Download Fractales con GeoGebra en ESO

9 de septiembre de 2010
Salamanca
Día GeoGebra
FRACTALES CON
GEOGEBRA EN
EDUCACIÓN
SECUNDARIA
Ana Belén Heredia Álvarez
Miguel Ángel Fresno Martínez
Grupo LaX
9 de septiembre de 2010
Salamanca
Día GeoGebra
¿Qué es un fractal?
●
Evidentemente algo muy difícil para mi clase de
secundaria.
Salamanca
●
●
Día GeoGebra
9 de septiembre de 2010
¿Por qué introducir los fractales
en Educación Secundaria?
●
●
Porque es un
matemáticas.
concepto
reciente
de
las
Porque permite que el alumnado perciba las
matemáticas como una rama del conocimiento
viva y que continúa evolucionando.
Porque tiene múltiples aplicaciones en la vida
cotidiana.
Porque puede ser un elemento motivador tanto
para los estudiantes como para el profesorado por
su carácter estético y su relación con las TICS.
9 de septiembre de 2010
Salamanca
Día GeoGebra
¿Cómo introducimos los fractales
en Educación Secundaria?
●
●
Con el uso de herramientas
manipulativas y nuevas tecnologías.
En especial, usaremos el programa
de geometría dinámica:
GeoGebra
9 de septiembre de 2010
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Día GeoGebra
¿Qué relación tienen los fractales
con el currículo de Secundaria?
●
●
A priori, los fractales no están en el
currículo de Secundaria.
Pero sí están incluidos muchos
elementos del currículo involucrados
en la construcción de los fractales.
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Día GeoGebra
Algunos Ejemplos...
○ Construcciones geométricas:
* Con regla y compás,
* con mallas
* y a ojo de buen cubero...
○ Mediciones directas:
* Con regla,
* con transportador,
* con malla triangular y cuadrángular
* y otras made in secundary
student.
○ Figuras geométricas
○ Semejanza de figuras
○ Percepción espacial
○ Percepción de la belleza
matemática
○ Cálculo de longitudes y
superficies
○ Inducción
○ Recursividad de un patrón
○ Idea de infinito
○ Dimensión espacial
○ … y alguna que otra cuenta.
9 de septiembre de 2010
●
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Día GeoGebra
Salamanca
Nuestra propuesta de trabajo
●
Los fractales pueden empezar a trabajarse desde
1º de ESO.
En los primeros cursos se centrará el trabajo en
las construcciones geométricas.
Conforme aumente el nivel del alumnado,
podremos profundizar en conceptos como
semejanza, transformaciones en el plano,
relaciones entre medidas, idea de límite y de
infinito,...
En todos los cursos los fractales tienen cabida.
9 de septiembre de 2010
Salamanca
Día GeoGebra
Nuestra propuesta de trabajo
●
●
●
●
1ª Sesión : Construcciones manipulativas de
fractales con regla y compás (1º y 2º ESO)
2ª Sesión: Introducción a GeoGebra. Primeros
pasos.
3ª Sesión: Construcción del triángulo de Sierpinski
4ª Sesión: Visionado de video de fractales,
explicación detallada del trabajo a realizar y
creación con GeoGebra de herramientas.
●
5ª Sesión y ...: Otros fractales.
●
… : Creación de un fractal original.
●
Última sesión: Análisis del trabajo realizado
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Día GeoGebra
Triángulo de Sierpinski
Triángulo Se realizará usando una malla triangular donde el
de
alumnado deberá dibujar un triángulo equilátero.
Sierpinski Los pasos para realizar la construcción son los
siguientes:
Dibuja un triángulo equilátero.
Marca, en cada lado del triángulo su punto medio,
y une dichos puntos.
Fíjate en el triángulo interior que se forma y
recórtalo.
Repite los pasos 2 y 3 en los triángulos que te
quedan.
Repite el proceso todas las veces que puedas.
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Día GeoGebra
Copo de Nieve de Koch
Copo de
Se usará una malla triangular donde se dibujará
Nieve de un triángulo equilátero.
Koch
Los pasos para realizar la construcción son los
siguientes:
Dibuja un triángulo equilátero.
Divide un lado del triángulo en tres partes
iguales y borra el segmento central. Repite el
proceso con los otros lados.
Reemplaza los segmentos borrados por dos
líneas de la misma longitud que se unan, en el
exterior del triángulo inicial , formando un nuevo
triángulo equilátero cuya base es el segmento
borrado.
Repite el proceso en todos los segmentos
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Día GeoGebra
Espacio de Peano
Espacio de
Peano
Se requiere una hoja cuadrada. Pasos
para realizar la construcción:
Dibuja un segmento en el centro de
una hoja cuadrada.
Divide el segmento en tres partes
iguales. A continuación dibuja encima y
debajo del segmento central dos
cuadrados.
Repite los pasos anteriores con todos
los segmentos que tenemos.
Repite el proceso todo lo que puedas y
cuando termines colorea la figura
resultante.
Día GeoGebra
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Trabajo manual
del alumnado
Día GeoGebra
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Trabajo Manual del Alumnado
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Trabajo Manual del Alumnado
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Trabajo Manual del Alumnado
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Trabajo Manual del Alumnado
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Trabajo Manual del Alumnado
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Día GeoGebra
Fractales y GeoGebra
(Triángulo de Sierpinski)
Dificultades:
●
●
●
●
●
Construcción del triángulo
equilátero sin la herramienta
polígono regular.
Utilización de cuadrícula o
trama triangular.
Dificultad para visualizar la
pérdida de la superficie.
Exactitud en las
construcciones.
Distinción entre los tipos de
triángulos existentes.
●
Punto medio de dos puntos de un
segmento.
●
Uso del zoom
●
Laboriosidad del proceso
●
●
●
Creación de la herramienta
triángulo interior.
Cálculo de la superficie en cada
iteración y del perímetro.
Relación entre las distintas
superficies que conforman cada
paso del fractal.
●
Orientación de los triángulos.
●
...
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Día GeoGebra
Ejemplo de secuenciación por
cursos para la construcción del
copo de nieve
Paso
Construcción
Dibujar un
triángulo
equilátero
1
2
División de
cada lado
en 3
partes
iguales
1º ESO
2º ESO
1) Fijar un
segmento de
l=27cm
1) Fijar un
segmento de
l=27cm
2) Construir un
polígono regular de
lado este segmento
2) Construir un
polígono regular de
lado este segmento
3) A partir de un
extremo dibujamos un
segmento de l=9 cm y
lo movemos hasta que
se superponga con el
lado del triángulo.
3) Con la opción de
circunferencias dados
centro y radio, se
dibujan desde dos
vértices con radio 1/3
del lado y se
determinan las
intersecciones con el
lado común
4) Se repite el
proceso en el resto de
lados o bien se giran
los puntos a los demás
lados
4) Se repite el
proceso en el resto de
lados o bien se giran
los puntos a los demás
lados
3º ESO
4º ESO
1) Dibujar un
triángulo
equilátero de lado
arbitrario (con la
opción polígono
regular)
1) Dibujar un
triángulo
equilátero de lado
arbitrario (con la
opción polígono
regular)
2) Con la opción
de
circunferencias
dados centro y
radio, se dibujan
desde los tres
vértices con radio
1/3 del lado y se
determinan las
intersecciones
con los lados
2) Se aplican las
homotecias de centro
los vértices y factor
1/3 y 2/3 (para el
mismo centro) o bien,
1/3 y desde los dos
extremos del
segmento
3) Se repite el
proceso en el resto de
lados o bien se giran
los puntos a los
demás lados
Día GeoGebra
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Ejemplo de secuenciación por
cursos para la construcción del
copo de nieve
Primera
iteración
5) Con extremos los dos
puntos dibujados
anteriormente, se usa la
opción de polígono regular
6) Los otros dos triángulos
se construyen mediante
giros de centro el centro
del triángulo (usando las
bisectrices que se
necesitarán más adelante)
5) Con extremos los dos
puntos dibujados
anteriormente, se usa
la opción de polígono
regular
6) Los otros dos
triángulos se
construyen mediante
giros de centro el
centro del triángulo
(usando las bisectrices
que se necesitarán más
adelante)
3) Con otras dos
circunferencias y una de
sus intersecciones se
determina el triángulo
equilátero
4) Los otros dos
triángulos se construyen
mediante giros de centro
el centro del triángulo
(usando las bisectrices
que se necesitarán más
adelante)
4) Con otras dos
circunferencias y una de
sus intersecciones se
determina el triángulo
equilátero
5) Los otros dos triángulos
se construyen mediante
giros de centro el centro
del triángulo (usando las
bisectrices que se
necesitarán más adelante)
Segunda
iteración
7) Usando sólo la zona
determinada por las
bisectrices, dibujaremos
dos nuevos triángulos
equiláteros
8) Se construye la
poligonal que se forma
junto con el centro del
triángulo (ya dibujado)
pinchando en los puntos
9) O bien se gira o se
refleja.
Nota: giros de 60º, 120º...
en sentido horario y
antihorario
7) Usando sólo la zona
determinada por las
bisectrices,
dibujaremos dos nuevos
triángulos equiláteros
8) Se construye la
poligonal que se forma
junto con el centro del
triángulo (ya dibujado)
pinchando en los puntos
9) O bien se gira o se
refleja.
Nota: giros de 60º,
120º... en sentido
horario y antihorario
5) Usando sólo la zona
determinada por las
bisectrices, dibujaremos
dos nuevos triángulos
equiláteros
6) Se usa la entrada
algebraica: polígono[,] y
que escriban los nombres
de los puntos
6) Usando sólo la zona
determinada por las
bisectrices, dibujaremos
dos nuevos triángulos
equiláteros
7) Se usa la entrada
algebraica: polígono[,] y
que escriban los nombres
de los puntos
7) O bien se gira o se
refleja.
Nota: giros de 60º,
120º... en sentido horario
y antihorario
8) O bien se gira o se
refleja.
Nota: giros de 60º, 120º...
en sentido horario y
antihorario
3
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Día GeoGebra
Ejemplificación para 3º ESO
CONTENIDOS TRABAJADOS
HERRAMIENTAS DE GEOGEBRA
EMPLEADAS
Polígonos regulares: triángulo equilátero
Construcción de polígono regular
Circunferencia: lugar geométrico de todos Circunferencia dados su centro y su radio
los puntos que equidistan de otro una
distancia fija (lado arbitrario del triángulo).
Fracción de una cantidad: 1/3 del lado
Intersección de lugares geométricos: lado Intersección de dos objetos
del triángulo y circunferencia
Intersección de lugares geométricos: dos Circunferencia dados su centro y uno de
circunferencias de centros los puntos de los sus puntos
segmentos y radio la distancia que los Intersección de dos objetos
separa
Bisectriz de un ángulo
Bisectriz de un ángulo
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Día GeoGebra
Ejemplificación para 3º ESO
CONTENIDOS TRABAJADOS
HERRAMIENTAS DE GEOGEBRA
EMPLEADAS
Puntos notables de un triángulo: incentro
Intersección de dos objetos
Giro de un polígono con centro en el Rota objeto entorno a punto el ángulo
incentro y ángulo 120º en ambos sentidos
indicado
Razonamiento del ángulo 120º
Nombrar un polígono a partir de sus Entrada algebraica: Polígono[,]
vértices
Giro de un polígono 60º, 120º, 180º (los Rota objeto entorno a punto el ángulo
dos primeros en ambos sentidos o usando indicado
240º, 300º)
Simetría de un objeto con respecto a un Refleja objeto en recta
punto
Día GeoGebra
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Ejemplos: Triángulo de Sierpinski
Día GeoGebra
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9 de septiembre de 2010
Ejemplo: Copo de Nieve
Día GeoGebra
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9 de septiembre de 2010
Ejemplo: Espacio de Peano
●
Salamanca
9 de septiembre de 2010
Ejemplo: Otros fractales
Día GeoGebra
●
En este paso proponemos a los estudiantes
que inventen un fractal a partir de las ideas
trabajadas hasta ahora.
Otra actividad paralela para aventajados
(para nota) es la construcción de fractales de
mayor dificultad como, por ejemplo, el
fractal determinado por las circunferencias
tangentes a otras tres dadas.
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Día GeoGebra
Ventajas del uso de GeoGebra para
trabajar con fractales.
Favorece el trabajo individual del estudiante.
Se marcan su propio ritmo de aprendizaje.
Permitirá la construcción de un mayor número de
iteraciones con una menor inversión de tiempo.
Podremos observar de una manera más evidente la
"tendencia" del fractal.
Permite la rectificación y el proceso de ensayo y
error.
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Día GeoGebra
Ventajas del uso de GeoGebra para
trabajar con fractales.
Menor "gasto" de energía.
Dirigen sus esfuerzos a los problemas planteados y
no a las construcciones.
Permite observar los pasos realizados en cómodas
presentaciones donde puede repasar las iteraciones.
El uso del zoom permite observar las regularidades
en las fronteras y el concepto de autosemejanza.
Se pueden realizar cálculos sobre los fractales
construidos.
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Día GeoGebra
Desventajas del uso de GeoGebra
para trabajar con fractales.
Aún así hay un "pero" que ponerle el programa, y es
que no continúa el proceso "indefinidamente", lo que
sin lugar a dudas nos permitiría acercarnos de una
manera más clara a la idea de límite.
Evidentemente no es un programa diseñado para
construir fractales.
9 de septiembre de 2010
Conclusiones
Permite promover en el alumnado el desarrollo de capacidades:
●
●
Día GeoGebra
Salamanca
●
Expresarse y comunicase en lenguaje matemático.
Relacionar representaciones en lenguaje numérico-gráfico, geométrico y
algebraico.
Percibir la utilidad de las matemáticas para comprender el mundo que
nos rodea.
●
Determinar pautas de comportamiento y regularidades invariantes.
●
Reflexionar sobre la precisión y las limitaciones de las construcciones.
Y al añadir GeoGebra:
–
resolución de problemas
–
uso de las nuevas tecnologías
–
fuerte carácter motivador
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Día GeoGebra
FRACTALES CON
GEOGEBRA EN EDUCACIÓN
SECUNDARIA
Grupo LaX
Ana Margarita Aranda Rosales, Antonio J. Moreno Verdejo, Belén
Cobo Merino, Benito López Calahorro, Francisca Izquierdo Gómez,
Jordi Alba Rodríguez, José Ángel Viedma Martínez, José Manuel
Toquero Molina, Juana Mª Navas Pleguezuelos, Margarita García
Schiaffino, María Peñas Troyano, María Luisa Marín Cámara, Olalla
Romero López, Pablo Flores Martínez, Rafael Ramírez Uclés, Sandra
Gallardo Jiménez, Susana Rodríguez Domingo, Nuria Bach Rivero,
Miguel Ángel Fresno Martínez y Ana Belén Heredia Álvarez.