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Área Matemática – Texto San Mateo. 3º Medio
3
Unidad
Página 73
Geometría y Trigonometría
PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA
SECTOR DE FORMACIÓN
ÁREA TEMÁTICA
CURSO
PROFESOR RESPONSABLE
UNIDAD DIDÁCTICA N° 3
TIEMPO
:
:
:
:
:
:
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
3º MEDIO
JUAN CARLOS PALMA
“GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA”
30 a 34 horas

Fecha de Inicio:

Fecha de Término:

Tiempo estimado:

Tiempo real utilizado:
APRENDIZAJES ESPERADOS
Los alumnos:
 Resolverás desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus propias
capacidades.
 Conocerás y utilizarás conceptos matemáticos asociados al estudio de los
sistemas de inecuaciones, de la función cuadrática, de nociones de
trigonometría en el triángulo rectángulo y de variable aleatoria, mejorando
en rigor y precisión la capacidad de análisis, de formulación, verificación o
refutación de conjeturas.
LOGROS
ACTIVIDADES SUGERIDAS
1. Concepto de lugares geométricos del 
Repasan elementos secundarios de
plano.
las figuras geométricas.
2. Lugares Geométricos fundamentales 
del plano:
- La circunferencia.
- La simetral de un segmento dado. 
- La paralela media a dos paralelas
dadas.

3. Construcción de triángulos basadas
en sus elementos principales.
Construir, con regla y compás,
figuras geométricas.
4. Construcción de triángulos basadas 
en sus elementos secundarios.
Conocer, a través de problemas,
conceptos relacionados con
trigonometría.
5. Razones
trigonométricas
triángulo rectángulo.
en
el
6. Identidades trigonométricas.
7. Funciones trigonométricas.
8. Resolución de triángulos rectángulos
y no rectángulos.
Conocen y comparten el concepto
de Lugar Geométrico.
Resolver problemas que involucren
la construcción de lugares
geométricos.

Resolver problemas utilizando las
identidades trigonométricas.

Graficar, determinar dominio y
recorrido y evaluar funciones
trigonométricas utilizando software
matemáticos.

A través del teorema del seno,
resolver problemas en triángulos
rectángulos y no rectángulos.
Área Matemática – Texto San Mateo. 3º Medio
Sub-Unidad 3.1:
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”LUGARES GEOMÉTRICOS”
CONOCIENDO LOS LUGARES GEOMÉTRICOS
¿ Dónde están los puntos del pizarrón que se hallan a una distancia de 20 cm
de un punto dado P ? ¿ A una distancia dada “a” del punto P ?
Todos los puntos que se hallan a la distancia “a” de un
punto P , están en la circunferencia con centro en P y
radio “a”.
a
Se dice que la circunferencia con centro en P y radio “a”,
lo que se abrevia  (P , a) , es el LUGAR GEOME TRICO de los puntos que se hallan a la distancia “a” del
punto P. Esto significa dos cosas :
P
a) Que todos los puntos de la
 (P , a) se encuentran
a la distancia “a” del punto P.
a
b) Que solamente los puntos de esa circunferencia se
encuentran a la distancia “a” del punto P.
LUGAR GEOMETRICO es una línea o conjunto de líneas, cuyos puntos cumplen todos, y
sólo ellos, una misma condición.
NOTA: esta definición se refiere sólo al plano. En el espacio, el lugar geométrico puede
ser una superficie, por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos que están a la distancia
“a” de un punto P es la superficie de la esfera de centro P y radio “a”.
PRIMER LUGAR GEOMETRICO:
“LA CIRCUNFERENCIA”
El L.G. de los puntos que se hallan a la distancia “a” de un punto P es la
 (P , a) .
a
O
a
SEGUNDO LUGAR GEOMETRICO :
“LA
SIMETRAL”
Dibujemos dos puntos A y B.
Tracemos el segmento AB .
Construyamos varios puntos que equidisten de A y B .
¿ En qué línea parecen encontrarse todos estos puntos ?
El L.G. de los puntos que equidistan de dos puntos
dados es la SIMETRAL del segmento que une esos
puntos.
TEOREMA 1 : Los puntos de la simetral de un trazo
equidistan de los extremos del trazo.
TEOREMA 2 : (Recíproco) Si un punto equidista de
los extremos de un trazo, pertenece a la simetral.
A
B
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TERCER LUGAR GEOMETRICO:
PARALELAS A UNA RECTA TRAZADAS A UNA
DISTANCIA “a”
Dibujemos una recta L y un trazo “a”.
Construyamos varios puntos que están
a la distancia “a” de la recta L.
L1
a
¿ Dónde se encuentran esos puntos ?
El L.G. de los puntos que se hallan a la
distancia “a” de una recta L son las
PARALELAS a dicha recta trazadas a la
distancia “a” .
L
a
L2
L es paralela media a L1 y L2 .
TEOREMA 3 :
Dos rectas paralelas son equidistantes.
TEOREMA 4 : (recíproco)
Dos puntos que equidistan de una recta, estando al mismo lado de ella, se hallan sobre
una misma paralela a la recta.
Sean A y B dos puntos cualquiera
de L y se levantan perpendiculares en ellos.
Con centro en A y radio d se traza P,
P
Q
L1
AP = d.
del mismo modo, con centro en B
d
y radio d de traza Q, BQ = d .
Por P y Q se traza la recta L
Entonces L //L1 .
d
L
1
A
B
L1
P
Q
CUARTO LUGAR GEOMETRICO:
LA
BISECTRIZ
B
Dibujemos un ángulo.
Determinemos varios puntos que equidisten
de sus lados.
¿ Dónde parecen hallarse todos esos puntos ?
El L.G. de los puntos que equidistan de los
lados de un ángulo es la bisectríz del ángulo.
C
Q
D
u
e
d
OC = bisectríz del ángulo AOB .
é = OA
OB
m
a
TEOREMA 5 :
Los puntos de la bisectríz de un ángulo
equidistan de los lados del
e
ángulo.
s
t
TEOREMA 6 : (recíproco).Si un punto equidista de los lados
de un ángulo, pertenece a la
r
bisectríz.
o
p
a
r
a
l
a
t
r
i
g
o
n
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METODOLOGÍA PARA RESOLVER LUGARES GEOMÉTRICOS
Para determinar un LUGAR GEOMETRICO, se debe :
1. Formar una idea aproximada de la forma y posición del lugar
ya por simple intuición
ya por análisis de los datos
ya por construcción de algunos puntos
ya transformando la propiedad dada en otra más sencilla
2. Demostrar la existencia del lugar (los puntos que cumplan los requisitos del problema
están en el lugar, y recíprocamente, todos los puntos del lugar cumplen con todos los
requisitos del problema ).
3. En ciertos casos, es decir, cuando el caso lo requiere limitar el lugar a los solos puntos
que satisfacen el enunciado del problema.
4. Es ventajoso muchas veces, como conclusión o comprobación, hacer la construcción
gráfica del lugar.
Para desarrollar un problema geométrico de este tipo es necesario considerar las
siguientes etapas:
ENUNCIADO: Conjunto de datos relativos al lugar geométrico (L.G.)que se busca
determinar.
ANÁLISIS: Se estudian las relaciones existentes entre los elementos dados y las
condiciones del problema. Se dibuja una figura basada en estos elementos y condiciones.
CONSTRUCCIÓN: Ocupando los elementos dados y siguiendo las indicaciones
establecidas en el análisis, se construye la figura geométrica que permitirá encontrar la
solución al problema planteado.
DEMOSTRACIÓN: Se debe comprobar que la solución encontrada es el conjunto de
puntos del plano que cumplen con las condiciones indicadas.
DISCUSIÓN: Verificar si el problema tiene una, dos, tres o más soluciones; o ninguna
solución.
EJERCICIOS RESUELTOS
ENUNCIADO:
¿Cuáles son los puntos que están a una distancia “a” de un punto P y que equidistan de
dos rectas paralelas L1 y L2 .
ANÁLISIS:
i) Para que el punto buscado se halle a la
distancia “a” del punto P debe estar en
la  (P , a) .
P
X1
ii) Para que el punto buscado equidiste de
las rectas paralelas L1 y L2 debe
hallarse en la paralela media.
L2
a
X2
L
L1
DEMOSTRACIÓN:
Los puntos x1 y x2 pertenecen a la  (P , a) entonces se encuentran a una distancia a de
un punto P .
L es paralela media e intersecta a la  (P , a) en los puntos x1 y x2 .
Por lo tanto x1 y x2 cumple con ambas condiciones.
CONSTRUCCIÓN:
Se traza la circunferencia (P , a).
Se traza la paralela media de L1 y L2.
DISCUSIÓN: (número de puntos o soluciones posibles)
Ninguna solución si la paralela media no corta a la circunferencia.
Una solución si la paralela media es tangente a la circunferencia.
Dos soluciones si la paralela media es secante a la circunferencia.
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Preguntas: ¿ Cuántas soluciones tiene el problema ?
¿ Por qué el punto x1 se halla a la distancia “a” del punto P ?
¿ Por qué x1 equidista de L1 y de L2 ?
Si cambiamos la posición del punto P de modo que resulte una solución, ¿ a qué distancia
de la paralela media debe colocarse el punto P ?
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encuentra el lugar geométrico que determina :
a) Un esquiador que se desliza por una pista recta, manteniéndose equidistante de sus
orillas.
b) Un helicóptero que permanece a igual distancia de las rutas rectas A y B para poder
atender cualquier emergencia que haya en la zona.
c) Un nadador que se mantiene a una distancia constante de las boyas que marcan su
pista de carrera.
2. En el cuadrado ABCD de la figura se tiene:
AB = 30 cm ; F y G son puntos medio de los lados respectivos.
Determina el o los puntos interiores del cuadrado que cumplen con la condición de :
D
a) Equidistar de sus cuatro lados.
G
C
b) Equidistar de sus cuatro vértices.
c) Estar a 8 cm de E y equidistar de AD y AB.
E
d) Estar a 10 cm de FG y equidistar de DC y DA.
e) Estar a 20 cm de E y a 40 cm de A .
3. Determina los puntos del plano que :
A
F
B
a) Equidistan de dos rectas secantes y de los lados de un ángulo AOB.
b) Equidistan de dos puntos A y B, y están a una distancia “d” de un punto P.
c) Están a 4 cm de una recta L y equidistan de dos rectas paralelas.
d) Equidistan de dos rectas secantes y están a 12 cm del punto de intersección de dichas
rectas.
e) Equidistan de los lados de un ángulo AOB y están a 4 cm del lado OA del ángulo.
f) Están a la distancia “d1” de un punto A y a la distancia “d2” de un punto B.
g) Equidistan de dos rectas secantes y están a 4 cm de un punto A.
h) Equidistan de dos puntos A y B de dos rectas secantes.
i) Sobre el lado AB de un triángulo ABC
equidistante de A y C.
o su prolongación, determina un punto
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CUARTO LUGAR GEOMETRICO:
EL ARCO CAPAZ
S
El ARCO CAPAZ es el lugar geométrico de
todos los puntos del plano que son vértices de
ángulos congruentes, de medida dada y que
subtienden un mismo segmento dado.
Problema:
Construye el arco capaz del ángulo

D
sobre el segmento AB dado.

Construccion:
1) Se copia el ángulo 
O
en el extremo A
del segmento AB .
( Se forma el  BAE )
2) Por el vértice del  BAE se traza una
perpendicular
B

A
AD al lado AE .
3) Se traza la simetral S del segmento AB .
4) La intersección de la perpendicular AD y
la simetral S, determinan el punto O,
centro de la (O , OA ) que contiene
al arco capaz BA del ángulo .
El arco capaz de un ángulo de medida 
es el arco de circunferencia en el cual
el segmento dado es cuerda y el ángulo
semiinscrito en esa cuerda tiene medida
E
.
O
El arco capaz se considera también como
el lugar geométrico de los terceros vértices
de aquellos triángulos en que se conoce la
medida de un lado y del ángulo opuesto a
ese lado.
Todos los ángulos inscritos en una misma
circunferencia y que subtienden arcos de 
igual medida son congruentes.

A
B
E



A
O
B
EJERCICIOS PROPUESTOS
Construye el arco capaz de :
1. Los ángulos de 60º , dada una cuerda de 5 cm de longitud.
2. Los ángulos de 90º, dada una cuerda de 6 cm de longitud.
3. Los ángulos de 150º, dada una cuerda de 8 cm de longitud.
4. ¿ Qué sucede con el arco capaz, en cada uno de los casos anteriores, si la medida de la
cuerda se reduce a la mitad ?.
5. Los ángulos de 45º sobre la cuerda de 4 cm.
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CONSTRUCCION DE TRIANGULOS.
Del mismo modo que en la determinación de un lugar geométrico, en la
construcción de un triángulo cualquiera es conveniente considerar los siguientes aspectos y
el orden en que se dan :
- El enunciado del problema, es decir, el conjunto de datos relativos al triángulo que se
desea construir.
- El analisis de los datos dados, es decir, la relación gráfica de los elementos geométricos y
las condiciones indicadas, en la llamada figura de análisis.
- La Construccion del triángulo propiamente tal con regla y compás de acuerdo con los
datos dados.
-
La discusión de las posibilidades de construcción que ofrecen los elementos y
condiciones establecidas y representadas en la figura de análisis, para verificar : si
existe siempre solución, si existe una o más soluciones o si no hay solución.
Ejemplo : Construir un triángulo dados
un lado y los dos ángulos adyacentes.


c
Construcción :
1) Sean c ,  y
 lo dado.
2) Se traza
copian :
AB = c y en sus extremos se
A,  B   .
3) Los lados libres de  y  se cortan en
el punto C , resultando el  ABC pedido.
C
Discusión : El problema tiene una solución,
siendo     180º
Problema para resolver.
En el triángulo ABC, que presentamos, se
han trazado las bisectrices


A
c
B

1
AD = b  1 y
BE = b  1 .
Determina la medida “x” del ángulo en
función de  .
1
x
D
E
Ejemplo:
Construir un triángulo
dadas las medidas de un lado, de la altura
correspondiente a otro lado y la de un segmento determinado por ella en ese lado.
Análisis : Consideremos un  ABC como el pedido
con las medidas “a” de un lado, hc de la altura y
“q” del segmento determinado por esta en AB
1) Consideremos un segmento de medida “q”,
determinando los puntos A y D como sus
extremos.
2) Determinamos el vértice C, mediante
A
C
a
hc
q
DC DC   (D , hc ) = {C}  C 
D
B
( DC  AD en D )
3) Determinamos el vértice B mediante :
AD   (C , a) = { B }
Datos :
a
hc
q
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Construcción:
1) Se traza
2) Se traza
C1
AE
 (A , q) , determinando en
AE el punto D.
3) Se traza una perpendicular a AD en D.
4) Se traza  (D , hc) obteniendo, en la
perpendicular los puntos C1 y C2.
5) Se une el vértice con C1 y C2 ,
determinando AC1 y AC2 .
A
6) Se traza  (C1 , a) o  (C2 , a)
a
hc
q
obteniéndose en AE el punto B.
7) Se unen C1 y C2 con B, determinándose
D
B
hc
E
a
C1B y C 2 B
Los triángulos ABC1 o ABC2 corresponden
al triángulo pedido.
C2
Discusión : El problema tiene :
- una solución: una a cada lado de AD , si la medida del lado “a” es igual que la altura
hc .
- dos soluciones : dos a cada lado de AD , si la medida del lado “a” es mayor que la
altura hc
- ninguna solución: si la medida del lado “a” es menor que la de la altura hc .
EJERCICIOS PROPUESTOS
Construye un triángulo , dados :
1. a , b , c
2. a ,

,

3. a , c ,

Construye :
4. Un triángulo rectángulo isósceles dada su hipotenusa.
5. Un triángulo rectángulo dada su hipotenusa.
Construye un triángulo isósceles, dados :
6.  , c
7.  , c
Construye un cuadrado, dados :
9. Su diagonal “d”
8.
10.
 , a
Su perímetro “P”
Comprueba si es posible construir un triángulo dadas las siguientes medidas para
sus lados , indica además qué tipo de triángulo es el determinado por las medidas
indicadas:
11. a = 5 cm
12. a = 6 cm
13. a = 3 cm
b = 4cm
b = 17 cm
b = 4cm
c = 20 cm
c = 11 cm
c = 5 cm
Verifica si es posible construir un triángulo ABC, dados los siguientes datos :
14. a , b , 
15.
a , c , 
16. b , c , 
Construye un triángulo ABC rectángulo en C , dados :
17.
18.
 , a
 ,
b
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ANALISIS Y CONSTRUCCIÓN DE LUGARES GEOMÉTRICOS
1. Determina la ubicación de los puntos que se ubican a una misma distancia de
una recta dada. ¿Qué forma adquiere este conjunto de puntos en el plano? ¿Qué
forma toma este conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones?
2. Determina el conjunto de puntos que tienen una distancia dada a un punto
determinado. ¿Qué forma adquiere este conjunto de puntos en el plano? ¿Qué
forma toma este conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones?
3. Determina la ubicación de los puntos tales que para cada punto, la distancia
entre dicho punto y ambas rectas es la misma.
4. Dados tres puntos cualesquiera, determina el lugar geométrico de los puntos
que tienen la misma distancia a cada uno de ellos. Analiza las soluciones en
relación con la posición relativa de los tres puntos dados.
5. Dados una recta y dos puntos, determina el lugar geométrico de los puntos que
están a una distancia q de la recta y que la distancia en relación con los dos
puntos es la misma. Analiza las soluciones en relación con la posición relativa de
la recta y los puntos.
6. Dado un punto R y un plano P, determina el lugar geométrico de los puntos que
están a una misma distancia de R y están a una distancia q del plano P. Discutir
las soluciones.
7. En el espacio, determina los puntos que están a una distancia p de una recta y
están a una misma distancia de un punto dado R. Discutir la existencia de las
soluciones.
ENCUENTRA EL LUGAR GEOMÉTRICO QUE DETERMINA:
1. El perro de Mónica que corre, a una distancia constante , atado a una estaca con una
cadena de 2 m de longitud
2. Un atleta que corre por el centro de una pista recta cruzando la meta.
3. Determine el conjunto de puntos que:
a) Tengan una distancia a de un punto dado P y tengan una distancia m a una recta
L.
b) Equidisten de dos rectas secantes y que estén a una distancia d del punto de
intersección de ambas rectas.
c) Están a una distancia r de una recta dada L y equidistan de dos rectas paralelas L1
y L2
4. Construye el Arco Capaz de:
a) Un ángulo agudo, dada una cuerda de longitud “a”
b)
Un ángulo recto, dada una cuerda de longitud “a”
c) Un ángulo obtuso, dada una cuerda de longitud “a”
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5. Explica cuál de estos aspectos debo considerar para determinar el vértice C de un
triángulo dados AB y el ángulo  y sabiendo que el vértice C debe estar a una distancia
dada “d” del vértice A:
a) Traza el arco capaz de 
b) Trazar una paralela al segmento AB a la distancia “d”
c) Traza una circunferencia de centro en A y radio “d”.
CONSTRUCCIÓN DE TRIANGULOS
1. Construye un triángulo rectángulo dados a y ha.
2. ¿Cuántas soluciones puedes tener al construir un triángulo rectángulo dados los
catetos a y b?.
3. Construye un triángulo dadas las medidas de:
i) a, ta , tc
ii)
a,  , tc
4. Construye un rombo, dadas las medidas de sus diagonales.
5. Construye un cuadrado de 6 cm. de lado.
Visita la página:
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Lugares_geometricos/Lugares_geometric
os.htm
Realiza las actividades propuestas en esta página y anótalas en tu cuaderno.
En esta me salvo!
JeJeJe!
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CONTENIDO 11: TEOREMAS DE EUCLIDES Y DE PITAGORAS
Triángulo rectángulo:
B
Hipotenusa
Ángulo Recto
c
a
C
b
Cateto
A, B, C son los
vértices del
triángulo.
A
a y b son las
medidas de los
catetos.
c es la medida de la
hipotenusa.
Haz una pequeña investigación y encuentra las definiciones de los elementos
secundarios de un triángulo.
Altura:
________________________________________________________________
Bisectriz:
________________________________________________________________
Mediana:
________________________________________________________________
Mediatriz:
________________________________________________________________
Transversal de gravedad:
A continuación te daremos a conocer los grandes aportes que hicieron estos
famosos matemáticos a la geometría, mediante sus teoremas:
EUCLIDES
Euclides, nacido en el siglo 300 AC, fue el
matemático más famoso de todos los tiempos a
pesar del hecho de que poco se sabe de su vida,
pero se sabe que enseñó en Alejandría, Egipto. Los
Elementos de Euclides, un trabajo introductorio a la
geometría elemental y otros tópicos, y otros
trabajos de su género a tal magnitud que ahora se
saben sólo por referencia indirecta. Los Elementos
empiezan con definiciones, postulados, y axiomas,
incluso el famoso quinto, o paralelo, postulado que
una y solo una línea recta puede ser dibujada a
traves de un punto a una línea paralela dada. La
decisión de Euclides de hacer de esta suposición
indemostrable lo llevó a la Geometría Euclideana.
No fue hasta el siglo 19th que se modificó el quinto
postulado para desarrollar la Geometría NoEuclideana.
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PITÁGORAS
Era originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla era
gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse a esta forma de
gobierno, emigró hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una asociación que no tenía
el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa. Por este motivo, puede decirse
que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y
moral. Ellos se reunían para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir
en comunidad.
En la Escuela Pitagórica podía ingresar cualquier persona, ¡hasta mujeres!. En ese entonces, y durante
mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en la escuelas.
Se dice que Pitágoras se casó con una de las alumnas.
El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono
estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas).
Debido a la influencia política que tuvo la Escuela en esa época, influencia que era contraria a las ideas
democráticas existentes, se produjo, tal vez, después del año 500 una revuelta contra ellos, siendo
maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia.
Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta popular en Metaponto.
Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el encadenamiento lógico de
sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros días.
La base de su filosofía fue la ciencia de los números, y es así como llegó a atribuirles propiedades
físicas a las cantidades y magnitudes. Es así como el número cinco era el símbolo de color; la pirámide,
el del fuego; un sólido simbolizaba la tetrada, es decir, los cuatro elementos esenciales: tierra, aire, agua
y fuego.
TEOREMA 1: (Euclides)
En todo triángulo rectángulo se tiene:
1. La altura correspondiente al ángulo recto es media proporcional entre las
proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
2. Cada cateto es media proporcional entre su proyección sobre la hipotenusa y la
hipotenusa completa.
C
De Aquí obtenemos que:
2
h  pq
a
b
a2  p  c
h
b2  q  c
A
B
q
p
H
c
TEOREMA 2: (Pitágoras)
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CONTENIDO 12: RAZONES TRIGONOMETRICAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:
En el deporte del ala delta, el profesor
aconseja al alumno que comience saltando
desde una peña no muy alta; por ejemplo 10
metros. Al llegar a tierra observan que la
distancia horizontal recorrida es de 50 metros.
A medida que el alumno es más experto va
saltando desde peñas más altas.
Supuesto que el comportamiento del ala
delta es siempre el mismo, ¿qué distancia
horizontal recorrerá cuando se lance desde una
altura de 20 metros ?.
En la siguiente tabla expresamos la
altura y la distancia de cada vuelo, completa los
datos que faltan y determina la relación que hay
entre la altura de la roca desde la que se lanza
y la distancia horizontal en términos de una
proporción.
ALTURA
10
20
30
45
DISTANCIA
HORIZONTAL
50 m
100 m
150 m
m
m
m
m
La proporción de planteo
se llama en matemática tangente
del ángulo  y para este ángulo
viene expresada así.
tg  =
altura
distancia horizontal
160 m
1 km
ANGULOS ORIENTADOS Y
SISTEMAS DE MEDICIÓN:
AOB ángulo positivo
AOB ángulo negativo
y
A
y
B
x
O
B
O
A
x
La orientación o sentido de un
ángulo está determinado por la dirección en
que gira uno de sus rayos mientras que el
otro permanece fijo.
Un
ángulo
está
en
posición
estándar si uno de sus lados coincide con
la semirrecta positiva OX de un sistema de
ejes X e Y ortogonales.
Los ángulos pueden tener medidas positivas o negativas e incluso mayores que 360º
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Y
m(AOB) =  + k · 360º
A
0
X
k número de giros completos
B
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Sea ABC, rectángulo en C.
AB
AC y BC
: hipotenusa
y 
: ángulos agudos

: catetos

A
C
DE , FG , HJ son perpendiculares al
cateto AC , o sea los triángulos ADE ,
AFG , AHJ son rectángulos en E, G, J,
respectivamente además tienen el ángulo
agudo  en común.
B
Por lo tanto :
ADE  AFG  AHJ  ABC
(Postulado A.A. de semejanza de
triángulos).
D
Entonces, se cumple que la razón entre las
longitudes de dos lados correspondientes son
iguales . Esto es:
DE
AE

FG

AG
F
H

A
E
G
J
HJ
BC

 K1  Constante
AJ
AC
El valor K1 es llamado tangente del ángulo .
En triángulos rectángulos semejantes y respecto de un mismo ángulo
agudo, la razón entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre
constante.
Respecto al ángulo agudo  de un ABC rectángulo en C se tiene que:
SENO de un ángulo  .
cateto opuesto a 
sen  =
hipotenusa
COSENO de un ángulo 
cos  =
cateto adyacente a 
hipotenusa
Se define como:
cosec  =
hipotenusa
cateto opuesto a 
Se define como:
sec  =
hipotenusa
cateto adyacente a 
C
Área Matemática – Texto San Mateo. 3º Medio
TANGENTE de un ángulo  .
Página 87
Se define como:
cateto opuesto a 
tg  =
cateto adyacente a 
cotg  =
cateto adyacente a 
cateto opuesto a 
Ejemplo:
1. Sea el ABC rectángulo en C , con catetos
AC = 3 cm , BC = 4 cm, e hipotenusa
AB = 5 cm.
Calcula respecto de los ángulos agudos  y  las razones trigonométricas y sus
recíprocas:
sen 
=
sen 
=
cos 
=
cos 
=
tg 
=
tg 
=
cosec  =
B

cosec =

sec 
=
sec 
=
cotg 
=
cotg 
=
2. Dado un ABC rectángulo en C, donde cosec  =
C
A
85
, calcula :
2
sec  =
tg  =
sen  =
cos  =
ctg  =
cosec  =
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
30, 45 y 60 grados
Consideremos la circunferencia de radio
unitario (1u), llamada giniométrica y que tiene
su centro ubicado en el orígen O(0,0) de un
sistema de ejes coordenados perpendiculares.
Consideremos un ángulo de 30º, al
prolongar el cateto BD más allá de D hasta
intersectar a la circunferencia , obtenemos un
AOB equilátero de lado unitario.
De esta forma AOD rectángulo en D.
m(AOD) = 30º
m(DAO) = 60º
AD 
1
2
AO = 1
OD 
3
2
NOTABLES de
y
B
r=1u
O
30º
30º
D
1u
A
Área Matemática – Texto San Mateo. 3º Medio
Página 88
TABLA DEDUCIBLE DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
1
2
sen 30º 
3
2
sen 60º 
3
2
cos 30º 
cos 60º 
RAZONES
DE
UN
1
2
3
3
tg 60º 
3
TRIGONOMÉTRICAS
ÁNGULO
DE
45
Consideremos un ángulo de
45º
en
la
circunferencia
goniométrica.
y
Prolongando el cateto DB
más allá de D hasta intersectar a la
circunferencia en A , obtenemos un
triángulo isósceles cuyos lados
congruentes
son
de
medida
unitaria.
Entonces:
A0  1 ; OB  1 ; AB 
tg 30º 
x
B
1
45º
O
45º
2
D
x
1
A
Haz el ejercicio de deducir las identidades siguientes:
sen 45º 
cos 45º 
tg 45º 
En el siguiente cuadro haz un resumen de las razones trigonométricas básicas de
los ángulos notables considerados.
0º
MEDIDA
30º
ANGULAR
45º

60º
90º
SENO
COSENO
TANGENTE
B
Ejemplos:
1. Calcula la medida del cateto AC
del ABC rectángulo en C , si
AB  12 cm y m(CAB) = 30º
C
2.
A
F
Calcula la medida del ángulo
agudo  del DEF rectángulo en F si
DE 
50 cm y DF  5 cm
D

E
Área Matemática – Texto San Mateo. 3º Medio
RESOLUCIÓN
DE
Página 89
TRIÁNGULOS
1. RELACIONES ENTRE LOS LADOS . Teorema de Pitágoras
C2 = a2 + b2
a y b catetos
c hipotenusa
2. RELACIONES ENTRE LOS ÁNGULOS.
a + b + c = 180º
3. RELACIONES ENTRE LADOS Y ÁNGULOS .
Relaciones trigonométricas. sen  = cos  ,
cos  = sen  ,
tg  = ctg  ,  ,  son complementarios
EJERCICIOS
1. Calcula el radio y la apotema de un octógono de lado 10 cm.
O
A H
B
OH : apotema
2. Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 cm. Calcula la altura
correspondiente a la hipotenusa.
A
4
3
h

5
C
B
3. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6 cm tiene
como arco correspondiente uno de 70ª
H
A
B
35º 35º
O
25º
4. La base de un triángulo isósceles mide 10m y el ángulo opuesto 50º. Hallar el
A
área.
B
5
H
C
Área Matemática – Texto San Mateo. 3º Medio
Página 90
5. Una moneda de $50 mide 2,5 cm de diámetro. Hallar el ángulo que forman las
tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6cm del centro.
B
A
O
C
ÁNGULOS
DE ELEVACIÓN
Y DE DEPRESIÓN
Son aquellos formados por la horizontal considerada a nivel del ojo del observador
y la línea de mira, según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última.
Horizontal
Observador
Ángulo de
depresión
Línea de mira
Ángulo de
elevación
Observador
Horizontal
EJERCICIOS
1.
Calcula el largo de la sombra que
150
m
proyecta un edificio de 150 m. De
alto cuando el Sol se encuentra a
30º por encima del horizonte.
30º
3. En una cierta época del año, el
planeta Mercurio, la Tierra y el sol
se ubican formando un triángulo
rectángulo . Desde la tierra se
observa el STM = 21,16º y se
conoce la distancia de la Tierra al
Sol: 150 millones de kilómetros, v
con esta información determina la
distancia entre la Tierra y Mercurio.
T
24º
580
m
2. Desde la torre de un fuerte costero,
cuya altura es de 580m sobre el
nivel del mar , se divisa un barco
con un ángulo de depresión de 24º .
¿A qué distancia del punto D de la
base de la torre está el barco?.
D
S
M
Área Matemática – Texto San Mateo. 3º Medio
Página 91
altura
4. Jorge y Alex van a escalar una
montaña de la que desconocen la
altura . A la Salida del Pueblo ,
Jorge mide el ángulo de elevación
y mide 30º. Avanzan 100 metros
hacia la base de la montaña y
vuelve a medir el ángulo de
elevación siendo ahora 45º.
¿Cuál es la altura de la
montaña?.
30º
45º
100
m
A
B
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
NO RECTÁNGULOS
TEOREMA DE LOS SENOS:
Este teorema sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos
opuestos.
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos:
a
sen 

b
sen 

c
sen 
Esto nos permite:
Ejemplo : Un lado de un triángulo mide a y su ángulo opuesto vale 30º. Determina el
Hallar:
C
 Un ángulo,
opuesto, otro
opuesto.
conocidos
su lado
lado y su ángulo

b
a
hc
 Un lado, conocidos su ángulo opuesto
otro lado y su ángulo opuesto.


A
c
H
B
 El radio de la circunferencia
circunscrita al triángulo, conocidos
un lado y su ángulo opuesto.
valor de a sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo es 3.
Aplicando el teorema de los senos:
a
sen α
a
sen 30º α
B
A
 2r

a
A’

C
2r
2r
a  2r sen 30º
a  2·3 ·
a  3
1
2
a
sen 
 2r
Área Matemática – Texto San Mateo. 3º Medio
Página 92
TEOREMA DE LOS COSENOS:
En este teorema vemos una relación parecida al teorema de Pitágoras aplicable a
los triángulos rectángulos.
El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo
comprendido:
a2
=
b2
+
c2
-
2bc · cos 
b2
=
a2
+
c2
-
2ac · cos 
c2
=
a2
+
b2
-
2ab · cos 
Esto nos permite:
Ejemplo:
Hallar:
B
 Un ángulo, conocidos los tres lados.

a
 Un lado, conocidos los otros dos lados
y un ángulo .
c

C

b
A
D
En un triángulo se conocen los lados b = 3cm y c = 4 cm y el ángulo comprendido
= 60º . Hallar el lado a.

Aplicando el teorema del coseno:
a2 = b2 + c2 - 2bc · cos 
a2 =
9 + 16 - 24 · cos 60º
a2 = 13
a
=
13
EJERCICIOS
Dibuja un  ABC , rectángulo en C
respectivamente y determina :
cuyos catetos miden 7cm y 7
3 cm
1. AB =
2. sen  =
cos  =
tg  =
3. sen  =
cos  =
tg  =
4. m ( ) =
m () =
5. Considera un  ABC , rectángulo en C.
3
, determina : sen  =
4
1
b) Si sen  =
, calcula:
cos  =
2
a)
Si tg  =
cos  =
, tg  =
6. Un segmento de 15 cm de longitud forma un ángulo de 20º con respecto a un plano.
¿Cuánto mide la proyección del segmento en el plano?.
7. ¿Cuántos grados miden, aproximadamente los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo , si las longitudes de sus catetos son 7 y 24 cm ?.
8. Determina las dimensiones de un rectángulo si la longitud de su diagonal mide 8cm y
forma con la base un ángulo de 30º.
Área Matemática – Texto San Mateo. 3º Medio
Página 93
9. Desde un punto situado a 15 cm del centro de una circunferencia , de radio 9 cm, se
trazan las tangentes a dicha circunferencia .¿Cuál es el ángulo formado por las
tangentes?.
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA
1. Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una
sombra de 82 cm. de longitud en el suelo.
2. Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53
grados para el ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo.
¿Aproximadamente qué tan lejos está el objeto del punto en el suelo que está directamente
bajo el observador?
3. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la
horizontal. Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el
extremo de la cuerda se sostiene a 1,3 m. del suelo.
4. Un avión vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en
tierra. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la
velocidad aproximada del avión.
5. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de
la misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.
6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del
suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte
inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.
7. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un
punto R de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40
grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros,
determine el ancho del río.
8. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20
cm. sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo que
forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál
es la altura del cuadro?
9. Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie
de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma
con la pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera?
10. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m. y 12 m. respectivamente.
El primer poste es 7,5 m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo de elevación del sol y la
longitud de cada poste.
11. Un árbol de 12 m. de altura queda a un lado de un arroyo. El ángulo de elevación del árbol,
desde un punto situado a 180 m. es de 3 grados. Determine si el arroyo queda por encima o
por debajo del nivel del señalado punto y calcule la diferencia de nivel.
12. ¿Cuál es la altura de una colina, si su ángulo de elevación, tomado desde su base, es 46
grados, y tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados.?
13. Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5 m. Desde un punto situado en la playa
se observa que los ángulos de elevación a la parte superior y a la parte inferior del faro son 47
grados y 45 grados. Calcule la altura del arrecife.
14. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes
quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27
grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?,
¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?
15. Desde lo alto de una torre de 200 m. sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión de
dos botes son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que separa a
Área Matemática – Texto San Mateo. 3º Medio
Página 94
dichos botes.
16. Un topógrafo situado en C, localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si C
está a 5.000 m. de A y a 7.500 m. de B y el ángulo ACB mide 35 grados. ¿Cuál es el ancho del
lago?
17. Dos guardabosques descubren la misma fogata clandestina en dirección N 52º O y N 55º
E, de sus posiciones respectivas. El segundo guardabosque estaba a 1,93 km. al Oeste del
primero. Si el guardabosque más cercano al fuego es el que debe acudir. ¿Cuál de ellos tiene
que ir y cuánto tendrá que caminar?
18. Un terreno tiene la forma de un triángulo isósceles. La base está frente a un camino y tiene
una longitud de 562 m. Calcule la longitud de los lados si estos forman un ángulo de 23 grados.
19. Un barco sale de un puerto y viaja hacia el Oeste. En cierto punto gira 30 grados Norte
respecto del Oeste y viaja 42 km. adicionales hasta un punto que dista 63 km. del puerto. ¿Qué
distancia hay del puerto al punto donde giró el barco?
20. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de
elevación de 15 grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un
ángulo de depresión de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al
avión bajo un ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el observador se
encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil ,
también calcule la altura a la que vuela el avión en ese instante.
21. Un terreno triangular está demarcado por una pared de piedra de 134 m., un frente de 205
m. hacia la carretera y una cerca de 147 m. ¿Qué ángulo forma la cerca con la carretera?
22. Una escalera de mano, cuyo pie está en la calle, forma un ángulo de 30 grados con el
suelo, cuando su extremo superior se apoya en un edificio situado en uno de los lados de la
calle, y forma un ángulo de 40 grados cuando se apoya en un edificio situado en el otro lado de
la calle. Si la longitud de la escalera es de 50 m., ¿cuál es el ancho de calle?
23. Un árbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con la tierra
un triángulo rectángulo. La parte superior forma un ángulo de 35 grados con el piso, y la
distancia, medida sobre el piso, desde el tronco hasta la cúspide caída es de 5 m.. halle la
altura que tenía el árbol.
24. Un observador detecta un objeto volador no identificado situado estáticamente en un punto
del espacio. El observador, por medio de un telémetro y un sextante, determina que el OVNI se
encuentra a 4460 m. en un ángulo de elevación de 30 grados. De pronto el OVNI descendió
verticalmente hasta posarse en la superficie terrestre. Determine a qué distancia del punto de
observación descendió este objeto y qué distancia debió descender hasta tocar tierra.
25. El ángulo de una de las esquinas de un terreno en forma triangular, mide 73 grados. Si los
lados, entre los cuales se encuentra dicho ángulo, tiene una longitud de 175 pies y 150 pies,
determine la longitud del tercer de los lados.