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MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN REGIONAL DE VERAGUAS
Instituto profesional y Técnico de Veraguas
ASIGNATURA:
AÑO:
FACILITADOR:
Silvia González
ESTUDIANTE:_______________________________________________
TEMAS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
MAGNITUDES VECTORIALES
¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO?
CINEMÁTICA
GRAVEDAD Y CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
MAGNITUDES VECTORIALES
PROFESOR:
ESTUDIANTE: _________________________
Objetivos:
1. Definir una cantidad escalar y una vectorial.
2. Dar ejemplos de magnitudes escalares y vectoriales.
3. Determinar las componentes de un vector dado.
4. Encontrar la resultante de dos o más vectores, por el método gráfico y por el método analítico.
1.
DESARROLLO
Magnitudes Vectoriales Son las que se caracterizan por su valor numérico o intensidad, dirección y sentido.
Ejemplo: El desplazamiento, la aceleración, la fuerza, la intensidad del campo eléctrico, la inducción
magnética.
Vectores y fuerza neta
Con frecuencia, sobre un cuerpo actúan simultáneamente varias fuerzas. Puede resultar muy
complejo calcular por separado el efecto de cada una; sin embargo, las fuerzas son vectores y
se pueden sumar para formar una única fuerza neta o resultante (R) que permite determinar el
comportamiento del cuerpo.
11. Magnitudes Escalares: Son las que se caracterizan por su valor numérico e intensidad. Ejemplo: El
tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la rapidez, que es la intensidad de la velocidad, etc.
Podemos concluir que todas las magnitudes físicas con las cuales trabajamos, se pueden distribuir en
dos grandes grupos:
1. Magnitudes vectoriales
2. Magnitudes escalares
111. Representación de las magnitudes vectoriales.
Un vector: es un segmento orientado, cuya dirección y sentido es igual al de la magnitud considerada y cuya
longitud represente en escala el valor o intensidad de dicha magnitud. Es importante recalcar que todo vector
tiene un origen y un extremo que finaliza en una flecha, la cual indica el sentido de la magnitud vectorial.
Ejemplo:
Representar los vectores en un plano cartesiano:
V= 50 km/h----30º al norte del este.
A= 40 km/h----al este
B= 30 km/h----al norte del oeste
Escala:
1cm = 10 km/h
1 cm =10 km/h
X=50 km/h
X = (1 cm) (50 km/h)
10 km/h
X = 5 cm
1 cm = 10 km/h
X = 40km/h
X=
(1 cm)(4O km/h)
10 km/h
X=
4 cm
Lo mismo para el vector B y se mide 3 cm.
IV. Vectores iguales: Se dice que dos vectores son iguales cuando tienen igual intensidad, igual sentido e
igual orientación. Ejemplo: A
B
A=B
V. Vectores opuestos: Dos vectores son opuestos cuando tienen igual intensidad o igual dirección, pero en
sentidos contrarios. Ejemplo:
C
D
C=-D
V1. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO GRÁFICO.
1. Método del paralelogramo para adición de vectores:
La resultante de dos vectores es la diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores como
lados adyacentes.
La dirección es hacia dentro del paralelogramo alejándose del origen común de los dos vectores.
Ejemplo: Una cuerda se enreda de un poste telefónico, en un ángulo de 120º. Si
de uno de los extremos se tira con una fuerza de 60 libras y del otro con una
fuerza de 20 libras, ¿cuál es la fuerza resultante sobre el poste telefónico?
DATOS:
=120°
Fl = 60 libras
F2 = 20 libras
1 cm =10 libras
x = 60 libras
1 cm =10 libras
tenemos entonces: x = (l cm)(60 libras) = 6 cm
10 libras
x = (1 cm) (20 libras) =2 cm
10 libras
El resultado seria:
R = 5,2 cm = x
1 cm 10 libras
Entonces:
x = (5.2 cm)(l0 libras) = 52 libras
D1= 100 millas al norte
La resultante es:
R = 52 libras
20º
El método del paralelogramo es muy útil para la suma de dos vectores cada vez.
2. EL MÉTODO DEL POLÍGONO PARA LA ADICIÓN DE VECTORES:
El vector resultante se encuentra dibujando cada vector a escala, colocando el origen de un vector en la
punta de otro hasta que todos los vectores queden dibujados.
La resultante es la línea recta dibujada desde el punto de inicio hasta la punta del último vector. Ejemplo:
Un barco viaja 100 millas hacia el norte en el primer día de su viaje, 60 millas hacia el norte del
este en el segundo día y 120 millas al este en el tercer día. Encuéntrese el desplazamiento resultante
por el método del polígono.
Escala:
1 cm = 20 millas.
D1 = 100 millas al norte
N
D2 = 60 millas al norte del este
D3 =120 millas al este.
1 cm = 20 millas
X
100 millas
x = (1 cm)(l00 millas)
20 millas
x = 5 cm = Dl
3cm = D2
6 cm =D3
RESULTANTE:
R = 10,9 cm
1cm =2Omillas
x = (10,9 cm)(20 millas)
1 cm
x = 218 millas
R = 218 millas ——42º al N del este.
E
El método del polígono es el más útil ya que puede ser fácilmente aplicado en la suma de dos
vectores. Los vectores pueden ser sumados en cualquier orden.
V11. RESTA DE VECTORES
La diferencia de dos vectores se obtiene realizando la suma de un vector y el negativo del otro
vector (el vector que es igual en magnitud y opuesto en sentido). Ejemplo:

A =30 N ------ 60º al norte del este.

B = 40 N -----al este
   
Encontremos al diferencia: A - B =A + (-B)
Gráficamente será:
Escala: 1 cm =10 N
1 cm = 10 N
x
=30 N
x = (1 cm)(30N)
10N
x = 3 cm
Lo mismo para B = 4 cm.
Como es una resta se le cambia el sentido al vector B, como esta al este se le cambia al oeste.
La medida del vector dio 3.6 cm, luego tiene que transformarse a Newton. Así:
X = (3.6 cm)(10 N)
1 cm
X = 36 N

R = 36 N ------- 42º al norte del este
V111. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL.
Al sumar una cantidad cualquiera de vectores, el resultado es siempre un solo vector resultante.
Ejemplo:
R = 40m ----- 30º al norte del este
Se utiliza coseno  para x y seno  para y.
Este vector resultante queda localizado en el primer cuadrante, y se puede descomponer en dos
componentes rectangulares: una componente en el eje de las x y otra en el eje de las y. Así:
Componente en X
Componente en Y
R = R (cos)
R = R (sen)
R =40 m (cos30º)
R =40 m (sen30º)
R = 40 m (0.866)
R =40 m (0.5)
R = 35 m
R = 20 m
1X. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO ANALÍTICO.
Para suma por el método analítico realizaremos los siguientes pasos:
1. Encontrar las componentes rectangulares de cada vector.
2. Sumando todas las componentes que se encuentran en la misma dirección es decir, componentes en el eje
de las x y componentes en el eje de las y.
3. Sumamos la resultante de X con la resultante de Y, por el teorema de Pitágoras, para encontrar la
resultante total.
4. Encontrar la orientación del vector resultante mediante la aplicación de las funciones trigonométricas. Es
común utilizar la tangente del ángulo que se forma entre el vector resultante y el eje de las X. Así: tan 
=R y / Rx
Ejemplo: tres sogas están atadas a una estaca, ejerciéndose las fuerzas siguientes:



A =20 libras -----al este
B =30 libras ----30º al noroeste
C = 40 libras 52°al suroeste
Componentes en X
componentes en Y
Ax =A cos
A y = A sen
Ay = (20 lb) (cos 0º)
Ay = (20lb) (sen 0º)
Ay = (20 lb) (1)
Ay = (20 lb) (0)
Ax = 20 libras
Ay = 0 libras
Bx = B cos
Bx = (30 lb) (cos 30º)
Bx = (30lb) (-0.866)
Bx = -26 libras
By = B sen
By = (30lb) (sen30º)
By = (30 lb) (0.5)
By = 15 libras
Cx = C cos 
Cx = (40 lb) (cos 52º)
Cx = 40 lb (-0.616)
Cx =-25 lb
Cy = C sen
Cy = (40 lb) (sen 52º)
Cx =40 lb(-0.788)
Cy = -32 libras
Fuerzas
A
B
C
 fuerzas
Tabla de componentes
X
20
-26
-25
Rx = -31
La resultante se encuentra con el teorema de Pitágoras.
R =  Rx + Ry
R =  (-31 lb) 2 + (-17 lb)2
R =  961 lb + 289 lb
R =  1250 lb
Y
0
15
-32
Ry = -17
R = 35 libras
tan  =Ry /Rx
 = tan (-17 / -31)
 = tan (0.5484)
 = 28.7º
La resultante de estas fuerzas es:
R = 35 libras ------------28.7º al sur del oeste
Práctica
1. Un equipo de topógrafos traza los desplazamientos sucesivos:



A = 80 m---- 60º al norte del este; B = 40m –al este; C = 20m ---40º al sur del este. Encuéntrese el
desplazamiento resultante por el método del polígono.
2. Encuéntrese la resultante de las siguientes fuerzas por el método del polígono:



A = 450 N—30º al norte del oeste; B = 200 N –al sur; C = 300N ---40º al sur del este.
Ax = 450 (cos 30°) Ay = 450 N (sen 30°) Bx = 200 N cos90° By =200N sen 90° Cx=300Ncos40°
Ax = 450 (0,866)
Ay = 450N (0,5)
Bx = 200 N (0)
By = 200 N (-1) Cx= 300 N (0,766)
Ax = - 389 N
Ay = 225 N
Bx = 0 N
By = -200N
Cx =230 N
A
B
C
X
-389
0
230
Rx = -159
Y
225
-200
-193
Ry = -168
R = √Rx 2 + Ry2
R =√(159)2 + ( 168)2
R = 25281 + 28224 R = 53505 R = 231 N
Tanθ = 168/159 = 1,05 el ángulo es 46 °
3. Un motor está colgado del techo por dos sogas. La soga A ejerce una fuerza de 60 libras y la soga B
ejerce una fuerza de 90 libras. El ángulo entre las sogas es de 35º. La resultante de estas fuerzas es el peso
del motor. Encuéntrese el peso del motor por el método del paralelogramo.
     
4. Encuéntrese el vector resultante de R = A + B; R = A - B por cualquier método cuando:
a. A = 520 N --al sur y B= 260 N--- al oeste
b. A = 18 m/s ----al norte y B = 15 m/s ---al oeste
LABORATORIO DE VECTORES
NOMBRE: __________________________________ AÑO: _____________ FECHA: _________
Objetivos:
1. Definir el carácter vectorial de algunas magnitudes físicas.
2. Establecer la necesidad de un punto de referencia.
3. Representar gráficamente y por escrito, los vectores posición y desplazamiento.
Materiales:
Hormiga, papel milimetrado, regla, lápiz, cinta adhesiva y transportador.
Contenido Informativo:
Hablemos del lugar donde está ubicado un objeto en el aula de clases. Se trata del que está a 5
metros del pupitre del profesor. Como puedes ver hay varios. Podemos especificar diciendo, aquel que está
a 5 metros del pupitre haciendo un ángulo de 60º grados con respecto al largo de dicho pupitre en sentido
horario.
En este caso el pupitre es nuestro PUNTO DE REFERENCIA. La posición de objeto es 5 m a 60º
en sentido horario con respecto al pupitre. Observa que la posición tiene un valor numérico (5m), esa es su
MAGNITUD O MÓDULO, y una DIRECCIÓN, 60º en sentido horario con respecto al largo del pupitre.
Podemos asegurar así que la POSICIÓN ES UN VECTOR.
Si tuvieras que llegar hasta este objeto podrías ir por diferentes caminos, cada camino es una
TRAYECTORIA y la DISTANCIA que recorres en cada caso puede ser diferente, pero tu
DESPLAZAMIENTO hasta el objeto siempre será el mismo, él no depende de la trayectoria sino que sólo
toma en cuenta de qué punto sales y hasta cuál punto llegas. También el desplazamiento es un vector, pues
requiere de una magnitud y una dirección.
Procedimiento:
1. Señale en su hoja el punto de referencia (desde donde se harán las medidas de la posición).
2. Señale en su hoja la orientación del plano Norte, Sur, Este y Oeste.
3. Indique con un punto en la hoja, la ubicación de la hormiga cada 5 segundos comenzando
Con el tiempo t = 0 segundos y finalizando en t = 30 segundos.
4. Ilustre la trayectoria de la hormiga uniendo los puntos donde la localizó usando segmentos
De recta orientados con flechas.
5. Determine las siguientes magnitudes midiendo con la regla y el transportador, si es necesario.
Indíquelas en el diagrama.
5.1. La distancia total recorrida: ________________________________
5.2. El desplazamiento total: ___________________________________
5.3. El desplazamiento entre t =5 s y t = 15 s: _____________________
5.4. La posición en t = 10 s: ___________________________________
5.5. La posición en t = 25 s: ___________________________________
5.6. De los intervalos marcados cada 5 s, cuál presenta el máximo desplazamiento de la hormiga?
Entre t = ______ s y t = ______s.
5.7. En qué instante la posición de la hormiga fue más próxima al punto de referencia.
En t = ________ s.
6. Haga una conclusión acorde con lo observado en la experiencia.
_________________________________________________
Ejercicio de Física
Nombre: __________________________________ año: _____________ fecha: _____________
RESOLVER LOS PROBLEMAS SIGUIENTES:
1. Un mono ardilla, se mueve en el Parque Nacional Soberanía, realizando los siguientes
desplazamientos: D1= 100 m hacia el Este; D2 = 300m – 37º al Norte del oeste y
D3 = 900m –60º al sur del este. Determine el desplazamiento resultante del animal.
2. Un estudiante de 1V año, sale del salón de física y hace los siguientes recorridos; va al salón de
matemáticas localizado a 150 m -- 60º hacia el sur del oeste; de allí va al salón de español localizado
a 75 m hacia el este del salón de matemáticas; luego se dirige al salón de computadoras situado a 300
m – al norte del oeste del salón de español. Después de todo este recorrido: ¿Cuán alejado se
encuentra el estudiante con respecto al salón de física? NOTA: a los vectores les puedes poner
nombres A, B Y C.
3. Un motor está colgado del techo por dos sogas. La soga A ejerce una fuerza de 50 libras y la soga B
ejerce una fuerza de 100 libras. El ángulo entre las sogas es de 55º. La resultante de estas fuerzas es
el peso del motor. Encuéntrese el peso del motor por el método del paralelogramo.
¿Qué es el movimiento?
1. ¿Qué debes saber para indicar la posición en la que se encuentra:
a. Un compañero de clase?
b. El pasajero de un tren?
c. Una persona que se mueve 10m desde el centro del patio?.
2. ¿Cuál será la trayectoria seguida por:
a. Un cuerpo que cae?
b. Un punto de un volante?
c. Los planetas alrededor del sol?
3. Indica cuales de los siguientes objetos están en reposo o en movimiento:
a. El tablero de tu salón de clases.
b. Los pasajeros de un tren.
c. Los árboles de una autopista.
d. Los tripulantes de un avión.
4. Define los siguientes términos: Movimiento, reposo, traslación, desplazamiento, distancia, sistema de
referencia y espacio.
Desarrollo
1. Movimiento: Un cuerpo se encuentra en movimiento con relación a un punto fijo, llamado sistema de
referencia, si a medida que transcurre el tiempo, la posición relativa del cuerpo, respecto a este punto varía.
2. Elementos del movimiento:
a. Posición de un cuerpo: La posición puede ser positiva o negativa, dependiendo si está a la derecha o a
la izquierda del cero, respectivamente. Se llama vector posición (X) al vector que se traza desde el
origen hasta la coordenada posición del cuerpo.
b. Trayectoria: Es el conjunto de espacios que ocupa a través del tiempo.
c. Espacio recorrido: es la medida de la trayectoria.
d. Desplazamiento: Cuando un cuerpo cambia de posición se produce un desplazamiento. El vector
desplazamiento describe el cambio de posición del cuerpo que se mueve de xi(posición inicial) a
xf(posición final.
Desplazamiento = posición final – posición inicial
X =
Xf
- Xi
El símbolo  es la letra griega delta y se utiliza para expresar variación.
Ejemplo:
1. Determinar las posiciones de dos cuerpos que están en x1 y x2.
________________________________________
x2
x3 0 x4 x1
2. Calcular el desplazamiento de un cuerpo que de x1 =-3m pasa a x2=4m. Si el móvil cambia de
posición x2 a la posición x1, ¿Cuál es su desplazamiento?
________________________________________
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
X1
x2
_________________________________________
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x1
x2
3. Determina la posición que ocupan los cuerpos A, B, C, D en el eje de coordenadas:
________________________________________
A
B 0
C
D
4. Bajo Qué circunstancias el desplazamiento tiene el mismo valor numérico que el espacio recorrido.
5. Un cuerpo viaja desde la posición x1 =2m hasta x2 = 12m y luego regresa hasta la posición x3 = 5m.
a. Calcula el desplazamiento. b. ¿Cuál es el espacio recorrido?
6. Describe el movimiento de un cuerpo cuyo espacio recorrido sea 24m y el desplazamiento cero.
7. Una persona se mueve de la posición x1 a la posición x2 y de ésta a la posición x3, tal como lo
muestra el gráfico:
a. ¿Cuál es el desplazamiento de la persona entre x1 y x2?
X3
b. ¿Cuál es el desplazamiento de la persona entre x2 y x3?
X2
c. ¿Cuál es el desplazamiento total de la persona?
X3
x2
0
__________________
x1
Gráficos de posición contra tiempo.
Como los desplazamientos se realizan mientras transcurre el tiempo, se facilita la descripción del
movimiento al hacer un gráfico de posición contra tiempo. En el eje vertical se representan las posiciones
que ocupa el cuerpo y en eje horizontal el tiempo.
X (m)
Ejemplo:
5
El siguiente gráfico de posición contra tiempo,
4
representa el movimiento de una partícula
3
durante 9 segundos. Basándote en la información
2
que éste te suministra contesta las siguiente
1
preguntas:
0
1
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Cuando t = 0s, ¿en cuál posición se encuentra el móvil?
¿Cuál fue el desplazamiento en el primer intervalo de tiempo?
En el segundo intervalo, ¿cuál fue el desplazamiento del móvil? Cambió de posición?
En t = 4 s, ¿cuál es la posición del móvil?
En el tercer intervalo entre t = 4 s y t =5 s, ¿qué desplazamiento sufre el móvil? ¿Qué espacio ha
recorrido el móvil hasta este instante?
¿Qué sucede entre los 5 y 6 s? ¿Cuál es su desplazamiento? ¿Es positivo o negativo?
¿Qué sucede entre los seis y siete segundos?
¿Durante cuántos segundos más el cuerpo se mueve?
¿Cuál es la última posición que ocupa en el móvil?
¿Cuál fue su desplazamiento entre t = 7s y t = 9 s?
¿Cuál fue el desplazamiento total?
¿Cuál fue el espacio total recorrido por el móvil?
t (h)
PRÁCTICA
1. Un auto se desplaza por una carretera de acuerdo al siguiente gráfico.
a. Describe el movimiento del auto
b. ¿Cuál fue el desplazamiento total?
X (km)
c. ¿Cuál fue el espacio total recorrido? 80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t (h)
-20
-40
-60
2. Representa en un gráfico de x contra t las siguientes situaciones:
a. Dos móviles A y B están separados 50 m, simultáneamente se comienzan a mover en sentidos
contrarios y se encuentran a mitad de camino en un tiempo de 4 segundos.
b. Dos móviles A y B, están separados 100 km. El móvil A parte hacia B y llega a su destino a las 4
horas. Una hora después de partir A parte B y llega a su destino a las 6 horas.
c. En una competencia de atletismo, A da a B ventaja de 60 m. El atleta A alcanza a B después de haber
recorrido 180 m durante 60 segundos.
CINEMÁTICA
A. Mecánica
1. Cinemática
2. Estática
3. Dinámica
B. Movimiento rectilíneo uniforme
1. Velocidad instantánea y velocidad media
C. Movimiento uniforme acelerado
D. Gravedad y caída libre de los cuerpos
DESARROLLO
A. Mecánica: Rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos. Estudio de las fuerzas y sus
efectos sobre los objetos.
1. Cinemática: Parte de la mecánica que estudia la descripción de los objetos físicos sin tener en
cuenta lo que produce este movimiento.
2. Estática: Parte de la mecánica que trata de las fuerzas aplicadas a un objeto o en un sistema
de equilibrio. En tales casos no hay fuerza resultante o par resultante y por tanto no hay
aceleración resultante.
3. Dinámica: Estudio del movimiento de los objetos por la acción de fuerzas. Comprende la
relación entre fuerza y movimiento, y la descripción del movimiento mismo.
B. Movimiento uniforme rectilíneo: El movimiento uniforme rectilíneo, significa que el valor de la
velocidad se mantiene constante o invariable.
Por lo tanto la relación que existe entre la velocidad y la distancia es:
d=v x t
Ejemplo n° 1
Si un automóvil va a una velocidad de 50 km/h y viaja 3 horas. ¿Qué distancia recorrió dicho
automóvil?
d=v x t
entonces:
d = 50 km/ h x 3 h =150 km
Ejemplo nº 2
Un ciclista recorrió 200 m, en 10 segundos. ¿A qué velocidad iba el ciclista?
V = d/ t
V = 200 m = 20 m/s el ciclista iba a 20 m/s.
10 s
1. Velocidad instantánea y velocidad media
a. Velocidad instantánea: es una cantidad vectorial que expresa su velocidad en un punto
dado. V = lim d /t
b. Velocidad media: es el desplazamiento total recorrido y el tiempo total empleado para
realizar este recorrido. Vm =dt/t
c. La rapidez instantánea: es una cantidad escalar que expresa la rapidez que el automóvil
posee en un instante dado. Es por tanto, la relación de cambio de la distancia al tiempo
transcurrido. V = lim d/t
d. La rapidez media: Es la distancia total recorrida y el tiempo total empleado para realizar
este recorrido. Vm = dt /t
C. Movimiento uniforme acelerado: Siempre que ocurre una variación de la velocidad, decimos que el
movimiento presenta aceleración.
1. Aceleración: Es la variación de la velocidad en un tiempo dado. Se define así:
a = vf - vi
t
Ejemplo: La velocidad en un punto es de 40 pies/s y su velocidad en otro punto es de 60 pies/s. Si
Para aumentar esa velocidad se requiere de 5 segundos. Calcule la aceleración:
A =
60 pies/s - 40 pies/s =
20 pies/s = 4 pies/s2
5 s
5s
Cuando la aceleración es constante se obtienen las siguientes relaciones:
Vf = vi + a.t
d = vi. t + ½ a. t2
vf 2 = vi 2 + 2 .a. d
d= vi + vf . t
2
vm = vf + vo
2
Ejemplo 1: Un cuerpo en movimiento aumenta su velocidad uniformemente de 200cm/s a 400cm/
en 2 minutos. A. ¿Cuál es su velocidad media? B.¿ Cuán lejos viajó en dos minutos?
a. Vm = vf + vo = 200cm/s + 400 cm/s = 600 cm/s = 300cm/s
2
2
2
b. d = vm . t = (300 cm/s)(120s)
d = 36000 cm
Ejemplo 2: Un tren va a una velocidad de 24 m/s; frena y se detiene en 12 segundos. Calcula su
aceleración y la distancia recorrida al frenar.
Datos:
Vi = 24 m/s
a = vf - vi = 0 m/s - 24 m/s = -24 m/s = 2 m/s2
Vf = 0 m/s
t
12 s
12 s
t = 12 s
Práctica
Problemas De Movimiento Uniforme Acelerado
1. ¿Qué velocidad inicial debería tener un móvil cuya aceleración es de 2 m/s2, para alcanzar una velocidad
de 90km/h a los 4 segundos de su partida? Resp 17 m/s
2. Un tren va a una velocidad de 16 m/s; frena y se detiene en 12 segundos. Calcula su aceleración y la
distancia recorrida al frenar. Resp. A= - 1,33; d= 96 m
3. Un móvil parte del reposo con movimiento uniforme acelerado cuando ha recorrido 30 m tiene una
velocidad de 6 m/s. Calcula su aceleración y el tiempo transcurrido. Resp: a=0,6m/s2 ; t=10 s
4. Un automóvil con velocidad de 72 km/h frena con una desaceleración constante y se detiene a los 9
segundos. ¿Qué distancia recorrió? Resp: d=90 m
5. Un automóvil parte del reposo y con aceleración constante de 3 m/s2, recorre 150 m, ¿En cuánto tiempo
hizo el recorrido y con qué velocidad llegó al final resp v=30 m/s t =10 s
6. Un cuerpo parte del reposo, tiene durante 4 s una aceleración de 10 m/s2, sigue después durante 5
segundos con el movimiento adquirido y finalmente vuelve al reposo por acción de una aceleración negativa
de 10 m/s2. Determine: a. ¿El tiempo total del movimiento. B. distancia total recorrida. C. ilustra la solución
con un gráfico.
7. Dos ciclista, A y B, inician su movimiento simultáneamente. A con una velocidad constante de 12 m/s y
B con una aceleración de 5 m/s2. a. ¿Qué distancia han recorrido cuando B alcanza A? b. ¿Cuánto tiempo ha
transcurrido hasta el momento? c. ¿Cuál es la velocidad de B cuando alcanza A?Resp: d=57,6m; t =4,8 s; v =
24 m/s
8. Un automóvil viaja con rapidez inicial de 45 m/s, después se acelera uniformemente hasta lograr una
rapidez de 104 m/s en 12 segundos. ¿Qué distancia recorre el automóvil? Resp d= 894 m
9. Un camión viaja con velocidad constante de 20 m/s. en el momento que pasa al lado de un automóvil
detenido, éste inicia el movimiento con aceleración constante de 20 m/s2. a. Realiza un gráfico de V contra t.
b. ¿Qué tiempo tarda el automóvil en adquirir la velocidad del camión? resp: t= 1s C. ¿Qué distancia debe
recorrer el automóvil para alcanzar el camión? resp: d=40m d. ¿Qué tiempo tarda en alcanzarlo? Resp: t=2 s
10.
Un auto de carrera que viaja con velocidad de 64 m/s se detiene después de 7 s después de ser
aplicados los frenos. Calcula la desaceleración del auto y el espacio recorrido desde que aplica los frenos
hasta que se detiene.
11.
La velocidad inicial de un electrón es de 2 x 105 m/s. Si se frena a razón de 4,2 x 1014 m/s2. a. ¿Qué
distancia recorre antes de que llegue al reposo momentáneamente? b. ¿Qué tiempo tardará en recorrer 5 cm?
12.
Un avión de combate aterriza con velocidad de 120 m/s y pierde 5 m/s cada segundo. a. ¿cuánto
tiempo tarda en detenerse? t=24 s a. ¿Cuál es la longitud mínima que debe tener la pista de aterrizaje? resp:
d = 1440 m
13.
Una bala indestructible de 2 cm de longitud se dispara directo sobre una tabla que tiene 10 cm de
espesor. La bala golpea la tabla con rapidez de 420 m/s y sale después de atravesarla con una rapidez de 280
m/s. a. ¿Cuál es la aceleración de la bala al atravesar la tabla? b. ¿Qué tiempo está en contacto la tabla con la
bala c. ¿Qué espesor debería tener la tabla para detener completamente la bala?
14.
Superman choca de frente con un tren que viaja a 97 km/h, dejándolo en reposo en un asombroso
1/100 de segundo y salvando a Luisa Lane que estaba atada a los rieles. ¿Cuál es la desaceleración del tren?
Si Luisa estaba solo a 15 cm cuando superman detuvo el tren. ¿A qué distancia de ella para finalmente el
tren?
GRAVEDAD Y CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS
Introducción
Si una esfera rueda sobre una superficie horizontal sin rozamiento, decimos que está dotada de un
movimiento uniforme. Pero si esa misma esfera se deja caer desde cierta altura, vemos que adquiere un
movimiento de caída libre uniformemente acelerado, debido a la acción de la aceleración de la gravedad.
Muchos de nuestros conocimientos a cerca de la física de los cuerpos que caen se deben al científico
italiano Galileo Galilei (1564 – 1642). Él fue el primero en demostrar que en ausencia de fricción, todos los
cuerpos, grandes o pequeños, ligeros o pesados, caen a la tierra con la misma aceleración.
Hasta Galileo todos seguían las enseñanzas de Aristóteles de que los cuerpos pesados caen
proporcionalmente más rápidos que los livianos.
La explicación clásica consiste en el hecho de que los cuerpos más pesados son proporcionalmente
más difícil de acelerar. Esta resistencia al movimiento es una propiedad de los cuerpos denominada inercia.
Aceleración de la gravedad
Un experimento realizado en una cámara de vacío demuestra que todos los cuerpos caen hacia
la Tierra con la misma aceleración, independientemente de su masa.
La aceleración gravitacional es un movimiento acelerado. Al nivel del mar y a 45º de latitud, esta
aceleración se ha medido y vale: 9,806 m/s2 ó 32,17 pies/s2 y se representa por el símbolo g. Las
siguientes fórmulas para caída libre:
y = ( vf + vi ) t
vf2 = vi 2+ 2 g y
vf = vi + g t
2
y= vi t + ½ g t2
y = vm t
en donde: y es la altura, vi es velocidad inicial, vf es velocidad final, t es tiempo.
Ejemplo:
1. Desde una torre se deja caer una pelota que tarda 5 segundos en llegar al suelo. Calcular:
a. La altura de la torre
vi =0 m/s g =-9,8 m/s2 t =5 s
y = vi t + ½ g t2; como vi =0 m/s entonces y = - 9,8 m/s2 (5 s) 2
2
y = 122,5 m
b. La velocidad con que llega al suelo.
vf = vi + gt
vf = 0m/s + (-9,8 m/s2) (5 s)
vf = -49 m/s
2. Se lanza una piedra hacia arriba con velocidad de 5m/s. Calcular:
a. El tiempo de subida de la piedra.
vi = 5m/s g =-9,8 m/s2
vf = vi + gt
vf = 5m/s + (-9,8 m/s2) t
cuando la piedra llega a la altura máxima, su velocidad es cero. Por lo tanto,
t = -5 m/s = 0,51 s
-9,8 m/s2
b. La altura máxima que alcanza.
Y = - vi 2
= y = - (5 m/s )2 = 1,28 m
2g
2 (-9,8m/s2)
PRÁCTICA
1. Un cuerpo cae libremente desde el reposo. Encuéntrese a. Su aceleración, b. La distancia que cae
en tres segundos, c. Su rapidez después de caer 70m, d. El tiempo necesario para alcanzar una
rapidez de 25 m/s, e. El tiempo que tarda en caer 300m. Solución. A. 9,8 m/s2 b. 44 m c. 37m/s
d. 2,55 s e. 7,8 s
2. Se deja caer una canica desde un Puente y golpea el agua en un tiempo de 5 s. Calcular: a. La
rapidez con la que choca con el agua y b. La altura del puente. Sol:a. 49m/s; b. 123 m.
3. se arroja una piedra hacia abajo en línea recta, con una velocidad inicial de 8 m/s, desde una
altura de 25 m. Encontrar a. El tiempo que tarda en llegar al piso y b. La rapidez con la cual choca
contra el piso. Sol: a. 1,59 s b. 23,5 m/s.
4. El martillo de una máquina piloteadora golpea el pilote con una rapidez de 25 pies/s. ¿Desde qué
altura con respecto a la parte superior del pilote se dejó caer el martillo? Sol:9,7 pies.
5. Desde una torre se deja caer una piedra que tarda 4 s en llegar al suelo. Calcular: a. La altura de
la torre. b. La velocidad con que la piedra llega al suelo.
6. se dispara una bala verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 500m/s. Calcular
cuánto tiempo dura la subida. Sol: 51 s.
7. Dos cuerpos están sobre la vertical, a d= 40,82 metros uno de otro. Simultáneamente se deja
caer el más alto y se lanza el otro hacia arriba con velocidad inicial vi. Calcular vi, para que
ambos se encuentran cuando el segundo alcance su altura máxima. Sol: 20m/s.
8. se arroja una piedra hacia arriba, con una vi = 8 m/s. Calcule la altura máxima que alcanza.
9. Un nadador se deja caer desde un trampolín de 5 m de altura. Calcule : a. Cuánto tarda en entrar
en el agua . b. la velocidad con que entra. Sol:a. 1 s ; b. 10 m/s
10. ¿Con qué velocidad llega al suelo un cuerpo arrojado desde una altura de 5m? ¿Cuánto tarda en
caer? Sol: 9,9 m/s ; 1,01 s.
11. Un observador situado a 40 m de altura ve pasar un objeto hacia arriba, y 5 segundos después lo
ve pasar hacia abajo. ¿Cuál fue la velocidad inicial del cuerpo? ¿Hasta que altura llegó? Sol:32,2
m/s ; 70,625m
12. Desde lo alto de una torre de 150 m de altura se deja caer una piedra de 5 kg. ¿cuánto tardará en
llegar al suelo? ¿Cuánto tardaría si pesara 20 kg? Sol; 5,5 s.
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
1. INTRODUCCIÓN
11. MOVIMIENTO DE PROYECTILES
a. PROYECTIL
b. MOVIMIENTO DE PROYECTILES
111. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES
a. COMPONENTE DE LA VELOCIDAD
b. ALTURA MÁXIMA QUE ALCANZA EL PROYECTIL
c. TIEMPO DE VUELO DEL PROYECTIL
d. ALCANCE HORIZONTAL DEL PROYECTIL
1V. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
V. BIBLIOGRAFÍA
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
1. INTRODUCCIÓN
Vemos cómo el “Principio de Galileo” se cumple estrictamente en este movimiento “Cuando un cuerpo es
sometido simultáneamente a dos movimientos, cada uno de éstos se cumple independientemente. Un
movimiento vertical y otro horizontal”.
 El Movimiento Vertical del cuerpo: Este movimiento es uniformemente acelerado, es decir, con
aceleración constante. La aceleración del movimiento es igual a la aceleración debido al campo
gravitatorio, que equivale a “g”= -9,80 m/s2. Esta aceleración como apunta hacia abajo, solo
afecta el movimiento vertical del cuerpo.
 El Movimiento Horizontal del Cuerpo: Este movimiento es uniformemente variable, es decir,
con rapidez constante. La rapidez del movimiento es igual a la componente horizontal de la
rapidez del lanzamiento. En el movimiento horizontal no actúa ninguna aceleración, ya que la
gravedad influye sólo en la componente vertical; por lo tanto la rapidez en esta dirección será
constante.
Trataremos de analizar el movimiento de proyectiles.
Si una esfera rueda sobre una superficie horizontal sin rozamiento, decimos que está dotada de
movimiento uniforme. Pero si esta esfera se deja caer desde cierta altura, vemos que adquiere un
movimiento de caída libre, uniformemente acelerado, debido a la acción de la aceleración de la gravedad.
Un cuerpo adquiere un movimiento semi parabólico cuando se lanza horizontalmente desde cierta
altura cerca de la tierra.
En la figura se muestra en color rojo la trayectoria que seguirá la esfera si no tuviera sometida a la
acción de la gravedad; en color azul aparece la trayectoria que tendrá la esfera si no llevara la velocidad
horizontal Vo, y tuviera un movimiento de caída libre. En negro aparece la trayectoria de la esfera cuando
es sometida a la acción de estos dos movimientos.
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
Así mismo ocurre cuando se lanza desde el suelo hacia arriba, el objeto queda sometido a los dos
movimientos.
Ahora veremos que ocurre cuando lanzamos un objeto con cierta velocidad hacia el suelo y también
cuando lo lanzamos con un ángulo hacia arriba.
11. MOVIMIENTO DE PROYECTILES
A. PROYECTIL: Es un objeto que es lanzado al espacio sin fuerza de propulsión propia, es decir
un objeto que se lanza libremente al espacio bajo la influencia exclusiva de la gravedad. La única
fuerza que actúa sobre tal objeto es su peso.
B. MOVIMIENTO DE PROYECTILES:
Es el movimiento que realizan los objetos al ser
lanzados cerca de la superficie de la terrestre con un ángulo de inclinación respecto al suelo. Los
cuerpos se hallan sometidos s dos movimientos: uno horizontal y el otro vertical.
Al aplicar el principio de independencia de los movimientos, vemos como el movimiento de
la componente horizontal, es con velocidad constante porque en esta dirección no actúa ninguna
aceleración, y el movimiento de la componente vertical es uniforme acelerado porque en esta dirección actúa
la aceleración de la gravedad.
111.
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES:
A. .COMPONENTE DE LA VELOCIDAD
Si un proyectil es lanzado con una velocidad Vo, que forma un ángulo 0 con la horizontal, se
descompone esta velocidad en las direcciones horizontal y vertical.
Así:
Vox = Vo. Cos 
Voy = Vo. Sen 
La velocidad que lleva el proyectil en cualquier instante también se puede descomponer.
La velocidad horizontal es siempre constante , por lo tanto:
Vx =Vox= Vo. cos 
La velocidad vertical depende del tiempo transcurrido desde el lanzamiento y de la
componente vertical de la velocidad inicial.
Vy = Voy - g.t; ya que se comporta como un movimiento uniformemente acelerado.
Entonces:
Vy = Vo. sen  - g.t
B. ALTURA MÁXIMA QUE ALCANZA EL PROYECTIL:
Cuando el proyectil alcanza la altura máxima, la componente vertical de la velocidad es nula.
Por lo tanto, la ecuación V2 y- V2oy = - 2.g.Y
queda:
2
0 - V oy = - 2.g Ymax
Ymax
=Vo2 . sen 2
2.g
C. TIEMPO DE VUELO DEL PROYECTIL:
El tiempo que dura el proyectil en el aire, es el doble del que dura subiendo, por lo tanto
calculamos de la ecuación Vy = Vo. sen – g.t; el tiempo de subida, haciendo a Vy =0 y
despejando t:
ts= Vo . sen 
g
El tiempo de vuelo es tv = 2 ts, por lo tanto:
tv = 2.Vo. Sen
g
D. ALCANCE HORIZONTAL DEL PROYECTIL:
Como el movimiento de la componente horizontal es con velocidad constante, el alcance
máximo se obtiene con la expresión:
X max = Vo. Cos . tv
g
X max = Vo. Cos  (2. Vo .sen )
g
Xmax = 2.Vo2. cos. sen
g
Y como sen2 = 2 . sen.cos , se simplifica la expresión:
X max = Vo2 . sen 2
g
La altura máxima, el tiempo de vuelo y el alcance horizontal del proyectil dependen
exclusivamente de la velocidad y del ángulo de lanzamiento.
1V. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
E. Lanzamiento De proyectil desde cierta altura.
A.1. Una esfera es lanzada horizontalmente desde arriba de una torre de 30 m de alto con
velocidad horizontal de 80 m/s. Calcular:
A.1.1. El tiempo que demora la esfera en el aire.
El tiempo que demora la esfera en el aire depende exclusivamente de la altura a la cual está.
De la ecuación Y = g. t2 se despeja
2
t 2 = 2 Y/g
t 2= 2 (30m)
9.8 m/s2
t2 = 60m
9.8m/s2
t2 = 6.12 s2
t= √6.12 s2
t = 2,47 s
A.1.2. ¿A qué distancia del pie de la torre la esfera alcanza el suelo?
El alcance horizontal de la esfera depende del tiempo que ésta permanece en el aire y la
velocidad horizontal con que fue lanzada.
X = vo.t
X = (80 m/s ) (2.47s)
X = 197.9 m
X = 198 m
A. 3. ¿Con qué velocidad la esfera alcanza el suelo?
La velocidad con que la esfera alcanza al suelo, es la suma vectorial de las velocidades
horizontal y vertical en ese instante.
En X, la velocidad es constante, por lo tanto:
Vx = vo = 80 m/s
En Y, la velocidad se calcula con la expresión: V y = g.t. Porque la velocidad en Y es cero.
Vy = (9.8 m/s2)(2.47 s ) = 24.2 m/s
V2 = Vx 2 + Vy2
V2 = (80m/s)2 + (24.2 m/s)2
V2 = 6400 m2/s 2
+ 585.9 m2 /s2
V2 = 6985.9 m2/s2
V = √ 83.6 m/s
F. LANZAMIENTO DE PROYECTIL HACIA ARRIBA CON UN ÁNGULO CAYENDO AL
MISMO NIVEL.
B.1. Un balón de fútbol que se patea a un ángulo de 46º con la horizontal, recorre una distancia
horizontal de 30 metros, antes de chocar contra el suelo. Encuentra:
B.1.1. La rapidez inicial del balón:
X= 30m Ө = 46º
X = 2 Vo2 cos Ө sen Ө
g
Vo2 = X. g
2. cos Ө sen Ө
Vo2 = (30 m ) (9.8m/s2)
2.cos 46º .sen46º
Vo2 = 294 m2 / s2
2(0.6946)(0.719)
Vo 2 = 294m2 /s2
0.999
Vo 2 = 294 m2 /s2
V o = 294 m2 /s2
Vo =17 m/s
B.1.2. ¿Cuál fue la altura máxima?
Ymax = Vo2 sen2 0 = (17 m/s)2 sen2 46º
2g
2g
= 289 m2/s 2 (0.719)2
2(9.8m /s2)
Ymax = 289 m ( 0.517)
19.6
= 7.6 m
B.1.3. ¿Cuál fue el tiempo de vuelo?
Tv = 2 Vo sen Ө
g
= 2(17m/s)se46º
9.8m/s2
= (34 m/s)( 0.719)
9.8 m/s2
Tv = 24.7 m /s = 2.5 segundos
9.8 m/s2
G. LANZAMIENTO DE PROYECTIL HACIA ARRIBA CON UN ÁNGULO CAYENDO A
UN NIVEL INFERIOR.
C.1. Se lanza hacia arriba una pelota de la parte superior de un edificio que tiene 47m metros de
altura. Se lanzó con una velocidad de 20 m/s y un ángulo de 37º
C.1.1.¿Qué altura máxima alcanza la pelota?
Ymax = vo2 sen2 0 = (20 m/s )2(sen 37º)2
2g
2 (9.8m/s2)
2 2
ymax = (400 m /s )(0.6018) 2
19.6m/s2
= 400 m (0 362)
19.6
Y max = 144.8m =7.39 m 7.4 m
Ymax = Y1 + Y2
Y max = 47 m + 7.4m
Y max = 54 .4 m
C.1.2. ¿Qué tiempo demora la pelota en el aire?
t = Vo sen 
g
t1=(20 m/s) sen 37º
9.8 m/s2
t1 =(20 m/s )(0.6018)
9.8 m/s2
t 1= 1.23 s
Para calcular el tiempo total se encuentra también t2.
Vy2 = Voy2+ 2.g-.y com el objeto va a comenzar a bajar la velocidad inicial en y es cero. Por lo
tanto tenemos:
Vy =2 (9.8 m/s2) (54 .4m)
Vy = 32.6 m/s
Ahora calculamos el otro tiempo de bajada:
Vy = Voy –g.t
t = 32 .6m/s = 3.33 s
9.8 m/s2
El tiempo total es 1.23s +3.33s =4.56 s
C.1.3. ¿Cuál es el alcance horizontal?
X= Vo cos. t
X =(20m/s) (cos 37º)(4.56s)
X =(20m/s) (0.7986)(4.56s)
X =72.8 metros.
Hemos observado que el movimiento de caída libre es diferente al movimiento de proyectiles.
Porque el de caída libre es sólo un movimiento vertical; mientras que el de proyectil tiene dos movimientos
vertical y horizontal.
De acuerdo a esto pudimos realizar mucho más cálculos como por ejemplo de posición, tiempo y velocidad.
Práctica
4. Un cañón dispara un proyectil con una velocidad inicial de 46 m/s y un ángulo de inclinación
de 30º. Calcule: a) La altura máxima que alcanza el proyectil. B) El tiempo que dura el
proyectil en el aire. C) El alcance horizontal del proyectil. Respuesta: 27 m; 4,6 s; 184 m.
5. Se arroja una piedra a un ángulo de 58º con una velocidad inicial de 20,0 m/s. Calcule: a) La
altura máxima que alcanza la piedra y el tiempo que lo hace. B) El desplazamiento y la
velocidad al cabo de 3,0 s. Resp: 14,7m; 1,73 s; 32,5 m 12º; 16,3 m/s 49º.
6. Se lanza una caja de provisiones desde un avión ubicado a una altura de 340 m por encima de
un lago. Si el avión lleva una velocidad horizontal de 70,0 m/s respecto al suelo. ¿Qué
distancia recorre desde que fue lanzado hasta el momento de caer al agua?
7. Desde arriba de una torre se lanza una piedra con velocidad de 20,0 m/s, formando un ángulo
de 37º con la horizontal hacia arriba. La piedra alcanza el suelo a una distancia horizontal de
160 m respecto a la base de la torre. ¿Cuál es la altura de la torre? Resp; 370 m
8. Eduardo pretende encestar una canasta de tres puntos. Para ello lanza la pelota desde una
distancia de 6,50 m y a una altura de 1,90 m del suelo. Si la canasta está situada a una altura
de 2,50 m, ¿Con qué rapidez debe realizar el tiro si lo hace con un ángulo de elevación de 30º
¿ Sol: v = 9,31 m/s
9. Se lanza un cuerpo formando un ángulo θ con el eje X, si cae después de 18 s, ¿Cuál fue la
altura máxima alcanzada?
10. La distancia máxima horizontal a la que es capaz de hacer llegar la pelota un jugador de
béisbol después de golpearla es de 150 m, en un lanzamiento, el jugador golpea la pelota de
manera que le imprime la misma rapidez inicial con la que alcanza esa distancia máxima, pero
formando un ángulo de 20° con la horizontal. ¿En dónde chocará esta cajeta contra el piso
con respecto al a caja de bateo?
11. Se dispara un proyectil de tal manera que su alcance horizontal es igual al triple de su altura.
¿Cuál es el ángulo de lanzamiento?
12. Un balón de futbol que se patea de 46° con la horizontal, recorre una distancia horizontal de
30 m antes de chocar contra el suelo. Encuentra: a. La rapidez inicial del balón resp(17,2) b.
El tiempo que permanece en el aire. C. La altura máxima que alcanza. Resp (7,8 m)
13. Se lanza horizontalmente una pelota desde la parte superior de un edificio que tiene 47 m de
alto. La pelota choca contra el piso en un punto que se encuentra a 64 m de la base del
edificio. Calcule: a. El tiempo que la pelota se encuentra en el aire. B. velocidad inicial. c. las
componentes X y Y de la velocidad precisamente antes de que choque contra el suelo.
V. BIBLIOGRAFÍA
ALVARENGA MÁXIMO : FÍSICA GENERAL
MAURICIO VILLEGAS:
MICHELL VALERO:
GALAXIA 10
FÍSICA FUNDAMENTAL
TIPPENS PAUL : FÍSICA Y APLICACIONES
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
M.C.U.
1. Un cuerpo se mueve con un movimiento circular uniforme. ¿Cómo crees que es la trayectoria?
2. Da tres ejemplos de cuerpos que se muevan con un movimiento circular?
3. Una piedra atada a una cuerda se hace girar con un movimiento circular.
a. ¿Se moverán todos los puntos de la cuerda con la misma velocidad? Explica.
b. Al soltar la cuerda, ¿qué trayectoria sigue la piedra?
Fuerza centrípeta
Fuerza centrípeta, fuerza dirigida hacia un centro, que hace que un objeto se desplace en una
trayectoria circular. Por ejemplo, supongamos que atamos una pelota a una cuerda y la hacemos girar
en círculo a velocidad constante. La pelota se mueve en una trayectoria circular porque la cuerda
ejerce sobre ella una fuerza centrípeta. Según la primera ley del movimiento de Newton, un objeto en
movimiento se desplazará en línea recta si no está sometido a una fuerza (véase Mecánica). Si se
cortara la cuerda de repente, la pelota dejaría de estar sometida a la fuerza centrípeta y seguiría
avanzando en línea recta en dirección tangente a la trayectoria circular (si no tenemos en cuenta la
fuerza de la gravedad). En otro ejemplo, consideremos una persona montada en un carrusel. Cuando
gira, hay que agarrarse para no caerse. En el punto en que la persona está en contacto con el carrusel,
se aplica una fuerza centrípeta que hace que la persona se desplace en una trayectoria circular. Si la
persona se soltara, saldría despedida siguiendo una línea recta (tampoco aquí consideramos la fuerza
de la gravedad). En general, la fuerza centrípeta que debe aplicarse a un objeto de masa m para que se
mueva en una trayectoria circular de radio r con una velocidad constante v es
Cuando se aplica una fuerza centrípeta, la tercera ley de Newton implica que en algún lugar
debe actuar una fuerza de reacción de igual magnitud y sentido opuesto. En el caso de la pelota que
gira con una cuerda, la reacción es una fuerza dirigida hacia el exterior, o centrífuga, experimentada
por la mano que sujeta la cuerda. En el caso del carrusel, el cuerpo de la persona presiona hacia fuera
contra el asiento como reacción a la fuerza centrípeta ejercida por el asiento.
La idea de fuerza centrífuga puede generar confusión. Frecuentemente se piensa que sobre un objeto
que se mueve en una trayectoria curva actúa una fuerza que tiende a desplazarlo hacia fuera,
alejándolo del centro, y que esta fuerza equilibra la fuerza centrípeta que tira de él hacia dentro. Pero,
en realidad, no hay ninguna fuerza centrífuga que actúe sobre el objeto, con lo que la fuerza
centrípeta no está equilibrada y el objeto no tiende a moverse hacia fuera. Si se suprimiera de pronto
la fuerza centrípeta (una vez más, prescindiendo de la gravedad), el objeto no se aceleraría, sino que
seguiría moviéndose en una línea recta tangente, lo que demuestra que sobre el objeto no actúa
ninguna otra fuerza.
Sin embargo, desde el punto de vista del objeto en movimiento, puede parecer que existe dicha fuerza
centrífuga. Las personas que giran en un carrusel sienten una fuerza que tiende a alejarlas del centro.
Al contrario que una fuerza real, que se debe a la influencia de un objeto o un campo, esta fuerza
centrífuga es una fuerza ficticia. Las fuerzas ficticias sólo aparecen cuando se examina un sistema
desde un marco de referencia acelerado. Si se examina el mismo sistema desde un marco de
referencia no acelerado, todas las fuerzas ficticias desaparecen. Las personas de un carrusel que gira
sienten una fuerza centrífuga solamente porque el carrusel es un marco de referencia acelerado. Si el
mismo sistema se analiza desde el suelo, que es un marco de referencia no acelerado, no existe fuerza
centrífuga alguna. El individuo estacionario sólo observaría la fuerza centrípeta que hace que las
personas que giran en el carrusel sigan moviéndose en una trayectoria circular. En general, las fuerzas
reales aparecen independientemente de que el marco de referencia empleado sea acelerado o no; las
fuerzas ficticias sólo aparecen en un marco de referencia acelerado.
.
Fuerza centrípeta
Cuando se hace girar en círculo una pelota, ésta es acelerada ‘hacia dentro’. La aceleración se debe a
una fuerza centrípeta (que tiende hacia el centro): la tensión de la cuerda. La fuerza necesaria es igual
a mv2/r, donde m es la masa de la pelota, v su velocidad y r el radio de la circunferencia descrita. La
mano que tira de la cuerda experimenta una fuerza de reacción centrífuga (dirigida hacia fuera).
La trayectoria que sigue el móvil es una circunferencia, la velocidad cambia continuamente de
dirección siempre tangente a la trayectoria, pero la rapidez es constante. Es decir, la magnitud de la
velocidad conserva siempre el mismo valor.
Conceptos y ecuaciones de M. C. U.
Frecuencia: es el número de vueltas que da el cuerpo en la unidad de tiempo. Se simboliza con la
letra (f) y sus unidades son Vueltas /segundo, revoluciones por minuto(r.p.m) o revoluciones por
segundo (r.p.s.); operacionalmente la unidad de frecuencia es s-1.
F = número de vueltas
Tiempo empleado
Período: es el tiempo que emplea el móvil en dar una vuelta, se simboliza T y su unidad es el
segundo.
T = tiempo empleado
Número de vueltas
Ejemplo: ¿Cuál es la frecuencia y el período de un móvil que da 36 vueltas en 15 segundos?
Solución:
F = número de vueltas
Tiempo empleado
t = tiempo
número de vueltas
F = 36 vueltas = 2,4 s-1
t = 15 s
= 0,417 s
15 s
36 vueltas
velocidad lineal o tangencial: la velocidad lineal de una partícula que describe un M.C.U. es un vector
tangente a la trayectoria. Su magnitud se obtiene calculando el arco recorrido en la unidad de tiempo.
Cuando el móvil da una vuelta completas, recorre un arco igual a la longitud de la circunferencia y
emplea un tiempo igual a un período. Por lo tanto:
V =s
V =2πr
t
t
Velocidad angular: El radio que une el centro de la circunferencia con la partícula P barre ángulos
iguales en tiempos iguales. Definimos la velocidad angular (w), como el ángulo barrido en la unidad
de tiempo.
W = Ө/t
W se mide en rad / s
Cuando el ángulo barrido es un ángulo de giro, el tiempo que emplea es un período. Por lo tanto,
W = 2 π/ t
La aceleración centrípeta aparece en el M. C. U. Debido ala variación en la dirección de la
velocidad.
RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD TANGENCIAL
Como w = 2 π y vt = 2 π r, resulta que vt = w. r o w = vt /r
T
T
Aceleración centrípeta:
Un cuerpo que se desplaza con movimiento circular uniforme, mantiene constante la magnitud
velocidad, lo cual implica que no existe una aceleración en la dirección tangencial de la trayectoria,
pero como la velocidad cambia de dirección debe existir una aceleración que refleje este hecho.
a = v 2 /r
a = 4 π2 r
t2
Esta expresión nos permite calcular la magnitud de la aceleración, su dirección es la misma que la de
V, dirigida hacia el centro del círculo. Por ello se llama aceleración centrípeta.
Práctica
1. Una rueda de automóvil da 240 vueltas en un minuto. Calcula la frecuencia y el período. Resp f= 4
Hertz;T=0,25 s
2. Calcular la velocidad tangencial y angular de un móvil que describe una circunferencia de 18 cm de radio
de 0,8 s.
Resp. V= 1,41 m/s; W= 7,85 rad/s
3. Dos poleas de 8 y 12 cm de radio respectivamente, giran conectadas por una banda. Si la frecuencia de la
polea de menor radio es 20 vueltas/s, ¿cuál será la frecuencia de la polea de mayor radio?
4. Calcula la velocidad con que se mueven los cuerpos que están en la superficie de la tierra,
5.
6.
7.
8.
9.
10.
sabiendo que su período es de 24 horas y el radio de 6 400 km aproximadamente.
Dos poleas de 28 cm y 45 cm de radio respectivamente, se hallan conectadas por una banda, si la
polea de mayor radio da 6 vueltas en 3 segundos, ¿cuál es la frecuencia de la polea de menor
radio?
Un móvil recorre una circunferencia de 5 m de radio dando 3 vueltas cada segundo. Calcular: la
velocidad tangencial y la aceleración centrípeta.
Una rueda que tiene 12 m de diámetro, realiza 42 vueltas en 7 s. Calcula: a. Período b.
Frecuencia c. Velocidad angular d. velocidad lineal e. Aceleración centrípeta.
La hélice de un avión da 4 000 vueltas en 64 segundos. Calcula:
a. período del movimiento
b. frecuencia c. velocidad angular d. la aceleración centrípeta e. Fuerza centrípeta si la masa es
500 kg
Un auto recorre una pista circular de 420 metros de radio y da 24 vueltas cada 8 minutos. a.
período del movimiento b. frecuencia c. velocidad lineal o tangencial
d. velocidad angular
e. Aceleración centrípeta. f. La fuerza centrípeta si la masa es 1 000 kg
Una polea de rotación, tiene 9,6 cm de radio y un punto extremo gira con una velocidad de 45
cm/s. En otra polea de 18 cm de radio un punto extremo gira con una velocidad de 66 cm /s.
Calcula la velocidad angular de cada polea.
Ejercicio de Física
Nombre:_______________________________ Año_________________ Fecha:____________
Resolver los problemas nítidamente: 20 puntos
1. Llene los espacios con la respuesta correcta:
-Fuerza dirigida hacia un centro, que hace que un objeto se desplace en una trayectoria circular:
__________________________________
- Es el número de vueltas que da el cuerpo en la unidad de tiempo:______________________
- Es el tiempo que emplea el móvil en dar una vuelta____________________________
- Es variación en la dirección de la velocidad:_________________________________
- Es un vector tangente a la trayectoria:______________________________
2. Una rueda de carreta da 250 vueltas en 2 minutos. Calcula la frecuencia y el período. 5
puntos.
3. Un auto recorre una pista circular de 400 m de radio y da 20 vueltas en 5 minutos. Calcula: 5
puntos.
a. Periodo
b. Frecuencia
c. Velocidad lineal
d. Velocidad angular
e. Aceleración centrípeta
4. Una rueda que tiene 10 m de diámetro, realiza 54 vueltas en 9 segundos. Calcular: 5 puntos.
a. Velocidad angular
b. Aceleración centrípeta
BIBLIOGRAFÍA
ALVARENGA MÁXIMO : FÍSICA GENERAL
MAURICIO VILLEGAS:
MICHELL VALERO:
GALAXIA 10
FÍSICA FUNDAMENTAL
TIPPENS PAUL : FÍSICA Y APLICACIONES
EDUARDO FLORES ;EMILIO MORENO: FILOSOFÍA DE LA NATURALEZA