dx



5
=  3x U3
2
=

5
U 3 dU
5
II.
Ejemplo.
III.
dU
15 x 2
1
=
5

Ejemplo: encontrar
5
U 3 dU
La integral de
1
1
 U dU   U dx  Ln U  C
.

la integral de euler
U
U
 e dU  e  C .
e
dx
Llamamos U a la expresión que se
encuentre como exponente de e.:
U  3x  1 .
Encontramos su derivada:
Despejamos dx: dx 
3x 2
dx
4 x3  5
3 x 1
dU
 3;
dx
dU
3
Luego:
Llamamos U a la expresión que se
encuentre en el denominador:
U  4 x3  5 .
Encontramos su derivada:
dU
 12x 2
dx
Despejamos dx: dx 
e
=
3 x +1
dx =
e
U
dU 1
=  e U dU
3
3
1 U
1
e + C = e 3 x +1 + C
3
3
IV. la integral de la función
dU
12x 2
Realizamos las sustituciones en la
integral dada y simplificamos los
términos semejantes.
exponencial
EJEMPLO:
4
3x5
U
 a dU 
dx
aU
C .
Lna
Llamamos U a la expresión que se
encuentre como exponente de 4.:
U  3x  5 .
Encontramos su derivada:
Despejamos dx: dx 
dU
 3;
dx
dU
3
Luego:
3 x +5
dx =
4
U
5. Las integrales de las funciones
trigonométricas :
Integral Indefinida
 CosUdU
 SenU  C
 SenUdU  CosU  C
 Sec UdU  TanU
2
 SecUTanUdU
 Csc
Despejamos dx: dx 
dU
 5;
dx
dU
5
Luego
 Sen  5 x  3 dx =  SenU
dU
5
1
SenUdU
5
:
1
=   CosU  + C
5
1
=
Cos  5 x  3 + C
5
=
dU 1
=  4U dU
3
3
U
1 4
1
=
+C =
4 3 x +5 + C
3 Ln 4
3Ln 4
4
Encontramos su derivada:
C
 SecU  C
INTEGRACIÓN POR PARTES
Cuando
el
integrando
está
formado por un producto (o una
división, que podemos tratar
como
un
producto)
se
recomienda utilizar el método de
integración
por
partes
que
consiste en aplicar la siguiente
fórmula:
UdU  CotU  C
2
 CscUCotUdU
 CoscU  C
Para las funciones trigonométricas
se llama U a la expresión que
aparece como ángulo.
Ejemplo: ejemplo: encontrar
 Sen 5 x  3 dx
Llamamos U a la expresión que se
encuentre como ángulo de la
función U  5 x  3 .
Regla mnemotécnica: Un Día Vi
Una Vaca MENOS Flaca Vestida
De Uniforme (UDV = UV - FVDU)
Aunque se trata de un método
simple,
hay
que
aplicarlo
correctamente. Damos algunos
tips:
Escoger adecuadamente u y dv:
Una
mala
elección
puede
complicar más el integrando.
Supongamos que tenemos un
producto en el que uno de sus
factores es un monomio (por
ejemplo x3). Si consideramos dv
=
x3 ,
entonces,
integrando
4
tendremos que v = x /4. Con lo
que
hemos
aumentado
la
potencia y esto puede ser un
paso atrás.
donde C(x) y R(x) son los
polinomios cociente y resto
respectivamente.
Dividiendo en la expresión
por Q(x) tenemos
P(x)Q(x)=C(x)+R(x)Q(x)
usaremos esta descomposición
en la integral:
Algo parecido ocurre con las
fracciones (como 1/x). Si
consideramos dv = 1/x,
tendremos v = log|x|, y
probablemente obtendremos una
integral más difícil.
SOLUCIÓN
Normalmente escogemos u =
x 2 para reducir su exponente,
pero entonces tendremos que dv
= tan-1 x y no conocemos la
primitiva del tan-1. Escogemos lo
contrario.
Resolvemos la integral:
Por tanto:
CUESTIONARIO
1.
Ahora tenemos que calcular la
integral de una función racional.
Para simplificar su expresión
vamos a efectuar la división de
polinomios:
P(x)Q(x)→P(x)=Q(x)C(x)+R(x)
¿Qué produce una
integral indefinida?
2.
¿Qué es una integral
definida?
3.
¿Qué produce una
integral indefinida?
4.
¿Qué es una integral
indefinida?
5.
¿Qué es integración
directa?
6.
¿Cuáles
son
los
métodos
básicos
de
integración?
7.
¿Cuál es la integral
de una constante?
8.
¿Cuál es la integral
de la función seno?
9.
¿Cuál es la integral
de la función coseno?
10.
¿Cuál es la integral
de la función tangente?
11.
¿Cómo se enuncia la
integral de la suma o
diferencia de integrales?
12.
¿Cuál es la integral
de la función cotangente?
13.
¿Cuál es la integral
de la función secante?
14.
¿Cuál es la integral
de la función cosecante?
15.
¿Cómo se integra el
número de Euler?
16.
¿Cuál es la integral
de la función exponencial?
17.
¿Cómo se integra por
sustitución?
18.
¿Cómo se integra por
partes?
19.
¿Qué determina la
integración?
20.
¿Cómo se relacionan
las
integrarles
con
las
funciones?
21.
¿Cómo se relacionan
las
integrarles
con
las
derivadas?
22.
¿EXISTE
ALGUNA
RELACION
ENTRE
LAS
INTEGRALES Y LOS LIMITES E
UNA FUNCION?