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SEGUNDO AÑO MEDIO
SECTOR DE APRENDIZAJE : MATEMÁTICA
UNIDAD Nº 1
NOCIONES DE
PROBABILIDADES
PROYECTO RED DE MATEMÁTICA
2006
PERFECCIONAMIENTO DOCENTE
-2–
Red de Matemáticas
PROBABILIDAD
Introducción:
El origen del cálculo de probabilidades está relacionado con la práctica de
los juegos de azar.
La teoría de la probabilidad surge ante un problema de juego que el
caballero De Meré plantea a Pascal. El problema consistía en “Como repartir el
dinero apostado en un juego de azar que se interrumpe antes de terminarlo”.
Se trata de medir las posibilidades de éxito de cada jugador o lo que cada
jugador puede esperar del azar en partidas futuras.
Actividad: “Cara o Sello al azar”.
Únete con tu compañero y “apuesten” a “cara” o “sello”,
lanzando una moneda 100 veces. ¿Cuantas caras obtuvieron?.
¿Cuantos sellos?... Pues bien, el número de veces que resultó
“cara” o “sello” se denomina frecuencia absoluta del
suceso “cara” o “sello”.
Ahora, la fracción obtenida al dividir la frecuencia
absoluta por 100, origina lo que llamamos frecuencia
relativa del suceso “cara” o “sello” en el experimento “Lanzar una moneda
100 veces”.
Ley de los grandes números
La frecuencia relativa del número de caras se aproxima a 0,5 (50%)
cuando el número de lanzamientos efectuados es cada vez mas grande.
Anteriormente, mencionamos algunos conceptos necesario aclarar:
En el pronóstico del tiempo o en algunos estudios económicos y científicos,
no podemos saber previamente si nuestras predicciones se cumplirán. Del
mismo modo al lanzar una moneda al aire, al sacar una carta de una baraja o
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Red de Matemáticas
al lanzar un dado, es imposible saber previamente que número o figura
obtendremos. A estos estudios o experimentos los llamamos experimentos
aleatorios.
Un experimento
aleatorio es aquel que
depende del azar y no
se puede predecir su
resultado
Paralelamente existen otros experimentos que son casi exclusivos de los
investigadores o científicos, en los que por ejemplo, se estudia durante largo
tiempo una ley física o química determinada. Una vez logrado el objetivo del
estudio se puede predecir el resultado de un nuevo experimento sin
necesidad de realizarlo.
Este tipo de experimentos se llaman experimentos deterministas y
funcionales.
Un experimento determinista es aquel que se
rige por una ley establecida “a priori” y su
resultado no depende del azar.
Si lanzamos un dado común, sabemos que los resultados posibles son: 1,
2, 3, 4, 5 ó 6.
El conjunto formado por todos los resultados posibles
se
llama espacio muestral y lo escribimos así:
E = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Si del espacio muestral destacamos algunos subconjuntos
como los siguientes:
-4–
Red de Matemáticas
Salir número impar = (1, 3, 5)
Salir número par = (2, 4, 6)
Salir Número par menor que 4 = (2), a cada uno de estos ejemplos son
un suceso.
El conjunto formado por todos los resultados
posibles de un experimento aleatorio se llama
espacio muestral.
Los subconjuntos del espacio muestral se
llaman sucesos
El suceso “salir 0” al lanzar un dado común, es un suceso imposible.
El suceso “salir un número natural menor que 7”, es un suceso seguro.
Suceso imposible es el que nunca se verifica
Suceso seguro es el que siempre se verifica.
El Suceso “salir par” y el suceso “salir impar” son sucesos incompatibles.
El suceso “salir 2” y “salir par menor que 3” son sucesos compatibles.
Dos sucesos son incompatibles
si no se pueden verificar a la vez.
Dos sucesos son compatibles se
si pueden verificar a la vez.
Al número de posibilidades que tiene un suceso de
verificarse, se le llama número de casos
favorables al experimento.
El total de resultados que se podrían obtener; es el
número casos posibles
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Red de Matemáticas
Regla de Laplace
En 1812 Pierre Simón Laplace definió por primera vez la probabilidad de
que un suceso ocurra:
“Si todos los resultados de un experimento son equiprobables, se tiene
que la probabilidad de un suceso ocurra es el cociente entre el número de
casos favorables al suceso y el número total de casos posibles”.
Número de casos probables
Probabilidad de un suceso = ------------------------------Número total de casos posibles
La probabilidad de un suceso cualquiera es un número comprendido
entre cero y uno.
0 < P(suceso cualquiera) < 1
1.-
La probabilidad del suceso imposible es cero.
P(suceso imposible) = 0
2.-
La probabilidad del suceso seguro es uno.
P(suceso seguro) = 1
3.-
La probabilidad de un suceso contrario a un suceso dado es igual a
unidad menos la probabilidad del suceso dado.
P(Suceso contrario al suceso S) = 1 – P (S)
la
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Red de Matemáticas
Las probabilidades de dos sucesos contrarios suman uno.
4.-
P (S) + P(suceso contrario al suceso S) = 1
Actividades
1. De los siguientes experimentos, di cuales son
aleatorios y cuales deterministas: Explicar porqué
se considera así
a) Extraer una bola de una bolsa con bolas de
distintos colores.
b) Medir el perímetro de un triángulo equilátero de lado 6 centímetros.
c) Abrir un libro en una página cualquiera y anotar el número de la página.
d) Calcular el área de una circunferencia de radio 8 centímetros.
e) Pronosticar el tiempo
f) Sacar rojo en el juego de la ruleta
g) Chutear una pelota al aire y que retorne al suelo
h) Apretar el interruptor y que se encienda
la luz
i) Tener un accidente en un vehículo que
se desplaza a más de 120 km/hr.
2. En un concurso de baile, a cada pareja
se le asigna un número del 1 al 100.
a) Forma el espacio muestral.
b)
Anota
el
suceso:
“se
les
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un número que empiece por 7”.
entregue
c) Anota el suceso: “se les entregue un número mayor que 100”.
d) Anota el suceso: “se les entregue un número múltiplo de 9”.
e) Anota el suceso: “se les entregue un número
divisor de 60”.
3. Lanzamos una vez un dado común.
a) Forma el espacio muestral.
b) Anota el suceso: “nos resulte un número
menor
que 7”.
c) Anota el suceso: “que salga un número primo”.
d) Anota el suceso: “que salga un número par y primo”.
e) Anota el suceso: “que salga un número mayor que 3”.
f) Anota el suceso: “que salga un número mayor que cero y menor que
7”.
g) De todos los sucesos anotados, ¿Cuáles son compatibles de dos
dos y cuales son incompatibles de dos en dos?.
4. Se tienen dos bolsas. En la primera hay 7 bolas
verdes y 5 bolas amarillas, en la segunda hay 13
verdes y 9 amarillas.
a) ¿En cuál de las dos bolsas es más fácil
obtener
una
extracción?
bola
amarilla,
en
una
sola
en
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Red de Matemáticas
b) En dos extracciones, una de cada bolsa, ¿Cuál es la probabilidad de obtener
dos bolas amarillas?
c) En dos extracciones, sacando primero de la primera bolsa y
después de la
segunda bolsa, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una amarilla y una verde
sucesivamente?
5. En una bolsa tenemos 5 bolas rojas, 4 verdes y 3 azules.
a) ¿Qué es más probable que salga “verde o azul”?.
Justifica.
b) ¿Qué es menos probable que salga “roja o verde”?.
Justifica.
c) Calcula la probabilidad de sacar; rojo, verde, azul.
d) Suma las probabilidades.
e) ¿Cuál es la probabilidad que salga
6.
“roja”?.
En el experimento de lanzar dos dados, se
considera el suceso suma de los dos. Escribe
todos
los
resultados
posibles
y
calcula
probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Obtener suma 5.
b) Obtener suma 10.
c) Obtener suma 12.
d) Obtener suma nº divisor de 6.
e) Obtener suma nº primo.
f) Obtener suma n º capicúa
la
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Red de Matemáticas
7. Al sacar una carta de una baraja inglesa (52 cartas), cual
es la probabilidad que sea:
a) Diamante.
b) Un 8.
c) Una pinta negra.
d) Una figura (J, Q o K).
e) Menor que 4.
f) Quina roja.
g) Figura roja.
8. Un mecánico lleva en su maletín llaves de medidas 8 a 16 mm inclusive.
Necesita soltar una tuerca de 10 mm para una reparación de emergencia, a
oscuras en la noche. Si elige a tientas una de sus llaves al azar ¿Cuál es la
probabilidad de que sea de la medida exacta de la tuerca? ¿De que sea
demasiado pequeña? ¿De que sea demasiado grande?
8) Al jugar 100 veces con una ruleta se ha registrado la siguiente tabla de
resultados.
COLOR
N º VECES
Negro
48
Rojo
39
Verde
13
¿Con cual ruleta se hizo el juego Explique?
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Red de Matemáticas
9.- Las preguntas que se plantean a continuación se refieren a las tres cajas siguientes que tienen
fichas amarillas y verdes. En cada caso, explique las razones de sus respuestas.
a) Calcular la probabilidad de sacar una ficha de cada caja.
b) ¿De cual caja es más probable sacar una ficha amarilla?
c) ¿Cuántas fichas amarillas es necesario agregar en la segunda caja, para
que la probabilidad de sacar una ficha verde sea igual en la primera y en
la segunda caja?
d) ¿Cuántas fichas verdes es necesario agregar en la tercera caja para que
la probabilidad de sacar una ficha verde sea igual en la primera y tercera
cajas?
e) Si se agrega una ficha amarilla en la primera caja, ¿Cuántas fichas
amarillas es necesario agregar en las otras dos cajas para que sacar una
ficha verde en cada una de ellas tenga la misma probabilidad?
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Red de Matemáticas
Dilema histórico
D`Alembert y sus dos monedas:
D`Alembert era un enciclopedista francés del siglo XVIII que propuso el
siguiente problema a sus contemporáneos:
¿Cuál es la probabilidad que al lanzar dos monedas idénticas muestren lados
distintos?
Y respondió: Es 1/3 porque hay tres resultados posibles: doble cara, doble
sello y lados distintos.
Algunos de sus contemporáneos arguyeron que la probabilidad de obtener
lados distintos era 2/4 y no 1/3, porque el evento lados distintos corresponde
a los dos resultados cara-sello o sello-cara.
En efecto, la solución del problema es que, si bien el experimento puede ser tal
que solo hay tres resultados discernibles (como decía D´Alembert), estos tres
resultados no son igualmente posibles.
Así es, el resultado en que vemos una cara y un sello tiende a ocurrir con el
doble de la frecuencia que el resultado cara-cara o sello–sello.
Así los resultados posibles son:
CC, CS, SC, SS
Y esto sí que son igualmente posibles, cada uno con probabilidad ¼. Esto se
puede visualizar en el Árbol de la figura siguiente:
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Red de Matemáticas
1
C
CC
¼
½
CS
¼
½
S
SC
SS
¼
¼
Probabilidad (lados distintos)= 2/4 =1/2
DIAGRAMA DE ARBOL Y TRIANGULO DE PASCAL
La figura anterior se llama diagrama de árbol y se utiliza para representar
gráficamente problemas de interación de experimentos aleatorios sencillos.
El diagrama que representa entonces el lanzamiento de una moneda 3 veces
es el siguiente y las posibilidades de obtención de resultados también.
C
C
S
S
C
C
S
CCC
CCS
CSC
CSS
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Red de Matemáticas
S
S
C
C
S
S
S
S
S
S
S
C
C
S
C
S
C
S
C
Casos posibles = 8
Así;
P (2 caras y un sello) = 3 = 0,375 => 37,5%
8
La probabilidad de obtener 2 caras y un sello es la misma que la de obtener 2
sellos y 1 cara.
Los casos posibles y la probabilidad en los problemas sobre lanzamientos de
monedas o dados, se pueden determinar por medio de los coeficientes del
desarrollo del binomio (a + b)ⁿ empleando el conocido Triangulo de Pascal.
Recordemos que:
(a + b)1 = 1 a + 1 b
(a + b)2 = 1 a2 + 2 a b + b2
(a + b)3 = 1 a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + 1 b3
- 14 –
Red de Matemáticas
Con el triangulo de Pascal podemos encontrar directamente los coeficientes del
desarrollo de todas las potencias del binomio (a + b)ⁿ cuando el valor de ⁿ
varia desde ⁿ que será numero de lanzamiento de una moneda o nº de
monedas lanzadas.
1
N
N
N
N
N
N
N
=
=
=
=
=
=
=
1
2
3
4
1
5
1
6 1
6
71
7
1
1
1
5
4
10
3
15 20
21 35
2
6
10
15
35
1
3
1
1
4
5
21
1
6
1
1
7
1
= 21
= 22
= 23
= 24
= 25
= 26
= 27
La suma de los coeficientes correspondientes a una de las
líneas horizontales <<n>> indicara el numero de casos
posibles al lanzar n monedas en un lanzamiento.
Por medio de los coeficientes del triangulo de Pascal es fácil obtener la
probabilidad de los problemas de las monedas, dados y otros similares.
Por ejemplo si se lanza 4 monedas al mismo tiempo.
Los coeficientes frente a n = 4 son:
14641
Entonces los casos posibles son:
1 + 4 + 6 + 4 +1 = 16 = 2
4
El numero 1 indica el numero de casos favorables para que todas las monedas
sean caras o todos sean sello. La probabilidad de que todas sean cara o todas
sean sello es;
P = 1 = 0,0625 = 6,25%
16
El numero 4 indica el numero de casos favorables para que 3 monedas sean
caras y una sello o bien sean 3 sellos y una cara. La probabilidad en este caso
es:
- 15 –
Red de Matemáticas
P = 4 = 1 = 0,25 = 25%
16 4
El numero 6 indica los casos favorables para que el numero de caras sea igual
al numero de sellos. En este ejemplo la probabilidad es;
P = 6 = 3 = 0,375 = 37,5%
16 8
Si un matrimonio planifica su familia y acuerdan tener siete hijos. Se pide
calcular:
a) La probabilidad de que tengan solo hombres o solo mujeres.
b) La probabilidad de que sean tres de un sexo y 4 del otro.
c) La probabilidad de que sean 2 hombres y 5 mujeres.
En el triangulo de Pascal para n = 7 se obtienen 128 casos posibles.
P (todos hombres o todas mujeres)
1 = 0,78%
128
P (4 hombres y 3 mujeres)
35 = 27,3%
128
P (2 hombres y 5 mujeres)
21 = 16,4%
128
Analizar el siguiente ejemplo.
El juego de Paula: Paula gana si saca el seis en no mas de cuatro lanzamientos
del dado.
¿Cuál es la probabilidad de éxito de Paula?
Gráficamente la situación seria la siguiente, considerando que si obtiene seis
necesita seguir jugando.
- 16 –
Red de Matemáticas
1
6
6
No 6
1.5
6 6
6
1 . (5)
6 (6)
5
6
No 6
5.5
6 6
6
1 . (5)3
6 (6)
No 6
6
(5)
(6)
3
No 6
Fracasar es (5)4 por lo tanto la probabilidad que Paula gane es:
(6)
P (Ganar) = 1 – (5)4 = 0,52 que es levemente favorable
Actividades
1.- ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas no caigan todas
mostrando la misma cara?
2.- Se lanza un dado usual, y en seguida un “dado”
Con forma de tetraedro regular, o pirámide de base
Triangular (Con sus cuatro caras triangulares
numeradas de 1 a 4). Cual es la probabilidad de obtener:
a) un par de 2;
B) dos valores
C) valores distintos?
(5)4
(6)
- 17 –
Red de Matemáticas
3.- Una urna contiene cinco bolitas, de las cuales una es azul y las demás
rojas, Andrea apuesta que saca la azul en una muestra de 2 bolitas. Beatriz
apuesta que saca la azul en una muestra de 3 bolitas ¿Qué probabilidad de
ganar tiene cada una?
4.- ¿Cómo diseñaría el diagrama para el calculo de la probabilidad de obtener
tres sellos y una cara cuando se lanzan de una vez cuatro monedas?
5.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras y un sello al lanzar cuatro
veces una misma moneda? Utilice diagrama anterior.
6.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y dos sellos al lanzar
simultáneamente cuatro monedas? Utilice diagrama anterior.
7.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras y tres sellos al lanzar
simultáneamente seis monedas?
8.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos cuatro caras al lanzar seis
monedas?
9.- ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un número menor que 5 al
lanzar dos dados comunes sobre una mesa? ¿Cómo diseñaría el diagrama
árbol?
10.- A un grupo de personas se les da la posibilidad de elegir ropa deportiva.
En los pantalones hay: azul, gris y negro; y en las poleras celeste, blanca, roja
y gris. Si todas las prendas están en una caja ¿Cuál es la probabilidad que
cada persona saque la combinación Celeste, azul. Realice el diagrama y
responda.
11.- ¿A partir de cuántos lanzamientos de dos dados conviene apostar el doble
6? (R: partir de 25 lanzamientos).
12.- Utilice diagrama anterior y lea las siguientes probabilidades
a) Obtener doble 6 al cuarto lanzamiento
b) Lanzar 2 veces sin obtener doble seis
c) Lanzar 5 veces sin obtener doble seis
13.- A partir de cuantos lanzamientos conviene apostar triple cara al lanzar
reiteradamente 3 monedas.
- 18 –
Red de Matemáticas
14.- Se lanza dos dados. Andrés apuesta que la suma de puntos será 6, 7 u 8
y Macarena que será menor que 6 o bien mayor que 8 ¿Quién tiene mas
posibilidades de ganar? !Calcula las respectivas probabilidades de éxito!
15.- ¿A partir de cuantos lanzamientos te conviene apostar que sacar un
numero mayor que 3 con un dado?. Justifique.
16.- ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 5 monedas al azar obtengas:
a) ¿Cinco caras?
b) ¿Dos caras?
c) ¿Un sello?
d) ¿Tres caras?
e) ¿Cero sellos?
f) ¿Por lo menos una cara?
g) ¿Por lo menos un sello?
17.- Te ofrecen participar en el siguiente sorteo de pasajes: comienzas
sacando azar una bolita de una urna que contiene dos bolitas rojas y tres
blancas. Si sale una bolita roja puedes sacar al azar un pasaje de otra urna,
que contiene 2 paisajes ida y vuelta a Buenos Aires, 3 a Rió de Janeiro y 1 a
Puerto Montt. Si obtienes una bolita blanca, puedes sacar un pasaje de una
tercera urna, que contiene 3 pasajes a la Serena, 4 a Concepción y 1 a Buenos
Aires. Si participas en el sorteo, calcula tu probabilidad de viajar.
a)
b)
c)
d)
e)
a la Serena
a Concepción
a Buenos Aires
Dentro del país
Fuera del país
18.- Rayén recibe de San Pedro un llavero con 7 llaves de las cuales solo una
abre la puerta del Paraíso. Como no sabe cual es, comienza a probar las llaves
de su llavero, pero teniendo cuidado de no repetir ninguna ¿Cuál es la
probabilidad que logre entrar al Paraíso al primer intento? ¿Al segundo? ¿Al
tercero? ¿Al cuarto? ¿Al quinto? ¿Al sexto? ¿Al séptimo?
19.- Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que
contiene 3 fichas rojas y 4 fichas blancas con reposición, ambas sean fichas
rojas.
20.- Calcular la probabilidad de obtener 2 reyes de un naipe de 52 cartas, sin
devolver la primera carta del naipe.