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Apuntes de Geometría 1.
Ce.R.P. del Este
GEOMETRÍA PLANA - FICHA Nº2
4. MÁS SOBRE ÁNGULOS
4.1.Ángulos determinados por rectas secantes
Dos rectas secantes determinan cuatro ángulos:
Dos ángulos son opuestos por el vértice si sus lados son semirrectas opuestas.
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Dos ángulos con un lado en común se llaman adyacentes.
Dos ángulos adyacentes suman un ángulo llano.
Caso particular: si los ángulos adyacentes que forman dos rectas son iguales, se dice
que las rectas son perpendiculares.
Observar que si dos rectas son perpendiculares entonces los cuatro ángulos que
determinan son iguales.
Si dos rectas son perpendiculares se dice que el ángulo que determinan es recto
Definiciones:
 Se llama ángulo completo a la suma de los cuatro ángulos que determinan dos
rectas secantes.
 Se llama ángulo cóncavo a la suma de tres de dichos ángulos.
Observaciones:
El ángulo completo mide 360º.
Todo ángulo cóncavo es mayor que un llano y menor que un ángulo completo.
Todo ángulo recto mide 90º.
4.2.Ángulos determinados por una recta secante a dos paralelas
Las rectas a y b son paralelas y r es una recta que las corta a ambas. Se determinan 8
ángulos convexos.
Ángulos alternos internos: dos ángulos son alternos internos si están entre a y b, y
de distinto lado de la recta r.
yyson dos pares de ángulos alternos internos.
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Ángulos correspondientes: dos ángulos son correspondientes si están del mismo
lado de r, uno entre las dos paralelas y el otro no y no son adyacentes.
yyson dos pares de ángulos correspondientes.
Propiedades:
 Si dos rectas forman ángulos alternos internos iguales con otra, entonces son
paralelas.
 Si dos rectas forman ángulos correspondientes iguales con otra, entonces son
paralelas.
 Dos rectas perpendiculares a otra son paralelas entre sí.
 Por un punto pasa una y sólo una recta perpendicular a una recta dada.
4.3 Proyección ortogonal:
Sea r una recta, P un punto del plano, y p la recta perpendicular a r que pasa por
P. Se llama proyección ortogonal del punto sobre la recta, a la proyección de P
sobre r según la dirección de p.
Notación: proyr(P).
Observaciones: La proyección ortogonal es una función con dominio en el plano
y codominio en la recta r; es sobreyectiva pero no inyectiva.
Distancia de un punto a una recta:
Sea P un punto del plano, r una recta y P’ la proyección ortogonal e P sobre r. Se
llama distancia de P a r a la distancia entre P y P’.
Notación: d(P,r)
Observación: más adelante se justificará que para todo punto X de la recta r, se
cumple que d(P,X) ≥ d(P,P’).
5. TRIÁNGULOS
5.1.Definición:
Dados tres puntos no alineados A, B y C, se llama triángulo ABC a la
intersección de los siguientes ángulos convexos: ABC, BCA y CAB.
Elementos del triángulo: vértice se llama a cada uno de los puntos A, B y C.
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Ángulo se le llama a cada uno de los tres ángulos que lo determinan.
Lado se le llama a cada uno de los segmentos AB, BC y AC.
Notación: T(ABC) indica el triángulo cuyos vértices son A, B y C.
5.2.Propiedades:
1. En todo triángulo la suma de los ángulos interiores es un ángulo llano.
2. En todo triángulo cada ángulo externo es igual a la suma de los dos no
adyacentes.
5.3.Criterios de Igualdad de triángulos:
Definición: Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales sus tres lados y
sus tres ángulos.
Los siguientes son criterios suficientes que permiten deducir si dos triángulos
son iguales con sólo conocer la igualdad entre algunos de sus elementos.
Primer Criterio: Si dos triángulos T(ABC) y T(A'B'C') tienen iguales dos lados y el
ángulo comprendido entre estos, entonces son iguales.
Hipótesis: d(A,B) = d( A',B'), d( A,C) = d( A',C'), áng ( BAC ) = áng ( B ' A ' C ')
Tesis: T(ABC) = T(A'B'C')
Segundo Criterio: Si dos triángulos T(ABC) y T(A'B'C') tienen respectivamente
igulales dos ángulos y el lado adyacente a ambos, entonces los triángulos son iguales.
Hipótesis: áng ( BAC ) = áng ( B ' A ' C ') , áng ( ABC ) = áng ( A ' B ' C ') y d(A,B) =
d(A',B')
Tesis: T/ABC) = T(A'B'C')
Tercer Criterio: Si dos triángulos T(ABC) y T(A'B'C') tienen iguales los tres lados,
entonces son iguales.
Hipótesis: d(A,B) = d( A',B'), d( A,C) = d( A',C'), d(B,C) = d( B',C')
Tesis: T(ABC) = T(A'B'C')
5.4.Clasificación de triángulos:
Por sus lados: equilátero (tres lados iguales), isósceles (dos ángulos iguales),
escaleno (tres lados distintos).
Por sus ángulos: acutángulo (tres ángulos agudos), rectángulo (un ángulo recto),
obtusángulo (un ángulo obtuso).
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A continuación se presentan una serie de propiedades cuya demostración queda a cargo
del estudiante.
5.5.Propiedades:
1. En todo triangulo a lado mayor se opone ángulo mayor.
2. En todo triángulo la suma de las medidas de dos de sus lados es mayor que la
medida del tercer lado.
3. En todo triángulo la diferencia entre la medida de dos lados es menor que la
medida del tercer lado.
5.6.Aplicaciones:
1. En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales, los ángulos opuestos
son iguales y dos ángulos no opuestos son suplementarios. (Definir aquí
ángulos suplementarios)
2. En todo paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio.
3. Si por el punto medio del lado de un triángulo se traza la recta paralela a uno
de los lados del triángulo, dicha recta corta al tercer lado en su punto medio.
6. POLÍGONOS
6.1 Definición:
Dados n puntos A1, A2, A3,…., An, no alineados tres a tres, y tales que se
cumpla que cada una de las rectas AiAi+1, para todo i, 1  i  n-1, y la recta
A1An, dejen a los restantes puntos en un mismo semiplano, se llama polígono
convexo de n lados, a la intersección de todos estos semiplanos.
Los puntos se llaman vértices; los segmentos determinados por dos puntos
consecutivos, se llaman lados, (A1 se considera el consecutivo del An).
Actividad: a) Hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo en
función del número de lados.
b) Probar que la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo no
convexo no depende del valor de n.
En ambos casos se sugiere trabajar con un cuadrilátero, luego con un
pentágono y luego generalizar.
FINAL DE LA FICHA Nº2
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