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Módulo 3:
OSCILACIONES Y ONDAS
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ÍNDICE
Módulo 3: Oscilaciones y ondas.
- Resúmenes…………………………………………………………
- Problemas propuestos …………………………………………….
- Problemas resueltos ………………………………………………
- Soluciones ………………………………………………………….
Página
51
52
59
70
78
Tema 10: OSCILACIONES
1. Movimiento harmónico simple. Ecuaciones de movimiento


La posición x de una partícula en movimiento armónico simple, mas, viene dada
por:
x  A cos(t   )
X
+A
donde A es la amplitud,  la frecuencia angular
y δ es la fase inicial. El movimiento físico de la
partícula descrito por esta ecuación es una
T
oscilación simétrica respecto al punto x = 0. La
representación grafica de la oscilación permite
visualizar el tiempo necesario para una - A
oscilación completa, denominado período (T).

t
La velocidad y la aceleración de la partícula que oscila con un mas vienen dadas,
respectivamente, por:
a   A 2 cos(t   )   2 x
v   A sin(t   )
La aceleración es proporcional a la posición, x, con signo contrario.

La frecuencia  de un mas se define como el número de oscilaciones por
segundo hechas por la partícula. Por lo tanto, es la inversa del período. Ambas
magnitudes dependen de la frecuencia angular según las expresiones.
T 
2
 


2
2. Movimiento de una masa unida a un muelle. Energía potencial elástica

El movimiento de oscilación de una masa
x<0
x>0
unida a un muelle es un ejemplo de mas. La
F
el > 0
Fel < 0
fuerza que ejerce el muelle sobre la masa
es proporcional a la deformación del muelle
o, lo que es equivalente, al desplazamiento
-A
x=0
+A
del cuerpo respecto a la posición de
equilibrio, x. Si Fel es la única fuerza que actúa sobre la masa, entonces la
aceleración de la misma resulta también proporcional a la posición.
Fel   kx
a
52
Fel
k
 x
m
m
X
La constante de proporcionalidad, k, es la constante elástica del muelle.

En este caso la frecuencia angular, , y el periodo T resultan:
k
m
T  2
m
k
La energía potencial de una masa que oscila unida a un muelle de constante
elástica k es:


U el 
1 2
kx
2
donde x es el desplazamiento del cuerpo respecto a la posición de equilibrio, que
se toma como punto de referencia.

La energía mecánica del movimiento harmónico simple es proporcional al
cuadrado de la amplitud. En el caso de una masa que oscila unida a un muelle,
de constante elástica k, es:
E   c  U el 
1 2
kA
2
3. Oscilaciones amortiguadas

En las oscilaciones de los sistemas reales, el movimiento es amortiguado debido
a las fuerzas de fricción, o a otras fuerzas que disipan la energía. Si el
amortiguamiento es más grande que cierto valor crítico, el sistema no oscila sino
que retorna simplemente a su posición de equilibrio cuando es perturbado.
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Tema 11: DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO EN UNA
DIMENSIÓN
1. Introducción

Una onda es una “perturbación” que se propaga en un medio. El término
“perturbación” significa “cambio” de una magnitud física. En el caso de las ondas
en una cuerda, la perturbación es un desplazamiento vertical de las partículas de
la cuerda.

En las ondas transversales, como las ondas en una cuerda, la perturbación es
perpendicular a la dirección de la propagación. En las ondas longitudinales,
como las ondas sonoras, la perturbación es paralela a la dirección de
propagación.

La propagación implica transporte de energía y de cuantidad de movimiento.
2. Función de onda

Cualquier perturbación que se propague en un medio unidimensional (que se
hace coincidir con el eje X) se describe matemáticamente mediante funciones de
tipo:
f x, t   f x  vt  [1]
o bien
f x, t   f x  vt  [2]
Donde x localiza los puntos del medio, t es el tiempo, y v es la velocidad de
propagación, o velocidad a la que se desplaza la perturbación en el medio. La
función [1] corresponde a una perturbación que se propaga en el sentido
creciente del eje X y la función [2] a una que se propaga en sentido contrario.
3. Velocidad de propagación de un pulso en una cuerda

La velocidad de una onda depende de las propiedades elásticas del medio, y es
independiente del movimiento de la fuente que produce las ondas. En el caso de
una cuerda, la velocidad de las ondas depende de la tensión de la cuerda y de
su masa por unidad de longitud, μ, mediante la expresión:
v 
Tensión

4. Reflexión y transmisión de pulso

Si una perturbación llega a un punto donde hay un cambio de medio entonces,
en parte se refleja, volviendo por el medio donde venia, y en parte se transmite
hacia al segundo medio.
54
5. Ondas harmónicas en una dimensión

En el caso de las ondas harmónicas, la perturbación varía sinusoidalmente con
el tiempo y el espacio. La función de onda es:
y x, y   y 0 sin k x  vt      y 0 sin kx  wt   
donde y0 es la amplitud de la onda, k es una constante llamada número de onda,
w = k·v es la frecuencia angular, y δ es la fase inicial de la onda.
6. Parámetros que caracterizan una onda harmónica

La longitud de onda, λ, es la distancia mínima entre dos puntos del medio por los
cuales el valor de la función de onda es el mismo en todo instante de tiempo.
Coincide con la distancia entre “crestas” sucesivas de la onda.

El período, T, de la onda es el tiempo que tarda la función de onda en un punto,
en repetir-se a si misma. Coincide con el período del movimiento harmónico que
genera la onda.

La frecuencia,, de la onda es el número de veces por segundo que la función
de onda de un punto se repite a si misma ( = 1/T).

Las constantes k y  están relacionadas con la longitud de onda i el período
mediante las expresiones
k 

2


2
 2 v
T
La velocidad de una onda harmónica está relacionada con las constantes
descritas ene este apartado de acuerdo con:
v  

T


k
7. Energía de una onda harmónica

La energía transmitida por una onda harmónica es proporcional al cuadrado de
la amplitud de la onda E  (y0)2.
8. Ecuación de onda

Cualquier función que describe correctamente una perturbación que se propaga
sigue la ecuación de onda, que relaciona las derivadas espaciales de la función
de onda con las derivadas temporales:
 2f
1  2f


 2 v 2 t 2
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9. Ondas sonoras

Una onda sonora es una vibración de partículas de aire que se propagan por
colisión. Las ondas sonoras son longitudinales.

Las ondas sonoras se generan mediante la vibración de un objeto material
(diapasón, cuerdas vocales, membrana de un alta voz...) que provoca la
vibración de partículas de aire.

La descripción matemática de una onda sonora unidimensional que se propaga
de izquierda a derecha en la dirección horizontal, paralela al eje x es:
s( x, t )  s0 sin( kx  t )
donde
o s es el desplazamiento horizontal de una partícula de aire respecto a
su posición de equilibrio.
o x es la posición de equilibrio de cada partícula.
o s0 es la amplitud de la oscilación y el resto de parámetros son comunes
a les ondas ya estudiadas.

La velocidad de propagación del sonido en el aire (T = 20ºC) es v = 340 m/s.
56
Tema 12: SUPERPOSICIÓN DE ONDAS 1D
1. Interferencia. Superposición

Cuando dos o mas ondas se encuentran en un punto decimos que se produce
una interferencia entre ellas.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: Cuando dos o mas ondas interfieren en un
punto, la perturbación resultante es la suma de las perturbaciones que produciría
cada onda de forma separada en este punto. Por lo tanto, la función de onda
resultante se obtiene sumando las funciones de las ondas que interfieren.
fR = f1 + f2 + …
2. Superposición de dos ondas harmónicas

Cuando interfieren dos ondas harmónicas, y1 i y2
y 1  y 0 sin( kx  t )
y 2  y 0 sin( kx  t   )
que se propagan en el mismo sentido, con las mismas amplitud, frecuencia y
longitud de onda, y una diferencia de fase , la función de onda resultante es:
y R  2y 0 cos( / 2) sin( kx  t   / 2)
La longitud de onda y el período de yR son los mismos que los de y1 e y2.

 = 0, 2n  yR = 2y1 = 2y2 (interferencia constructiva).

 = , (2n+1)  yR = 0 (interferencia destructiva).
3. Funciones de onda estacionarias

Las perturbaciones provocadas en un medio unidimensional confinado se
reflejan en sus extremos y en el medio se tienen ondas viajando en los dos
sentidos, que se superponen.

El resultado de la superposición de dos ondas
harmónicas con las mismas amplitudes,
frecuencia y longitud de onda es:
y R  2y 0 sin kx cost
se trata de una perturbación que NO se
propaga llamada onda estacionaria.

En la figura se representa el valor de la perturbación en función de x, en
instantes de tiempo sucesivos, lo que permite visualizar que:
o en cada punto del medio el valor de la perturbación oscila con amplitud
Ax  2y 0 sin kx ;
o existen una serie de puntos en los cuales la perturbación es nula en todo
instante de tiempo, denominados NODOS;
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o
o
intercalados con los nodos existen los VIENTRES, que son aquellos puntos
del medio en los que el valor de Ax es el máximo posible (Ax = 2y0);
la distancia entre los dos nodas consecutivos coincide con la que hay entre
vientres consecutivos y es
NN  VV 

2
4. Ondas estacionarias en una cuerda fijada por los dos extremos

En el caso de una cuerda de longitud L fijada por los dos extremos, la condición
necesaria y suficiente para a tener en ella una onda estacionaria con nodos y
vientres bien diferenciados es:
Ln

n
2
n
v
2 n
n = 1, 2, 3...
La frecuencia correspondiente a n = 1, se denomina frecuencia fundamental.
1 
2L
v
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PROBLEMAS
1. El periodo correspondiente a la oscilación de una masa, m = 0,75 Kg, unida a un
muelle es T = 1,5 s. La amplitud de la oscilación es A = 10 cm.
a) Calcular la constante elástica del muelle.
b) Si la posición de la masa en el instante inicial es x = +10 cm, ¿cuál es la
ecuación de movimiento, x(t), de la masa?
c) Calcular la velocidad y la aceleración de la masa cuando su posición es x
= +6 cm.
2. Un cuerpo está oscilando armónicamente con un período de 0,5 s y una amplitud
de 20 cm. Calcular:
a) Los valores máximos de la velocidad y la aceleración.
b) La aceleración y la velocidad cuando el cuerpo está a 10 cm del punto de
equilibrio.
c) Escribir la ecuación de la trayectoria del cuerpo sabiendo que en el
instante inicial se encuentra a 10 cm del punto de equilibrio.
d) El tiempo que tarda el cuerpo en desplazarse desde el punto de equilibrio
hasta un punto situado a una distancia de 15 cm de él.
3. Un cuerpo de masa m está colgado del extremo de un muelle
de constante recuperadora k, como indica la figura. Describir
el movimiento que efectuará la masa si la desplazamos una
distancia xo de la posición de equilibrio y la soltamos. Calcular
en cada instante la energía cinética, la energía potencial
elástica y la energía potencial gravitatoria.
4. Un objeto de 400 g de masa se deja caer desde una
altura h= 50 cm sobre un muelle de constante
elástica k = 2000 N/m. Suponiendo que no actúa
ninguna fuerza disipativa, se pregunta:
a) Describir lo que sucederá.
b) ¿Cuál será la longitud máxima que se
comprimirá el muelle?
5. Una masa m = 2 Kg está fijada en el extremo de
un muelle de longitud natural x0 = = 30 cm y
constante k = 2000 N/m. La masa describe un
movimiento circular uniforme sobre una superficie
horizontal sin rozamiento con una velocidad v = 4
m/s. (ver figura).
a) ¿Qué fuerzas actúan sobre la masa m? ¿Quién hace estas fuerzas?
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b) Escribir una ecuación que relacione el incremento de longitud del muelle x,
con la masa m, la velocidad v, la longitud natural x0 y la constante de
fuerza k. Resolver esta ecuación cuadrática en x para los valores dados.
6. Tenemos dos muelles M1 y M2 de los que sabemos que se comprimen 4 cm y 6
cm, respectivamente, cuando están situados en posición vertical aguantando un
objeto de 12 Kg.
a) Calcular las constantes elásticas de los muelles.
Estos muelles se utilizan en el dispositivo
indicado en la figura. Se observa que
comprimiendo el muelle M1 una longitud
determinada ℓ, y a continuación soltándolo,
una bola de 100 g de masa llega a la
posición del muelle M2 comprimiéndolo 3
cm.
Suponiendo que no haya pérdidas de
energía por rozamiento y que la bola
puede considerarse puntual, se pide:
b) Determinar la longitud ℓ.
c) Determinar la velocidad con la que la bola llega a la posición del muelle
M2.
7. Un resorte de masa despreciable y constante recuperadora 600 N/m se mantiene
recto mediante un tubo guía de paredes lisas (sin rozamiento). El tubo se fija en
posición horizontal sobre una mesa. El resorte se comprime
10 cm y se fija con un pasador. Una esfera de 200 g y del
mismo diámetro que el resorte se coloca en contacto con él,
tal como indica la figura. Si el pasador se retira, permitiendo
que el resorte se alargue:
a) ¿Qué velocidad final adquirirá la esfera?
Si se repite el procedimiento anterior pero con el tubo apuntando verticalmente
hacia arriba,
b) ¿Cuál será la altura máxima alcanzada por la esfera respecto a su
posición inicial?
c) ¿En qué punto de la trayectoria ascendente de la esfera dejará ésta de
estar en contacto con el resorte? ¿Cuál será la velocidad de la esfera en
este punto?.
60
8. Un escalador en roca de masa m = 80 Kg asegura la cuerda
en el punto A y continua la ascensión hasta el punto B. la
distancia AB coincide con la longitud natural de la cuerda, que
es de 20 m. El escalador cae. Teniendo en cuenta que a
efectos elásticos la cuerda puede considerarse como un
muelle de constante k = 1460 N/m, calcular:
a) El alargamiento que ha experimentado la cuerda
cuando el escalador llega al punto más bajo de su
trayectoria C.
b) La tensión de la cuerda y la aceleración que
experimenta el escalador en el mismo punto. (Tener
presente que con una aceleración de 20 a 30 veces g,
se supera la resistencia estructural de las vértebras y
se producen daños irreversibles).
c) ¿En qué punto de la trayectoria de caída del escalador
es máxima la velocidad? Calcularla.
1
A
B
C
9. *Un ascensor vacío de masa m = 500 Kg está subiendo con una velocidad
constante v = 2 m/s y cuando se encuentra a una altura h = 10 m sobre la
plataforma de seguridad se rompe el cable (ver figura).
a) Suponiendo que no actúa ninguna
fuerza de frenado durante el movimiento
de caída, calcular la velocidad con la
que el ascensor llegará a la plataforma
de seguridad. ¿Sería diferente el
resultado obtenido si el ascensor
estuviera cargado?
b) Al llegar a la plataforma de seguridad,
observamos que el muelle se comprime
0,5 m. Calcular la constante elástica del
muelle. Calcular la aceleración del
ascensor en el punto
de
máxima
compresión del muelle.
c) Si el ascensor tuviera un sistema de frenado, determinar la fuerza que
tendría que hacer (suponiéndola constante sobre todo el movimiento de
caída) para reducir a la mitad la compresión del muelle.
10. Una onda armónica transversal de longitud de onda igual a 2 cm se propaga de
izquierda a derecha a una velocidad v = 1 cm/s y tiene una amplitud y0 = 1 cm.
Calcular el periodo de la onda. Determinar la función que describe esta onda.
Representar gráficamente los perfiles de la onda en los instantes t = 0, T/4, T/2,
3T/4 y T, donde T es el periodo. Representar gráficamente también la oscilación
en el tiempo del punto emisor (x = 0) y de los puntos que se encuentran a 0,5,
1, 1,5, y 2 cm del emisor.
61
11. Sea una onda armónica que se propaga hacia la derecha por una cuerda. La
evolución temporal de la onda en el punto x = 0 viene dada por la expresión:
y ( 0, t ) = - y0 sen ( 100  t )
(t en segundos)
y la expresión que describe la forma de la cuerda en el instante t = 0 es
y ( x, 0 ) = y0 sen ( 4  x )
(x en metros)
a) Determinar el periodo, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de
propagación de la perturbación. Escribir la función de onda y ( x , t ).
b) Representar gráficamente la evolución temporal de la perturbación en los
puntos x = 0,125 m y x = 0,250 m.
c) Representar gráficamente la forma de la onda en los instantes t = 0,005 s
y t = 0,010 s.
12. *
a) En la figura se ha representado la estructura espacial de una perturbación
que se propaga en el sentido positivo del eje de las X, en tres instantes
sucesivos. Determinar la longitud de onda, la velocidad, la frecuencia y el
periodo de la perturbación. Escribir su función de onda.
b) Representar la forma de la perturbación en función del tiempo en el punto
x = 0 m.
13. En la figura está representada la evolución temporal de una perturbación
armónica en el punto x = 0.
Si esta perturbación se desplaza hacia la derecha con una velocidad de 2 m/s,
se pregunta:
(a).
Determinar el periodo, la
frecuencia y la longitud de onda
de la perturbación. Escribir su
función de onda.
(b).
Representar
la
evolución
temporal de la perturbación en
los puntos x = 0,5 m y x = 1 m.
62
(c).
Representar la forma de la perturbación en el instante t = 0 s y en t =
0,75 s.
14. En la figura adjunta se ha representado la estructura espacial de una
perturbación armónica en el tiempo t = 0 s. Si esta perturbación se desplaza
hacia la derecha con una velocidad de 0,5 m/s se pide:
(a).
Representar la estructura espacial de la perturbación en los instantes
de tiempo t = 1 s y t = 4 x.
(b).
Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el periodo de la
perturbación. Escribir su función de onda.
(c).
Representar la forma de la perturbación en función del tiempo en los
puntos x = 0 m y x = 15 m.
15. La función de onda correspondiente a una onda armónica en una cuerda es:
y ( x, t ) = 0,001 sen ( 62,8 x + 314 t )
donde x e y se miden en metros y t en segundos.
(a).
¿En qué sentido se propaga la onda? ¿Cuál será su velocidad?
(b).
Hallar la longitud de onda, la frecuencia y el periodo.
(c).
¿Cuál es el desplazamiento máximo de un punto cualquiera de la
cuerda?
(d).
Representar gráficamente la forma de la onda para t = 0 y la
dependencia temporal de la perturbación en el punto x = 0.
16. En un extremo de una cuerda perfectamente elástica aplicamos un movimiento
armónico en la dirección transversal de frecuencia  = 5 Hz que genera una onda
armónica que se propaga por la cuerda hacia la derecha con una velocidad v = 2
m/s y una amplitud de 3 cm. Suponiendo que la cuerda es infinitamente larga, se
pregunta:
63
(a).
Determinar la longitud de
onda, el periodo y la
frecuencia angular de la
perturbación. Escribir su
función de onda (suponer
que cuando t = 0 s la
perturbación en x = 0 m es
nula).
(b).
Representar la forma de la
perturbación en función del
tiempo en x = 0 m y en x = 0,6 m.
Representar la estructura espacial de la perturbación para t = 0 s.
(c).
Si modificamos el valor de la frecuencia del movimiento armónico
aplicado al extremo de la cuerda, ¿variará la velocidad con la que se
propaga la onda armónica? ¿Por qué?.
Determinar la tensión a la que está sometida la cuerda, sabiendo que
su densidad lineal de masa es de 0,2 Kg/m.
17. En un extremo de una cuerda de densidad lineal de masa  = 5 g/m y sometida a
una tensión de 50 N, provocamos, utilizando un vibrador, una perturbación
armónica transversal. La perturbación se propaga por la cuerda de manera que
en el instante de tiempo que tomamos como t = 0 su forma es la representada en
la figura:
Se pregunta:
(a).
Determinar la velocidad de propagación de la perturbación por la
cuerda. Representar gráficamente la forma de la cuerda en el instante
de tiempo 0,0025 s, suponiendo que la perturbación se propaga en el
sentido positivo del eje X.
(b).
Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el periodo de la
perturbación. Escribir su función de onda.
64
(c).
Representar el valor de la perturbación en el punto x = 1,5 m en función
del tiempo. ¿Cambiará la frecuencia de la perturbación si variamos la
frecuencia de oscilación del vibrador? ¿Y si cambiamos la tensión de la
cuerda?
18. Por una cuerda de densidad lineal de masa  = 0,5 Kg/m se propaga una
perturbación armónica transversal en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que
la cuerda está sometida a una tensión Tensión = 800 N y que en el instante t = 0
s la perturbación en todos sus puntos es la representada en la figura, se
pregunta:
(a).
Determinar la velocidad de propagación de la perturbación.
Representar gráficamente la perturbación de la cuerda en el instante t =
0,25 s.
Determinar la longitud de onda , la frecuencia , el periodo T y la
constante de fase inicial  de la perturbación. Escribir su función de
onda.
(b).
Representar la perturbación en función del tiempo en los puntos x = 0
m y x = 10 m. Determinar dos puntos de la cuerda que tengan la
misma fase que el situado en x = 5 m. Razonar la respuesta.
19. En la figura se representa la estructura espacial de una perturbación que se
propaga en el sentido positivo del eje X en el instante t = 0 s.
La evolución temporal de la onda en el punto x = 0 viene dada por la
expresión:
y (0, t) = y0 sin ( -50  t + /2 )
(a).
Determinar el periodo, la frecuencia, la longitud de onda, la velocidad
de propagación y la fase inicial  de la onda. Escribir la función de onda
y ( x, t ).
(b).
Representar gráficamente la estructura espacial de la perturbación en
el instante t = 0,01 x y la evolución temporal de la perturbación en el
punto x = 3 m.
65
(c).
¿Cuál sería el resultado de superponer la onda estudiada con otra
onda descrita por la siguiente función?
y ( x, t ) = y0 sin ( (/2)x - 50  t + 3/2 )
20. Un hombre sentado en una barca de 15 m de longitud observa que una ola tarda
5 s en recorrer la longitud de la barca, y que un corcho flotando en el agua
efectúa 5 oscilaciones completas en 4 s. Calcula la velocidad de propagación de
las olas y su longitud de onda.
21. Un altavoz emite una onda armónica acústica que se propaga en el sentido
positivo del eje X. En la figura adjunta se ha representado el desplazamiento
longitudinal s de las moléculas en función de la posición en un instante de tiempo
determinado que tomaremos como t = 0 s.
Se pregunta:
(a).
¿En qué puntos del espacio tendremos en el tiempo t = 0 s una
acumulación de moléculas?
Representar gráficamente la presión en función de la posición.
(b).
Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el periodo de la onda
acústica (la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s).
(c).
Representar gráficamente el desplazamiento que experimenta una
molécula situada en la posición x = 0,25 m en función del tiempo.
¿Cómo será el movimiento de esta molécula?
22. La ecuación de una onda estacionaria en una cuerda es:
y ( x, t ) = A sen ( kx ) · cos ( wt )
donde A = 0,04m, k = 4 ·m-1, w = 800  rad/s.
Se pregunta:
66
(a).
¿Cuál es la distancia entre los nodos?
(b).
¿Cuál es la longitud de onda de las ondas que se superponen para
producir esta onda estacionaria?
(c).
¿Cuál es la frecuencia de la vibración?
(d).
¿A qué velocidad se propagan en la cuerda estas ondas viajeras?
(e).
¿Cuáles son las amplitudes A’ (si las suponemos idénticas), de las dos
ondas viajeras que forman la onda estacionaria?
23. Una cuerda de 3 m de longitud fija en ambos extremos vibra con su tercer
armónico. El desplazamiento máximo de un punto cualquiera de la cuerda es de
4 mm. La velocidad de las ondas transversales en esta cuerda es de 50 m/s.
(a).
¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de esta onda?.
(b).
Escribir la función de onda correspondiente.
24. En uno de los extremos de una cuerda
aplicamos un movimiento armónico en la
dirección transversal, que genera una
onda armónica que se propaga por la
cuerda hacia la derecha con una
velocidad v = 60 m/s.
La evolución temporal de la perturbación
en x = 0 es la que se representa en la
figura 1.
(a).
Determinar el periodo, la frecuencia, la longitud de onda y la fase inicial
de la onda. Escribir su función de onda.
(b).
Representar la evolución temporal de la perturbación en el punto x =
0,3 m. Representar la forma de la cuerda cuando t = 2,5·10 -3 s.
(c).
En esta misma cuerda, de densidad lineal
 = 2,5 g/m, reproducimos el experimento
de la figura 2, donde el vibrador tiene una
frecuencia de 100 Hz.
¿Qué masa deberemos colgar para obtener la velocidad de
propagación v = 60 m/s que teníamos? Si la distancia AB es L = 1,2 m,
¿se formará una onda estacionaria? ¿Por qué? En caso afirmativo
dibujar la forma de la cuerda.
67
25. Una onda armónica se propaga en una cuerda con velocidad v = 5 m/s. La
evolución temporal de la perturbación en el punto x = 0 es la que se representa
en la figura.
(a).
Determinar el periodo, la frecuencia, la longitud de onda y la fase inicial
de la onda. Escribir la función de onda.
(b).
Representar la evolución temporal de la perturbación en x = 0,05 m.
¿Cuál será la forma de la cuerda en el instante t = 0,005 s?
(c).
Escribir la función de onda correspondiente a una onda que interfiera
destructivamente con la descrita. ¿Cómo seria la evolución temporal de
esta segunda onda en x = 0?
26. *Un altavoz emite una onda sonora armónica que se propaga en el aire de
izquierda a derecha, la función de onda correspondiente a la oscilación
longitudinal de las moléculas es, en el instante t = 0:
s ( x, t ) = s0 · sin ( 4x )
Donde x se expresa en metros.
(a).
Determinar la longitud de onda, el periodo, la frecuencia y la fase inicial
de la onda sonora. Escribir la función de onda s (x,t). (velocidad del
sonido = 340 m/s).
(b).
Representar gráficamente el desplazamiento longitudinal de las
moléculas en los instantes t = 0 y t = 1/1360 s.
Representar gráficamente la evolución temporal de la oscilación
longitudinal de una molécula de aire situada en x = 0.
(c).
Al lado de este altavoz colocamos otro que emite con la misma
frecuencia. La superposición de las ondas emitidas por el primer y el
segundo altavoz da lugar a una interferencia destructiva. ¿Qué significa
esto? ¿Cómo tiene que ser la función de onda s’ ( x, t ) correspondiente
al segundo altavoz? ¿Cómo se puede conseguir experimentalmente
esta situación?
68
27. Una onda armónica transversal se propaga en una cuerda y su estructura
espacial en tres instantes de tiempo sucesivos es la que se representa en la
figura.
(a).
Determinar la longitud de onda, la velocidad de propagación, el periodo
y la fase inicial de la onda. Escribir la función de onda.
(b).
Representar la forma que tendría la cuerda en el instante t = 0,015 s.
Representar la evolución temporal de la perturbación en x = 0,5 m.
(c).
Escribir la función de onda correspondiente a una onda que
superpuesta con la descrita diera interferencia destructiva. Justificar la
respuesta (tan ampliamente como creas conveniente).
69
PROBLEMAS RESUELTOS
*9.-
Un ascensor vacío de masa m = 500 Kg está subiendo con una velocidad
constante v = 2 m/s y cuando se encuentra a una altura h = 10 m sobre la
plataforma de seguridad se rompe el cable (ver figura).
(a)
Suponiendo que no actúa ninguna fuerza de frenado durante el
movimiento de caída, calcular la velocidad con la que el ascensor llegará
a la plataforma de seguridad. ¿Sería
diferente el resultado obtenido si el
ascensor estuviera cargado?
(b)
Al llegar a la plataforma de seguridad,
observamos que el muelle se
comprime 0,5 m. Calcular la constante
elástica del muelle. Calcular la
aceleración del ascensor en el punto
de máxima compresión del muelle.
(c)
Si el ascensor tuviera un sistema de frenado, determinar la fuerza que
tendría que hacer (suponiéndola constante sobre todo el movimiento de
caída) para reducir a la mitad la compresión del muelle.
a) Si no actúa ninguna fuerza de freno, la única fuerza que
actúa es la gravitatoria, que es conservativa. Esto quiere
decir que la energía mecánica se conservará a lo largo
de todo el recorrido del ascensor.
EA= EB;
m= 500 Kg
v= 2 m/s
h= 10 m
EA= (1/2). 500.22 + 500.10.10= 51000 J
EB= (1/2).500.vB2 + 0
vB =
51000
= 14,28 m/s
250
Este valor de la velocidad es independiente de la masa que cae, como se
deduce a partir de la igualdad EA= EB. En efecto, sustituyendo las energías por
sus valores en un caso general:
(1/2).mvA2 + mghA= (1/2).mvB2 + 0
vemos que la masa se simplifica y queda:
70
1 2
v B = 2( v A + ghA ) = 14,28m/s
2
b) Ahora tomaremos el cero de energía potencial gravitatoria en el punto C (el más
bajo de la trayectoria) y no en B como hemos hecho en el apartado anterior. Por
eso el valor de la energía mecánica en A, EA, no será el mismo que antes.
EA´=EC;
EA´= (1/2). 500.22 +500.10.10,5= 53500 J
EC= 0 +0 +(1/2).k.Δx2= (1/2).k.0,25
k= 2.(53500/0,25)= 428000 N/m
En el punto de máxima compresión del muelle actúan dos fuerzas: el peso,
hacia abajo, y la que hace el muelle hacia arriba. La fuerza del muelle es mucho
más grande que el peso y por eso el ascensor "rebota" hacia arriba.
 F  mg  Fel   5000  kx   5000  214000   418 m / s 2
a
m
m
500
500
La aceleración sale negativa, hacia arriba, ya que se ha tomado como positivo
el sentido descendente del movimiento de caída.
c) El recorrido del ascensor, si recordamos que
inicialmente tenía una velocidad ascendente, es el que
se indica en la figura.
Si además, tal y como se desprende del enunciado del
problema, el freno sólo actúa cuando el ascensor baja y
no cuando sube, entonces podemos determinar la altura
en la que se encuentra el punto A´ aplicando el principio
de conservación de la energía. Ahora el punto más bajo de la trayectoria es C´ y
en él tomaremos el cero de energía potencial gravitatoria. La energía mecánica
en el punto A, EA(c´), volverá a cambiar.
EA´= EA(C')
EA(C´)= (1/2).mvA2 + mghC´A= 52250 J
EA´= (1/2) mvA´2 + mghC´A´= mghC´A´
hC´A´= (52250)/(500.10)= 10,45 m
En el recorrido A´C´ interviene ya la fuerza de freno, que no es conservativa. En
este caso el principio de conservación de la energía se convierte en:
Wno cons= EC´ - EA´
EA´= 52250 J
EC´= (1/2).k.Δx2= (1/2).428000.(0,25)2= 13375 J
Wno cons= EC´ - EA´= -38875 J= Ffre. rA´C´.cos 180 
71
Ffre= (-38875)/ (-1)(10,45)= 3720 N
*12.-
(a). En la figura se ha representado la estructura espacial de una
perturbación que se propaga en el sentido positivo del eje de las X, en
tres instantes sucesivos. Determinar la longitud de onda, la velocidad ,
la frecuencia y el periodo de la perturbación. Escribir su función de
onda.
(b).
Representar la forma de la perturbación en función del tiempo en el
punto x = 0 m.
(a).
La longitud de onda se define con la distancia mínima entre dos puntos en los
cuales la función de onda tiene el mismo valor en todo instante de tiempo.
Analizando la figura, se ve que esto pasa, por ejemplo, entre x = 0 y x = 2,
por lo tanto:
=2-0=2m
La velocidad de propagación es el espacio que recorre la perturbación por
unidad de tiempo. El máximo que inicialmente se encuentra sobre x = 0, pasa
a estar sobre x = 0,5 m al cabo de 0,5 s y sobre x = 1 m al cabo de 1 s.
Entonces:
v
x 0,5  0 1  0 1  0,5



 1m s
t 0,5  0 1  0 1  0,5
A partir de estas dos magnitudes, el resto se deduce con las expresiones
siguientes:
T 

2 s
v
1
   0,5 Hz
T
Para deducir la función de onda hay que tener en cuenta su expresión general
y ( x, t ) = y0 · sin ( k x - w t +  )
72
donde
2
k


m 1
w = 2  =  rad/s
 = fase inicial (valor de la fase de la onda en x = 0 y t = 0)
De acuerdo con la primera figura
y ( 0, 0 ) = y0
Y sustituyendo en la expresión de la función de onda
y0 = y0 · sin   sin  = 1
por lo tanto
  arcsin 1  

2
rad
la función de onda es entonces:


y x, t   y 0  sin x  t  
2

(b).


y 0, t   y 0  sin 0  t  
2

Para construir la gráfica conviene que los valores del tiempo que se
consideren, sean los adecuados. Como la función se repite cada T segundos
(T es el periodo), basta con tomar valores comprendidos entre t = 0 y t = T.
En general, es necesario encontrar en que instantes de tiempo la función se
hace máxima, cero y mínima. En este caso en concreto, bastara con
considerar los instantes de tiempo que figuran en la siguiente tabla:
t (s)
y
0
+ y0
T
4
 0,5
T
0
2
1
- y0
3T
4
 1,5
0
T=0
+ y0
En la tabla, los tres primeros valores de y se pueden extraer de las gráficas
del enunciado, además de calcularlos matemáticamente con la expresión de
la función de onda. El resto se calculan. La gráfica resultante es:
73
*26.- Un altavoz emite una onda sonora armónica que se propaga en el aire de
izquierda a derecha, la función de onda correspondiente a la oscilación
longitudinal de las moléculas es, en el instante t = 0:
s ( x, 0 ) = s0 · sin ( 4  x )
Donde x se expresa en metros.
(a).
Determinar la longitud de onda, el periodo, la frecuencia y la fase inicial
de la onda sonora. Escribir la función de onda s ( x, t ). (velocidad del
sonido = 340 m/s).
(b).
Representar gráficamente el desplazamiento longitudinal de las
moléculas en los instantes t = 0 y t = 1/1360 s.
Representar gráficamente la evolución temporal de la oscilación
longitudinal de una molécula de aire situada en x = 0.
(c).
Al lado de este altavoz colocamos otro que emite con la misma
frecuencia. La superposición de las ondas emitidas por el primer y el
segundo altavoz da lugar a una interferencia destructiva. ¿Qué significa
esto? ¿Cómo tiene que ser la función de onda s’ (x, t) correspondiente
al segundo altavoz? ¿Cómo se puede conseguir experimentalmente
esta situación?
(a).
Comparando la expresión general de la función de una onda sonora con la
que aparece en el enunciado,
s ( x, t ) = s0 · sin ( k x - w t +  )
s ( x, 0 ) = s0 · sin ( 4  x )
se deduce que:
k = 4  m-1
=0
Por lo tanto, teniendo en cuenta que v sonido  340 m s :

2
 0,5
k
m
74
T 
 

v
v


0,5
1

340 680
 680
s
Hz
El valor del periodo es mejor considerarlo en forma fraccionaria, para no
hacer errores con las aproximaciones decimales.
Para escribir la función de onda, es necesario calcular previamente la
frecuencia angular
w  2  2 680  1360
rad
s
Entonces:
s ( x, t ) = s0 · sin ( 4 x - 1360 t )
(b).
La función de onda correspondiente al instante t = 0 es la del enunciado. Para
representarla gráficamente es necesario calcular s para diferentes valores
de x. Como la función se repite cada  metros ( es la longitud de onda),
basta con dar valores a x comprendidos entre x = 0 y x = . En general es
necesario encontrar en que puntos la función se hace máxima, cero y mínima.
En este caso concreto basta con calcular s (x) en los puntos que aparecen en
la tabla siguiente:
x (m)
0
  0,125
4
  0,250
2
3  0,375
4
  0,500
s
0
+ s0
0
- s0
0
La representación gráfica resulta:
 1360 s
En t  1

la función de onda es:

s x, 1
 s 0  sin 4x   
1360
y la tabla de valores y la correspondiente gráfica resultan:
75
x (m)
s
0
0
0,125
- s0
0,25
0
0,375
+ s0
0,5
0
La función en s = 0 es:
s ( 0, t ) = s0 · sin (- 1360 t )
Como se ha hecho en el problema anterior, para hacer la representación de la
gráfica se consideraran los valores de t que figuran en la siguiente tabla:
(c).
t (s)
0
T
1

4 4  680 
T
1

2 2  680 
s
0
- s0
0
1
3T
3
T 

680
4  680
4
+ s0
0
La superposición de las ondas, emitidas por el primer y el segundo altavoz da
una interferencia destructiva si la suma de las funciones de onda
correspondientes es cero en todos los puntos del espacio y para todo instante
de tiempo. Es decir, si s’ ( x, t ) es la función de onda emitida por el segundo
altavoz, entonces:
x, t
s ( x, t ) + s’ ( x, t ) = 0
Para que eso pase, la diferencia de fase entre s’ y s debe ser  =  o bien un
múltiplo impar de . Por lo tanto:
s’ ( x, t ) = s0 · sin ( 4 x - 1360 t +  )
Para conseguir esta situación experimentalmente, de manera aproximada, se
desplazan los dos altavoces, uno respecto al otro, de manera que el camino
que recorre la onda s desde el altavoz al punto donde se situaría un
hipotético receptor sea (  ) m más largo (o más corto) que el que recorre la
2
onda s’.
76
x2 = x1-/2
De esta forma, la diferencia de fase entre las ondas s y s’ resulta  = . En
efecto:



s ( x1, t )  s 0  sin kx1  wt   s 0  sin  kx 2  k  w  t  
2





 s 0  sin kx 2  wt  

x1  x 2 
2
s' ( x 2 ,t )  s 0  sin kx 2  wt 
SOLUCIONES
77
1.(a) k = 13,16 N/m
(b)  = 4,19 rad/s = 4/3 rad/s
=0
4 
x(t)  0,1·cos  t 
3 
(c) v =  0,33 m/s
a = - 1,053 m/s2
2.a)
v máx  2,51 m/s
amáx  31,58 m/s 2
b)
v  2,18 m/s
a  15,79 m/s 2
3.Movimiento armónico simple.
1
2
kx 0 sin2 t
2
1
U el  kx 02 cos 2 t
2
g
U  mgx0 cos t
(tomando el valor cero en la posición de equilibrio)
Ec 
4.-
x  0,046 m
5.a)
mg, N, Felástica
b)
78
m
v2
 kx
x 0  x 
x  4,62 cm
6.a)
k1  3000 N/m
k 2  2000 N/m
b)
l  2,79 m
c)
v  4,28 m/s
7.a)
v  5,47 m/s
b)
h  1,5 m/s
c)
cuando
x  0
v  5,29 m/s
8.-
79
a)
x  7,2 m
b)
T  10512 N
a  121,4 m/s 2  12,4 g
c)
Cuando
Felástica  mg
v  28,38 m/s
*9.a)
v  14,28 m/s . El resultado es independiente de la masa
b)
k  428000 N/m
a  418 m/s 2
c)
Fhilo  3650,23 N
10.-
 = 2 cm
v = 1 cm/s
 = 1 cm
a)
T=/v=2s
b)
k=
y = y0 · sin ( kx - wt ) = 1 sin  · ( x - t )
w=
c)
t = 0; y = y0 · sin x t = T/4 = 0,5 s; y = y0 · sin ( x - /2 )
80
t = T/2 = 1 s; y = y0 · sin ( x -  )
d)
t = T =2 s; y = y0 · sin ( x - 2 )
x = 0; y = y0 · sin ( 0 - t )
x = 0,5; y = y0 · sin ( /2 - t )
x = 1; y = y0 · sin (  - t )
x = 2; y = y0 · sin ( 2 - t )
Evolución temporal igual que la del punto
emissor de acuerdo con la definición de .
11.-
a)
y ( 0, t ) = -y0 · sin ( 100t ) = y0 · sin (0 - wt )
y ( x, 0 ) = y0 · sin 4x = y0 · sin ( kx - 0 )
w = 100;
 = w / 2 = 50 Hz; T = 0,02 x
k = 4;
2 /  = 4;  = 0’5 m
v =  / T = 0,5 / 0,02 = 25 m/s
y = y0 · sin ( 4x - 100t )
81
b) x = 0,125; y = y0 · sin ( /2 - 100t )
x = 0,250; y = y0 · sin (  -100t )
c) t = 0,005 s; y = y0 · sin (4x - /2 )
t = 0,01 s; y = y0 · sin ( 4x -  )
*12.- a)
=2m
v = 1 m/s;
T = 2 s;
y ( x = 0, t = 0 ) = y0 · sin  = y0;  =  / 2
k =  m-1
w =  s-1
y = y0 · sin (x - t +  )
b)
y = y0 · sin ( -t + /2 );
x=0
82
13.-
a)
b)
T = 0,5 s
 = 2 Hz
=1m
y = y0 · sin (2x - 4t )
x = 0,5 m
x=1m
c)
t=0s
t = 0,75 s
14.-
a)
t = 1 s  x = v·t = 0,5 m
b)
 = 2 m k =  m-1
 = 0,25 Hz  w =  / 2 s-1
T=4s
y ( x = 0, t = 0 ) = -y0   = - / 2
y = y0 · sin ( x - t/2 - /2 )
t = 4 s  x = 2 m
83
c)
x = 0  y = y0 · sin ( -t/2 - /2 )
x = 15 m  y = y0 · sin ( 15 - t/2 - /2 )
15.-
a)
Se propaga en el sentido negativo del eje de las X.
v = 5 m/s
b)
 = 0,1 m;
c)
0,001 m
d)
= 50 Hz;
T = 0,02 s
t=0
x=0
t (s)
16.-
a)
 = 0,4 m; k = 5;
y = y0 · sin ( 5x - 10t )
T = 0,2 s;
84
w = 10
b)
x = 0;
y = y0 · sin ( - 10t )
0,2
t (s)
0,1
x = 0,6 m;
y = y0 · sin ( 3 - 10t )
0,1
t (s)
0,2
t = 0;
y = y0 · sin 5··x
x (m)
17.-
c)
No
T = 0,8 N
a)
v = 100 m/s
85
18.-
b)
 = 1 m; T = 0,01 s;  = 100 Hz; y = y0 · sin ( 2x - 200t + /2 )
c)
 varia con la frecuencia del vibrador pero no con la tensión de la
cuerda.
a)
v = 40 m/s
b)
 = 20 m;
T = 0,5 s;
 = 2 Hz;
y = y0 · sin ( 0,1x - 4t + )
c)
x=0
 =  / 2;
x = 10 m
86
Todos los puntos separados de x = 5 m una distáncia múltiple de la
longitud de onda tendran, por definición, su misma fase. Por lo tanto x =
25 m y x = 45 m serian dos respuestas posibles.
19.-
a)
T = 0,04 s;  = 25 Hz;  = 4 m;
y = y0 · sin ( x/2 - 50t + /2 )
b)
v = 100 m/s;
t = 0,01 s
=/2
x=3m
t (s)
c)
Las dos ondas tienen la misma amplitud, freqüencia y longitud de onda
y sus fases difieren en  = . Por lo tanto el resultado de la
superposición sera una interferencia destructiva yR = 0.
 = 2,4 m
20.-
v = 3 m/s;
21.-
a)
t = 0 s  x = 0,5; 1,5; 2,5 etc.
b)
=1m
 = 340 Hz
s = s0 · sin ( 2x - 680t )
c)
x = 0,25
T = 1/340 s
 s = s0 · sin ( /2 - 680t )
La molécula tiene un movimento armónico simple.
87
22.-
23.-
24.-
a)
x = 0,25 m
b)
 = 0,5 m
c)
 = 400 s-1
d)
v = 200 m/s
e)
A’ = 0,02 m
n=3
v = 50 m/s
a)
=2m
 = 25 Hz
b)
y = 2 · y0 · cos(wt) · sen (kx) = Ax · cos (wt)
Amàx = 2 · y0 = 4 mm
( sin (kx) = 1; y0 = 2 mm )
y = ( 4 mm ) · sin (x) · cos (50t)
a)
T = 0,01 s;
 = 0,6 m;  = 100 Hz
y = y0 · sin ( 10x/3 - 200t - /2 )
b)
x = 0,3 m
c)
m = 900 g
Si, se forma una onda estacionaria.
t = 2,5·10-3 s
n=4
88
L
25.-
a)
T = 0,02 s;  = 0,1 m;  = 50 Hz;
y = y0 · sin ( 20x - 100t )
b)
x = 0,05 m
c)
y’ = y0 · sin ( 20x - 100t +  )
=0
t = 0,005 s
x=0
26.-
a)
 = 0,5 m;
T 
1
680
= 680 Hz;
s;
s ( x, t ) = s0 · sin ( 4x - 1360t )
89
=0
b)
t=0
t
1
1360
s
x=0
c)
s ( x, t ) + s’ ( x, t ) = 0
 x,  t
s’ ( x, t ) = s0 · sin (4x - 1360t + )
Desplazando el segundo altavoz (  / 2 ) m respecto al primero.
27.-
a)
 = 2 m;
= 50 Hz;
y = y0 · sin ( x - 100t )
v = 100 m/s;
90
 = 0;
T = 0,02 s
b)
t = 0,015 s
x = 0,5 m
c)
y’ ( x, t ) = y0 · sin ( x - 100t +  )
 =   y ( x, t ) + y’ ( x, t ) = 0  x,  t.
91