Download Una variable aleatoria bidimensional

UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
ASIGNATURA
: ESTADISTICA APLICADA I
PROFESORES
: ILMER CONDOR
PERIODO ACADEMICO : 2005 – I
GUIA DE CLASE Nº 6
VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES
Introducción
El uso de una variable nos permite hablar de la demanda de un producto (digamos latas de
espárragos). Podemos pensar en la demanda que esperamos que ocurra el próximo mes, de su
variabilidad, etc.; podemos hablar también de la oferta de dicho producto en el mercado
europeo.
El conocimiento que tenemos de las variables hasta ahora, no nos permite hablar de la
relación que hay entre la oferta y la demanda de espárragos en el mercado europeo; es decir,
de cómo es uno respecto al otro, de su variabilidad conjunta, de su comportamiento (su
distribución), etc.
Al estudiar este tipo de relación podremos producir más espárragos, sólo si la probabilidad
de la demanda sea mayor que la oferta; es decir, si X representa la demanda y Y representa la
oferta, se producirá más latas de conservas de espárragos siempre que P(X > Y).
Este tipo de problema es lo que queremos estudiar a continuación.
DEFINICIÓN
Sea  un experimento aleatorio y  el espacio muestral asociado a . Sean también X = X(s)
y Y = Y(s) dos funciones que asignan un número real a cada resultado s del experimento,
contenido en el espacio muestral; es decir, para cada s  S existe un número real x para el
cual x = X(s) y también un número real y tal que y = Y(s). Bajo estas consideraciones
diremos que (X, Y) recibe el nombre de variable aleatoria bidimensional.
En la siguiente figura se muestra lo que queremos decir.
X

X=X(s)
s
Y
Ilmer Cóndor
Y
X
Y=Y(s)
Página 1 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
Observaciones:
 su espacio rango; mientras
 su espacio rango.
a) X es una v.a. X tomará los valores x1, x2, ... xn con
que la v.a. Y tomará los valores y , y2, ... , ym con
b) El espacio rango de (X, Y),

( X ,Y )
X
Y
es un conjunto formado por pares ordenados del
plano cartesiano.
Tipos de Variable Aleatoria
Una variable aleatoria bidimensional (X, Y) puede ser Discreta o Continua.
VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL DISCRETA
Diremos que (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional discreta si el conjunto de los
valores posibles de la variable es finito o numerablemente infinito. Este conjunto, llamado
espacio rango ( X ,Y ) es un conjunto reticular.

. . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . .
( X ,Y )
Los valores posibles de (X, Y) pueden ser representados como pares ordenados (x i, yj) para i
= 1, 2, ..., n, ... y j = 1, 2, ..., m, ...
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD PARA (X, Y)
DEFINICIÓN
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta, con

( X ,Y )
su espacio rango. Si
p(xi, yj) es una función tal que a cada par (xi, yj) le asigna el número real P(X = xi, Y = yj)
diremos entonces que p(xi, yj) es función de probabilidad conjunta de (X, Y), siempre que
cumpla las siguientes condiciones:
i)
p(xi, yj)  0  (xi, yj) 

ii)

( X ,Y )

 p( x , y )  1
i
j
i 0 j 0
Observaciones
1. p(xi, yj) = P(X = xi, Y = yj) es la probabilidad de que ocurra el evento compuesto { X =
xi , Y = yj } i = 1, 2, 3, ..., n, ... ; j = 1, 2, 3, ..., m, ...
2. p(x, y) es conocida también como la distribución conjunta de probabilidades de (X, Y)
Ilmer Cóndor
Página 2 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
3. Si (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional, diremos que F es la función de
DISTRIBUCION ACUMULADA de (X, Y) y se define por
F(x, y) = P(X ≤ y, Y ≤ y) =   p( xi, y )
j
x x  y  y
i
j
En otras palabras, se suma todos los p(x, y) mientras se cumple X  x, Y  y.
4. La gráfica de la función de probabilidad de (X, Y), se muestra en la siguiente figura.
Como en este caso el espacio rango es un espacio reticulado, el valor de probabilidad
para un valor de la variable será una barra perpendicular en el nodo correspondiente,
como se puede apreciar.
p(x3,y1)
Y

( X ,Y )
y1
. . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . .
Figura 85
X
x3
5. La suma de todos los p(x, y) x y y, debe ser igual a 1. Observe también que puede
sumar cada fila y colocar el resultado en la última columna, pero de la misma fila; o por
el contrario, puede sumar cada columna y obtener el resultado en la última fila
disponible.
\
Y X
y1
y2
....
....
ym
x1
x2
x3
...
xn
p(x3,y2)
Ejemplo 1
Si se lanza al aire dos dados y definimos a X como “El número obtenido con el primer dado”
y definimos a Y como “El número obtenido con el segundo dado”, obtenga la distribución de
probabilidad de la variable aleatoria (X, Y).
Solución
Sea X: ........................................................... Valores de X: .......................................................
Sea Y: ........................................................... Valores de Y: .......................................................
Cómo define a (X, Y)?: ..............................................................................................................
Cuál es el espacio rango de (X, Y)? : ........................................................................................
Qué significa p(1,1) = P(X = 1, Y = 1)?. A qué es igual p(1,1)? = .........................
Encuentre p(1,2) = ............ p(1,3) = ............
p(3, 4) = ............
p(6,3) = .............
Construya la tabla de distribución para esta variable (X, Y) como se muestra líneas arriba.
Ilmer Cóndor
Página 3 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
Ejemplo 2
Se lanza una moneda tres veces. Sea X la variable aleatoria definida como el número de caras
obtenidas en los dos primeros lanzamientos y sea Y la variable definida como el número de
caras obtenidas en los dos últimos lanzamientos. Obtenga la distribución de probabilidad de
la variable aleatoria (X, Y).
Solución
Sea X: ...................................................
Sea Y: ...................................................
Espacio rango de (X, Y): ................................................
Obtenga las siguientes probabilidades:
p(0,0) = P(X = 0, Y = 0) =P(SSS) = .............
p(1,0) = P(X = 1, Y = 0) =P(CSS) = .............
p(2,0) = P(X = 2, Y = 0) =P(CCS) = .............
p(0,1) = P(X = 0, Y = 1) =P(SSC) = .............
p(1,1) = P(X = 1, Y = 1) =P(SCS,
) = .........
p(1,2) = P(X = 1, Y = 2) =P(SCC) = .............
p(0,2) = P(X = 0, Y = 2) =P(SCC) = .............
p(1,2) = P(X = 1, Y = 2) =P(SCC) = .............
p(2,2) = P(X = 2, Y = 2) =P(
) = .............
\
Y X
0
1
2
0
1
2
Ejercicio 1
En un grupo de 6 ejecutivos de cierta empresa, 3 son economistas, 2 son abogados y uno es
ingeniero. Se debe seleccionar al azar a dos de estos ejecutivos para un ascenso. Sea X el
número de economistas e Y el número de abogados seleccionados. Obtener la distribución de
probabilidad de X e Y.
Ejercicio 2
Una urna contiene tres bolas numeradas: 1, 2, 3, respectivamente. De esta urna se extrae
exactamente dos bolas, una a una y sin reemplazo. Sea X el número de que muestra la
primera bola extraída e Y, el número que muestra la segunda bola extraída. Hallar la
distribución de probabilidad de (X, Y).
Ejercicio 3
Suponga que tres objetos no diferenciables se distribuyen al azar en tres celdas numeradas.
Sea X el número de celdas vacías e Y el número de objetos colocados en la primera celda.
Obtenga la distribución de probabilidad de X e Y.
Ejemplo 3
Se elige uno de los números enteros: 1, 2, 3, 4, 5. Después de eliminar todos los enteros (si
los hubiera) menores que el elegido, se elige uno de los restantes. Sean X e Y los números
obtenidos en la primera y segunda elección, respectivamente. Obtenga la distribución de
probabilidad de X e Y.
Solución
Sea X: ................................................................ Valores de X: .............................................
Sea Y: ................................................................ Valores de Y: .............................................
Rango de (X, Y): ............................................. .............................................
Ilmer Cóndor
Página 4 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
p(1, 1) es la probabilidad de elegir el 1 la primera vez y 1 la segunda vez. La probabilidad de
elegir 1 la primera es 1/5. Cuántos quedan después de eliminar los menores a 1? .............
Cuál es la probabilidad de elegir 1 la segunda vez? ..........
Luego p(1,1) = P(X=0, Y=0) = ............
p(1, 2) es la probabilidad de elegir 1 la primera vez y 2 la segunda; p(1, 2) = ........
p(1, 3) es la probabilidad de elegir 1 la primera vez y 3 la segunda; p(1, 2) = ........
p(2, 1) es la probabilidad de elegir 2 la primera vez y 1 la segunda. Si en la primera se elige
2, cuántos se elimina? ........ Cuántos quedan? .............................. p(2,1) = ....................
Complete la distribución usando el mismo razonamiento.
\
X Y
1
2
3
4
5
1
2
3
1
4
5
Ejercicio 4
Se extraen al azar dos naipes sin reemplazo de una baraja de 52 naipes. Sea X el número de
ases e Y el número de espadas que aparecen. Obtenga p(x, y).
Ejercicio 5
En una urna hay 3 bolas negras y 7 bolas blancas. Se selecciona al azar dos bolas de la urna,
sin reemplazo. Sea X el número de bolas negras extraídas, e Y el número de blancas. Obtener
la distribución de probabilidad de X e Y.
Ejercicio 6
Cuál es la probabilidad de obtener C y un número menor que 4 en el ejercicio 01?
Ejercicio 7
En el ejemplo 2, cuál es la probabilidad de obtener más caras en las dos primeras que en las
dos últimas?. Cuál es la probabilidad de obtener a lo más, una cara en los dos primeros
lanzamientos y por lo menos una cara en los dos últimos lanzamientos?
Ejercicio 8
Una tienda comercial tiene dos vendedores: Tuco y Tico. En ella se han vendido hasta dos
televisores por día. Sea X el número de televisores vendidos en un día por Tuco, e Y el
número de televisores vendidos en un día por Tico
a)
Obtenga el rango de la variable aleatoria (X, Y)
b)
Si se sabe que la distribución conjunta de X e Y está dada por la siguiente tabla
Y 0
1
2
X
0
1/16
1/16 1/8
1
1/8
1/8
1 /4
2
1/8
1/16 1/16
Ilmer Cóndor
Página 5 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
b.1 Hallar la probabilidad de que cada vendedor venda a lo más, un televisor
b.2 Hallara la probabilidad de que Isabel venda más televisores que Miguel
DISTRIBUCIONES MARGINALES
DEFINICIÓN
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta con p(xi, yj) su función de
probabilidad conjunta, donde i = 1, 2, 3, ..., n y
j = 1, 2, 3, ..., m. Diremos que p(xi) es la
Distribución de Probabilidad Marginal de X si p(xi) viene definida por
j m
p(xi) =
 p( x , y ) , i = 1, 2, 3, …, n
i
j
j 1
Del mismo modo, diremos que q(yj) es la Función de Probabilidad Marginal de Y si q(yj)
viene definida por
i n
q(yj) =
 p( x , y ) , j = 1, 2, 3, ..., m
i
j
i 1
Observaciones
1. Tomando en cuenta la siguiente tabla, la Distribución de probabilidad Marginal de X,
p(x), la obtendremos en la última fila en el cuadro de distribución de probabilidad
conjunta.
Igualmente, la Distribución de probabilidad Marginal de Y estará ubicada en la última
columna de la misma.
\
Y X
x1
x2
x3
...
Marginal de Y
q(y)
xn
i n
q( y1 ) 
y1
 p( x , y )
i
1
i 1
y2
in
p(x3,y2)
q( y 2 ) 
 p( x , y )
i
2
i 1
....
....
i n
q( y m ) 
ym
Marginal de X
 p( x , y
i
m)
i 1
p(x)
j m
q ( x2 ) 
 p( x , y )
1
j 1
j
j m
q ( xn ) 
 p( x , y )
n
j
j 1
2. La suma de todos los valores de p(xi) es 1, con i = 1, 2, 3, ..., n. Igualmente si sumamos
todos los valores de q(yj) , esto será igual a 1, con j = 1, 2, 3, ..., m.
Ilmer Cóndor
Página 6 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
Ejemplo 4
Encuentre las distribuciones marginales de X e Y, del Ejercicio 3.
Solución
Puesto que la distribución de probabilidades conjunta de (X, Y) viene dada por
\
Y X
0
1
Marginal de X
2
3
p(x)
0
q(y)
1
2
0
6/27
2/27
6/27
6/27
0
8/27
12/27
0
6/27
0
6/27
0
0
1/27
1/27
6/27
18/27
Marginal de Y
3/27
Entonces
La distribución Marginal de X es:
Si X = 0 entonces p(0) = p(0, 1) + p(0, 2) + p(0, 3) = 6/27
Si X = 1 entonces p(1) = p(1, 1) + p(1, 2) + p(1, 3) = 18/27
Si X = 2 entonces p(0) = p(2, 1) + p(2, 2) + p(2, 3) = 3/27
Por lo que la función marginal de X, dado en forma tabular, es
X
p(x)
0
1
2
6/27 18/27
3/27
Esta misma distribución se aprecia en la última fila del cuadro de distribución conjunta.
La distribución Marginal de Y es:
Si Y = 0 entonces q(0) = q(0, 0) + q(1, 0) + q(2, 0) = 8/27
Si Y = 1 entonces q(1) = q(0, 1) + q(1, 1) + q(2, 1) = 12/27
Si Y = 2 entonces q(2) = q(0, 2) + q(1, 2) + q(2, 2) = 6/27
Si Y = 3 entonces q(3) = q(0, 3) + q(1, 3) + q(2, 3) = 1/27
Por lo que la función marginal de X, dado en forma tabular, es
Esta misma distribución se aprecia en la última columna del cuadro de distribución conjunta.
Y
q (y)
Ilmer Cóndor
0
1
8/27 12/27
2
6/27
3
1/27
Página 7 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
Ejemplo 5
La distribución de probabilidad conjunta de la variable aleatoria (X, Y), está definida por
x y
p ( x, y ) 
,
x = 1, 2;
y = 1, 2, 3, 4
32
a) Hallar la distribución de probabilidad marginal de X
b) Hallar la distribución de probabilidad marginal de Y
c) Encuentre las distribuciones condicionales de X, dado Y = 2 e Y, dado X = 1
Solución
Sugerencia: Complete la siguiente tabla dando valores a X e Y, y reemplazando en p(x, y). A
continuación sume hacia la derecha y tendrá la distribución de X; del mismo modo, sumando
hacia abajo tendrá la distribución de Y.
Y 1
2
3
4
X
1
2
.
Y
X
Algebraicamente:
a)
p(x) = p(x,1) + p(x, 2) + p(x, 3) + p(x, 4) =
b)
p(y) = p(1,y) + p(2, y) =
4 x  10
, x = 1, 2
32
3  2y
, y = 1, 2, 3, 4.
32
Ejercicio 9
Una compañía clasificadora de riesgo ha estimado una función de probabilidad conjunta para
las variables aleatorias: Rentabilidad (X) y Riesgo (Y), referidas a una acción común de la
Compañía AB Hosting S.A., que cotiza en la Bolsa de Lima. Se pide determinar si se debe
invertir en esta acción, teniendo como regla de decisión que se invertirá, sólo en el caso de
que la rentabilidad promedio sea mayor al riesgo promedio. La función de probabilidad
conjunta de (X, Y), se define como
x  2y
p ( x, y ) 
,
x = 1, 2;
y = 1, 2
18
Ejercicio 10
Cierto supermercado tiene una caja de salida común y una caja rápida. Sea X el número de
clientes que están en espera en la caja común en un momento particular del día; y sea Y el
número de clientes en espera en la caja rápida al mismo tiempo. Suponga que la distribución
de probabilidad conjunta de X e Y se indica en la siguiente tabla:
Y 0
X
0
Ilmer Cóndor
0.08
1
2
3
0.07
0.04
0.00
Página 8 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
1
2
3
4
ESCUELA DE NEGOCIOS
0.06
0.05
0.00
0.00
0.15
0.04
0.03
0.01
0.05
0.10
0.04
0.05
0.04
0.06
0.07
0.06
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya igual número de clientes en las dos líneas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos dos clientes más en una línea de
espera que en la otra?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de clientes de las dos líneas de espera sea
por lo menos cuatro?
d) Si hay dos clientes que están en espera en la caja rápida, ¿cuál es la probabilidad de
que hay menos de dos clientes en la caja común?
e) Cree Ud. que existe independencia entre X e Y?
VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL CONTINUA
DEFINICIÓN
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua, con

( X ,Y )
 R² su espacio rango.
Diremos que f(x, y) es una función de densidad de probabilidad conjunta de (X, Y) siempre
que f cumpla las siguientes condiciones:
ii) f(x , y)  0  (xi, yj) 
iii)
 
 
 

( X ,Y )
f ( x, y )dydx  1
Observaciones
1) De manera simplificada fdpc significará “función de densidad de probabilidad conjunta”.
2) Sin duda el intervalo al que correspondan X e Y serán - < X < + y - < Y < + . En
particular, X pertenecerá al intervalo (a, b) tal que a  X  b. Del mismo modo, Y

( X ,Y )
Figura 86
pertenecerá al intervalo (c, d) tal que c  Y  d. La gráfica de la función f determina una
superficie en el espacio tridimensional, como se muestra en la figura anterior.
Ilmer Cóndor
Página 9 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
3) Si B = {(x, y)/a  x  b, c  y  d } es un evento en el espacio rango de (X, Y), la
probabilidad de que ocurra este evento, es igual a
P(a  X  b, c  Y  d ) 
b d
  f ( x, y)dydx
a c
4) P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = P(a < X ≤ b, c < Y < d) = P(a < X < b, c < Y ≤ d)
5) Si matemáticamente la probabilidad P(a  X  b) =
b
 f ( x)dx , geométricamente representa
a
el área de una superficie sobre el plano cartesiano. En el caso bidimensional la
probabilidad P(a  X  b, c  Y  d) geométricamente representa el volumen de una
superficie en el espacio, definida por la gráfica de la curva f(x,y) y limitada por los
intervalos a  X  b , c  Y  d y en el plano XY, por la región ( X ,Y ) .
6) El orden de integración (dydx ó dxdy) lo determina Ud. , según su dominio.
7) Distribución Acumulada de una variable aleatoria bidimensional continua
Si (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional continua con f(x, y) su función de
densidad de probabilidad conjunta, diremos que F(x, y) es su función de distribución
acumulada si
F(x, y) = P( X  x, Y  y) =
x
 
y
 
f ( s, t )dsdt
Ejemplo 6
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua con función de densidad de
probabilidad conjunta definida por
c( 2  2)
0  x  1; 0  y  1
f ( x, y )   x y
0
otros
c) Determine el valor de la constante c
d) Calcule P(X < 0.5, Y > 0.5)
e) Calcule P(Y < 0.5)
Solución
Según vemos, la definición de f depende del valor de c. Esto es lo que debemos determinar
primero.
a) Para hallar el valor de c, debemos usar la segunda condición en la definición; es decir,
1 1
  c( x  y )dydx  1 .
2
0 0
b)
c)
2
Efectuando la integración obtenemos: c = .............
P(X < 0.5, Y > 0.5 ) = ...............................................
P(Y < 0.5) = P(- < X < + , Y > 0.5 ) = .........................................
Ejercicio 11
El precio X de compra de un artículo en miles de dólares y el precio Y de venta del artículo,
varían de acuerdo a la siguiente función de densidad conjunta:
0  x  1; 0.5  y  1.5
1
f ( x, y )  
otros
0
a) Hallar la probabilidad de que el precio de compra sea mayor que el precio de venta.
Ilmer Cóndor
Página 10 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
b)
c)
d)
ESCUELA DE NEGOCIOS
Hallar la probabilidad de que el precio de venta sea superior a 1000 dólares
Hallar P(X 1.2 / X < 0.3)
Hallar P( Y > 1.2 / X = 0.3)
DISTRIBCION MARGINAL
DEFINICIÓN
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua donde f es su función de densidad de
probabilidad conjunta. Diremos que g es la función de distribución marginal de X y la

definiremos como g ( x)   f ( x, y)dy

Del mismo modo, diremos que h es la función de distribución marginal de Y y la definiremos

como h( y)   f ( x, y)dx

Observaciones
1) Siendo g y h son funciones de distribución de probabilidad, debe suponerse que ambas
satisfacen las condiciones para ser funciones de densidad de probabilidad; es decir,



g ( x)dx  1 y del mismo modo



h( y )dy  1
Ejemplo 7
Suponga que (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional continua con función de
densidad de probabilidad conjunta dada por
 x ²  xy
0  X  1, 0  Y  2
3
f ( x, y )  
0
otros
Calcule lo siguiente:
a)
P(X > ½ )
b)
P( Y < X )
c)
P( Y < ½ / X < ½ )
Solución
Una fugaz mirada por las preguntas planteadas nos sugiere que debemos encontrar ante todo,
las distribuciones marginales de X e Y, respectivamente.
Procedamos:
Marginal de X: Integramos a f respecto de y, en todo el recorrido de Y
g(x) =
2
 ( x² 
0
xy
3
)dy  x² y 

xy ² 2
6 0
 ............
Marginal de Y: Integramos a f respecto de x, en todo el recorrido de X
h(y) =
1
 ( x² 
0
xy
3
1
x ² y 

 .............
3
6 
)dx  x
3
0
Con esta información:
a) P(X > ½ ) = 1 – P(X  ½) =1 -
Ilmer Cóndor
1/ 2

0
(2 x²  23 x)dx  .................
Página 11 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
b) P(Y < X ). Esto lo resolveremos usando la función de densidad conjunta. La región que
define el espacio rango de (X, Y) se muestra en la figura del costado. Por ello y de
acuerdo al análisis matemático, la probabilidad pedida es
1 x
1
7
xy
p(Y< X) =   ( x ²  3 )dydx   (...........)dx 
y=x
0 0
0
24
0
c) P(Y< ½ / X < ½ ) =
1/ 2 1/ 2
1
P( X  1 / 2, Y  1 / 2) 0 0 ( x ²  3 )dydx


 325
P( X  1 / 2)
1/ 6
1/ 6
En a) encontramos P(X > ½), por ello, P(X < ½ ) = P(X ≤ ½) = 1/6
xy
Ejercicio 12
Dada la función de densidad conjunta de la variable aleatoria (X, Y),
6  x  y
0 x2 ; 2 y4

f ( x, y )  
8
0
otros
a)
b)
Calcule P(X  1; Y > 3)
Obtenga la función de distribución marginal de X y de Y
DISTRIBUCIONES CONDICIONALES
CASO DISCRETO: DEFINICIÓN
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta, cuya función de probabilidad
conjunta es p(xi, yj). Sea p(xi) y q(yj) , i =1, 2, ..., n, ...; j = 1, 2, ..., m, ... , las distribuciones
de probabilidad marginal de X e Y, respectivamente.
Diremos que pX/Y(xi/Y = yj) es la función de probabilidad condicional de X, dado Y = yj, si
p( xi , y j )
pX Y ( xi / Y  y j ) 
,
q( y  y j )  0, i  1, 2, ..., n, ...
q( y  y j )
Del mismo modo, diremos que pY/X(yj/X = xi) es la función de probabilidad condicional de
Y, dado X = xi , si
pY X ( y j / X  xi ) 
p( x i , y j )
p( X  x i )
,
p( X  x i )  0, j  1, 2, ..., m, ...
Observaciones
1. La notación simplificada que usaremos es p(x/Y=y) para la función de probabilidad
condicional de X, dado Y, y q(y/X=x) para la función de probabilidad de Y, dado X.
2. Observe con cuidado la definición: En el caso de p(x/y), el evento que ha ocurrido es { y /
Y = yj }; es decir, deberemos encontrar la función de probabilidad condicional de X dado
Y, para un valor particular de Y; mientras que en el caso de la función de probabilidad
de Y dado X, el evento que ha ocurrido es {x / X = xi }.
Ilmer Cóndor
Página 12 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
3. Igualmente observe que las funciones de probabilidad se definen simplemente como un
cociente entre la conjunta y la probabilidad del evento que ha ocurrido.
4. Por lo expuesto, para obtener una de las distribuciones condicionales debemos usar el
siguiente procedimiento:
i) Paso 1: Disponer de, o calcular, la distribución de probabilidad conjunta
ii) Paso 2: Obtener la(s) distribución(es) marginal(es) respectiva(s)
iii) Paso 3: Obtener la(s) distribución(es) condicional(es) respectiva(s)
iv) Paso 4: Dividir a cada la conjunta entre el valor de probabilidad puntual de la
marginal correspondiente.
Ejemplo 8
La función de probabilidad conjunta de (X, Y) está dada por
p ( x, y ) 
x²  y ²
32
, x = 0, 1, 2, 3 ; y = 0, 1
Encuentre las distribuciones condicionales X e Y, respectivamente.
Solución
Según el problema, p ( x, y ) 
x²  y ²
, x = 0, 1, 2, 3 ; y = 0, 1
32
Para obtener la distribución de probabilidad condicional de X dado Y = 1, debemos encontrar
primero la distribución marginal de Y, de ella extraemos q(y = 1).
Del mismo modo, para obtener la distribución de probabilidad condicional de Y dado X = 2,
debemos encontrar primero la distribución marginal de X, de ella extraemos p(x = 2).
En consecuencia debemos encontrar las dos distribuciones marginales y luego proceder a
encontrar la condicional respectiva.
2 x²  1
, x  0, 1, 2, 3
Distribución Marginal de X: p ( x) 
32
14  4 y ²
, y  0, 1
Distribución Marginal de Y: q ( y ) 
32
Distribución Condicional de X, dado Y = 1:
x²  1
p( x / y  1)  32  ...........,
18
32
x  0 ,1, 2 , 3
Hemos reemplazado y = 1 en q(y)
Distribución Condicional de Y, dado X = 2:
4  y²
p( y / x  2)  32  ............,
9
32
Ilmer Cóndor
y  0 ,1
Hemos reemplazado x = 2 en p(x)
Página 13 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
CASO CONTINUO: DEFINICIÓN
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua. Si f(x, y) es su función de densidad
conjunta, y g(x) y h(y) sus distribuciones marginales correspondientes, definimos con
gX/Y(x/y) o g(x/y) como la función de densidad condicional de X, dado Y = y, tal que
f ( x, y )
g ( x / y) 
,
h( y )  0
h( y )
Del mismo modo, diremos que hY/X(y/x) o h(y/x) es la función de densidad condicional de
Y, dado X, tal que
f ( x, y )
h( y / x ) 
,
g ( x)  0
h( y )
Observaciones
1. Usaremos g(x/y) y h(y/x) para representar las funciones condicionales respectivas.
2. Para obtener dichas condicionales es suficiente dividir la distribución conjunta entre la
distribución marginal que le corresponda. Es decir, para g(x/y), es suficiente la división
de la conjunta f entre la marginal de Y, h(y). Del mismo modo, para obtener h(y/x) es
suficiente dividir la conjunta entre la marginal de X, g(x).
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua cuya función de densidad de
probabilidad conjunta viene dada por
xy

,
0  x  1, 0  y  2
 x² 
f ( x, y )  
3
0
otros

Ejemplo 9
Encuentre las distribuciones condicionales de X, dado Y así como la distribución condicional
condicionadle Y, dado X.
Solución
Puesto que las distribuciones condicionales provienen del cociente de las conjuntas entre las
marginales, debemos hallar primero las distribuciones marginales.
Distribución Marginal de X:
g ( x) 
2
 ( x² 
0
xy
)dy  2 x ² 
3
2
3
x
Distribución Marginal de Y:
h( y ) 
1
 ( x² 
0
xy
1 1
)dx   y
3
3 6
Obtención de la Distribución condicional de X, dado Y:
g ( x / y) 
xy
f ( x, y ) x ²  3 6 x ²  2 xy


.
1 1
h( y )
2 y
 y
3 6
Ilmer Cóndor
Página 14 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
 6 x²  2 xy
,
0  x  1, 0  y  2
Luego g ( x / y)   2  y
0
otros

Obtención de la Distribución condicional de Y, dado X:
f ( x, y )
3x  y
h( y / x ) 
 .............................. 
.
g ( x)
6x  2
 3x  y
Luego h( x / y)   6 x  2
,
0  x  1, 0  y  2
0

otros
ESPERANZA CONDICIONAL
DEFINICION
Caso discreto:
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta con p(xi, yj) , i = 1, 2, ..., n, ...; j = 1,
2, ..., m, ... su función de probabilidad conjunta. Sea p(xi) y q(yj) las funciones de
distribución marginal de X e Y, respectivamente.
Diremos que E[X/Y = yj] es la esperanza condicional de X, dado Y = yj, tal que

E[ X / Y 
y ]   x p( x / Y  y )
j
i 1
i
i
j
Del mismo modo, E[Y/X = xi] es la esperanza condicional de Y, dado X = xi, tal que

E[Y / X 
x  y q( y / X  x )
i
]
ji 1
j
i
i
Ejemplo 10
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta cuya función de probabilidad
conjunta es
2x  y
p ( x, y ) 
, x  1, 2, 3; y  2, 3, 4
63
Obtener las esperanzas condicionales E[X/Y] y E[Y/X], para todos los valores de X e Y.
Solución
Como para E[X/Y] se requiere la marginal de Y y la probabilidad condicional de X, dado Y,
así como para E[Y/X] se requiere la marginal de X y luego la probabilidad condicional de Y,
dado X, procederemos de manera ordenada:
6x  9
, x  1, 2, 3
63
12  3 y
q( y ) 
, y  2, 3, 4
63
Distribución Marginal de X: p( x) 
Distribución Marginal de Y:
Distribución condicional de X, dado Y:
p( x, y  2)
x 1
p( x / Y  2) 
 ......... 
, x  1, 2, 3
q(2)
9
Ilmer Cóndor
Página 15 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
p( x, y  3)
2x  3
 ............. 
, x  1, 2, 3
q(3)
21
p( x, y  4)
x2
p( x / Y  4) 
 ........... 
, x  1, 2, 3
q(4)
12
Distribución condicional de Y, dado X:
p( x  1, y )
2 y
p( y / X  1) 
 .............. 
, y  2, 3, 4
p(1)
15
p( x  2, y )
4 y
p( y / X  2) 
 ........... 
, y  2, 3, 4
p(2)
21
p( x  3, y )
6 y
p( y / X  3) 
 .............. 
, y  2, 3, 4
p(3)
27
Con toda esta información:
p( x / Y  3) 
11
2 1
3  1 20
2
3

9
9
9
9
3
E[ X / Y  2] 
 xp( x / y  2) 1
x 1
3
E[ X / Y  3] 
 xp( x / y  3) 1
x 1
3
E[ X / Y  4] 
23
43
6  3 46
2
3

21
21
21
21
1 2
 xp( x / y  4) 1 12
x 1
2
22
3  2 26
3

12
12
12
Igualmente
4
E[Y / X  1] 
 yq( y / x  1) 2
y 2
22
23
2  4 47
3
4

15
15
15
15
4
E[Y / X  2] 
 yq( y / x  2) 2
y 2
4
E[Y / X  3] 
 yq( y / x  3) 2
y 2
42
43
4  4 65
3
4

21
21
21
21
62
63
6  4 83
3
4

27
27
27
27
Ejemplo 11
Si la distribución de probabilidad conjunta de Y\X 0
(X, Y) viene dada por la siguiente tabla,
0 .020
calcule
a)
E[X]
1 .015
b)
E[Y]
c)
E[3X + 4Y]
2 .140
d)
E[Y²]
e)
V[Y]
p(x) .175
f)
E[XY]
g)
P(X = 1 / Y = 1)
h)
E[X / Y = 1]
i)
E[2X + 1/ Y = 1]
j)
E[2X + Y / Y = 1 ]
k)
E[ XY / Y = 1]
Ilmer Cóndor
1
2
3
.050
.070
.045
.106
.146
.140
.126
.121
.021
.282
.337
.206
q(y)
.185
.407
.408
Página 16 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
Solución
Aprovechando el cuadro ya hemos calculado las distribuciones marginales de X e Y.
a) E[X] = …………………………………….. = 1.574
b) E[Y] = …………………………………….. = 1.223
c) Sea Z = 3X + 4Y. Si X , Y = 0, 1, 2, 3, 4 entonces Z = 0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14; con lo
cual su distribución será
Z
0
3
4
6
7
8
9
10
11
13
14
17
p(z) .020 .050 .015 .070 .106 .140 .045 .146 .126 .140 .121 .021
Luego E[Z] = …………………………………………………….. = 9.614
d) E[Y²] = 0²(……) + 1²(…..) + 2²(……) = 2.039
e) V[Y] = E[Y²] – (E[Y])² = – ……… = 0.543271
f) Antes de evaluar E[XY], encontremos la distribución de XY. Para ello, sea Z = XY. Los
valores que toma Z son
0 = {(0,0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (0, 1), (0, 2)},
1 = {(1, 1) }
2 = {(1, 2), (2, 1) }
3 = {(3, 1)},
4 = {(2, 2) }
6 = {(3, 2) }
Luego su distribución es
0
1
2
3
4
6
.340
.106
.272
..140
.121
.021
De acuerdo a esto, E[XY] = E[Z] =
P(X = 1 / Y = 1) =
P( X  1, Y  1) p(1,1) .106


 0.2604
p(Y  1)
q(1)
.407
x 3
g) E[X / Y = 1] =
 xp( x / Y  1) 0
x 0
p(0,1)
p(1,1)
p(2,1)
p(3,1)
1
2
3
 2.0098
q(1)
q(1)
q(1)
q(1)
h) E[2X + 1 / Y = 1 ]
Aplicando propiedades, E[2X + 1/Y= 1]= 2 E[X / Y = 1] + 1 = ……………..= 5.0196
i) E[2X + Y / Y = 1]. Como ya ha ocurrido el evento { Y = 1 } entonces ya se conoce el
valor de Y, por ello E[2X + Y / Y = 1] = E[2X + 1 / Y = 1] = 5.0196
j) Igualmente, E[XY / Y = 1 ] = E[X(1) / Y = 1] = E[X / Y = 1 ] =
Caso continuo:
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua con f su función de densidad de
probabilidad conjunta y sean también g(x) y h(y) las funciones de densidad marginales de X
e Y, respectivamente.
Diremos que E[X/Y] es la esperanza condicional de X, dado Y tal que
E[ X / Y ] 



xg ( x / y)dx
Del mismo modo, E[Y/X] es la esperanza condicional de Y, dado X tal que
E[Y / X ] 
Ilmer Cóndor



yh( y / x)dy
Página 17 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
Ejemplo 12
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua cuya función de densidad de
probabilidad conjunta viene dada por
1
2
 (3x  2 y )
f ( x, y )   6
0

a)
b)
0  x  1, 0  y  2
otros
Encuentre E[X/Y = ½ ]
Evalúe P(Y < ½ / X = ½ )
Solución
Encontraremos primero las marginales y luego las condicionales.
6x2  4
0
6
1
1

2y
h( y )  16 (3x 2  2 y )dx 
0
6
2
Marginal de X: g ( x)   16 (3x 2  2 y)dy 
Marginal de Y:

Distribución condicional de X, dado Y: g ( x / y) 
f ( x, y)
3x 2  2 y
 ............ 
h( y )
1 2y
Distribución condicional de X, dado Y: h( y / x) 
f ( x, y )
3x 2  2 y
 .......... 
g ( x)
6x2  4
Respondiendo a las preguntas:
1
3x 3  x
dx .........
11
1
1
1
a) E[X/Y  2 ]  0xg(x/y  2 )dx  0
P( X  2 , Y  2)

b) P(X < ½ / Y = ½ ] =
h(Y  12 )
1
1

1
0
2
f ( x, y  12 )
1  2( 12 )
dx  ................ 
5
96
Ejercicio 13
A continuación se presenta la fdpc de la vabc (X, Y).
 2 2
0  x 1 ; 0  y  2
  y
f ( x, y )   x 3
0
otros
a) Hallar la fdp condicional de X, dado Y = y
b) Calcule P(X < 0.5 / Y = 1)
c) Hallar la fdp condicional de Y, dado X = x
d) Calcule P(Y > 1 / X = 0.25)
e) Calcule E(Y/X = x)
E( Y / X = 0.25 )
INDEPENDENCIA DE VARIABLES
DEFINCIÓN
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional. Diremos que X e Y son variables aleatorias
independientes si
Ilmer Cóndor
Página 18 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
a) Caso discreto: Si distribución condicional es igual a la marginal de la variable
p(xi, / Y = yj) = p(xi) para todo i = 1, 2, ....., n ; j = 1, 2, ...... m
o
p(yj / X = xi,) = q(yj) para todo i = 1, 2, ....., n ; j = 1, 2, ...... m
b) Caso continuo: Si la distribución condicional es igual a la marginal de la variable
f(x / Y = y) = g(x)
f(y / X = x ) = h(y)
Teorema
Las variables X e Y son independientes si y sólo si la distribución conjunta es igual al
producto de sus distribuciones marginales; es decir,
Caso discreto : p(xi, , yj) = p(xi) q(yj); para todo i = 1, 2, ....., n ; j = 1, 2, ...... m
Caso continuo: f(x, y) = g(x) h(y) para todo (x, y) en el espacio rango de (X, Y).
Teorema
Si X e Y son dos variables aleatorias independientes entonces
a) E(XY) = E(X)E(Y)
b) V(X  Y) = V(X) + V(Y)
Ejemplo 13
Las variables aleatorias X e Y representan las proporciones de los mercados correspondientes
a dos productos distintos fabricados por la misma compañía y cuya función de densidad de
probabilidad conjunta está dada por
0  x  1; 0  y  1
x  y
f ( x, y )  
otros
0
a) Son independientes las variables X e Y? Justifique su respuesta
b) Si la producción del mercado del producto X es de 20%(x = 0.2), obtenga la función de
densidad condicional de Y
Solución
a) Marginal de X: g(x) = .......................... h(y) = .............................
g(x)h(y) = .......................
Son independientes X e Y? ........................
b) Qué es lo se nos está pidiendo? ...................................
f ( x  0.2, y )
 ....................
Luego h(...../ X = ......) =
g ( x  0.2)
Ejercicio 14
SEARS es una empresa de grandes almacenes. Cada semana, almacena miles de toneladas de
productos enlatados y después los vende a ciertas empresas minoristas. Sea X la cantidad
almacenada (en miles de toneladas) del producto al inicio de la semana(X varía de semana en
semana). Sea Y la cantidad (en miles de toneladas) que se vende durante la semana. Si
tenemos la siguiente fdpc
Ilmer Cóndor
Página 19 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
a)
b)
ESCUELA DE NEGOCIOS
0  y  x 1
3x
f ( x, y )  
otros
0
Calcular la probabilidad de que se almacene menos de 500 toneladas del producto, pero
se venda más de 250 toneladas
Cree Ud. que existe dependencia estadística entre la cantidad almacenada y la cantidad
vendida? Sustente.
Ejercicio 15
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua con fdpc definida por
, x  0, y  0
 24 xy
f ( x, y )  
otros
0 ,
Además x + y  1. Son independientes X e Y?
COEFICIENTE DE VARIACION
DEFINCIÓN
Sea X e Y dos variables aleatorias. Diremos que COV(X, Y) es la Covarianza de X e Y tal
que COV(X, Y) = E [(X – E[X])(Y-E[Y]) ]
Teorema
COV(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y)
Teorema
Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces COV(X, Y) = 0
Interpretación
La covarianza de dos variables mide la co-variabilidad de dichas variables. Cómo varía una
respecto a la otra. Si Covar(X, Y) es positica entonces ambas aumentan o disminuyen;
mientras que si Cov(X, Y) es negativa, una variable aumenta y la otra disminuye. Si Cov(X,
Y) es 0, una no depende de la otra.
Abra el archivo DiagDisp.xls y luego analice y comente el diagrama de dispersión de las
variables del problema. Use las hojas DiagDisp y Más diagramas.
Propiedades
1.
2.
3.
4.
COV(X,βY) = βCOV(X, Y)
COV(X+c,βY+d) = βCOV(X,Y)
Si X e Y son dos variables cualquiera V(X + Y) = V(X) + V(Y) +2COV(X,Y)
Si X e Y son dos variables cualquiera V(X + βY) = ²V(X) + β² V(Y) +2βCOV(X,Y)
Ilmer Cóndor
Página 20 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
COEFICIENTE DE CORRELACION
DEFINCIÓN
Sea X e Y dos variables aleatorias. Diremos que (X, Y) es el Coeficiente de Correlación de
X e Y tal que
COV ( X , Y ) E ( XY )  E ( X ) E (Y )
 

V ( X )V (Y )
 X Y
Observaciones
1. El coeficiente de correlación representa el grado de correlación que hay entre las
variables
2. Por la forma cómo está definido,  puede ser positivo o negativo
3. -1 ≤  ≤ 1
4. Si   1 entre X e Y existe una correlación casi perfecta
5. (aX + b, cY + d) =  (X, Y)
Teorema
Si X e Y son dos variables aleatorias independientes entonces  = 0
Interpretación
El coeficiente de correlación mide el grado de asociación que hay entre dos variables. Es la
cuantificación porcentual de cuán relacionadas están las dos variables,
Abra el archivo DiagDisp.xls y luego analice y comente el diagrama de dispersión de las
variables del problema. Use la hoja Cálculos y realice todos los cálculos que se pide en ella.
Ejercicio 16
Encuentre el coeficiente de correlación en el problema 10.
Ejercicio 17
Encuentre el coeficiente de correlación de (X, Y) del problema 12
Ejercicio 18
Encuentre el coeficiente de correlación de (X, Y) del problema 13
Ejercicio 19
La función de probabilidad conjunta de (X, Y) esta dada por la siguiente tabla
Y 0
1
X
0
1/8 1/8
1
2/8 1/8
2
2/8 1/8
Ilmer Cóndor
Página 21 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
Calcular:
a) E(X), E(Y), V(X), V(Y), E(XY)
b) COV(X,Y)
c) (X,Y)
d) (2X,3Y+4)
e) E(X / Y = 1)
f) E(2X/Y = 1)
g) E(3X + 4 / Y = 1)
h) E(XY / Y = 1 )
i) E(2X + 3Y / Y = 1)
VARIABLES ALEATORIAS n – DIMENSIONALES
Sea X1, X2, ...., Xn un conjunto de n variables aleatorias (discretas o continuas). Existirá una
función f que será su función de distribución conjunta f(X1, X2, ...., Xn ); del mismo existirá
una variable aleatoria Z que es función de las Xi tal que Z = f(X1, X2, ...., Xn ) en la que
podamos tener
in
1. Z = f(X1, X2, ...., Xn ) = X1+ X2 + ....+ Xn =
X
i 1
i
o también
2. Z = f(X1, X2, ...., Xn ) = X1,X2 .... Xn
(producto de ellas)
3. Z = f(X1, X2, ...., Xn ) = Max(X1, X2, ...., Xn )
4. Z = f(X1, X2, ...., Xn ) = Min(X1, X2, ...., Xn )
X1, X2, ...., Xn serán independientes si f(X1, X2, ...., Xn ) = f(X1)f(X2)....f(Xn )
Si son independientes entonces
in
1. E(X1+ X2 + ....+ Xn ) = E[  X i ] = E(X1)+ E(X2 )+ ....+ E( Xn ) =
i 1
in
2. V(X1+ X2 + ....+ Xn ) = V(  X i )=V(X1)+V(X2 )+ ....+ V(Xn ) =
i 1
in
 E( X )
i
i 1
in
VX )
i 1
i
La gran pregunta :
De todo lo que hemos visto hasta ahora podemos decir que, dada la función de distribución
de una o más variables aleatorias, podemos saber el comportamiento de la población a la cual
representa(n) dicha(s) variable(s).
Y si no se conoce su distribución? Es momento de presentar nuevos conceptos que nos
permitan resolver esta pregunta y muchas otras más, de manera general.
ADVERTENCIA
A partir de este punto las variables a ser usadas serán independientes ya que muchos
fenómenos reales se explican a través de las variables aleatorias independientes. En ellos,
E(X1+ X2 + ....+ Xn ) = E(X1)+ E(X2 )+ ....+ E( Xn ) =μ1 + μ2 + ... + μn = 

= 
i
V(X1+ X2 + ....+ Xn ) = V(X1)+V(X2 )+ ....+ V(Xn) = σ²1 + σ²2 + ... + σ²n
Ilmer Cóndor
2
i
Página 22 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
PROPIEDAD REPRODUCTIVA
Teorema
Sea X1, X2, ...., Xn un conjunto de n variables aleatorias independientes. Supongamos que
cada una de ellas proviene de una población cuya distribución es conocida, con parámetros μi
n
y σi² . Si definimos a T como una nueva variable tal que T   X i entonces S tiene la
misma distribución con
  
T
i 1
y  T2  
i
2
i
Importancia de este teorema:
n
Si las Xi  B(ni, pi ) y T   X i entonces T  B(n, p) donde n = n1 + n2 + ...+ nn y p =
i 1
p1 + p2 + ... pn .
n
Si las Xi  E(i ) y T   X i entonces T  E( = 1 + 2+ ...+ n )
i 1
n
Si las Xi  P(λi ) y T   X i entonces T  ...............................
i 1
Teorema: Propiedad reproductiva de la Normal
Sea X1, X2, ...., Xn un conjunto de n variables aleatorias independientes. Supongamos que
cada una de ellas proviene de una población cuya distribución normal; es decir, Xi  N(μi ,
n
σ²i ). Si T   X i entonces T  N(μT , σ²T ) donde
i 1
Si ahora definimos Z 
T 

T
  
T
y  T2  
i
2
i
entonces Z  N(0, 1)
T
Corolario
n
Si X  N(μ , σ² ). Si T   X i entonces T  N(μT = n μ , nσ²)
i 1
Si ahora definimos Z 
T 

T
T

T  n
entonces Z  N(0, 1)
 n
Ejemplo 14
Sea Y = X1 + X2 + X3, donde X1  N(4, 3²); X2 N(6, 4²) y X3 N(8, 5²) son variables
aleatorias normales e independientes
a) Hallar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y
b) Evalúe P(Y < 20)
Ilmer Cóndor
Página 23 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
Solución
a) Para encontrar la distribución de probabilidad de Y es suficiente encontrar su media μY y
su varianza σY². Si Y = X1 + X2 + X3  μY = E(Y) = E(X1 ) + E(X2 ) + E( X3 ) = .........
Del mismo modo σY² = V(Y) = V(X1 + X2 + X3 ) = ...................................
b) Como por el teorema Y  N(....., ......) entonces, usando la distribución normal mediante
el programa Minitab o Excel, tenemos P(Y < 20 ) = ........................................
Ejercicio 20
Sea Y = 0.5X1 + 0.5X2 - X3 + 2; donde Xi  N(i, i² ), son variables aleatorias normales e
independientes
a) Hallar la distribución de probabilidad de Y
b) Evalúe P(0 < Y < 3)
Ejemplo 15
El promedio diario de ventas que realiza una bodega es de S/. 8000 con una desviación
estándar de S/. 1000. Si la distribución de las ventas es normal, hallar
a) la probabilidad de que una venta en un día cualquiera esté entre los S/. 7000 y S/. 9000.
b) la probabilidad de que el total de ventas en 50 días independientes sea menor que S/.
378,000.
Solución
Sea X: Las ventas diarias de la bodega
Según esto, X  N(........, .........)
a) Aquí se pide P(................................). Usando Minitab o Execl P(.................) = ................
b) Creo que debemos definir otra variable, digamos T: .........................................................
Por el teorema de la propiedad reproductiva de la normal, T  N(μT , σ²T) donde
μT = ................. y σ²T = ................................
Luego P(T < ...................) = .....................................................
Ejercicio 21
El precio (en miles de $) que un propietario fija para cierto tipo de propiedad es una variable
aleatoria que tiene distribución normal con una media de $ 50.0 y una desviación de $ 5.0.
Los compradores desean pagar una cantidad (en miles de $) que también es una variable
aleatoria con distribución normal donde su media es de $ 45.0 y su desviación es de $ 2.50.
Cuál es la probabilidad de que tenga lugar una transacción?
Ejercicio 22
Un censo ha determinado que en las familias en donde tanto el esposo como la esposa
trabajan, el sueldo X del esposo sigue una distribución normal con una media de 800 soles y
una desviación estándar de 50 soles; mientras que el sueldo Y de la esposa sigue una
distribución normal con una media de 700 soles y una desviación de 70 soles. Si los sueldos
se consideran independientes:
a) Hallar la probabilidad de que, en una familia de esposos que trabajan, el sueldo del
esposo sea mayor que el sueldo de la esposa
b) Hallara la probabilidad de que, en una familia de esposos que trabajan, el sueldo
total(entre esposo y esposa) sea superior a 1800 soles
Ilmer Cóndor
Página 24 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
Ejercicio 23
Dos supermercados compiten por tomar el liderazgo del mercado. Un estudio reciente de una
compañía de mercadeo estimó que las ventas diarias en miles de dólares de los dos
supermercados, se distribuyen normalmente con 1 = 15 y 1 = 3 y 2 = 17 y 2 = 4
respectivamente. Calcule la probabilidad de que el segundo mercado supere en ventas al
primer mercado.
Ejercicio 24
El FMI sólo otorgará préstamos al Perú siempre que la tasa de crecimiento de su PBI sea
mayor que la tasa de crecimiento de su población. Si en el Perú la tasa de crecimiento de
crecimiento del PBI es una v.a. normal N(5, 9), y la tasa de crecimiento poblacional es N(4,
4), ¿cuál es la probabilidad de que se otorgue el préstamo al Perú?. Suponga que ambas
variables son independientes.
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL (TLC).
Algunas palabras previas:
Los teoremas relativos a la propiedad reproductiva de la distribución de probabilidad de una
variable aleatoria, nos ha permitido resolver problemas relacionados con la generación de una
nueva variable que resulta de la combinación lineal de otras cuya distribución es conocida.
Ahora, reformulando la pregunta allí planteada, surge otra interrogante: Y cómo procedemos
n
con variables de la forma T   X i si la distribución de los Xi no es conocida?
i 1
La estadística resuelve este problema tomando en cuenta el importante y conocido teorema
del Límite Central (TLC).
Teorema
Sea X1, X2, ...., Xn un conjunto de n variables aleatorias independientes, con μi y σi² ,
parámetros de la distribución. Si definimos a T como una nueva variable aleatoria tal que
n
T   X i entonces, para un tamaño de n, “suficientemente grande”, la variable Z, definida
i 1
por
Z
T 
  

T
T
tiene una distribución aproximadamente normal N(0, 1) donde
T
y  T2  
i
2
i
Observación
1. El conjunto de las n variables aleatorias que, por lo general, constituye una muestra
aleatoria extraída de la población.
2. Supondremos que el tamaño de n será “suficientemente grande” si n ≥ 30. La
demostración de tal afirmación escapa al desarrollo de este curso.
Ilmer Cóndor
Página 25 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
3. Z 
T 

 X  
n
T

ESCUELA DE NEGOCIOS
n
i
i 1
n
i 1

T
i 1
i
2
i
4. Para resolver un problema, se debe obtener la μT y σT² y aplicar Minitab o Excel.
Teorema
Sea X1, X2, ...., Xn un conjunto de n variables aleatorias independientes, provenientes de la
misma población con μi = μ y σi² = σ. Si definimos a T como una nueva variable aleatoria tal
n
que T   X i entonces, para un tamaño de n, “suficientemente grande”, la variable Z,
i 1
definida por Z 
μT = n μ
y
T 

T
tiene una distribución aproximadamente normal N(0, 1), donde
T
σT² = n σ²
En este caso Z toma la forma Z 
T  n
 N(0, 1)
 n
Observación
Abra el archivo TLC.xls. En la hoja Pob desconocida se tiene en la columna A, el registro
de los ingresos medios de 1000 trabajadores del sector textil. Se puede verificar que la
gráfica no muestra ningún comportamiento definido. Se ha extraído 10 muestras de tamaño
278. Se ha obtenido una variable T como la suma de cada uno de los ingresos que conforman
las muestras. A partir de ello, hemos encontrado la variable Z. La gráfica de Z nos indica
que, cuando n ≥ 30, la variable T puede ser aproximada por una normal.
Ejemplo 16
La capacidad máxima de un ómnibus es de 2,500 Kg. Si el peso de los pasajeros se distribuye
normalmente con una media de 65 Kg. y una desviación estándar de 10 Kg., ¿cuál es la
probabilidad de que el peso total de 38 pasajeros sobrepase la capacidad del ómnibus?.
Solución
Sea X: ...........................................................
X N(65, 10).
n = .........
Como se pregunta por el peso total de pasajeros,
debemos definir otra variable, digamos T: ..........................................
Qué se pregunta?: .................................................
Podemos usar la propiedad reproductiva de la normal?: ................................
Podemos usar el TLC? .........................................
A qué es igual μT? : μT = ...................
Su varianza σ²T ?: σ²T = .............................
Use Minitab o Excel para encontrar la probabilidad pedida:
P( T > 2500) = ............................................................
Ilmer Cóndor
Página 26 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
Ejemplo 17
El tiempo que tarda un empleado en atender a un cliente es una variable aleatoria que se
distribuye normalmente con una media de 10 minutos y una desviación estándar de 2
minutos.
a) Si el empleado atiende a 15 clientes consecutivamente, ¿cuál es la probabilidad de que
demore a lo más 2 horas con 20 minutos?
b) Si el empleado dispone de 44 minutos para atender a n clientes, hallar n de tal manera
que esto sea posible con probabilidad 0.84134.
Solución
Sea X: Tiempo que tarda el empleado en atender a un cliente. X  N(...............)
a) Sea T: ...........................................
n = ......................
A qué es igual μT? : μT = ...................
Su varianza σ²T ?: σ²T = .............................
Qué aplicamos el TLC o la propiedad reproductiva? .................................................
Encuentre P( T ≤ .............) = .......................
b) Sea T: Tiempo total empleado en atender a n clientes.
Si ahora se trata de n clientes, μT = ................... σ²T = .............................
Debemos encontrar P( T ≤ .................) = 0.84134.
Se debe pasar a Z  N(0, 1) para poder usar la opción <Inverse...> en Minitab con media
0 y desviación 1. En Excel se deberá usar =Distr.Norm.Estand.Inv(0.84134).
Ejemplo 18
Un conjunto de productos que en promedio pesan 10 gramos, con una desviación estándar de
2 gramos, son embalados en cajas de 50 unidades. Se sabe que las cajas vacías pesan en
promedio 500 gramos, con una desviación estándar de 25 gramos. Suponiendo que los pesos
de los productos y el de las cajas son independientes, calcular la probabilidad de que una caja
llena pese más de 1050 gramos.
Solución
Sea X: ..................................................... μX = ..............
σX = ......................... n = ........
Usamos TLC o propiedad reproductiva? .....................................................................
Sea Y : Peso de la caja
Y = ..............................................
Tomando esperanza y varianza a Y, obtenemos: μY = ..............
σ²Y = .............................
Ahora debemos encontrar: P(T > 1050) = .....................................
Ejercicio 25
El administrador de una tienda al menudeo afirma que la cajera de la tienda puede despachar
sin ningún inconveniente, a 100 clientes en menos de 2 horas. Para comprobar tal afirmación,
se registró los tiempos de espera de los clientes que pasaron por la caja registradora y se
obtuvo una media de 1.5 minutos, con una desviación estándar de 1 minuto. Cuál es la
probabilidad de que la cajera pueda atender a 100 clientes en menos de 2 horas? Tiene razón
el administrador?
Sugerencia:
Defina a X:
Determine si se debe usar el TLC o la propiedad reproductiva. Observe que en este problema
nada se dice de la distribución de X.
Ilmer Cóndor
Página 27 de 28
UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
Ejercicio 26
Se sabe que el peso de ciertos caramelos es una variable aleatoria con distribución uniforme
entre 10 y 12 gramos. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que una caja con 100
caramelos pese más de 1.2 Kg.? (el peso de la caja es despreciable)
Ejercicio 27
En una compañía distribuidora de botellas de vino, se observa que el número de botellas de
vino que se distribuye mensualmente a un establecimiento comercial, es una variable con
media 257 y desviación estándar de 20 botellas. Cada botella distribuido a un establecimiento
cuesta 5 nuevos soles. Si la cartera de clientes de la compañía distribuidora cuenta con 64
establecimientos comerciales ,
a) Obtener la distribución de probabilidad de la v.a. T, donde T es el monto total de dinero
obtenido mensualmente por la compañía distribuidora.
b) Calcular e interpretar P(T > 80000)
c) Calcule el valor mínimo de T tal que esto ocurra con probabilidad de 5%.
Ejercicio 28
Las ventas diarias de una empresa comercializadora se distribuyen exponencialmente con una
media de 1500 dólares. Si se observa las ventas de los últimos 40 días y se calcula la venta
total de este período, encontrar el valor de esta venta total, tal que la probabilidad de no
sobrepasarla es de 95%
Ejercicio 29
Se empacan artículos pequeños a razón de 250 por caja de madera. Los pesos de los artículos
son variables aleatorias independientes normales con una media de 0.5 libras y una
desviación estándar de 0.10 libras. Se colocan 20 cajas en una plataforma de transporte.
Calcule la probabilidad de que los artículos en la plataforma pesen más de 2,510 libras.
Ejercicio 30
El contenido de nicotina de un solo cigarrillo de una marca en particular es una variable
aleatoria con media 0.8 mg y una desviación estándar de 0.1 mg. Si un individuo fuma 5
cajetillas de estos cigarros por semana, ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad total de
nicotina consumida en una semana sea por lo menos de 82 mg.?
Ejercicio 31
Hay 40 estudiantes den el curso de Análisis Real. En base a estadísticas pasadas, el profesor
sabe que el tiempo necesario para calificar un examen seleccionado al azar, es una variable
aleatoria con media igual a 6 minutos y una desviación estándar de 5 minutos. Si los tiempos
para calificar los exámenes son independientes y el profesor comienza a calificar a las 6:50
pm y lo hace en forma continua,
a) ¿cual es la probabilidad de que termine de calificar antes de que empiecen las noticias
de las 11:00 por TV?
b) Si la sección deportiva empieza a las 11:10 pm, ¿cuál es la probabilidad de que se pierda
parte de esa sección, si espera hasta terminar, antes de encender el televisor?
Ilmer Cóndor
Página 28 de 28