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Dispersion Cuantica A Traves De Una Cadena de N
Barreras Potenciales Con Estructura De Multiples
Niveles De Energia.
( INFORME DE PASANTIAS )
José Luis Casadiego Bastidas
Departamento de Física, Facultad Experimental de Ciencias y Tecnología
Universidad de Carabobo
Julio 2009
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Objetivos
Objetivo General
Estudiar la dispersión cuántica para una partícula sin espín a través de una cadena
lineal de barreras potenciales tipo delta con estructura interna.
Objetivos Específicos
Estudiar los métodos de traslación y composición de matrices S, para sistemas
lineales con potenciales simples (monoestados).
Estudiar la dispersión de una partícula si espín, en sistemas lineales de N barreras
tipo delta con potenciales monoestados.
Describir la matriz S para un sistema lineal de dos barreras tipo delta, con dos
estados accesibles.
Describir la dispersión para el sistema de doble barrera con dos estados.
Estudiar la matriz S para el caso de N barreras con dos estados.
Resolver para la dispersión de la partícula en el sistema de N barreras con dos
estados.
Describir una matriz S para el sistema de N barreras M estados.
Realizar un algoritmo que determine la matriz S del sistema de N barreras M
estados.
Resumen de Actividades
Para empezar con la descripción del problema a estudiar, se procedió a repasar conocimientos previos en mecánica cuántica y transporte cuántico en sistemas mesoscópicos,
de manera mas específica en los temas de dispersión por un potencial, matrices T y S,
la combinación de matrices S para dos dispersores en serie y la transformación de estas
bajo una traslación. Seguido a esto se estudiaron los problemas de una y dos barreras de
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potencial delta con un solo estado, resolviendo ambos problemas utilizando las autofunciones de paridad permitidas por la simetría del hamiltoniano. Ya resueltos estos casos
se abordó el problema de una barrera de potencial delta con dos estados asumiendo
dos posibles configuraciones del sistema. En una de ellas el dispersor se encontraría en
un estado base, al cual corresponden las dispersiones elásticas. La otra configuración
posible del sistema es la del dispersor en el estado excitado, siendo asociadas a este
estado las dispersiones inelásticas.
Figura 1: Panel Superior: Modelo de la dispersión inelástica descrita en el hamiltoniano. La fuerza de dispersión elástica está representada por u0 y la fuerza de dispersión
inelástica por u1 . Una vez alcanzado el umbral para la partícula entrante, dando al dispersor una energía de exitación Eexec = Ee − Eg procesos reales pueden ocurrir en los
cuales el dispersor es excitado y la partícula dispersada reduce su energía a E −Eexec . Eg
y Ee corresponden a las energías del dispersor en el estado base y el excitado, respectivamente. Panel Inferior: Existen dos canales para la dispersión por efectos inelásticos.
Los dos canales de salida son ortogonales. A. López, V. Villalba y E. Medina, Phys.
Rev. B., 76, 115107 (2007).
El hamiltoniano fué planteado de manera tal que reproduzca los posibles estados
resultantes de las interacciones. En otras palabras, de las interacciones entre la partícula y el dispersor, este último puede quedar en su estado inicial al interactuar con la
partícula o presentar una transición de estado, ya sea del base al excitado o viceversa.
Siguiendo procedimientos conocidos en la resolución de este tipo de problemas, se logró
reproducir los resultados consultados en la revisión bibliográfica.
Ya creado todo este ambiente de conceptos, herramientas y fenomenología se abordó
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el problema de dos barreras de potencial delta con dos estados excitados. En este caso
existen cuatro posibles configuraciones: ambos dispersores en el estado base o excitado
y el primer dispersor en el estado base y el segundo en el excitado o viceversa. Esto
dió raiz a una reformulación del hamiltoniano, debido a la localización de las barreras
y además de designar que tipo de transiciones se dan en cada una de estas barreras.
Posterior a esto, a partir de las condiciones de contorno y la matriz S del sistema, se
procedio a estudiar una cadena formada por N dispersores. Y esto a su vez perimitió
generalizar para un sistema similar donde los dispersores pueden presentar M estados,
los cuales vienen como consecuencias de las interacciones con la partícula dispersada.
Por último, ya esquematizado el problema, se pudo escribir un algoritmo cuyo fin es
formular la matriz S para un sistema de N barreras con M estados.
Conclusiones
El método de traslación y composición de matrices S ha sido generalizado para el
caso donde existe mayor dimensionalidad dada por los estados de energía accesibles
de los potenciales. Esto conlleva a una expansión del espacio de Hilbert. Así para N
dispersores se obtiene que la interacción de rango M debida cada uno, será un tensor
de rango MN resultante del producto tensorial de la interacción base o elemental de la
delta en la n-ésima posición, por la matriz identidad también de rango M que indica
la no interacción en el resto de los dispersores. Igualmente la función de onda será un
vector de rango MN. Pudiendo entonces aplicar de forma general las reglas de traslación y composición considerando ahora cada elemento tensorialmente se obtiene una
matriz S(2M N ) con tensores de traslación siempre la naturaleza de cada delta sea la
misma y sin considerara solapamiento alguno o interacción entre ellas. Con ello se ha
podido resolver analítica numéricamente para los coeficientes de transmisión y reflexión
del sistema bajo ciertas condiciones de fronteras observándose el patrón de resonancias
según la energía de inyección. Podrá determinarse mas adelante el comportamiento del
cambio de fase y su naturaleza en procesos inelásticos con muchos dispersores. Este
trabajo forma una base para el análisis de problemas de muchos cuerpos en estructuras de bajas dimensionalidad espacial y determinar posibles procesos de enredamiento
cuántico.
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