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Universidad Autónoma de San Luis Potosí.
Facultad de Ciencias
Superficies Fractales Selectivas
a la Frecuencia
TESIS
Que para obtener 1 Gr do d
Maestro en Ciencias Aplicadas
PRESENTA:
Roberto Isaac Muñoz Alvarez
ASESOR:
Dr. Francisco Javier González Contreras
SAN L UIS POTOSÍ, S.L.P.
AGOSTO DE
2005 .
,
UNIVERSIDAD AUTONOIMA
DE
,.
SAN LUIS POTOSI
FACULTAD DE CIENCIAS
Superficies Fractales Selectivas
a la Frecuencia.
Ing. Roberto Isaac Muñoz Alva rez
SINODALES:
I
Dr. Francisco Javier González Contreras
(Asesor)
Dr. Raúl Balderas Navarro
•
Dr. Jesus Drías Hermosillo
A mis padres como un te timonio de
Infinito aprec io y agradecim iento
Por toda una vida de esfuerzo y sacrificio
Brindándome siempre apoyo y cariño
Cuando más lo nece ite .
•
Deseo de todo corazón
Que me triunfo lo ientan
Como el suyo propio con amor
Admiración y respeto
Roberto Isaac Muñoz Alvarez
~~----------------------------------
--
•
Agradecimientos.
Al Dr. Francisco Javier González por la dirección y la paciencia que tuv o para
la realización de la Tesis.
A la Lic. Ana Margarita Orellana Moreno por todo el apoyo que me otorgo en todo
el proceso de esta tesis y estar a mi lado.
A todos mis amigos que me apoyaron.
Al CONACYT por la beca de postgrado No 182076.
•
Índice general
Lista de Figuras
Lista de Tablas
IV
l . INTRODUCCIÓN .. ... .... ... .. ........ .... ...... ... ... ....... ... ..... .... ...... ...... .. .. ..................... ....... .. 4
1.1
Objetivo ... .... ..... .. .. ..... .. ........ .... .. ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... ..... ... .. ....... ..... .... .. ......... ........ 5
1.2
Justificaciones. ... ... .... .. ... ... .. ..... ...... ...... .......... ...... .. ...................... ... .. .................. 6
2. FRACTALES....... ....... ........ .... .. ......... .. ..... .. .. ................ .. .. .. .... ... .. ...... ...... ...................
•
2.1
Compl ejidad infinita ........ .. ..... .. ........ ...... .... .. .... .. .. .. .... .. ... ... .. .. .. .. .................... .... 9
2.2
Aplicaciones de fracta les...... .... ... ......... .. .. .. .. .. ..... ........ .. ...... .. ....... .. .................. ..
11
2.3 Ap licaciones de fracta les en electromagnetismo.. ........... .. .......................... .......
13
2.3 . 1 Características de antenas fractales .........................................................
15
2.3.2
Ventajas de antena fractales.... .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ..... ...... ... .. .. .. ................. 15
2.3.3
Desventajas de antenas fracta les............... ...... .. .... ... ....... ........................ 15
3. SUPERFIC IES FRACTALES
3. 1
•
7
3.2
ELECTIVAS A LA FRECU
IA ( F F) .......... 17
Análi s is teórico de las SFSF...... ...... ...... .... ........... ................................. ............. 18
3.1. 1
Solución de superficies periódica de dipolo ..................................
19
3.1 .2
El método del potencial vector ial de Hertz.. .. ...... ..... ... .... ...................... . 24
Ap licaciones de SFSF .. .. .. .. .... .. ............. ... .. ........ .. .... .... .. .. ........ .. ...................... ... 29
4. FEMLAB .... .... .. .. ... ......... ...... ...... ........ .. ... .... ............................... ................. ... ...... ....... 33
4.1
Tutori al para resolver problemas electromagnéticos .................. .......... ..... ......... 33
4.1 .1 Lentes de Fresnel. ........ .. .......................... ........ .......................... ....... ...... 37
5. Si MULACIONES ..... .. ................. .. .... .. .... ..... .... ...... ..... .. ...... ..... .................... ............... 43
5.1
Dipolo.......... .... .... ...... .... .......... .. ......................... .. ................................... ........... 4
•
•
6.
5.2
Arreg lo de C uad rados ... ........... .......... .................... .. ..... .. .... .. .... ............. ........... .. 49
5.3
C ircuito RLC............. ... ..... .. ..................................................... .................... .... . 53
5.4
Fractal de Minkowski .... ......... .. .. ............ .......................... .................... ..... ... .... 57
5.5
Fractal de Sierpinski....... .. ......................................... .. ........ .. .............. ..... ........ 62
5.6
Fractal de Dipolo Cruzado .. ........ .................. .. ..... ............. ....... .......... ............... 66
5.7
Fractal de Koch ... ............................................... ... ... .. ................. ......... ... .. ........ 70
CONCLUSIONES ..... .... ........ .... ... ................................. ... ........ .. ................ ... .. .... ....... 74
6.1
7.
•
TRABAJO A FUTURO... ..................... .. ... ............... ... ........ ............................. 75
REFERENC iAS .... .... ........ ..... ............. ... ................... ........ ........... .. ..................... ..... . 76
..
Lista de Figuras
Figura 1 - Primer Fractal.. .. .. .. ........... ....... .. ..... .... ... .. ... ..... .... .... .. ....... ..... ... ...... ........ .. .8
Figura 2 - Fractal de Koch .. ...... .. ......... .. ... .. .. ..... ...... ....... ···· ......... .......... ........ ..... ....... 9
Figura 3 - Ejemplo de una superficie selectiva a la frecuencia .... ..... ..... ............. .... 14
Figura 4 - Ejemplo de Antenas ....... .. .. ..... ... .. ... .. ... .. ........... ...... ....... ...... .... .............. .16
Figura 5 - Arreglo de SSF .... .. ..... .. ...... ...... .... .. .... .... ... ..... ···· .... .... ... .................. ........ 19
Figura 6 - Graficas de la función K ..... ..... ... ... .. ...... ... ...... .... .. ... ..... .... ... ............ ........ 23
Figura 7 - Grafica del coeficiente de transmisión y reflexión ..... .............. ..... ........... 24
Figura 8 - Ecuaciones de Maxwell. .. ..... ... .. ...... ....... ... .. ...... ·· ··· ········ ·· ················ ....... 30
Figura 9 - Diagrama esquemático de una célula de la simulación ..... .. ... .... ... .... .. .. 34
Figura 10 - Espacio de simulación analizando un arreglo de SFSF metálicas ....... 35
•
Figura 11 - Espacio de simulación analizando usando la descretización .............. 36
Figura 12 - La difracción debido a un solo borde de Fresnel. ... .. ... .... .. .... .... ........... 38
Figura 13 - Radio de Fresnel depende de la raíz cuadrada de entero ..... .... .... ............. ...... ..39
Figura 14 - an illos de Fresnel. ............... ... ..... .. .. ...... .. .......... ··.... .. .. ................ ......... .40
Figura 15 - Simulación de una frecuencia de 7 Giga Hertz ... .. ....... .. .. .... ...... .... ...... .41
Figura 16 - Difracción a una frecuencia de 10 Giga Hertz .... ... ......... .. ... ................ .42
Figura 17 - Dipolo la rejilla genera un filtro rechazo de banda ..... .... ........... .......... .44
•
Figura 18 - Frecuencias de resonancia cuando el dipolo cambia de ancho .. ...... .45
Figura 19 - Frecuencias de resonancia cuando el dipolo cambia de longitud ....... .46
Figura 20 - Simulación en FEMLAB de un dipolo de 13.25mm de longitud ...... .. ... .46
Figura21 - Grafica de la publicación análisis de superficies selectivas a la
Frecuencia ..... .. ..... .. .. .. .... ...... ... ...... .. .. .... ... ... ... ........... ... ..... ........ ..... ........ 47
Figura 22 - Grafica con la figura del Dipolo de la simulación en Femlab ...... ........ .48
Figura 23 - Elemento que genera un filtro rechazo de banda .. ..... ... ...................... .49
Figura 24 - Frecuencia de resonancia del arreglo de cuadrados .. ......... ... ... ... .. .... .50
•
Figura 25 - Simulación en FEMLAB campo eléctrico a u na frecuencia de 19 Giga
Hertz ....... ... .... ..... ... .. ... .... .. .. ....... ......... ....... ... .. .... ............ ..... ....... ............ 5O
Figura 26 - Grafica de la publicación Self-Similar Prefrac:tal Frequency Selective
Surfaces For Multiband and Dual polarized Applications .... ............... .. 51
Figura 27 - Grafica con la figura del Arreglo de cuadrados de la simulación en
Femlab ............ ... ... ................ .................. .. ......... ..... .. ... ........ .................. 52
Figura 28 - Elemento Circuito RLC .. .... .. ..... ............ ... ....... ........... .... ... ... .... .. ..... ....... 53
Figura 29 - Longitud de onda resonante del Cicuito RLC ........ .................. .......... ..54
Figura 30 - Simulación en FEMLAB campo eléctrico a una frecuencia de 1 Giga
Hertz .......................... .... .... ... ..... .. ......... .... .. ... ...... .... ............. ..... ..... ........ 54
Figura 31 - Grafica de la publicación Infrared Frequeney Selective Surface Based
on Circuit-Analog Square Loop Design ... .. .. .. .. .... . ... .... .... .............. 55
Figura 32 - Grafica con la figura del Circuito RLC de la simulación en Femlab ...... 56
Figura 33 - Fractal de Minkowski genera dos rechazos de banda ... ..... ................. 58
•
Figura 34 - Frecuencias de resonancia del fractal de Minkowski ... .. ... ..... ...... ... ..... 59
Figura 35 - Simulación en FEMLAB del Fractal de Mikowski del campo eléctrico a
11 Giga Hertz .... .... ............. .. ..... ....... ... ......... ..... .. ..... ...... ... ..... .... ........... 59
Figura 36 - Grafica de la publicación Self-Similar Prefractal Frequency Selective
Surfaces For Multiband and Dual polarized Applications ... ........... . ... 60
Figura 37 . Grafica con la figura del Fractal de Minkowski de la simulación en
Femlab .. ... ... .... ...... ... ... .... .... ..... ..... .. ... .. .. ......... ..... ... ...... ..... .................... 61
Figura 38 - Fracta l de Si erpinski genera dos rechazos de band a ......... .......................... ....... 63
Figura 39 - Frecuencias de resonancia del Fractal de Serpinski. ......... ................. 63
•
Figura 40 . Simulación en FEMLAB del Fractal de Si f~rpinski del campo eléctrico a
16 Giga Hertz ...... ... ...... .. ..... ....... ......... ..................... .. ...................... ...... 64
Figura 41 . Grafica de la publicación Self-Similar Prefractal Frequency Selective
Surfaces For Multiband and Dual polariz,~d Applications ...... ... .......... 64
Figura 42 - Grafica con la figura del Fractal de Sierpinski de la simulación en
Femlab.:... ... .... .. ... ... ... ...... ..... ...... .. .. .. .. .... ... .... .. .. .. ................................. 65
Figura 43 - Fractal de Dipolo de cruz genera dos n~chazos de banda ........... ... ... .66
Figura 44 - Frecuencias de resonancia usando el método del elemento finito
Frecuencia contra potencia transmitida en Db .... ... ..... ... .... .. ...... .... ... .... 67
Figura 45 - Simulación en FEMLAB del Fractal de Dipolo de cruz del campo
eléctrico a 8 Tera Hertz .... ... ... ... .... .......... .... .. .. .. ...... ........ ......... .... ..... ..... 67
Figura 46 - Grafica de la publicación Self-Similar Prefractal Frequency Selective
Surfaces For Multiband and Dual polarized Applications ..... . ............ 68
11
~----------------------------------------------- --------- - -
•
Figura 47 - Grafica con la figura del Fractal de Dipolo de cruz de la simulación en
Femlab ... ........................ .... ......... .. .. ....... . ... ... .... .. .. ... ...... .. ..... .... ........ ... 69
Figura 48 - Fractal de Koch genera dos rechazos d l~ banda ... ..... ...... .. ..... .. ... .. .. ... 70
Figura 49 - Frecuencias de resonancia del Fractal ele Koch ... .. ..... .. .. ..... .......... .... .71
Figura 50 - Simulación en FEMLAB del Fractal de Koch del campo eléctrico a 9
Giga Hertz ... ........... ........ .......... ... .. .. ......... ...... .. ... ......... ........ .... ........ .. .... 71
Figura 51 . Grafica de la publicación Fractal FSS : Various Self-Similar Geometries
Used for Dual-Band and Dual-Polarized FSS ..... ........ .. .... ...... ... .... ..72
•
\ \\
Lista de Tablas
Tabla . 1. Iteración de números complejos ..... ....... .. ... ........ ..... ...... .... ........ ....... ..... ... 10
Tabla . 2. Frecuencia de resonancia y longitud de oncla resona nte en función de la
longitud del dipolo .. ..... .... ..... .... ... ........... .. ........... .... ... ..... ..... .......... ..... .... .44
•
•
IV
•
Capítulo 1
INTRODUCCIÓN.
•
Las Superfic ies Fractales Selectivas a la frec uencia (SF F) han ll egado a er
importantes en lo últimos años para una variedad de apl icacione científicas, indu trial e y
militares que van desde la comunicación de señales para ce lul are
ha ta la
de un j et
militar.
La SFSF son pantallas con aberturas metálicas qUi~ pueden ser u adas como filtros
•
de microondas . A l incidir e l campo e léctrico sobre la SFSF induce una corrie nte lo qu e
permite transmitir o bloquear ciertas frecuencias .
Una SFSF es una superficie que exhibe diferente:; propiedade de re fl ex ió n y / o
transmisión en fun c ió n de la frecuencial 1], esta SFSF consi ten de arreg lo peri ódi co de
elementos de parches o abertura . Pueden ser diseñados para exhibir alta re flectan c ía o
transmitancía en ciertas longitudes de onda dependiendo del tamaño y de la confi g ura ió n
de los elementos que forman e l arreg lo[2].
•
Muchos autores han analizado arreglos periódico s con vario métod
num é ri co
tales como e l método de l elemento finito[3], el método d e admitancia [4][5] , e l mét do de
diferencias finitas en e l dominio del tiempo (FDTD)[6] y e l método de l potenc ial vec torial
de Hertz [7] .
Para la
imulación se utili zo e l software FEMLAB que tiene un ambi ente
interactivo, está basado en el método del elemento finito (FEM) y puede ser utili zad
para
4
•
modelar aplicaciones científicas y de ingeniería basadas en ecuaciones diferenciales
parciales, ofrece un completo sistema multi-fisico que modela el ambiente donde se puede
solucionar simultáneamente cualquier problema de fisica [8].
FEMLAB se utilizo para obtener las características de transmisión de un arreglo
periódico de SFSF metálicos en función de la frecuencia. Primero se hicieron pruebas con
•
una superficie selectiva a la frecuencia como es el dipolo, por ser una superficie fácil de
comprender, para poder realizar una investigación mas completa sobre las SFSF.
Para poder ver las resonancias de las SFSF es necesario ver los coeficientes de
transmisión o reflexión, en esta tesis se analizo el coeficiente de transmisión para las
diferentes superficies.
Una de las principales ventajas de las SFSF debido a su diminuto tamaño es el
ahorro de espacios y el poder trabajar con longitudes de onda pequeñas como el infrarrojo .
•
l'
1.1 Objetivo.
El objetivo de esta tesis es Crear una metodología basada en simulaciones que
facilite el diseño de SFSF. Esta metodología utiliza simulaciones en 3D de superficie
fractales selectivas a la frecuencia (SFSF). Para la simulación se utilizo el software
FEMLAB. Las graficas resultantes de coeficientes de transmisión se compararon con
1\
resultados publicados. Crear una metodología basada en simulaciones que facilite
el diseño de SFSF.
5
•
1.2 Justificaciones.
Este trabajo de tesis pretende incursionar en el campo de las Superficies Fractales
Selectivas a la Frecuencia por medio de la simulación utilizando el método del elemento
•
finito . Utilizar un programa comercial para analizar SFSFs facilitará su diseño y permitirá
comprender mejor el funcionamiento de las mismas sin tener que recurrir a la fabricación y
experimentación que son procesos tardados y costosos .
•
6
•
Capítulo 2
El objetivo del presente capitulo e dar una generalidad del concepto de fractal. O
manera espec ifica se trata las geometrías fracta les mas com un e y su generación a trav é
de iteraciones .
•
FRACTALES
Los fractales son figuras geométricas, al igual que los triángulos y lo rectángulo ,
pero con unas propiedades especiales que los di stinguen de é to . Prim ero, so n mu y
complejos, a cualquier tamaño . Tienen auto similitud , e decir, que pueden dividir e en
partes que son copias reducidas del total. Su dimen sión e~, fraccional a diferen c ia de tra
figura geométricas que tienen dim ensión entera [10).
•
Los fracta les frecuentemente se pueden encontrar ~: n la naturaleza. Mucho objet
naturales, como los helechos, copos de nieve, las costas de los países, rocas, ti enen forma
parecidas a lo
fractales . No son fractales auténtico ~; pue
su complejidad no e
infinita. Una cosa interesante de los fractales e que su e tudio es nuev o. Mu chas área de
las matemática
son basadas en conocim iento antiguo . La geometría, po r ejemp lo, la
inventó Euclídes en e l año 300 AC. Los fracta les, por e l contrario, e tán iendo e tudiad o e
•
inve ti gados en la actua lidad .
La geometría fractal fu e descubierta alrededor del año
1970 , por e l matemático polaco Benoit Mandelbrot [ 11 ].
Ex isten dos características propias de lo
fracta les. Esta
comprender su estructura y su comprensión. Primero,
o n importante
Área o Superficie e
decir, tiene límites. Por el contrario y por paradójico [ue esto resulte,
longitud es infinita, es decir, no tiene límites. Un fractal puede
para
finita , e
u perím etro o
er un a seri e de
circunferencias que se
•
7
•
colocan una sobre el racijo de la otTa como si fuera su diámetTo y así infinitamente. El área
seria siempre semejante o aproximada a la de la circunferencia mayor, pero su longitud
(considerándolas no como fi guras independientes, sino como todas una sola), serí a infínita,
se mostrara en la figura 1, el primer fractal :
•
Figura 1. Primer fractal
•
Este es el CONJUNTO DE MANDELBROT su nombre deri va de su descubridor y el
además considerado padre de la Geometría Fractal , el matemático polaco BENOfT
MANDELBROT. Pero no todos los méritos en el descubrimiento de los Fractales le son
debidos a él, sino que también a otro gran matemático, c.omo fue el francés GASTaN
MAURICE J ULIA . Estos dos matemáticos han sido los que más han aportado en el mundo
de las investigaciones sobre fractales. Sus historias son muy peculiares y, en cierto modo,
ninguno de ellos quiso descubrir los fractales, digámoslo en forma retórica que, los
fractales son una hermosa casualidad [12].
Ahora bien. Introduzcamos un nuevo concepto que no ha de ser aj eno al estudio de
fractales : ITERACIÓN. Una iteración es la repetición de "algo" una cantidad "infinita" de
veces. Entonces, los fractales se generan a tTavés de iteraciones de un patrón geométrico
establecido como fijo. El mejor y más claro ejemplo que usted puede observar de este tipo
de concepto es el siguiente:
•
8
Figura 2 . Fractal de koeh
En la imagen , la figura representada es conocida como el COPO DE NIE VE DE KO H O
LA ISLA TRIADA DE KOCH y se forma a partir de un triángulo equilátero al cua l e
dividen sus lado en tres partes iguales, de forma tal que en los tercio medio se co loca
•
otro triángulo semejante al primero. Esta iteración , en un alto grado de co mpl ejidad, e
asemejará a una circunferencia, ya que los trián gulo se irán colocando infinitamente.
sto
reafirma el concepto de área finita y Perímetro infinito. C laro e tá qu e los fra cta le
on
también números (en efecto, la iteración de un número Complejo imple por lo qu e pueden
traducirse en operaciones matemáticas).
,
2.1
Complejidad infinita.
La generación propiamente tal de un fractal se puede hacer de mucha manera
pero matemáticamente, se define como la repetición con stante de un cá lcul o simpl e
denominado iteración. Una fórmula sencilla para objeto " geométricos proveni ente de l
concepto de dimensión de Hausdorff-Besicovitch
9
- ---.- -----------------------------------------------------------------
D
_ 10g(N)
H
- IOg(%)
N : Número de unid ades
P: Tamaño del Objeto
p: Tamaño de la unidad
El Conjunto de Mandelbrot es mucho má complejo, que la imagen vi ta anteriormente.
Pero su generación es lo interesante. El Conjunto de Mandelbrot e forma m diante un
NUMERO COMPLEJO (a+bi, A y B nro . Reale · i=u nidad im aginaria) qu e e dice
"especial". Entonces, tenemos el número comp lejo Z = a+bi , al cual e lo o mete a una
•
"prueba matemática". Para ello tomam os e l número Z y lo e levamo
al cuadrado ,
sumándole después al mismo Z. Luego, elevamos ese res\; Itado y lo elevamo nu evame nte
al cuadrado, sumándoselo a Z y así infinitamente (iteración) . Representemo e to :
NUMERO C=a+bi(complejo).
Z2+ Z
Primera iteración
,
(Z 2 + Z) 2 Z
Segunda iteración
Tercera iteración
«Z 2 + 2)2 + 2)2 + 2
Tab la. l. Iteración de números comp lejo
El esquema anterior nos muestra el caso mencionado . Se toma un núm ero complejo
y se le somete a un proceso matemático "simple" , tal co mo es e leva rlo a l c uadrado y
10
•
sumarlo cons igo mi smo . E te proceso, iterado, tran sforma ese núm ero comp lejo "simpl e"
en uno infinitamente intrincado . Aún así, si usted no comprend e e tos cálc ul o, n
preocupe, ya que por su complejidad el Co njunto de Mandelbrot, por ejempl o, ha
e
id o
generado a través de computadoras, en este caso de la IBM [12] .
•
Ahora que se han analizado todas las defi nic iones ,:oncluirem os que la d fini c ió n de
fractal es : Una figura geométrica compuesta por fragmentos de si mi sma en una infinita
variedad de tamaños, son auto semejante , una de sus característica e qu e puede tener
dimen sión fraccionaria.
2.2
Aplicaciones de fractales .
•
Los fractales , como ya sabemos, so n números Complejo
infinitamente ex tenso
(por no decir complejos, aunque suene extraño).
Las imágenes fractales so n generadas por computadora , ya que e tos pueden
realizar cálculos tan complejos como el que se realiza en e ta tesis, pero cabe tener en
cuenta que lo representado no es propiamente un fractal , ya que por podero a qu e ea la
máquina, un fractal es infinito y una computadora no puede reali zar un cálcu lo infinita
veces. En el ca o del Conjunto de Mandelbrot, e te se rea li za en un plano bidim en ional de
números Complejos. Todos los números que al ser iterado se manti e nen "re lat ivamente
pequeños" se dice que pertenecen al Co njunto de Mande lbrot. Esto
núm ero
on
representados por la computadora con color negro . Los derná puntos, e decir, lo que no
pertenecen al Conjunto de Mande lbrot, se representan cl ependiend o de
u rapid ez de
iteración, esto es, e l menos rápido se representa con amarillo, anaranjado, etc ., y e l más
11
•
rápido, en co lores celeste, azul , azul osc uro y as í. En este ca o, e l mej or de los co lore e e l
negro.
En e l caso de las aplicac iones de los fracta les, se cuenta, dentro de l campo
computaci o nal, e l proceso de TRA NSFORMA CIÓN FRA CTAL , e l que
•
e reali za co n
imáge nes que contienen muchos píxe les. Cad a un o de esto s se va "agrandand o" , po r a í
dec irlo, "infinitamente", sin dej ar de ser e l mi smo (en e l sentid o de patró n geo métr ico, ya
que un píxe l es de forma cuadrada), lo qu e permi te qu e, en términ os de memo ri a, e l e pac io
ocupado sea menor. Además, como podrá ver más adelante: se utili zan para ge nerar e fec to
en programac ió n y otras cosas tan inusuales como la Mú ica Fracta l. T ienen la propiedad
de mode lar bastante bien la natura leza . Pueden usa r e pa.ra gene rar pa i aje , marco de
•
montañas, terrenos corrugados, alas , planta , inc lu o tambi én ti ene ap li cac ione
en la
mú sica y e l procesami ento di gita l de seña les [ 13].
Durante la última década, inv e ti gadores han em ezado a aplicar fracta les para
di seños de antenas. Las propiedades de los fractale , ante!. expuestas, e aprovechan en la
con trucción de antenas que pueden obtener anchos de banda de lO a 40% de la frecuenc ia
central superi ores a las antenas c lásicas (de 10% a 20% de fe,), patro ne
de rad iac ió n
estables y gran núm ero de band as determin ado por e l núm ero de iterac io ne de l fracta l. La
•
antenas parecen ser simples juegos geométri co
pero implican un co nocimie nto pro fun d
del electromag neti smo [1 4].
Otra aplicac ión se da en el campo de la Geo logía y Topolog ía.
o n idera ndo un
litoral cualquiera, con todas sus estribac iones, se di ce que ti ende a un a longitud in fini ta ,
siend o su área finita (caracterí sti cas propias de un fracta l) . Ademá , Mande lbrot propu o
que gal ax ias y otro s cuerpos semejantes se reg ían por e l mim o concepto .
geni a l
Mandelbrot,
se ña la
en
su
libro
"La
Geometría
Fractal
de
la
Naturaleza",
12
parafraseando :"¿Por qué a menudo e describe la geometría como algo frí o y árido?
í, e
incapaz de describir la forma de una nube, una montaña, una costa o árbol, porqu e ni la
nube son esféricas ni las montaña cónicas o un árbol cilíndrico" . E pues, un hombre
sabio, ya que adelante nos muestra como la matemática es parte de nue tra vida , sino una
•
mi sma de ellas. La geometría fractal permite explicar diversos fenómeno
natural e y u
buen entendimiento y comprensión son factores que hoy en día se aprecian muc ho [12] .
2.3
•
Aplicaciones de fractales en electromagnetismo.
A finales del siglo 18, el Dr. Ritenhouse encontró que algunos colores de l e pectro
de la luz de una lámpara de la calle desaparecían cuando e ob erva a travé de un pañuelo
trasparente. Esta fue la primera prueba de una superficie continua que pudiera tener
tran smitancía para diferentes frecuencias de una onda incidente y la
uperfi c ie
fueron
llamadas superficies selectivas a la frecuencia [t 5].
Mas tarde las superficies selectivas a la frecuencia aparecieron en e l ran go de la
•
radiofrecuencias en 1919 por, G. Marconi y B. Franklin u aron refl ecto re c n truido de
forma horizontal formados en una superficie parabólica, esto produjo una
uperficie
reflectiva que fue limitada a una frecuenc ia [16].
Son muy pocos los que han trabajado con superficies fractales se lectiva
frecuencia pero aquí daremos algunas explicaciones. Una
superfici e
a la
se lectiva a la
frecuencia es una estructura periódica plana que ti,~ne una respuesta en frecuencia
característica.
t3
•
Una superficie selec6va de la frecuencia, en general , depende de la frecuencia de la
onda incidente, del ángulo incidente, y de su polarización. Varias iteraciones del fractal se
pueden utilizar para diseñar SSF que 6ene una respuesta en frecuencia de varias bandas.
Un arreglo periódico metálico en un substrato, cons6tuye una superficie selectiva de
la frecuencia (SSF) de las ondas
electromagnéticas. En I.as longitudes de onda de la
microonda, estas estructuras son fáciles de fabricar y de emplearse en el diseño de una
antena. Cómo
Siempre,
en las longitudes de onda cerc.mo-infrarrojas, el tamaño de
elementos en SSF está en orden de un micrómetro, haciendo tales estructuras mucho más
difíciles de fabricar. Los avances en técnicas de litografía durante la década pasada no han
prohibido la construcción de estructuras periódicas, con tamaílios del elemento de menos de
un micrómetro. La construcción de los filtros de SSF para el régimen de la longitud de onda
•
cercano-infrarrojo es dificil pero no imposible de fabricar. Las técnicas avanzadas de hoy
permiten fabricar SSF que funcionen en un régimen óptico [17].
•
Figura 3. Ejemplo de una superficie selec6va ,a la frecuencia
Actualmente se están aplicando extensivamente las antenas fractales obteniéndose
muy buenos resultados en cuanto a eficiencia, espacio, ancho de banda y ganancia.
La aplicación de los fractales a las antenas permite la optimización en tamaño y ganancia
para arreglos banda múltiple y banda estrecha. El hecho de que muchos fractales tengan
14
comp lejidad infinita puede ser u ado para reducir el tamaño de la antena y de arro ll ar
antenas de bajo contorno [18].
2.3.1
..
Características de Antenas Fractales
Un gran ancho de banda, radian muy eficazmente para una gama amplia de
frecuencias . El rango de frecuencia e especificada por el tamaño má pequeñ
y má
grande pre ente en la antena . Tienen una ganancia consi erable, por encima de un antena
dipolo normal y depende muy poco de la frecuencia en un rango de frecuencia grand e.
Poseen una estructura espacial que se relaciona a la ganancia de la antena. E ta e tructura
espacial puede ser muy útil cuando se requiere direccionalidad [19].
•
2.3.2
Ventajas de Antenas Fractales.
Tienen área pequeña y una Impedancia de acople e tab le para un rango ampli o de
frecuencias. Contienen una Resonancia múltiple y Gran ganancia en algunos ca o
2.3.3
Desventajas de Antenas Fractales
•
Su diseño y fabr icación es más difícil y tienen baja ganancia en algunos ca o.
n
1997 el grupo ELECTROMAGNETICS & PHOTONICS ENGINEERlNG de la Un iver idad
de Cataluña con la compañía SISTEMAS RADIANTES F. MOYANO .A. de arrollaron las
antenas FRACTUS multi-banda para sistemas Móviles Ce lulare .
•
15
•
Anten. espira'
•
Figura 4. Ejemplo de antenas
•
•
•
16
Capítulo 3
Una vez habiendo introduc ido e l co ncepto de la generac ió n de antena fractal e , en este
capitulo nos enfocamos a las SFSF co n la particularidad de ap licac ió n de THz y
•
Hz.
SUPERFICIES FRACTALES SELECTIVAS A LA
FRECUENCIA (SFSF).
La superfici es fractal es select ivas a la frecuenc ia son estru cturas uti l izada co mo
filtros e lectro magnéticos. El campo e léctrico induce una corri ente a l pa ar por la
•
F so n
mode ladas en ondas electromagnéticas y su aplicación es de un a onda armónica do nde e la
funci ó n puede ser re presentada por seno y cÓsenos.
El compo rtamiento de las SFSF son de múltiples resonancia , do nd e la frecuencia
tien en difracc ión y las longitudes de onda depend,~n del di eño de l
fi ltro . El
comportamiento de la frecuencia sobre las SFSF dependen de la forma de l e lemento
(abertura) su tamaño, espacio y e l groso r del meta l. Las for ma más comunes on: c ircul ar,
•
rectangular, dipo lo, dipo lo de cru z, anill o etc.
Tienen caracterí stica die léctr icas como la permitividad relativa y la pe rm ea bi lidad
re lativa (que es e l ai re e, = I Y J..1 , = I ), y en e l meta l ti,~ne un a conductiv id ad
(J
= lO e7
(cobre).
Se di señan SFSF para dejar pasar c iertas frecuencias y no hagan in te rfe renc ia
o bre
las dem ás señales que se encu entran en el medi o .
•
17
La superficie permite tran smitir o bloq uear las frecuencia , por medi o de la exc itació n de
sus elementos.
Un arreglo metálico con aire es similar a un circuito capacitivo y un
arreglo de aire con metal es similar a un circuito inductivo .
.
El campo en la onda plana esta formada por una onda TEM do nde e l campo
eléctrico y el campo magnético están en un mi smo plano y a u vez e perpendi cul ar a l
vector de propagación .
Algunas de las ventajas para la
SFSF es que permite tran mitir o bloqu ea r
frecuencias como pueden ser en infrarrojos, microondas, para qu e no haya interferenc ia en
el medio . Son di señadas para exhibir alta tran mitancía y reflectancia para la lo ngitude
de onda en milímetros y son usados para ahorrar energía.
•
Para las desventajas tenemo s que dependiendo de forma de l e lemen to al guna
señales pueden distorsionarse. En algunas señales hay ruido que se ti ene qu e es tabili za r e l
istema.
3.1 Análisis teórico de superficies fractales
selectivas a la frecuencia.
•
El razonamiento siguiente detallará un arreglo pe:riódico de superfic ies e lectiva a
la frecuencia, estas SUPERFICIES FRA CTALES SELECTIVAS A LA FRECUENCiA
e
di señan para alterar el contenido espectral de la radiaci ón rec ibida o emitid a por la
superficie. En este trabajo, todos lo elementos de SFSF e asumen qu e so n id énti cos .
La operación teórica de un arreglo de SSF de dipolo de una corriente inducida y e l método
del potencial vectorial de Hertz se explica aquí por el acercamiento que exi te sobre las
•
18
simulaciones del capítulo 5. Una explicación riguro a y extensa de la teoría de
F F so n
detalladas en [ 7 ] Y [ 23 ] para estas dos técn icas.
La información de estas derivacion es no se agrega dentro de esta inve ti gació n, lo
detalles de estas derivaciones se omiten en gran parte . Si' embargo, el desarrollo de la
ecuaciones para determinar las características de una superficie es anunciad
en e ta
sección.
Estas técnicas teóricas son el procedimiento de análi i
qu e e utili za para imular y
para analizar un arreglo periódico, según lo discutido en la sección 4.1 .
n e te métod
matemático, el arreglo de SSF se modela como un so lo elemento de la referenc ia que e
repita periódicamente en un espaciamiento fijo . E te de arrollo teóri co
•
e ba a en e e
mismo acercamiento .
Estos métodos e pueden ampliar para di scutir aberturas en una capa que e conduce
por la dualidad ; las impedancias, lo campo eléctrico y las corrientes e léctri ca asociado
a un arreg lo del elemento que se conduce por admitancia~¡ , campo magnético y co rri ente
magnéticas en el caso de un arreglo de aberturas.
3.1.1
Solución de superficies periódicas de dipolos
?J
pI..
f 1,_, pI.
P1" JI"
Dz Onda transnútida /
1
E
l."
1"
.>¡
p:
Onda reflejada
\0
Onda incidente
11-1
\0
1_10
\0
1_11
\0 1_11
I(;-D:yl
Figura 5. Arreglo de SF
19
La solución de un arreg lo periódico pa ivo se muestra en la figura 5, y c n iste en
un arreg lo de (2 R
encuentra (2 K
•
+ 1)
+ 1),
tienen una carga con una
imped ancia Z L ' e n cad a rengl n e
separadas cada columna por una di tancia Dx' y tienen una eparac ión
Dz de cada renglón (su polarización es en Y y la dirección del campo e léctrico e
encuentra en Z ) , un ángulo de incidencia
<pi .
Se induce una corriente en l rk (z) en cada elemento para un arreglo infinito, debido
que se asume que
(R, K
»
1), también tiene un retardo de fa e lineal por la onda in c id ente,
por lo tanto obtenemos que:
•
( 1)
para e l cual
fJ = 21í / A es e l numero de onda en e l espacio
libre,
(2)
donde J (O)
= g(O) = 1 , así el término de
la corriente del elemento OOlh e
(3)
Para encontrar l oo' y 100 1 se utiliza el teorema dd circuito, cuando se indu ce l oo' e l
espaciamiento es pasivo y el e lemento se encuentra en corto circuito, y cuand o e indu ce
1001 la transmisión se activa y el elemento e encuentra en circuito abi e rto .
•
20
(4)
Do nde Z A = R A + jX A es la impedanc ia de un e le mento de l arreg lo, e examin ado
•
en la direcció n
t/Ji , de
las fo rmul as (2) y (4) e
(5)
La lon g itud efectiva 2le
•
= 2(1 + 6,/) , es
induc ida por la capac itanc ia fin a l de qu e los
e lementos son lin ea les.
Cada e lem ento ti e ne una fracc ió n de potenc ia.
Pma.,
•
E
P
A
A?
N
47r N
Do nde e l num e ro to tal de e leme ntos
exa minado e n la direcc ió n
•
(6)
= ~ = --GSi
t/Ji, Zt = Z A'
N
es (2 R + 1)(2K + 1) , G es e l a rreg lo
y S, es e l índi ce de de n idad de pote nc ia.
21
•
Pmax ", =
IV
_,k_
2
1
(7)
4RA
Donde
V,k es inducido por thevenin y e
determ inado por
(7) y (8) Y
substituyéndolos determinamos l ,k·
•
(8)
substituyendo 1100 (0)1 de (10) a (6) con esto ya todo la caracterí tica de l a rreg lo
son conocida
•
excepto la constante de fase , la evaluación para la zo na de ca mpo d
esparcimiento para la sección del plano XY e
_ 120NRAGA.2
(j -
nlZ. +ZJ
2
_ZL
[sin [(BDx /2) (2k + I)(Sin~l - in~., )]]2
2
Fe! Z. F
e2
·
(
2k+ 1) s in [ ( BDx / 2) ( in~, - in~s ) ]
(9)
Un coeficiente de reflexión para e te arreglo es definido por
~R = k (i,-i. ' ~,i,' ZZL)( D
xD, cos,¡,'1', )2 IZ
I I
A
•
•
2
+Z
A
1
L
( 10)
donde
22
•
la
Donde
Z¿ = 0,1.
función
de
k
= 1. 11 Y Z¿ = j225 tan f3l ,l. = 1. 31
es
mostrada
fi gura
la
en
5
para
el rango de l /A es relevante para calcu lar el
coeficiente de reflex ión y transmisión mostradas en las figuras .
•
1 2 r---------~--------~--------_r--------~--------_.
,o
8
4
2
•
"'---.------_
..
~.L,--------~0~.,75---===~~0.~2~======;0.~25;==~~--~0~.3~-------0).35
L ambda
8
6
3
•
//
2
...-----,,/
- - --
---------_.
Sl::.
' ==
0 .":
2 ---c0~.1=
3---0=-.~
~ 40 - - - '0-, ;'
11==--'=0:"".' '''"
5
Lambd a
~
0 ,1 6
~) . 1 7
,
0 .1 6
0 19
02
Figura 6. Grafi cas de la función K
23
•
En la figura 6, se muestra el coeficiente de reflexi ón usando la formul a ( 1 1), y po r
medio de la formula T = 1 - R encontraremo el coe fici ent ... de tran smi ió n para un dipo l
con una longitud de 0 .8 m , y la re onancia se encuentra a la mitad que e de 0 .45 mm co n un
filtro rechazo de banda.
•
0.015
0.01
0.005
o
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Coefi ciente de refle xi ón
1.005
•
0.995
0.99
0.985
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Coeficiente de Transmision
Figura 7 . Grafica de l coeficiente de tran smi sió n y refl exi ó n
3.1.2
El método del potencial vectorial de Hertz
El primer paso para rea lizar el proyecto de l esparcimiento e lectromagnéti co para
SSF es re lacionar el campo esparcido de las SSF con la corriente inducida de la superfi c ie
sobre e l fi ltro de l campo in cidente. Para realizar la form ul a,:;ión de la SS F asumiremos que
es infinite imalmente de lgada, la cua l es va lida para la mayoría de las apli cac ione in c lu o
para frecuencias ópticas . Para el caso de que la geometría se auto aju ste es con iderado
•
24
•
como un conductor magnético
prefecto de un a SSF. Mas adelante se indicara como
manipul ar o modificar las formulas so bre un substrato o conductor dieléctri co. J e la
densidad de corri ente inducida en la SSF, y A es el potencial magnético de l vecto r debido
a la corriente. La corri ente inducida J de la superfic ie la componentes no eq uiva len a
•
cero, as umiendo que el tiempo de conve rsión es expUw, ) un o puede hacer la tran pue ta de
(z) los componentes de A y J son los siguientes:
Ax(x y)
Ay(x, y)
_
= G(x, y) *
Jx(x , y)
Jy( x, y)
( 1 1)
exp(-jkT)2
Dond e G =
a l , 7' = (x
+ y 21,
)
2
47fT
•
ka = Número de ondas en el espac io libre
J
=
Identidad del tensor y,
* es la convo lución
El siguiente paso es expresar la transversal del es parcim iento del campo eléctrico E' en
el plano del filtro, z = O, los términ os de los com ponentes transver ale de l potencial de l
•
vector A es obtenida por:
él
g'
J;
ES
y
1
JW Ea
-2
ox
-
0-2
él
+ ka - -
o xoy
oxoy
Ax
02
Ay
-2
oy
+ ka
( 12)
25
•
Una de las máx imas ventajas de la peri od ic id ad de La frec uenc ia rec iproca d la
geo metr ía se encuentra en el domini o de l es pectro y para re cribir la ecuac ión ante ri o r se
uti liza la transform ada de furrier en ( 13) para obtener.
•
E;(a ,{3)
1
E;(a ,{3)
ka - a
2
.::.
Jx(a,{3 )
G(a,{3) _
Jy( a, (3)
( 13)
Dond e
y , a y
13
so n vari ables que corre ponde n a las coorde nada
x y y.
uando la
peri oc idad de la SSF es doble en la transform ada de furri e r la co rrie nte indu c id a J no e
•
cero, para las eva lu ac io nes de las vari ables di scretas es pec tra les
am/l Y 13m/l
e a oc ian con la
arm óni ca de Floqu et para la frecue nc ia armó nica doble deno min ada po r e l mate mático
francés Floqu et qu e introdujo e l co ncepto de arm óni co de la so luc ió n de las ecuacio ne
diferenc ia les.
E l teorema de Floquet se o btiene de una vari able compl eja o rea l co nt inu o defi ni da
por todos los val ores de la variable rea l X y esta es peri ódi ca con un m ínimo de 7r ta l q ue
•
Q(x + 7r) = Q(x)
( 14)
entonces la ec uac ión di fe renc ia l
( 15)
tiene dos soluc iones diferencial es co ntinuas y¡(x) y Y2(X) y la ec uac ió n caracterí t ica e :
( 16)
26
•
con los e igenva lo res PI = e,a1T y P2 = e- lit" el estado de l teorema de Floq uet'
on la
raíces PI Y P son diferentes un a de la otra, Oti ene dos so luc io ne linea le independ iente
2
( 17)
( 18)
•
Las expres iones ex plic itas de
27fm
a mu = - -
a
a mo¿
Y f3 mn son las sigui entes :
. () COS A.
+ k'·0 S In
13"'"
<p
n
= -27fn
- - - -27fm
-COtH
b sinD
a
. () . <P
+ k o SIn
S In
( 19)
Donde <p y () son los ángulo s de la onda plana inc id ente
•
Tomando la transform ada inversa se implementan la condi c io nes de frontera en e l ca m po
e léctrico total qu e es la s uma de la campo esparcido y e l campo inc id ente qu e e cero o bre
la superfic ie dond e se encuentra e l conductor perfecto que e encuentra la in cógnita de la
siguiente ecuac ió n de la corri ente indu cid a sobre e l filtro .
•
J.(q,/I,J ¿=~)
1
:f..JEo
m
~(~!3nJ
n
~Gx ~ J.(qJ3J ¿ mrmt{my) = E,(T;W
m n
~
Ci ~(qJ3rrJ
(2 0)
!4(r;W
27
•
Las derivadas y la constante _._1_ so n in co rporadas a la co mponentes indi v idua les
JWEu
para s implificar G. En cuanto a la corri ente indu c ida
e re ue lv e co n la
ec uac ione
anteri orm ente descrita, co mo e l coefi c iente de re fl ex ión y tran mi s ió n por e l do mini o de
harm ó nicos, y para e l filtro e l ca mpo es parc ido.
Para una abertura (induc id a) SSF. Se puede reempl aza r los co nceptos de du a lid ad
reempl azando E con H y
Ea
con J..LoY además se hace un ll amado de los filtros geométrico ,
defini end o la corriente magnética k en térm in os de apertura de l ca mpo e léctri co .
(21 )
k = En X Z
•
Se obtiene la s iguiente ecuació n para la transpuesta de Ea
_2_ """'
J·W E O 6m
•
¿
11
cx."u,(371Lfl
kO2 + (32um
kO2
_
71m'='
cx.2
1
(3 .G(cx.",,,,(3,,,,, )
Qmn
tHn
(22)
La so lu c ión de la ecuac ión anteri o r la di stribuc.ió n de campo
apertura de SSF es directam ente para conducto res perfectos,
SI
lo
indu c ido
filtro
en la
ti e nen un a
conducti v id ad finita se de be de determin ar el problema de corri ente so bre los ca mpo [ 19].
Hay que con s iderar los casos anteriores para las aberturas o parches de
..
•
In cru stad o e n un medi o di e léctri co de un gro sor infinito
•
Impresos en substratos
•
impresos en súper sustratos
F q ue o n:
28
•
3.2 Aplicaciones de SFSF
Ciertos fenómenos naturales exhiben di tinta característica qu e pueden a oc iar e
•
con conceptos de fractales , y su estudio ha sido de gran int.erés para científico en mucho
campos . En la región del infrarrojo lejano son usada como un divi or de haz para dividir
dos frecuencias [24] .
Otra de las aplicaciones de las SSF es que pueden protegerte de la radiació n, que
pueden ser generadas por celulares, frecuencias de radi o , las o nda
infrarrojas la lu z
visible luz UV y microondas, ab orbiendo las ondas electromagnéticas ya que e la
•
on un
riesgo potencial para el cuerpo del ser humano [19].
En e l infrarrojo cercano y porciones visib les d I espectro, lo
filtro
e han
propuesto para frecuencias selectivas a lares para ayudar en la recol ecc ión de la energía
solar: un filtro puede ser diseñado para bandas de frecuencia dond e la ce lda
o lare
ea n
mas eficientes y las frecuencias reflejadas estén fuera de la ~; celda [19].
Con e l avance de los s i tema de comunicacione y el importan te in cremento de
otras aplicaciones de los sistemas inalámbricos, la
•
antenas de banda ancha y de baj o
contorno están en gran demanda tanto para aplicacion"
comercia le
com
militares.
Antenas multi-banda y banda ancha son las má aceptadas en los sistema de co muni cac i ' n
personal
(ce lulares, beepers, etc.),
pequeñas terminale~, ate litales y otras aplicacione
inalámbricas .
•
29
Capítulo 4
En este capitulo se di scuten las genera lidades de la herramienta de programación para la
simulació n y evaluación de las SFSF propuesta en esta tesis.
FEMLAB.
FEMLAB es un software interactivo para mode lar y simular probl emas científico ,
basados en las ec uac iones diferenciadas parciales (POEs) que o n la ba e fund amenta l pa ra
las leyes de la ciencia. Con las características de multi -fi ica FEMLAB , puede mode lar e
de dos maneras las si mulac iones. La primera e crear la fi gura defi ni endo la ca ntidade
físicas que se aplique al mode lo. El segundo es u ando so lo e l mode lado de la ec uac lo ne
•
diferenc ia les parc iales [26] .
FEMLAB ofrece las herrami enta para modelar los fenómeno
físico como so n,
generación de acop lamiento automático, la ecuació n so luc ionada, la vi ua li zac ión y el
proceso de cómo se puede desempeñar en e l medi o ambiente . Con e l interfaz de MATLA ,
FEMLAB tiene un gran alcance para su programac ió n. E
fác il de utili zar e l interfa z
gráfico y la program ación de FEMLAB hace que la simulac ión sea fác il de compr nd e r.
•
\leE=P
LeydeGmss
Co
\lxE= BE
Ley de Faraday
&t
--+
\leE=ü
Ley de Arrpqe - Mmlel1
Figura 8 . Ecuacio ne de Maxwell
30
Donde p y J son la carga y la densidad de corri ente totale , ade má
e
importante saber que:
c =-1-
(23 )
El modulo que se escogió en FEMLAB para trabajar, e e l de electromagneti smo
con las necesidades especificadas, esencialmente para e l ingeniero e léctrico y e lectrón ic .
Esto
e ap li ca e n
e lectromagnetismo.
•
la ultima tecnología de
El
módulo
contiene
las
la mu Iti
formula
física , que
para
e
modelar
mode la e n
e táti ca
y
radiofrecue ncia en la mi croonda. A lgun os ejemp los son imanes, cond e nsadore , mota re
eléctricos, antenas, dispositivos fotónicos y guías de onda que es e l método qu e se utili z
para sim ular las SFSF .
La aplicación se basa de las ecuacIOnes del Maxwell menc io nad o
e n e l te ma
anterior segú n lo estudi ado e n libros de e lectromagnético . El ingeniero sea practi cante o
estudiante, reconocerá los conceptos que hemos elegido . Además de lo u o qu e c ubre n
los campos y ondas electromagnéticos, también le da la libertad para cambiar la
•
aplicaciones, como son las estructuras y fluido [26].
Todas las aplicaciones de cómputo tienen parámetro
capacitancia,
inductancia
y
el
uso
de
modelar
circuitos.
tale
En
co mo re
fin
este
te nc ia,
módul o
electromagnético trabaja en campos e lectromagnéticos y ondas electromagn éti ca
•
31
•
T iene so luc ión s imultá nea de núm eros lin ea les, no linea les y en e l d m inio de l
tiempo de las POEs. Con un grafi cado in teracti vo, de uso fác il pa ra m de lar en I campo
electromagnéti co.
Usos
predefinid os
para e l electromagnet ismo y la propagac ión de la
nda ,
in cluyendo e l aná li sis de mayeo (MESH).
Una biblioteca extensa que demuestra y documenta lo ejempl os
o luc ionado pa ra
la propagac ió n de la onda y de l campo e lectro magnéti co. Docum entac ió n y notac i ' n en el
campo e lectromagnéti co. La co nstrucc ión del e lemento para la propagac ió n de la o nda en
3D.
El módul o e lectromagnético se utili za para el di sello virtua l de la área do nde lo
in genieros necesitan simulacio nes de campo electromagnéti co, in c luye comp nente de l
•
sistema de energía, sistemas mi cro e lectromecáni cos (MEMS), antenas , guía de o nda y lo
resonadores en la in geni ería de la mi croo nd a fibras ópl:icas, guías
de
o nd a, cri sta le
fotoni cas y di spos itivos semi conductores.
El módul o de Electro magneti smo proporc ionado por el program a tiene la
siguie nte
formul as para reso lver los problema
•
•
Electrostática
•
Magnetostática
•
Electromagneti smo de baj a frecuencia
•
Propagac ió n de la ond a plana
•
Propagac ión de la o nda simétri ca
2
•
Propagación de la onda de l vector en 3 O
•
Aná lis is co mpl eto del modo del vector en 20 y 3D
Las características de los materiales permiten las simulaciones
Las
capacidades
fís icas
de
los
módulos
permiten
de onda -arm ó ni ca .
acop lar
las
imulac ione
e lectromagnéticas co n transferencia de ca lor, mecánicos estructura les y flujo de l líquido,
esto implementación
ejec uta las ecuaciones
diferenciales parciales (PO Es ) co n
aplicaciones genéricas en FEMLAB [10].
Las interfaces de la propagación de la onda permiten
modelar materi a le
homogéneos . También hay que especificar la constante dieléctrica o e l índice de re fra cc ión,
con va lores si mpl es o complejos.
El módulo realiza simulaciones usando la ond a de propagación en ti e mpo ann óni c
En planos TE (tra nsversal e léctrico) y onda TM polarizada.
4.1 Tutorial para resolver problemas
electromagnéticos
•
El método que se utili zo para simu lar en F EMLAB fue mod e lad o en ond a
electromagnéticas y su
ap li cac ión es el de una onda. harm ón ica, de las ecuacio nes de
Maxwell (nota son descritas en vectores faso riales representadas con símbo lo E= (O ,l ,O)
•
33
..
donde E(t)=RealE· e
jw1
son importantes por que cualquier función pede er rep re entada
como la suma de enos y cóseno .
Se llevo a cabo la implementación en FEMLA13 para analizar la caracterí tica de
tran mi sión de arreglos periódicos de SFSF en función de la frecuencia. En
•
cualquier interacción entre lo
te e tudi o
elementos no es tomada en cuenta por lo tanto las
características de transmisión pueden er obtenidas ana lizando so lo una SF F metáli ca
(FiguraI4)
Aire
Cu
~1=Jr
J 1.21$83mmII6.291Inm
~
~
..
~
7 .5492 m m
J1
Y
L
X
Figura 9. Diagrama esquemático de una célula de la simul ac ión
La figura 9 muestra la simulación de la cé lula de l arreglo simu lado de un a F F de
cobre en aire. Para obtener la caracterí ticas de transmi ión del arreg lo de
F F metálica
en una onda plana que es polarizada paralelam ente al eje Y y e lanza en direcc i ' n
Z (figura 10).
La onda plana incidente es de magnitud unitaria (Eq. (24)), por lo tanto las caracterí tica
de la tran smi sión se obtienen ana lizando la onda tran smitida, que es de pués de que el
campo eléctrico go lpee a la superficie metá lica .
34
E( z, t) = cos (kz - úJt )uz
(24)
•
7.5492_
t
400num
7.5492mm
•
Figura 10. Espac io de si mul ac ión analizando un arreglo de FSF metá li ca.
Para estas simulaciones co mo ya se ha mencionado de l arreg lo de la estru ctura e
toma un e lemento, que se e ncuentra en e l medi o ambi ente (ai re) e ta en e l in fi nito y para la
si mul ac iones las condiciones de frontera se co locan en un es pac io finito . En e l plano YZ e
utiliza PMC (Co nductor Magnético Perfecto), esto equ iva le a decir
que
I
x H = OY
significa que e l campo magn éti co de e tos planos e cero. En e l plano ZX e utili za PE
(Con ducto r e léctri co Perfecto), y equi va le a deci r n x E
=
O Y po r lo ta nto e l camp
e léctrico de la superficie es cero . Las ecuaciones de Maxwell lo requi eren y se co loca n la
propiedades de l di e léctri co qu e en este caso es e l aire co n
ér
= 1-",. = 1 Y a = O. Para e l
e lem ento de l arreglo se asume qu e e l meta l es un co nductor e léctrico, e l metal e de co bre
con una conductividad de 10
7
.
Para los parámetros del ma ll eo so n aprox im adam ente de
5
•
17000 e lementos . Después se des li za e l ca mpo e léctri co por todo e l e pac io donde pa a por
el meta l dejand o pasar c iertas frecuenc ias [27].
Se genera la estructura de la
cua les pueden ser modificadas la
•
(propi amente
la
di screti zac ión),
uperfi c ies F racta l e·~ Se lectivas a la Frecuencia en lo
dim ensio ne. Se crea n lo
medi ante
el
comando
e le mento
ll amado
de bo rde
m sh
(figura
11 ).
x
•
5492 mm
1
-+----+
.5492 uun
Figura 11. Es pac io de simulac ió n ana li zando un arreg lo de SFSF metá lica u and o la
descreti zac ión .
resue lven las ecuaciones por e l Método del e lemento fi nito.
•
e prod uce una onda
electromagnéti ca que pasa a travé de la superfic ie. La den id ad de potenc ia
e to dado
por e l vector de Poyntin g que es e l producto cru z de los vectores de l ca m po de l e léctrico
y de l campo magnético H . e l vo ltaj e
V = E yH
Y la ,:orri ente 1 = H)V . Po r ana log ía la
potencia transmitid a en los c ircuitos está dada por:
P = VI = E y H z. HW = E y H z A
•
(25)
36
•
donde
= HW = el área del ajuste de cé lulas del campo la den idad de energ ía :
P
S=-=E
Hz
A
(26)
y
•
El flujo de energía es perpendicular a E y H, puede ser dem o trado qu e en la
anotación vectorial la energía tran mitida esto dad o cerca [25].
s=
ExH
Vector de Poy nting
(27)
Una de las características para graficar la SFSF es po r medi o de un barrido de
frecuencia para encontrar las reso nancias de la uperfi c ie, e l filtro permite e l pa o o rec haz
de cierto grupo de frecuencias (banda de frecuencia) . La sigui ente formula e utili za para
•
cambiar a decibeles el coeficiente de transmisión de la superfic ie :
PT
- dB = IOLog-
PI
4.1.1
(Potencia)
Lentes de Fresnel
En la óptica las estructuras fractales de algunos onda
•
(28)
de camp
, pti cos y I
patrones de difracción generados por varias apertura fractales concretamente para anill
de una mi sma área . La difracción de Fresnel se da cuand o la apertura no esta ilumin ada c n
luz colimada ó la pantalla esta cerca de la apertura (en re laci ó n co n e l tamañ o de la
apertura) e l campo eléctrico es cercano, el efecto de la difracci ó n ex iste entre un bord e .
•
7
•
Q
•
6'
p
a
Fuente
I
I
I
I
I
I
I
~
:0
P'
a'
,I
Pantalla
Plano de apertura
Figura 12. La difracci ón debido a un so lo borde es simple di fracción de Fre ne l.
•
La d istancia que recorre la luz de P a P ' pasand o por e l punto de la apertura (Q) e ta dada
por:
Di tan cia = PQ
+ QP
(29)
(a+ó)+(ól+a l)
La luz viaja de P a P' por difracc ión. La diferenc ia de ca.mino óptico de la lu z a l viaja r de
..
PP ', pasand o por q y por O.
PQ = a + 6
PQ =a
QPI = 6 1+ a l
OP I =
al
(30)
(3 1)
(32)
Si sup onemos que
•
s « a, a'
~
6 tambien es muy pequeño
38
2
S2
/5 ' ~ _s_
2a'
/5= 2a
(33)
por lo tanto la diferencia de camino ó ptico entre Pop' y PQP' va a e tar dada por:
S2
S2
OPD =ó+ó ' ~ - + -
2a
•
Podemos
definir
OPD¡ = ).. / 2,OPD2
2a'
reglones
¡ m).. ~ Interf erncia constructiva
(m + 1/ 2) ..
con
~ I nterj, rn ia de tructiva
radio s
tal
= 2).. / 2, OPD3 = 3)../2 , .. ..... ,OPD Af = M).. /2 . A esta
zona
qu e
e les
conoce como zonas de fresnel. Dos radios consecuti vos de las zo nas de fre ne l están
desfasadas
Jr
radios uno del otro [25].
•
edia s zo na de fre na l
•
Anillos
radio exl.. s
¡radio int. s,,,
J/I
tI
)
Figura 13. Radio de Fresnel depende de la raíz cuadrada de enteros
•
39
Para encontrar los radios de fresnel se necesita la sigui ente formu la:
•
S 2m (~
2 a
+ ~) =
m
~
(34)
2
a'
Sm = .J(;.
Am
= 7fs 2m
(35)
2
- 7fs m - 1 =
7f(mA~ a+a '
(m -
l)A~~)
a+a '
a 'a
(3 6)
= 7fA - -
a+a '
a'a
Am = 7f A - -
a
(37)
+a'
•
Todos los ani ll os tienen la misma área que so lo depende de A y de la di stancia a la fu ente
de la pantalla.
Ire
/:!!!!J
CU
•
•
f-
O.!li rtun
5mm
1- - - - - ---.
~~
13mm
Figura 14. anillos de Fresne l
•
40
•
En la figura 15 es el campo eléctrico de 7 Giga Hertz que conforme se iba
aumentando la frecuencia se iba distorsionando el Oujo de potencia aproximadamente a los
15 Giga hertz.
•
1l(1)=1e9 611<0 EIC_ I CId. ycomponent
MOl( 3 8
•
J
114,n · 3 (
Figura 15. Simulación de una frecuencia de 7 Giga Hertz
En la figura 16 se muestra como pasa una frecue:ncia de 10 Giga Hertz, sobre
diferentes anillos que varían de 1 a 4, todos los anillos tienen la misma área y solo
•
dependen de la frecuencia que atTaviesa la superficie, a una distancia de 200 mm donde se
incide el campo eléctrico, cuando solo
un anillo la potencia es mas grande y
a
disminuyendo conforme aumentan los anillos .
•
41
•
.........
,,.-'
--~. -
C"'kiJ
o
EJ
"
~
"
1' - 1
.
.
I
tu
1
~
OH
.. l
.,
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.
.. .
1"
R
."
. 0
." .
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...
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... . ...
-
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I
10
1
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I
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1
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•
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~
-.
'o
..
: ,
'o
,
.
"
. 0
..
,
:
,.
,.
Figura 16. Difracción a una frecuencia de 10 Giga Hertz
•
•
42
•
Capítulo 5
SIMULACIONES.
•
FEMLAB simula fenómenos fí icos en un ambiente totalmente gráfico p r medi
de la so lución de ecuaciones diferenciales por el Método del Elemento Finito.
El programa nos permite simu lar un e lemento del arreglo periódico, par e l cual la o nda se
propaga en dirección Z y se polariza en Y de ahí e hace un barrido de frecuenc ia y e
pueden ver las reso nancias de las superficies fractale selectiva a la frecuencia .
5.1 Dipolo
•
La resonancia, de la longitud de onda para un arreglo de dipolos metá li c
es
obtenida teóricamente por:
(3 8)
donde L es la longitud efectiva del dipolo la cual en e l espacio libre e ig ual a u lo ngitud
física [9]. La frecuenc ia de resonancia puede er obtenida de la longitud de onda re o nante
dividiendo la velocidad de la lu z por la longitud de o nda, por lo tanto la Ec. (" 9)
e
convierte:
(3 9)
•
43
La tabla 2 muestra las frecuencias de re onanc ia y longitudes de onda re onante en
funci ón de la longitud del dipolo, los re ultados obte nid o a través de la imu lac ión e
examinan los res ultados predichos por las ecuaciones (3 8) )' (39).
•
Longitud del dipolo
(mm)
13.25
12.25
11 .25
10.25
9.25
8.25
Frecuencia de resonancia
(GHz)
11 .30
12.24
13.33
14.63
16.2 1
18. 18
Longitud de onda resonante
(mm)
26 .54
24.50
22 .50
20.50
18 .50
16.50
Tabla . 2. Frecuencia de reso nan cia y longitud de onda reso nante en funci ón de la
longitud del dipolo.
•
..
7.5 mm
u
L
•
14mm
y
Aire
I
'------... X
+-+
W
Figura 17 . Dipolo la rej illa genera un filtro rechazo de
banda
•
44
•
En la figura 18 muestra un estudio parametrico donde las características de la
transmisión de los dipolo de cobre en aire son analizadas en función de la frecuencia para
distintas longitudes del dipolo, con un ancho constante en el dipolo de 1.5 mm. Como se
puede ver en la figura 18 el arreglo de dipolos se comporta como un fi ltro rechazo de banda
•
para una frecuencia de resonancia y esta frecuencia de resonancia aumenta cuando la
longitud del dipolo va disminuyendo.
-65
-70
:o
o
~
Q)
-75
-80
~
o
a.
•
-o
-85
~
'E
(/l
e
~
f-
Dipole Length
••••
-
-90
-95
-100
.
13.25mm
12.25mm
11 .25mm
10.25mm
9.25mm
8.25mm
_105 L-_ __
o
- ' -_ _ _- ' -_ _ _- 1_ _ _ _ _-'---_ __
5
10
15
20
25
Frequency (GHz)
Figura 18. Frecuencias de resonancia usando el método del elemento
finito cuando el dipolo cambia de ancho frecuencia contra Potencia
•
La figura 19 muestra las características de la transmisión de los dipolo de cobre en
aire en función de la frecuencia para distintas anchuras del dipolo, con una longitud
constante en el dipolo de 13.25 mm Se puede ver también que el ancho del dipolo afecta la
frecuencia de resonancia Las ecuaciones (38) y (39) son validas para verificar la longitud
de los dipolos , si el ancho del dipolo aumenta las ecuaciones (3 8) y (39) no son val idas, en
•
45
•
la figura 18 se puede ver como la frecuencia de resonanCia aumenta por el dipolo
aumentando el ancho del dipolo.
-65
•
-70
::n
o
-75
'--
-80
41
~
,,
'
O-
"
-85
41
j::
'E
ti)
e
Dipole width
..
...
-
-105
o
\.
..
___ e
-100
.
"\
\
-95
,,
,, "
,,
•• ..
:
•• "" ~,
;
•• •
•• •• '. ii
•• •• '., ii
•~:•
"-,.'..i
-90
~
f-
....
~
#
,
....
"'...\.\,
o
,
,,
1.5mm
3mm
4.5mm
"
I
5
10
15
20
25
Frequency (GHz)
Figura 19. Frecuencias de resonancia usando el método del elemento
finito cuando el dipolo cambia de longitud Frecuencia contra potencia
•
Fi!ura 20. Simulación en FEMLAB de un dipolo d.e 13.25mm de longitud
•
46
•
Las superficies selectivas a la frecuencia sobre un arreglo de dipolos de 3 por 3 fue
construida por un programa comercial basada sobre el elemento finito, solo es un elemento
simple analizando su coeficiente de transmisión con dimensiones del dipolo de una longitud
13.25mm por un ancho 1.5mm sobre un substTato dieléctrico con una frecuencia de 10 G
•
Hz [28].
I~I
.. I I I
I I I
I I I
•
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0 O
2
4
6
-
E;r
-
E;r
= 1.0
= 2.2
8 10 1214 16 f(GHz]
Figura 21. Grafica con la figura del Dipolo de la publicación análisis de
superficies selectivas a la frecuencia
La grafica de FEMLAB se han utilizado las mismas dimensiones con el método del
elemento finito de la publicación con una frecuencia de resonancia aproximadamente de 13
GHz pero en lugar de que el dipolo tenga propiedades del vació se utilizaron las del cobre y
•
las graficas de la publicación solo se mostraron para ver el comportamjento del coeficiente
de tTasmisión .
•
47
•
I (Mog 1 O(Pouf)
-70
-75
/
..
-8 0
OS
•
~
-85
o
¡;
-90
-95
- 100
..... . .. •.. ... ..
0 .2
0.4
0 .6
1.2
1
0 .8
1.6
19
10
)1.
..
10
10
7.5 mm
•
U
L
Aire
14mm
y
..-
·X
W
Figm"3 22. Grafica con la figura del Dipolo de la simulación en FernJab.
•
•
48
•
5.2 Arreglo de Cuadrados.
El diseño consiste de una pantalla de cuadrados que actúan como un fi ltro pasa a lta
y el material aparenta continuidad conductor eléctrico per; ecto (PEC) a la longitud de o nd a.
•
Los agujeros del arreg lo generan un rechazo de banda de una SF F. La geo metría del
sistema se diseño para un a banda múltiple.
Una de las frecuencias de resonancia llega a los 10 G HZ Y es la de l cuadro de 2 mm
que seria su resonancia si la ana li záramos por separado y la otra resonancia e de 60 G Hz
que es el arreg lo de 3 por 3 ce ldas de cobre. Los datos mostrados so n usand o e l método de l
e lemento finito. La frecuencia de reso nancia esta dada por potencia transmitida en un
•
espacio de 12mm . Las frecuencias de resonancia son para bandas de a lta de frecuencia .
EJ D [J
12mm
D D [J
2mm
•
Figura 23 . Elemento que genera un filtro rechazo de banda
•
49
•
La figura 24 muestra las características de la tTansmisión del arreglo de cuadrados
en aire en función de la frecuencia., y en la figura 25 la guía de onda con un campo eléctrico
con una frecuencia de 19 GHz.
, O'"log 1 ocPouf)
•
70
-eo
-90
\(
":"
- l OO
~
~
l
..
.
.
-110
-120
.
-130
'\
- '4 0
-150
180
•
3
'"
" 10
10
Figura 24. Frecuencia de resonancia usando el método del elemento
finito
10(4)= 1.9(1 10
Shce Total lml."tOY densltr, lime <M!f'age
15
•
0 .5
Mi n: 1.227.
Figura 25. Simulación en FEMLAB campo eléctrico a una
frecuencia de 19 Giga Hertz
•
50
•
Para esta simulación se uso e l método de difere cias finita en domini o de l ti e mpo,
en este di seño genera un rechazo de banda sobre e l pasa banda qu e e generado po r e l
cuadro más grand e [3 O] ,
o
-5
~ -10
'O
, :
:i
E
IDlIDlIJtHUJ IIIIIBlIIII
!III ~ ffiHlIlfll l1li 111 IIIIIIHUJ
¡IUIlIII.III 11111111111111
1111111111111111111.111111
.l1li111l1li11111111111111111
11111111111111 111 IIH. 111 111
1ll l1li 111111 111 111111 111111 111
lIti 111 1111111111. 111111 111
•
1Il1ll!1II111 1111111111111111
3Il1IIIIIIIIII • • 1II111111
+!,'--',- - -
8e - 15 - 1 - 7
------------Mcasu red
.~
'~
...... , Pcriodi c FOTO
-20
e
~
- - - - Periodic MOM with
-25
dieleclric shift
-30
O
10
20
30
40
50
60
70
Frequency (G Hz)
Figura 26, Grafica con la fi gura de l Arreg lo de cuadrad os de la publi cac ión Se lf-S imil ar
Prefractal Frequency Se lecti ve Surfaces For Multiband and Dua l polarized App li catio n
Nuestro resultado en FEMLAB es parec ido al de la publicac ió n e tomaro n la
mi ma
medid as, el cuadro mayor de 12 mm y los cuadros pequeños de 2 mm y tambi én tubo un a
frecuencia de resonancia aproximada de 60 G Hz,
•
51
•
1 0~ oa l
O(poul)
- 70
-80
-90
- 100
i
g
•
~
-" 0 - .
- 120 -
-1 30
-140
- 150
- l BO -
ftl
Xl 0 ' O
D
D
D
D:::D D
EJ
•
12mm
Aire
2mm
Figura 27. Grafica con la figura del Arreglo de cuadrados de la si muJ ación
en Fernlab.
•
52
•
5.3 Circuito RLC.
Este elemento se ha utilizado para el diseño de la onda mili métrica y es capaz de
•
diseñar superficies selectivas a la frecuencia, en las frecuencias altas, del infrarrojo. Para
esta simulación se utilizo la potencia transmitida por longitud de onda, este diseño de
cuadrados SSF es igual a un circuito análogo debido a que los lazos del metal inciden una
radiación que excita una corriente sobre los alambres. Una resistencia se presenta porque la
SSF se compone de perdidas metálicos en el dieléctrico. A:,i, un circuito RLC puede ser
vista como este tipo de geometría en la figura 20.
La superficie crea un filtro pasa banda con una frecuencia de resonancia de 4 .8Jlm
como lo muestra la figura 29.
11
200 nm
1.6 Micro m
.
•
Cu"
DE]
Figura 28. Elemento que genera un filtro pasa b.mda
•
53
5.3 Circuito RLC.
Este e lemento se ha utili zado para el di se ño de la o nda milim étrica y e ca pa z de
•
diseñar superfic ies selectivas a la frecuencia , en las frecuencias a lta , de l in frarroj o. Para
esta si mulac ió n se utili zo la pote nc ia transmitida por longitud de onda, e te di eño de
cuadrados SSF es igual a un c ircuito análogo deb ido a que lo lazos de l metal in c id en un a
radiación que exc ita una corri ente sobre los a lambres. Una re i tencia e pre enta porqu e la
SSF se compo ne de perdidas metá li cos en e l di eléctrico. A í, un c ircuito RLC puede er
vista como este tipo de geometría en la figura 20.
•
La superfi c ie crea un filtro pasa band a con una f recue nc ia de re o nanc ia de 4.8,u m
como lo muestra la figura 29 .
200 nm
1.6 Mlero m
eu"
200 nm
•
aire
Figura 28. E lemento que genera un filtro pa a banda
•
5
La figura 29 muestTa las características de la transmisión del circuito RLC en aire
en función de la frecuencia, y en la figura 30 la guia de onda con un campo eléctrico con
una frecuencia de 1 GHz.
•
/--
-150
"\
- 200
\
- 250
:o - 300
e.
~
~ -350
~
:
- 4 00
11
~
a.. - 4 50
I
\
j
/
\
\
,,
- 500
-550
•
-60<]
/
/
Figura 29. Longitud de onda resonante usando el método del elemento
finito
Frecuencia contra potencia transmitida en Ob.
SlIte: Electrk neld, v com pone!!!
Max 10
•
Mm
41
Figura JO. Simulación en FEMLAB campo eléctrico a una
frecuencia de 1 Giga Hertz
•
54
•
Las estructuras de las SSF consiste de las siguientes capas : 150 nm de o ro a ti erra ,
una fina capa de silic io amorfo , mod elada del cuadrado metálico. La o bl ea de sili c io se
•
utiliza puramente como estructura establ e y rígida. La
ob lea en la ti e rra es
baja
eléctricamente y ópticamente inaplicable porque la radi ac ión no pa ará por e l groso r de la
tierra; la radiación infrarroja se atenúa perceptiblemente en 150 nm de o ro . E ta capa se
puede ver no so lamente como tierra eléctrica, sino co mo un reflecto r qu e radi e de nu evo
rad iación infrarroja que es incidente so bre é l [29].
1.0
_
- - - --
/I
0.9
~,
r¡
0.8
_.. .._ - - - - - - _.FSS A , dquort" ....... : 47 5nm
~
~
~~
t
0.7
"'-..
,
1
1\ 1.
\V
I -+- IR FSS experimental spectrum
I -- IR FSS modeled spectrum
\J
3
~ ........,
5
7
i
i
i
9
11
13
f-I
15
wa'<eiengd'l (1J.Ill)
•
Figura 31. Grafica con la figura del circu ito RLC de la publicac ió n In frared
Freq uency Se lective Surface Based on C ircuit- Ana log Sq uare Loop De ig n.
Para esta simu lación se uso el método de diferenc ias finitas en domini o de l ti empo,
en este di seño genera un filtro pasa banda con una resonancia de 4 .8 mi crómetro , a es ta
simulación se co mparo frecue ncia contra longitud de ond a .
•
55
•
- 150
-200
.
I
'\
I
\
I
\
/
-250
I
~-300
i
~
~
~
o.. -450
J
.
f
-350
'; -"00
•
,
,
v
\
,
I
,
-500
.
-550
-600
4 .2
4 .4
4 .6
f
4.8
5
5 .2
Longtud de ondo ( M tCROM ETROS )
S4
S .6
SO
I
200nm
r=>
I
te>
>C>
1.6 Micro m
""'-
1,
:200nm
O[J
•
-p'
>o.
>o
Figura 32. Grafica con la figura del Circuito RLC de la simulación en
Fernlab.
La información para el circuito RLC se tomo de una publicación llamada Tnfrared
Frequency Selective Surface Based on Circuit-AnaJog Square' Loop Design y se utili zaron,
el método de diferencias fmitas en dominio del tiempo y con método peri ódico de
•
•
momentos .
56
•
5.4 Fractal de Minkowski.
Un prefractal es el resultado de una su perfic ie
SI
e l proce o
iterativo e trunca
después de un número finito de tiempo .
•
Para el di seño de este elemento de una SSF se crea el fractal de Minkow ki , qu e da
lugar a una resonancia múltiple debido al núm ero de las iteracione usada para generar el
elemento del prefractal. Cada iteración corresponde a una banda de pa rada en la res puesta
de frecuencia referente a los cuadrados resonantes. D ebe también ser ob ervado qu e e l
espaciamiento entre los elementos, produce una escala en cada iterac ió n. S in embargo,
solamente la figura de Minkowski comienza la primera iteración y tienen una peri odicidad
•
uniforme entre las células de la unidad . Después la segunda iteració n, es e l res ultado de los
cuadrados resonantes y entre los períodos comienza a variar la frecuencia , puesto qu e e l
espaciamiento entre los cuadrados es dictado por la geometría qu e requi ere de c in co
transformaciones y se pueden expresar de la sigui ente ma nera.
•
(40)
donde, M s+ 1 es el resultado de los puntos del sistema, y s
iteració n de la unión de los sistemas de doce
•
transfonna,~ i o nes
+ 1 esta
comp uesta
por la
de que mi pa a a trav é de
57
Cada iteración del fractal se e tudia para demostrar e l concepto . E te e lemento
prefractal se demuestra en Figura 23. La estructura mu estra dos banda di tinta de u
respuesta de transmisión. La primera banda de parada corre pond e al cuadrado má grand e
que es la figura formada por el fractal de Minkow s'~ i y no hace ca o a 1
•
cuadro
pequeños. La segunda banda de la parada corresponde co n los cuadrad o má pequeños qu e
se encajan dentro de la figura de Minkowski .
Las dos bandas de parada están cerca de 19 y 43 giga hertz.
ta di cre panc la e
pueden atribuir a la semejanza en la geometría que es con truida por cuadrado . Lo
cuadrados más pequeño s on similares a lo cuadrados más grandes como lo mue tra la
on di f,~ re nte .
figura 34, sin embargo, sus conexiones e léctrica
•
Cu
--
1.8873 mm
1.2583mm1 8 .291 mm
I
7 . 5492 mm
Figura 33. Fractal de Minkow ki genera dos rechazo de banda
•
La figura 34 muestra las características de la tran ~; mi s i ó n de l Fractal de Mink ow ki
en aire en función de la frecuencia, y en la figura 35 la guía de o nda co n un ca mpo e l ' ctri co
con una frecuencia de 11 GHz .
•
58
•
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. . . . . . . . . . .. .. . . . . . ......
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- 95
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Figu.·a 34. Frecuencias de resonancia usando el método del elemento finito
Frecuencia contra potencia transmitida en Ob.
•
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S hce
lecb1c fielct, y componenl
Max 1 7
05
, 5
•
25
Mm
2.(
Figura 35. Simulación en FEMLAB del Fractal de Mikowski del campo
eléctrico a 11 Oiga Hertz
Para el Fractal de Mjnkowski tiene dos frecuencias de resonancia con dos rechazos
de banda el primer rechazo de banda esta cerca de los 15 O Hz y el segundo a los 55 G Hz
•
59
y fue construid o en un arreglo de 20 por 26 y también se utili zo el método de diferencias
finitas en dominio del tiempo y el método peri ódi co de m,) mentos [30] .
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30
20
10
I'requency (G Hz)
Figura 36. Grafica con la fi gura del Fractal de Minkowski de la publicación elf- imi lar
Prefractal Frequency Selective Surfaces For Multiband and Dual polari zed Application .
Para la simulación de FEMLAB en e te ejem plo ~ie tomaron la mi ma med ida
que las de la publicación y en esta simulación se tuvieron la
igui entes frec uencia de
resonanci a la primera aproximadamente a 19 G Hz y la segunda a 43 G Hz .
•
•
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7. 5492 mm
Figura 37. Grafica con la figura del Fractal de Minkowski de la simuJación
en Fernlab.
61
•
5.5 Fractal de Sierpinski
Otros fractal es se puede utili zar para di señar SSF de vari as banda de frecuencia
dond e las escalas en la geometría son similare a l fracta l dé: Sierpin ski . Este fracta l co nti ene
•
cuadrados reso nantes separadas para no tener nin gun a conexión e léctri ca . Cada fi gura de la
geometría simulada co rrespond e a un filtro rechazo de ba nda. También , e l e pac iami ento d
la geo metría para todas las escalas consta co n e l aumento de iterac io ne . E te núm ero de
bandas es limitado po r las tolerancias que di ctan cómo es cada cuadrado pequeño .
te
fractal contiene un cuadrado en med io y doce copias alrededor de é l, que so n un cuarto de l
cuadrado del ce ntro. Esto se puede expresar de la manera
•
~i i g ui e nte:
133
SI234 (X, y) = -(x ± - , y ±-)
".
4
8
8
1
1
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. .. (X, y) = -(x
4 ± - , y ±-)
1
3
1
S91Oll 12(X, y) = -(x ± - , y ±-)
. . .
48
8
(7S+1 = (7s[lSI((7S)[lS2 ((7S)[ls3 ((78)
[lS4((7S)[JS5 ((7. )[JS6((7,)
[1,7 ((7.)[1 ((7.)[1,9 ((7.)
•
(4 \ )
[Isla((78)[JSll ((78)[1, 12 ((7. )
donde, (7s+1 es el res ultado de los puntos del sistema, y s + 1 e ta com puesta
po r la
iteraci ón de la unió n de los sistemas de doce transformaciones de que SI pasa a través de
•
62
•
La pnmera frecuencia de resonancia es formada por el cuadro grande que se
encuentra en el centro a una frecuencia de 3.\ G Hz, y la segunda frecuencia de resonancia
es generada por los cuadrados pequeños 5.8 G Hz como lo muestra la fi gura 39.
•
O O O O
O 1._
O
O
D
.......
OO-B O D
Cu
7.6_
Ah
Figura 38. Fractal de Sierpinski genera dos rechazos de banda
•
La figura 39 muestra las características de la transmisión del fractal de Sierpinski en
aire en función de la frecuencia, y en la figura 40 la guía d(! onda con un campo eléctrico
con una frecuencia de 16 GHz .
I 01 0101 1 O(Pou Q
00 -
•
100
•
lO
>(
tO l a
Figura 39. Frecuencias de resonancia usando el método del elemento finito
Frecuencia contra potencia transmitida en Ob .
•
63
•
lO(!5F l 6el D Suce EleC1nC Aele!, 'f componen!
MalC 11
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Min
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Figura 40. Simulación en FEMLAB del Fractal de Sierpinski del campo
eléctrico a 16 Giga Hertz
El fractal Sierpinski se ha fabricado con una iteración para demostTar la viabilidad
•
de usar esta estructura como SSF de varias bandas. La pantallla fabricada se ha impreso en
un pedazo revestido de cobre. Esta genera dos filtros rechazos de banda que están en 3.5 y
14 giga hertz, que emparejar la disposición de medida [30]. Los elementos del fractal que
se fabricaron se ha medido para el campo lejano .
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Figulll 41 . Grafíca con la figura del Fractal de Sierpinski de la publicación Self-Similar
Prefractal Frequency Selecti ve Surfaces For Multiband and Dual polari zed Applications .
64
Para la simulación de FEMLAB en este ejemplo no se tomaron las mi smas medi das
que las de la publicación y en esta simulación se tuvieron las siguientes frecuencias de
resonancia la primera aproximadamente a 31 G Hz y la segunda a 58 GHz.
•
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•
Figura 42. Grafica con la figura del Fractal de Sierpinski de la simulación en
Femlab.
•
65
5.6 Fractal de Dipolo Cruzado
Este diseño es mas impenetrable que el fracta l de
ierpinski en lugar de hace r
remiendos resonantes, se utiliza n lo dipolos cru zado resonantes . Por lo ta nto el e pacio
•
puede ser mas ajustado, al alternar cada iterac ión de dipolo cru zado .
Este fractal ge nera de una forma si milar las re onancias que el fractal de
ierpin ki
pero para la simulación se usaron dos iteraciones en lugar de tres debido a que la form a de
la figura no pudo sim ularse en FEMLAB . La primera resonancia es de 3T Hz, y la egullda
resonancia se encuentra en 4.3T Hz como lo muestra la fi gura 44 .
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Figura 43. Fractal de Dipolo de cruz genera dos rechazo de banda
La figura 44 muestra las características de la transmisión del fractal de ierpin ki
en aire en función de la frecuencia, y en la figura 45 la gu¡,a de onda con un campo eléctri co
con una frecuencia de
THz.
66
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Figura 44. Frecuencias de resonancia usando el método del elemento finito
Frecuencia contra potencia transmitid,a en Db.
•
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Figura 45. Simulación en FEMLAB del Fractal de Dipolo de cruz del campo
eléctrico a 8 Tera Her1z
..
67
•
Este diseño es más comprimido que el
resonantes
fractal de Sierpinski , para u ar arreg lo
e utilizan lo dipolos cruzados resonante . Por lo tanto, e l espaciamient entre
ellos puede ser más apretado. El cambio de tamaño en medi o cada iteraci ón e una mitad .
Este fractal se genera de una manera similar al fractal de Sierpin ki , dond e la geo metría se
•
copia cuatro veces y la e cala por una mitad para cada iteración .
enera tre filtro rechazo
de banda, con un factor de posicionamiento de dos entre e ll os en aproximadam ente 2 .2, 4.5.
y 9 GHz. Se utilizo el método de diferencia finita s en domi nio del tiempo y co n método
periódico de momentos [30].
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~
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Figura 46 . Grafica con la figura del Fractal de Dipolo C ru zado de la publicac ión e lf- imilar
Prefractal Frequency Selective Surfaces For Multiband and Dual polarized Appli ca ti o n
•
Para la s imulación de FEMLAB en este ejemplo no se tomaron la mi ma medidas
que las de la publicación y en esta simulación e tuvieron las sigu iente
frecuencia
de
resonancia la prime ra aproximadamente a 30 T Hz y la segu nda a 43 T Hz .
•
68
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•
Figura 47. Grafica con la figura del Fractal de Dipolo de cruz de la
simulación en FernJab.
La información para el Fractal de Minkowski , Fractal de Sierpinski, Fractal Dipolo
•
cruzado y para el arreglo de cuadrados se tomo de una publicación llamada Self-Similar
Prefractal Frequency Selective Surfaces For Multiband and Dual polari zed Applicalions y
se utilizaron, el método de diferencias finitas en dominio del tiempo y con método
periódico de momentos .
•
1---..
69
•
5.7 Fractal de Koch
En el fractal de Koch la corriente ge nera frecuencia:; de re onancia fundam ental de
una orden alto que otros fractal es. Y el comportamiento del fractal de Koch es muy
parecido a las re onancias que aparecen el fractal de minkow ki , el elemento de ka h puede
ser utilizado para generar resonancias duales. Esta estructura e puede pon er en vario
arreglos de la rejilla para realizar diferentes polarizacione .
El fractal de koch esta formad o por dos triángulos, un tria.ngulo invertido obre el otro el
cual genera una frecuencia de re onancia de 1.6 G Hz, y por triángu lo pequeñ s en la
esquinas del fractal el cual genera otra resonancia de 2.2 G Hz aproximadamente como se
ve en la figura 49.
Aire
•
¡.\mm
Figura 48. Fractal de Koch genera dos re,~ hazos de banda
La figura 49 muestra las características de la tram:mi ión del fractal de ierpin ki
en aire en función de la frecuencia, y en la figura 50 la guía de onda con un campo eléctri co
con una frecuencia de 9 GHz .
•
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•
Figura 49. Frecuencias de resonancia usando el método del elemento finito
Frecuencia contra potencia transmitida en Db.
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x 10 '0
'''ti., 'Icomponent
.)
Wln" fj :
Figura SO. Simulación en FEMLAB del Fractal de Koch del campo eléctrico
a 9 Giga Hertz
71
Las corrientes localizadas en el arreglo de Koch generan fundamental resonancias
de una orden más alta que los demás fractales. El comportamiento en la resonancia, es
similar al fractal de Minkowski , el fractal de koch puede ser utilizado generar resonancias
duales.
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--- ScJ.ore.;'DQ'UeS
-
•
',1o.Jsmj So!f'-SnU
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FI1!CJWCY (GI~
Figura 51. Grafíca con la figura del Fractal de Koch de la publicación Fractal FSS : Various
SeJf-Similar Geometries Used for Dual-Band and Dual-Polarized FSS.
Para la simuJación de FEMLAB en este ejemplo no se tomaron las mismas medidas
que las de la publicación y en esta simuJación se tuvieron las siguientes frecuencias de
•
•
resonancia la primera aproximadamente a 16 G Hz y la segunda a 21 GHz [31).
72
•
· 70
....... • .•. .• .•. . .
-80
-80
... . . . - ... .. .. ..
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05
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Aire
•
7.- '
Figura 52. Grafica con la figura del Fractal de Koch de la simulación en
Fernlab.
La información para el Fractal de koch se tomo de un.a publicación llamada Fractal
•
FSS: Various Self-Similar Geometries Used for Dual-Band and Dual-Polarized FSS y se
utilizaron., el método de diferencias finitas en dominio del tie:mpo y con método periódico
de momentos .
•
73
•
Capítulo 6
CONCLUSIONES.
La metodología de diseño de SFSF basada en simulaciones electromagnéticas fue
•
ideada y evaluada. El software FEMLab resulto adecuado en encontrar las resonancias de
las SFSF. Aunque se pueden obtener las resonancias de las SFSF, FEMLab no proporciona
información detallada del comportamiento de las mismas, mas allá de la frecuencia de
resonancia. FEMLAb dio resultados aceptables a frecuencias relativamente bajas (GHz ), a
frecuencias mas altas (THz) los resultados fueron menos fieles a los publicados. FEMLab
limita el numero de iteraciones permitidas en la SFSF, ya que los requerimientos de
•
memona aumentan notablemente. Ha sido demostrado cómo los fractales pueden
desempeñar un papel importante en los diseños electromagnéticos. Antes de realizar una
implementación se puede comprender mejor el funcionamiento para encontrar el filtro
adecuado del espectro frecuencias que requiera la misma.
•
.,
74
•
6.1
TRABAJO A FUTURO
Para ampliar la investigación de SFSF
•
se recomienda modelar mas fi guras
geométricas para poder analizar el coeficientes de transmisión
resonancias del campo eléctrico inducido en las
superficie~;.
con sus respectivas
Las simulaciones ["tIeron
desarrolladas en un substrato de aire, se pueden realizar sobre otro substrato diferente que
puede ser el silicio, para observar como reaccionan las frecuencias de resonancia. Se inicio
la simulación de una frecuencia que pasa sobre la SFSF de
Wl
substrato diferente a otro y
ver como se induce la corriente sobre la superficie fractal . Para estas SFSF con las variadas
•
simulaciones que se han desarrollado en esta tesis se sugiere se: realice una implementación
ya sea para cúpulas de antenas, para proteger la radiofrecuencias, usándola como di visor de
haz para los rayos láser, bloquear frecuencias para poder tener una transmisión limpia en
los
teléfonos celulares en cualquier espacio que uno s,e encuentre ya sea por la
construcción de edificios o conduciendo en carretera y para proteger a los seres humanos de
las ondas electromagnéticas producidas por la computadoras y celulares .
..
75
•
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