Download Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de
Document related concepts
Transcript
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de Física Métodos Matemáticos de la Física II (2424) http://fisica.ciens.ucv.ve/~svincenz/metodosmatematicosdos.html Tarea 4 (Especial) Cálculo en la variable compleja Funciones Gamma y Beta Expansiones asintóticas http://fisica.ciens.ucv.ve/~svincenz/metodosmatematicosdos(t4e).pdf 1°) Algo más sobre funciones generalizadas, el llamado “átomo de hidrógeno unidimensional”: considere la energía potencial singular unidimensional U (x) = −k/ |x|, donde k es una constante positiva. Nota: es necesario mencionar que, debido a su contraparte tridimensional, a esta energía potencial se le ha asignado el nombre (por cierto incorrecto) de “energía potencial para el átomo de hidrógeno unidimensional” o brevemente, energía potencial para el átomo 1H. En efecto, sería el potencial unidimensional V (x) = 2πe |x|, más bien que V (x) = e/ |x| (con e > 0), el que corresponde a una carga positiva en el origen y el cual genera el siguiente campo de fuerzas sobre el electrón: F (x) = (−e)(−V 0 (x)) = −2πe2 sgn(x). En tres dimensiones, esto es equivalente al campo eléctrico debido al plano y − z con una densidad de carga superficial uniforme σ = e. Es claro que, cualquier potencial físico “unidimensional” (i.e., dependiente solo de x) requiere de una fuente que sea infinita en las direcciones y y z, así que V (x) debe tender realmente a infinito y no a cero cuando |x| → ∞. Por lo tanto, el problema del átomo de hidrógeno unidimensional corresponde más bien a un movimiento unidimensional en el campo de Coulomb V (x) = −e/r, que a movimiento en un verdadero potencial unidimensional. (a) Demuestre que el campo de fuerza correspondiente a nuestro potencial singular es: F (x) = −k sgn(x) δ(x) + 2k . x2 x (1.1) Ayuda: recuerde que sgn(x) = x/ |x| y su derivada es sgn0 (x) = 2δ(x). Note que esta fuerza no es puramente atractiva ya que contiene una singularidad repulsiva que proviene del término que contiene a la delta de Dirac. (b) Considere la siguiente representación para la función signo y la delta de Dirac: x 1 −2 x sgn(x) = lı́m tanh , δ(x) = lı́m cosh . (1.2) α→0 α→0 2α α α Estas dos expresiones están relacionadas por sgn0 (x) = 2δ(x), o bien por la relación integral ˆ x sgn(x) = −1 + 2 du δ(u) (1.3) −∞ ¡Compruebe ésto! (c) Demuestre que para x pequeño se verifica el siguiente resultado: F (x) ≈ lı́m − α→0 2k x. 3α3 (1.4) Esta fuerza proporciona oscilaciones armónicas alrededor del punto de equilibrio estable x = 0, 43 además, la frecuencia de este movimiento aumenta sin parar a medida que α → 0. De esta forma, el término repulsivo en la expresión de la fuerza hace que ésta se anule en x = 0 (¡no se incrementa infinitamente!), pero no prohibe la penetración del electrón a través del origen. 2°) Demuestre el siguiente resultado: ˆ +∞ dx 0 cos(x) π = p x 2Γ(p) cos pπ , 2 0 < p < 1. (2.1) 3°) Algunas expansiones asintóticas: (a) Encuentre una expansión asintótica para la integral √ ˆ +∞ u exp (u) I(x) = du exp (−xu) , 1+u 0 que sea válida para valores grandes de x (x → ∞). Ayuda: Use el llamado lema de Watson: “Bajo condiciones apropiadas sobre la función continua F (u), es decir, para que exista la integral (|F (u)uα | ≤ M exp (cu), para las constantes M y c cuando u → ∞), se verifica el siguiente desarrollo asintótico: ˆ +∞ a0 Γ(α + 1) a1 Γ(α + 2) a2 Γ(α + 3) du exp (−xu) uα F (u) ∼ + + + ··· , (3.1) xα+1 xα+2 xα+3 0 donde α > −1, x → ∞ y se asume que F (u) se puede expresar como F (u) = a0 + a1 u + a2 u2 + · · · ”. Por cierto, las condiciones dadas garantizan que esta integral existe para x > c. (b) Obtenga el siguiente desarrollo asintótico el cual es válido para valores grandes de z: ˆ +∞ exp (−zu) 1 1! 2! 3! du ∼ − 2 + 3 − 4 + ··· . (3.2) 1+u z z z z 0 (c) Demuestre que la llamada función error erf(x) tiene el siguiente desarrollo asintótico válido para grandes valores de x: 2 erf(x) = √ π ˆ x du exp −u2 ∼ 1 + 0 x exp π −x2 ∞ X (−1)k k=1 Γ k− x2k 1 2 . (3.3) (d) Demuestre que la llamada función integral exponencial E1 (x) tiene el siguiente desarrollo asintótico: ˆ +∞ ∞ X exp (−u) k! E1 (x) = du ∼ exp (−x) (−1)k k+1 , (3.4) u x x k=0 el cual es válido para grandes valores de x. 44