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Universidad Panamericana Estadística I Prof. Andrés Sandoval H Estadística I 3. PROBABILIDAD 3.1 Conceptos básicos A continuación se presentan los conceptos de probabilidad y de experimento, resultado y evento, que son los conceptos básicos que deben comprenderse para adentrarse en el estudio de la probabilidad. Probabilidad. Es un valor entre uno y cero, inclusive, que describe la posibilidad de que ocurra un resultado o evento determinado como consecuencia de la realización de un experimento. Experimento. Es un proceso que lleva a la ocurrencia de una y sólo una de varias observaciones posibles. Resultado. Es una consecuencia particular de un experimento. Evento. Es la colección de uno o varios resultados de un experimento. 3.2 Definición de probabilidad según las tres escuelas de pensamiento diferentes: la teoría clásica, la teoría de frecuencia y la teoría subjetiva Como ya se mencionó, existen tres escuelas de pensamiento principales, cada una con su propia forma de definir la probabilidad. La teoría clásica. Que está dentro de la corriente de la “probabilidad objetiva”, se basa en la suposición de que los resultados de un experimento son igualmente probables. Bajo este enfoque, la probabilidad de que un evento ocurra se calcula dividiendo el número de resultados favorables entre el número de posibles resultados. # de resultados favorables DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Probabilidad de un evento = # de resultados posibles CLÁSICA Algunas condiciones que es necesario cumplir para utilizar la probabilidad clásica u objetva son que lo eventos sean mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Universidad Panamericana Estadística I Prof. Andrés Sandoval H Mutuamente excluyentes. Se refiere a que la ocurrencia de cualquiera de los eventos implica que ninguno de los otros puede ocurrir al mismo tiempo. Colectivamente exhaustivos. Se refiere a que por lo menos uno de los eventos tiene que ocurrir en cada experimento. Algunos ejemplos de experimentos de este tipo de probabilidad son el lanzar un dado, tirar un volado. O sacar una carta de una baraja al azar. Es importante mencionar que para calcular la probabilidad objetiva o clásica, no se necesita realizar el experimento. La teoría de frecuencia. Es una derivación de la probabilidad objetiva y es también llamada probabilidad histórica o probabilidad empírica y sostiene que la probabilidad de que un evento ocurra a la larga se determina observando el número de veces que ocurrió en el pasado. Expresado en una fórmula es de la siguiente manera: DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Probabilidad de un evento = # de veces que ocurrió el evento en el pasado # de observaciones HISTÓRICA Algunos ejemplos de este tipo de probabilidad son: la probabilidad de que un alumno de la UP consiga empleo mientras estudia la carrera, basada en el número de alumnos que lo han hecho en un lapso determinado. Otro ejemplo es la probabilidad de que alguien repruebe la materia de estadística, basada en el número de alumnos que han reprobado la materia en semestres anteriores. La teoría subjetiva. Se refiere a la posibilidad de que un evento particular ocurra, que es asignada por un individuo basándose en la información que tenga disponible y en su propia experiencia o presentimientos. Ejemplos de probabilidad subjetiva son las apuestas en eventos atléticos o deportivos o la estimación del futuro de una acción. El siguiente diagrama esquematiza los distintos tipos de probabilidad. Tipos de probabilidad Probabilidad Objetiva Probabilidad clásica Probabilidad Subjetiva Probabilidad empírica Universidad Panamericana Estadística I Prof. Andrés Sandoval H 3.3 Reglas para el cálculo de probabilidades Existen algunas reglas que son útiles para el cálculo de la probabilidad, de manera genérica se dividen en reglas de la adición y reglas de la multiplicación, aunque cada una tiene casos especiales. Regla especial de la adición. Establece que si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la probabilidad de que uno u otro evento ocurra es igual a la suma de sus probabilidades. REGLA ESPECIAL DE LA ADICIÓN P(A o B) = P(A) + P(B) De lo anterior se puede deducir que la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que no ocurra A debe sumar 1. A esto se le llama la regla del complemento. Esta regla establece que para determinar la probabilidad de que ocurra un evento se puede restar de 1 la probabilidad de que no ocurra. En una fórmula se establece de la siguiente manera: REGLA DEL COMPLEMENTO P(A) = 1 – P(~ A) Regla general de la adición. Establece que si dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de que ocurran ambos de manera simultánea. REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN P(A o B) = [P(A) + P(B)] – P(A y B) Regla especial de la multiplicación. Establece que si dos eventos A y B son independientes la probabilidad de que ocurran ambos se calcula multiplicado sus probabilidades. Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. REGLA ESPECIAL DE LA MULTIPLICACIÓN P(A y B) = P(A) P(B) Universidad Panamericana Estadística I Prof. Andrés Sandoval H Regla general de la multiplicación. Establece que si dos eventos A y B no son independientes la probabilidad de que los dos eventos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que ocurra A por la probabilidad condicional de que ocurra B si ocurre A. REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN P(A y B) = P(A) P(B | A) 3.4 Análisis combinatorio Se llama combinación al número de maneras de escoger r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden. La fórmula para calcular las combinaciones es: n! FÓRMULA PARA LAS COMBINACIONES nCr = r!(n – r)! 3.5 Teorema de Bayes El teorema de Bayes sirve para calcular, a partir de que ha ocurrido un suceso B, las probabilidades de un suceso A. La fórmula de Teorema de Bayes es la siguiente: P(A1) P(B1 | A1) P(A1| B1) = P(A1) P(B1 | A1) + P(A2) P(B1 | A2) + P(A n) P(B1 | A n)