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ESTUDIO TEORICO DE LA DERIVA EN CAMPOS NO
HOMOGENEOS DE PARTICULAS CARGADAS CON
MOMENTOS MULTIPOLARES Y SU APLICACIÓN A LA
FISICA DEL PLASMA
Lic. ARTURO QUISPE QUISPE
[email protected]
2002
INDICE:
1. DESARROLLO EN MULTIPOLOS DE LA ENERGIA DE UNA
DISTRIBUCION DE PARTICULAS CARGADAS EN UN CAMPO
EXTERIOR
2. DERIVA MONOPOLAR E CAMPOS ELECTRICOS
3. CAMPO ELECTRICO NO HOMOGENEO
4. CAMPO ELECTRICO NO HOMOGENEO
En el presente trabajo se desarrolla una teoría general para el movimiento de las
partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos no homogéneos, considerando las
contribuciones de los momentos multipolares en la energía de interacción total.
Haciendo uso de las ecuaciones de la energía de interacción, se tiene la energía
Multipolar hasta la aproximación cuadrupolar, lo cual finalmente nos permitirá obtener
resultados nuevos que constituyen un aporte a la teoría orbital.
DESARROLLO EN MULTIPOLOS DE LA ENERGIA DE UNA DISTRIBUCION
DE PARTICULAS CARGADAS EN UN CAMPO EXTERIOR
Si tenemos una distribución localizada de cargas  (r ) colocada en un potencial
externo  (r ) , la energía electrostática del sistema viene dada por:
W    (r , ) (r )dv.
Si en la región en el que  (r ) es no despreciable, el potencial presenta variaciones
pequeñas; se puede desarrollar en una serie de Taylor eligiendo un origen adecuado, cuyo
desarrollo es:
 2 (0)
1
 (r )   (0)  r. (0)    ri r j
 ....
2 i j
ri r j
Tomando en cuenta que el campo eléctrico es E   , podemos hacer intervenir
E en los últimos términos. Así la ultima ecuación toma la forma:
E j
1
 (r )   (0)  r.E (0)    ri r j
(0)  ....
2 i j
ri
Finalmente integrando, se tiene la energía de interacción del campo eléctrico resulta:
W  q (0)  p.E (0) 
E j
1
Q
  ij r (0)  ....
6 i j
i
Donde:
q: es la carga eléctrica neta
p: es el momento bipolar eléctrico
Qij : el tensor de momento cuadrupolar eléctrico
DERIVA MONOPOLAR E CAMPOS ELECTRICOS
La última ecuación podemos escribir como:
W  W1  W2  W3  ...
en primera aproximación la energía multipolar de un sistema de cargas en un campo
exterior es igual al potencial de la carga multiplicado por la carga cuyo valor es
q   q i y se encuentra en el origen de coordenadas. En el caso de un sistema
eléctricamente neutro se tiene:
q   qi  0
La energía para la aproximación monopolar es:
W  q (0)  0
De donde resulta evidente, que para el caso de una partícula (átomos y moléculas)
neutras la energía de interacción de las partículas cargadas con un campo eléctrico E de
potencial  (0) resulta cero.
DERIVA DIPOLAR EN CAMPOS ELECTRICOS HOMOGENEOS Y NO
HOMOGENEOS
CAMPO ELECTRICO HOMOGENEO
La acción del campo externo podrá producir la distorsión de la distribución de carga
y la aparición de momentos bipolares (moléculas no-polares) y/o la reorientación de los
momentos bipolares de las moléculas bipolares.
En el caso de moléculas no polares tanto bajo condiciones de agitación térmica
como en ausencia de estos se cumple:
p mol
E2

E
mw 2
de donde
W NO  POL
E2E2

mw 2
En caso de las moléculas bipolares P0  se tiene:
WDipol
1 P02 E 2

3 KT
La fuerza que actúa sobre la partícula es:
F  W1
De donde resulta evidente, tanto para moléculas polares como no polares en segunda
aproximación (dipolar) en la presencia de un campo ecléctico homogéneo las fuerzas son
nulas (por ser la energía constante) tanto para partículas polares y no polares, cuyas
energías son W NO  POL WDipol se tiene.
F   (
E2E2
)0
mw 2
la energía para la aproximación bipolar es:
W1   P.E
La fuerza sobre un dipolo es la suma de las fuerzas sobre cada una de las cargas.
Para un campo eléctrico homogéneo como el que se muestra en la figura es evidente que las
fuerzas son nulas.
F  F
Entonces concluimos que no hay desplazamiento del dipolo, debido a que las
fuerzas, se equilibran, solo actúa la energía, el cual orienta al dipolo en la dirección del
campo eléctrico.
CAMPO ELECTRICO NO HOMOGENEO
El resultado cambia substancialmente en el caso de campos no homogéneos. Por
ejemplo para el caso particular de un campo homogéneo débilmente distorsionado del tipo:
E  zzrˆ  E 0 kˆ
Las ecuaciones diferenciales de las líneas vectoriales son:
dR dz

z E 0
Despejando se tiene:
dR 
z
E0
dz  0
y, en consecuencia la solución será:
R

2E0
z 2  R0
Como se observa las líneas de campo describen parábolas en el sistema cilíndrico.
Por otro lado calcularemos la energía de interacción dipolar:
W2   p.E  pe cos( )
donde:
E   2 z 2  E012
W2   p.E   p  2 z 2  E02 cos( )
las ecuaciones de movimiento determinadas por F  W 2
en la formulación Newtoniana es:
FR  

( p  2 z 2  E 02 cos( ))  0
R
F  
Fz  

( p  2 z 2  E 02 cos( ))  0
R
 2 zp cos( )

( p  2 z 2  E 02 cos( )) 
Z
 2 z 2  E 02
o sea un sistema de ecuaciones diferenciales en condenadas cilíndricas, el cual tenemos que
resolver.
  R 2  0
R
R  2 R   0
2
Z   zp cos( )
m  2 z 2  E 02
las soluciones para R y  son sencillas
 0
R  at  R0
La solución para z se obtiene de resolver la tercera ecuación diferencial de movimiento.
 2 zp cos( )
Z 
m  2 z 2  E 02
Usando una expansión binomial para:
1
( z  E )
2
2
2
0
1
2
1
 2 z 2  12

(1 
)
E0
E 02
y utilizando el método de aproximaciones sucesivas:

1
 2 z 2  12 1 
 2z2 3 4z4
(1 
) 
 ......
1  (1 / 2) 2 
2
4
E0
E0
E0 
E0
8 E0

y reemplazando en las ecuaciones de movimiento correspondiente se obtiene:
 2 zp cos( )
1  2z2 3 4z4
Z 
(1 

 ..)
mE0
2 E 02
8 E 04
 2 p cos( )
1  4 p cos( )
3  6 p cos( )
sea A 
, B
yC
mE0
2
mE03
8
mE05
La solución en primera aproximación se obtiene a partir de la siguiente ecuación de
movimiento:
z  az
bajo las condiciones iniciales
z (t  0)  0
z (t  0)  v 0 z
usando la “Transformada de Laplace”
 z  A z
s  z  sz (t  0)  z(t  0)  A ( z)
(s 2  A) z  v0 z
 1 
  z  v oz  2

 s  A
2
y finalmente usando la Transformada Inversa de Laplace tenemos:
 v

z   1  2 oz 
 s  A
v
 oz sen At
A
Sustituyendo el valor de la constante A en , se obtiene la solución correspondiente en
primera aproximación.
z
v oz

mEo
p cos( )
senh
t
p cos( )
mEo
Cuya solución como se puede observar esta dada en forma parametrica, de donde se
tiene.
z
v oz

mEo
p cos( )  R  Ro 
senh


p cos( )
mEo  a 
Como se observa esta solución resulta totalmente distinta a la ecuación que
corresponde a las líneas de campo; lo que significa que las partículas debido al momento
bipolar poseen movimiento de deriva no previsto por los tratamientos desarrollados hasta
ahora.
Por supuesto la solución exacta implica determinar la contribución de los términos
de mayor orden de aproximación.
La solución en segunda aproximación se obtiene a partir de la ecuación de
movimiento siguiente:
3
z  Az  Bz
Bajo las mismas condiciones iniciales anteriores
z (t  0)  0
z(t  0)  v oz
Y usando la Transformada de Laplace se tiene:
 z  A z  B z 3 
s 2 z  sz (t  0)  z (t  0)  A ( z)  B z 3 
s
 A z  v oz 
6B
s4
6B
 1 
  z  v oz  2
 4 2
 s  A  s ( s  A)
2
Y la transformada inversa de Laplace tenemos:
v


 v

z   1  2 oz   6 B 1  2 oz 4 
 s  A
 s  As 
;
v oz
B, C , E , s  F , 
1  A

senh At  6 B   2  3  2

s
s
s A 
A
s
desarrollando las fracciones parciales
z


1
1
1
senh At  6 B 1  2 2 


As 4 A 2 ( s 2  A) 
A
 A s
v
6B
B
6B
z  oz senh At  2 t  t 3  5 / 2 senh At
A
A
A
A
v oz
Sustituyendo los valores de las constantes A y B en la ecuación de la solución se tiene:
z

3

v oz

mEo
p cos( )
3m
2 3
senh
t
t
t
p cos( )
mEo
E o p cos( )
2 E 02
p cos( )
m3
senh
t
3
3
E o p cos ( )
mEo
Es necesario señalar que como se debe esperar, al mismo resultado se llega en el
caso de usar una Formulación Lagrangiana. Conforme se puede observar en seguida:
d  L  L
 
 Qij    l a l
dt  q  q
Donde
1
L   mi v 2   q i  i
2
A esta ecuación de movimiento última se llama función de Lagrange para un
sistema de partículas en un campo eléctrico.
Para un dipolo ubicado en un campo eléctrico, la función de Lagrange es:
L
1 2
mv  p.E
2
Donde p es el momento dipolar y E un campo eléctrico. En coordenadas cilíndricas toma la
forma.
1
L  mR 2  R 2 2  z 2   p  2 z 2  E 02 cos( )
2
Las ecuaciones de movimiento correspondientes son:
d  L  L
 a(R)
 
dt  R  R
d  L  L
 a( )
 
dt    
d  L  L
0
 
dt  z  z
Donde a( R) 
f
f
, a( ) 
, y f (R,  )  
R

  R 2 )  0
m( R
m( R  2 R )  0
 2 p cos( )
z 
m  2 z 2  E 02
Los cuales son los mismos resultados obtenidos por la formulación Lagrangiana.
Consideremos ahora un segundo ejemplo particular en la que el campo eléctrico
tendrá mayor variación espacial y sea de la forma:
E  zrˆ  ( E o  z )kˆ
Las ecuaciones diferenciales de las líneas vectoriales son:
dR
dz

z E o  z
De donde se tiene:
 c
z
 dR   E  z dz  c
o
Utilizando el método de aproximaciones sucesivas para el término


1
1  1

z
E o  z E o 
1 
E0

 1
z
1 

 ...... 

1 
Eo  Eo
E

o
1
se tiene:
E o  z






z
 ...
E o2
Sustituyendo esta última ecuación, en la ecuación integro diferencial se tiene:
1
 dR    z  E


o
z

 .....  c
E

2
o
La solución en primera aproximación es:
R

2Eo
R
z 2  R0

2Eo
z 2  Ro
Igualmente la solución en segunda aproximación es:
R

2Eo
z2 

3E
2
o
z 3  Ro
Donde tanto estas dos últimas ecuaciones, son la ecuación de las líneas vectoriales
del campo eléctrico los cuales pueden ser graficadas.
Sustituyendo el campo eléctrico en la ecuación de energía w se tiene:
W2   p.E  pE cos( )
donde el modulo de E es:
E   2 z 2  E o2
W2   p  2 z 2  ( E o  z ) 2 cos 
Las ecuaciones diferenciales de movimiento son:
F  W 2
  R 2 )  
m( R

( p  2 z 2  ( E o  z ) 2 cos )  0
R

m( R  2 R )  
( p  2 z 2  ( E o  z ) 2 cos )  0
R
z ( 2   2 )  E o 
p cos( )
z 
m
( 2   2 ) z 2  E o2  2 E o z
Usando la expansión Binomial para:
1

  2 z 2  E o2  2 E o z 2
1
2
y utilizando el método de aproximaciones sucesivas en la última ecuación se tiene:
1
Eo



1
2
2
1

z

(




..)


2 E o2
 Eo

Sustituyendo este último resultado en la ecuación se tiene:
z 
p cos( )
z  2   2   E o  1   z  1 2 ( 2   2 )  ......
mEo
2Eo
 Eo

La solución en primera aproximación se obtendrá a partir de la ecuación de movimiento
siguiente:
p cos( )
p cos( ) 
z ( 2   2 ) 
mEo
mEo
p cos( ) 2
p cos( ) 
Sean A 
(   2 ) y B 
mEo
mEo
z 
Sustituyendo el valor de las constantes tenemos:
Y usando la Transformada de Laplace
z  Az  B
 z  A z   B
s 2 z  sz (t  0)  z(t  0)  A z  
s
2
 A z  v oz 
B
s
B
s
B
 1 
  z  v oz  2

2
 s  A  s ( s  A)
y utilizando la Transformada Inversa de Laplace y desarrollando por fracciones parciales el
término del denominador se tiene:


1
 v

z   1  2 oz   B 1  2

s  A
 s ( s  A) 
1
A[ B [ s  C

 2
s ( s 2  A)
s
( s  A)
Resolviendo el sistema correspondiente resulta:
1
1

s( s  A)
A
2
Sustituyendo esta ultima ecuación en z, se tiene:
z
v oz
A
senh( At ) 
B B
 cosh( At )
A A
Por ultimo sustituyendo los valores de las constantes A y B en la solución se tiene:
z  v oz
mEo
p cos( )( 2   2 )
senh
(
t
p cos( )( 2   2 )
mE0
Eo 
Eo 
p cos( )( 2   2 )

cosh(
t
 2   2  ( 2   2 )
mE0
Igualmente la solución en segunda aproximación se obtiene a-partir de la ecuación de
movimiento siguiente:
p cos( ) 2
p cos( )
p cos( ) 
(   2 ) z 2 
z
2
2
mEo
mEo
m
p cos( ) 2
p cos( )
p cos( )
Sean A 
y C
(   2 )  , B 
2
2
m
mEo
mEo
z 
reemplazando el valor de estas constates en la ecuación para z, tenemos:
2
z  Az  Bz  c
Y usando la Transformada de Laplace se tiene:
 z  A z   B   C
4A
C
s 2 z  sz (t  0)  z(t  0)  3  B z 
z
s
2A C
  v oz
s3
s
C
2A
 1 
  z  v oz  2
 3 2

2
 s  B  s( s  B) s ( s  B)
( s 2  B) z 
Y usando la transformada inversa de Laplace.



1
1
1 
1 

2
A


C






2
2
2
2
2
B
 s ( s  B) 
 s( s  B) 
s  ( B) 
1
Desarrollando mediante fracciones parciales 3 2
tenemos:
s ( s  B)
1
s 2
1
1
1



 2B
3
2
2
3
s ( s  B)
sB
s b s b
1
s
1
1


 2 B
2
s ( s  B)
sB s  B
z
v oz

 1 
B
Reemplazando los valores correspondientes en la última ecuación se obtiene:
2 A 1  1  2 A 1  1  2 A 1  s 
  2   3 2   2

2
B
s  B
s  B
s  B
C
s
s
1  C

 voz 1 

  1     1  2
  2


B
s
B
s

B
B
s

B
 




z
Igualmente reemplazando los valores de las constantes A, B y c se tiene:
z
voz

mEo
p cos( )
2( 2   2 )
p cos( )
senh(
)t 
cosh(
)t
2
c
mEo
Eo p
mEo
Eo
p cos( )
2( 2   2 ) m 2( 2   2 m) 2
 2 cosh(
)t 

t 

mEo
Eo p 2
Eo p 2
Eo
2
BIBLIOGRAFIA
1. CHEN, FRANCIS F. (1974), INTRODUCTION TO PLASMA PHYSICS AND
CONTROLLED FUSION, PLENUM PRESSS- NEW CORK, LONDON.
2. JACKSON, JHON DAVID (1966), ELECTRODINÁMICA CLÁSICA, EDIT.
ALAMBRA- MADRID.
3. B. G. LEVICH (1971), TEORÍA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO.
REVERTE- BARCELONA.
4. S. LEE, P.H. SAKANACA SMALL PLASMA PHISICS EXPERIMENTS
WORLD SCENTIFIC PUBLISHING CO, 1988
DATOS DEL AUTOR:
Lic. ARTURO QUISPE QUISPE
[email protected]
EDAD: 30 AÑOS
ESTUDIOS REALIZADOS
LICENCIADO EN FISICO MATEMATICAS UNSAAC-CUSCO
TRABAJO REALIZADO EN EL 2002 CON EL APOYO DEL Dr. OSWALDO LUIZAR
OBREGON