Download Punto - Mario Venegas

Geometría analítica es la rama de las matemáticas que usa el álgebra para describir y
analizar figuras geométricas un sistema de coordenadas y empleando métodos del análisis
matemático.
Matemáticas (en castellano se usa comúnmente en plural para referirse al estudio y ciencia),
del griego μάθημα, máthema: ciencia, conocimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, mathematikós:
amante del conocimiento Las matemáticas abarcan tres ámbitos:
1. Aritmética.
2. Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas.
3. Ánálisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra,
la geometría analítica y el cálculo.
(Algunos, especialmente los probabilistas, agregan a esta lista el cálculo de probabilidades).
Álgebra es la parte de la matemática que tiene por objeto de estudio la cantidad considerada de
la forma más general posible. Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por los
árabes Amucabala)‫( ربج‬yebr) (al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía
por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de
huesos). Históricamente, el álgebra era la ciencia de las reducciones y las comparaciones; por
reflejo en las matemáticas el álgebra es el dominio relativo a la resolución de las ecuaciones
polinomiales, es decir de la forma P(X) = 0, donde P es un polinomio. Tiempo después el álgebra
cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del
tema inicial, incorporando las teorías de los grupos, anillos, cuerpos y sus extensiones, espacios
vectoriales (álgebra lineal), y parte de la geometría, la relacionada con los polinomios de segundo
grado de dos variables, es decir las cónicas (elipse, parábola, hipérbola, círculo), ahora incluidas
el álgebra bilineal.
Así, por ejemplo, la geometria analitica plana describe rectas y figuras cónicas (círculo, elipse,
parábola e hipérbola) centradas en un origen de un sistema de coordenadas cartesianas.
Sistema de coordenadas
Es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de
un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o
planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de
cualquier punto constituyen lo que se denomina sistema de referencia.
Las coordenadas cartesianas son un sistema de coordenadas formado por dos ejes en el plano,
tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las
coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abcisa y ordenada.
Los otros tipos de sistemas de coordenadas son: sistemas de coordenadas polares, sistema de
coordenadas cilíndricas y sistema de coordenadas esféricas.
Sistema de coordenadas plano.
En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos
números, que son la abscisa y la ordenada del punto, de forma que, a todo punto del plano
corresponden siempre dos números algebraicos ordenados (abscisa y ordenada), y
recíprocamente, a dos números algebraicos ordenados corresponde un único punto del plano.
Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunivoca entre un
concepto geométrico como es un punto del plano y un concepto algebraico como son un par de
números ordenados. Esta corrrespondencia constituye el fundamento de la geometria analítica.
Plano
Suele representarse el plano como una figura delimitada por bordes irregulares (no es apropiado
usar bordes regulares porque no es una figura finita, y puede prestarse a confusión), y puede
notarse con una letra del alfabeto griego. Es uno de los entes geométricos fundamentales,
considerados conceptos primitivos, o sea que no es posible definirlos en base a otros elementos
ya conocidos, junto a la recta y el punto.
Punto
En geometría el punto suele representarse sin relación a otra figura, como una "equis" pequeña,
o como una pequeña línea perpendicular cuando pertence a rectas, semirrectas o segmentos y
puede notarse con una letra mayúscula de imprenta.
Recta
La recta es la línea más corta que une dos puntos, y el lugar geométrico de los puntos del plano
(o el espacio) en una misma dirección. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al
punto y el plano. Son considerados conceptos primitivos, o sea que no es posible definirlos en
base a otros elementos ya conocidos. Sin embargo es posible elaborar definiciones de ellos, en
base a los Postulados característicos, que determinan relaciones entre los entes fundamentales.
Segmentos
Dados dos puntos A y B, se llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de orígen A
que contiene al punto B, y la semirrecta de orígen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A
y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el
segmento (recta sostén), serán ser interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a
este.
Se define como segmentos consecutivos cuando tienen en común solamente un extremo. Según
pertenezcan o no a la misma recta, se clasifican en:
colineales
y
no colineales
Longitud del segmento. Dados los extremos
del segmento AB, con punto inicial A y punto
final B. La distancia entre tales puntos se
denomina longitud.
Los segmentos consecutivos no colineales,
forman una figura llamada quebrada o
poligonal. A su vez, una poligonal puede ser
abierta o cerrada según tengan o no extremos
comunes, el primer y el último segmento que la
forman.
A
B
AB representa la distancia ente el punto A y el punto B. Tal que AB = 3
En geometria analitica se considera que un punto puede moverse de un sitio a otro. Si el punto
se dirige hacia arriba o hacia la derecha , el sentido es positivo; si lo hace hacia abajo, o hacia la
izquierda, el sentido es negativo.
Sentido
Sentido
Positivo
Negativo
-1
0
1
A
2
b
B
De tal forma que AB = 3 y de BA = -3
El conjunto de los segmentos métricos, constituye una magnitud, de la que los segmentos son
cantidades. Es posible determinar entre ellos relaciones y efectuar las operaciones definidas para
los elementos de una magnitud comparacion, igualdad, desigualdad y suma.
La suma de varios segmentos consecutivos
colineales, da por resultado el segmento
determinado por los extremos no comunes de los
segmentos considerados. Geométricamente, la
suma de segmentos cualesquiera (es decir no
necesariamente
consecutivos),
se
obtiene
construyendo
colinealmente
segmentos
ordenadamente congruentes con los dados, y
procediendo como se indica al principio.
Plano Cartesiano
Es un plano con un sistema de coordenadas
cartesianas
rectangulares.
Los
ejes
coordenados dividen al plano en cuatro
regiones
llamadas
cuadrantes
que
se
enumeran como muestra la siguiente figura.
Dado que un plano cartesiano se miden en
cada eje las coorespondientes distancias, éstos
se denominan:
Eje x = eje de las abscisas.
Eje y = eje de las ordenadas.
Los ejes no pertencen a ninguno de los
cuadrantes. El origen está en ambos ejes.
II
I
III
IV
La notación P(x,y)
denota al punto P
con abscisa x y
ordenada y.
Distancia entre dos puntos
En un sistema unidimensional, la distancia dirigida entre los puntos P1(x1) y P2(x2) se obtiene
restando a la coordenada del punto final la coordenada del punto inicial.
P1 P2 = x 2 – x 1
P2 P1 = x 1 – x 2
Cuando no consideramos el sentido, hablamos simplemente de distancia entre puntos.
El valor absoluto de la distancia dirigida entre los puntos, es la distancia entre ellos
En un sistema bidimensional, la distancia dirigida entre los puntos P1(x1,
obtiene con la fórmula:
| P1 P2 | =
y1)
y P2(x2,
y2)
se
(x1 – x2) 2 + (y1 – y2) 2
Punto Medio. División de un segmento.
Las coordenadas de un punto P(x, y) que divide al segmento AB con extremos A(x1, y1) y B(x2, y2),
en la razón AP / PB = r, son:
X = x1 + x2 r
y
= y1 + y2
1+r
r
r es diferente de -1
1+r
Caso particular del punto medio; siendo iguales las longitudes:
X = x1 + x2
y
2
r es igual a 1
= y1 + y2
2
Pendiente de una recta.
Un ángulo de inclinación de una recta varia entre los 0o y los 180 o. Cuando la recta coincide con
el eje x, o es paralela a èste, su àngulo de inclinación mide 0o o 180 o, según sentido a dicho eje.
La pendiente de la recta se representa por la letra m. Si P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), son dos puntos de
la recta:
m
=
y2 - y1
x2 - x1
donde
x2 - x1
es diferente de cero.
La recta en coordenadas cartesianas
La ecuación de una recta en el plano, por ejemplo la recta r responde a la fórmula general:
La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del ángulo (α) que forma la
recta con el eje x.
Rectas notables




La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación general x = xv
(constante).
La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación general y = yh
(constante).
Una recta cualquiera, tal como la s, que pase por el origen O (0,0), cumplirá la condición
n = 0, siendo su ecuación de la forma y = m · x.
Dos rectas cualesquiera:
y = m1 · x + n1
y = m2 · x + n2
serán paralelas si y sólo si m1 = m2
serán perpendiculares si y sólo si m1 · m2 = -1
Forma normal de la ecuación de la recta
x cos ω + y sen ω - ρ = 0
Una elipse, centrada en el origen de un sistema de coordendas cartesianas con la siguiente
expresión:
donde a y b son constantes que se identifican como los semiejes mayor y menor de la elipse