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EXAMEN EXTRAORDINARIO DE FÍSICA II. CUESTIONES
10/07/2013
1 . - a) ¿Qué se entiende por trabajo de una fuerza? b) ¿Por qué el trabajo de
la fuerza de reacción normal (entre dos cuerpos en contacto) es siempre nulo? c)
Deducir el teorema del “trabajo- energía cinética”.
a) Sea una fuerza F(r) que actúa sobre una partícula y
sea dr un desplazamiento infinitesimal de la misma. Llamamos
trabajo
elemental
de
la
fuerza
F
correspondiente
al
desplazamiento dr al producto escalar de ambos vectores:
dW=F · dr=Fxdx+Fydy+Fzdz
Para calcular el trabajo total a lo largo de una cierta
trayectoria entre dos puntos A y B tendremos:
W(A → B) = ∫AB F ⋅ dr = ∫AB Ftds
siendo Ft la componente tangencial del trabajo.
b) Notemos que:
dW=F · dr=Fdscosθ=Ftds
siendo |dr|=ds.
Así, si la fuerza F es perpendicular al desplazamiento dr el trabajo es nulo, que es
lo que sucede con la normal, que es perpendicular por definición siempre al desplazamiento.
c) Como hemos dicho en el apartado a):
W(A → B) = ∫AB F ⋅ dr
Aplicando la segunda ley de Newton (F=ma):
W(A → B) = ∫AB F ⋅ dr = ∫AB ma ⋅ dr = ∫AB m
dv
dr
⋅ dr = ∫AB mdv ⋅
=
dt
dt
( )
B
1
1
= m∫AB dv ⋅ v = m∫AB v ⋅ dv = m∫AB d v2 = mv2 =
2
2
A
=
Definimos la nueva cantidad EC =
1
1
mvB2 − mvA2 = EC(B) − EC(A)
2
2
1
mv2 como la energía cinética, que es la energía
2
que posee un cuerpo en razón de su movimiento.
Tenemos entonces que:
W(A → B) = EC(B) − EC(A) = ∆EC (A → B) ⇒ W(A→B)=∆EC
Y así podemos enunciar el teorema del trabajo-energía cinética o de las fuerzas
vivas: “el trabajo efectuado sobre una partícula es igual a la variación que experimenta su
energía cinética”.
2. - En un choque entre dos partículas: a) ¿qué se entiende por fuerzas de
deformación y de recuperación? b) ¿Qué se entiende por impulsos de deformación y
recuperación y qué relación existe entre ambos? c) ¿Qué caracteriza un choque
elástico? ¿Y uno inelástico?
a) Consideremos un choque entre dos partículas (A y B), donde las partículas
inicialmente (antes del choque) no están en contacto. En el momento de iniciarse el choque,
ambas partículas entran en contacto. Durante un cierto intervalo, denominado período de
deformación, las partículas A y B interaccionan, deformándose ambas (comprimiéndose).
Debido a esa interacción, las partículas cambian de velocidad. Mientras haya interacción la
velocidad sigue cambiando, de forma que las velocidades iniciales (VA y VB) se van
modificando hasta que llegan a ser iguales (porque si siguen siendo diferentes, seguiría la
interacción). Al final de este período las dos partículas tienen la misma velocidad y la
deformación es máxima. Durante todo este período actúan unas fuerzas de interacción
internas que llamamos fuerzas de deformación (D).
Una vez que se han igualado las velocidades y la deformación de las partículas es
máxima, comienza un período de tiempo llamado período de restauración, en el que va
disminuyendo la deformación de las partículas, hasta que ambas partículas dejan de
interactuar. Durante todo este periodo actúan fuerzas internas que llamamos fuerzas de
restauración (R). Al final de este intervalo, cuando las partículas dejan finalmente de
interactuar, han adquirido velocidades diferentes a las iniciales, v’A y v’B.
b) El impulso, que en el caso de los choques también recibe el nombre de percusión,
viene dado por la expresión:
I = ∫ttf Fdt = ∆P
i
Así,
podemos
definir
los
impulsos
de
deformación y de percusión como:
I = ∫ Ddt ⇒ impulso o percusión de deformación
I' = ∫ Rdt ⇒ impulso o percusión de restauración
Tal
y
como
se
refleja
en
la
gráfica,
habitualmente el impulso de deformación es mayor que el de restauración (I’≤I), ya que las
fuerzas recuperadoras son menores o iguales que las deformadoras, de forma que
escribiremos:
I’=eI ⇒ e =
I'
I
siendo e el llamado coeficiente de restitución del choque, que es el parámetro que nos
relaciona los dos impulsos.
Este coeficiente de restauración es una magnitud adimensional, función de muchos
parámetros, comprendido entre cero y uno, y es una medida del grado de elasticidad (se
debe medir experimentalmente).
c) Un choque elástico se caracteriza porque el coeficiente de restitución es la
unidad, es decir, las fuerzas recuperadoras son iguales a las de deformación:
e=1 ⇒ I=I’
Esto mismo supone que no hay disipación de energía, por lo que se conserva la
energía mecánica del sistema. Así, en un choque elástico se conservan la cantidad de
movimiento y la energía mecánica.
Un choque inelástico se caracteriza porque el coeficiente de restitución es nulo, es
decir, las fuerzas recuperadoras son nulas y sólo existen fuerzas de deformación:
e=0 ⇒ I’=0
En este caso sí que hay disipación de energía, por lo que no se conserva la energía
mecánica del sistema. Así, en un choque inelástico sólo se conserva la cantidad de
movimiento.
3. - Deducir la expresión del momento angular de un sólido rígido que gira
respecto de un eje fijo (L=Iω), definiendo también la expresión del momento de
inercia.
como:
El momento angular de una partícula (P), respecto de un cierto origen O, se define
L=r x mv
siendo r = OP.
El momento angular de un sistema de partículas va a ser la suma, a todas las
partículas, de los momentos angulares individuales. Veamos entonces cuál es el momento
angular de un sólido rígido que gira respecto de un cierto eje fijo.
Consideremos en principio una única partícula que
gira en torno a un eje. Como sabemos, se puede definir una
velocidad angular ω que describa este giro y tendremos:
L=r x mv=r x m(ω x r) ⇒ L=mr2ω
Por tanto vemos que el momento angular L tiene la
dirección y sentido de la velocidad angular ω.
Vamos a extender un poco este razonamiento y
consideremos ahora una placa con espesor despreciable, en
la que evaluaremos L. En este caso, para una partícula de
masa mi, que se encontrara a una distancia ri del eje de giro y
que se moviese con velocidad vi tendríamos:
Li=ri x mivi=ri x mi(ω x ri) ⇒ Li=miri2ω
Sumando para todas las partículas:
N
N

N
L = ∑ Li = ∑ miri2ω =  ∑ miri2 ω = Iω
i =1
i =1

 i=1
donde hemos tenido en cuenta que la velocidad angular ω es la misma para todas las
partículas.
Se define así una nueva magnitud física, el momento de inercia I con respecto a un
cierto eje de rotación:
N
I = ∑ miri2
i =1
Por la definición de momento de inercia podemos decir que es una magnitud escalar
que depende de la distribución de masa y del eje de rotación. Juega un papel en rotación
análogo al que juega la masa en el movimiento de traslación. Su unidad en el Sistema
Internacional es el kgm2, y para su cálculo en un cuerpo extenso podemos tener en cuenta
la definición de densidad y ponerlo como:
I = ∫ r2dm = ∫ r2ρdV
dm 

siendo dV el elemento de volumen diferencial  ρ =
.
dV 

4. - Una masa unida a un muelle puede moverse con un movimiento armónico
simple, con una oscilación amortiguada o con una forzada. Describir cómo realizar
estos movimientos experimentalmente. ¿Cuál sería la frecuencia angular de oscilación
en cada movimiento y de qué parámetros depende?
Comencemos por el movimiento armónico simple. Obviamente es el más
sencillo y para verlo bastaría unir la masa m al resorte (en horizontal o vertical)
de constante k (el otro extremo del resorte lo dejamos fijo). Desplazamos dicha
masa de su posición de equilibrio y la dejamos oscilar. La frecuencia angular de
oscilación sería la frecuencia natural del sistema:
ω0 =
k
m
Como vemos, la frecuencia natural depende de las características de nuestro
sistema (del valor de la masa y de la cte. elástica del muelle)
Para conseguir una oscilación amortiguada bastaría con introducir el
bloque (o un émbolo que estuviera en contacto con el bloque) en un fluido, que
proporcionaría una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y que
iría frenando el movimiento. En este caso, el valor de la frecuencia angular de
oscilación dependería del tipo de amortiguamiento.
En el caso de amortiguamiento débil, dicha frecuencia sería:
ω = ω20 − β2
de forma que depende de los parámetros físicos del sistema (m y k, a través
de ωo) y del amortiguamiento (que vendrá impuesto por el fluido).
-
En el caso del amortiguamiento crítico y supercrítico no existe una frecuencia
como tal ya que no hay realmente una oscilación. La partícula retorna
lentamente a la posición de equilibrio, deteniéndose.
Por último, para conseguir una oscilación forzada podemos conectar el
extremo del resorte a un soporte dotado de un movimiento oscilatorio, con una
frecuencia de oscilación ω. El valor de la frecuencia de oscilación de la masa en
este caso viene impuesto justamente por la frecuencia de la oscilación forzada,
siendo por tanto el mismo valor ω. Por tanto sólo depende de la manera en que se
impulse al sistema, no dependiendo ni de los parámetros físicos del sistema (masamuelle) ni del valor del amortiguamiento.
5. - a) ¿Qué es una onda? ¿Qué se propaga en un movimiento ondulatorio? b)
Explicar qué es una onda longitudinal y una onda transversal. c) ¿Qué es, cuál es la
diferencia y cómo se determinan la ‹ ‹ velocidad de propagación› › de una onda y la
‹ ‹ velocidad de movimiento de las partículas de un medio material› › en el que se
propaga una onda?
a) Una onda es una variación de una propiedad física que se propaga de punto a
punto en el espacio. Así pues, una onda es la propagación de una perturbación en el espacio.
En el movimiento ondulatorio por tanto se propaga un estado de perturbación, no la materia.
En última instancia el movimiento ondulatorio es un proceso por el que se propaga energía
de un lugar a otro sin transferencia de materia.
b) Dependiendo de la forma en que oscilan las partículas del medio material
respecto a la dirección de propagación se distingue entre ondas longitudinales y ondas
transversales.
En
las
ondas
longitudinales
la
dirección de propagación es paralela a la
dirección del movimiento de las partículas.
Ejemplos de este tipo de ondas son las ondas
longitudinales en un muelle o el sonido.
En las ondas transversales la
dirección
de
perpendicular
propagación
a
la
dirección
es
del
movimiento. Un ejemplo típico es la
vibración de una cuerda.
c) Se entiende por velocidad de propagación de una onda la velocidad con la que se
propaga la perturbación. Básicamente refleja cómo de rápido afecta la partícula por la que
pasa la onda a la siguiente partícula, lo que depende de las características elásticas (o de
deformación) del medio material. Por tanto, la velocidad de propagación (v) es una
característica del medio material por el que se propaga la onda, y no depende de cómo se
esté provocando la perturbación.
Por otro lado, la velocidad de movimiento de las partículas del medio material va a
ser la velocidad propia con la que oscilan cada una de las partículas del medio cuando las
alcanza la onda (la perturbación).
Un ejemplo para ver la diferencia es el caso de una onda transversal que se propaga
en una cuerda. La velocidad de vibración la da el movimiento de las partículas de la cuerda
en dirección vertical, hacia arriba y hacia abajo, mientras que la velocidad de propagación la
da el movimiento de la deformación a lo largo de toda la cuerda a medida que el movimiento
pasa de unas partículas a las siguientes.
Mientras que la velocidad de propagación (v) es cte. para un medio dado, y viene
determinada únicamente por las propiedades físicas del medio material (en el caso de una
cuerda, por ejemplo, a partir de la densidad lineal de la misma y la tensión a la que está
sometida), la velocidad de vibración no es constante, depende del instante de tiempo y del
punto del espacio en que nos encontremos. En el caso de una onda armónica plana que se
propaga con velocidad cte. v:
y=Asen[k(x-vt)]=Asen(kx - ωt)
la velocidad de vibración será:
y =
dy
= Aω cos(ωt − kx )
dt