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APUNTES
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
2. ÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN.
2.1 Concepto, construcción y medida en grados.
2.2 Clasificación por su medida, posición y suma.
2.3 Angulo formado por dos rectas paralelas y una
transversal a ellas.
2.5 Operaciones con ángulos.
2.1 CONCEPTO, CONSTRUCCIÓN Y MEDIDA EN GRADOS.
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
 Es la figura formada por 2 semirrectas que parten de un mismo punto.
 Las semirrectas se llaman lados y el punto común vértice.
Elementos de un ángulo:
 Vértice.- Es el origen "O" común de los rayos.
 Lados.- Son los rayos que forman el ángulo.
 Notación.- A un ángulo, se le denota con los siguientes símbolos y formas.
a)
Una
mayúscula
letra b) Una letra griega o c)
en
el un
vértice.
símbolo
en
Tres
letras
la mayúscula.
abertura.
 Bisectriz.- Bisectriz de un ángulo, es un rayo que partiendo del vértice divide
al ángulo en dos ángulos iguales.
Para medir ángulos utilizamos:
El grado sexagesimal (°)
Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la
circunferencia en 360 partes iguales.
1º = 60' = 3600''
1' = 60''
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
El símbolo de grado: °
Se usa un pequeño círculo ° después del número para indicar grados.
Por ejemplo 90° significa 90 grados
Un grado
Así de grande es 1 grado
Un círculo completo
Un cículo completo son 360°
Medio círculo son 180°
(esto se llama ángulo llano)
Un cuarto de círculo son 90°
(y se llama ángulo recto)
¿Por qué son 360? Probablemente porque antiguamente había
calendarios (por ejemplo el persa) que tenían 360 días por año,
así que cuando miraban las estrellas veían que giraban
alrededor de la Estrella Polar un grado cada día.
Midiendo grados
Muchas veces medimos grados usando un transportador:
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
Normalmente los transportadores miden ángulos de 0° a 180°
También hay transportadores de
vuelta completa.
Pero no son tan comunes porque
son grandes y no valen para nada
especial.
Radián
Radián
(rad)
es
la
medida
del
ángulo
central
de
una
circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud
de su radio.
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
1 rad = 57° 17’ 44.8´´
360º = 2
rad
2.2 CLASIFICACIÓN POR SU MEDIDA, POSICIÓN Y SUMA.
Los ángulos se clasifican por varios criterios:
a) Según su medida
b) Según su posición
c) Según su suma.
Según su medida
Ángulo agudo
Mide menos de 90º.
0° <
< 90°
Ángulo recto
Mide 90º.
= 90°
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
Ángulo obtuso
Mide más de 90º.
90° <
< 180°
Ángulo llano o extendido
Mide 180º.
= 180°
Ángulo convexo
Mide menos que un ángulo llano.
180° <
< 360°
Ángulo cóncavo
Mide más que un ángulo llano.
0° <
< 180°
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
Ángulo nulo
Mide 0º.
Las semirrectas que forman los ángulos coinciden.
Ángulo completo
Mide 360º.
Ángulo negativo
Mide menos de 0º.
Los ángulos negativos giran en el sentido horario, es decir,
en el sentido en que se mueven las agujas de un reloj.
Un ángulo negativo lo podemos transformar en un ángulo
positivo sumándole 360º.
-30º = 360º - 30º = 330º
Ángulo mayor de 360°
Mide más de una vuelta.
Un ángulo de 390º = 360º + 30º, si lo representamos coinci de
con un ángulo de 30º.
Un ángulo de 750º = 2 · 360º + 30º, si lo representamos
coincide con un ángulo de 30º.
Si queremos pasar un ángulo a la primera vuelta, dividimos el
ángulo entre 360º:
El cociente es el número de vueltas que da.
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
El resto es ángulo resultante que corresponde a la primera
vuelta.
Según su posición
Ángulos consecutivos
BAC es adyacente con <DAC
Son aquellos que tienen el vértice y un lado común.
Ángulos adyacentes
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
Son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros
lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo
llano.
Ángulos opuestos por el vértice
Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son
prolongación de los lados del otro.
Los ángulos 1 y 3 son iguales.
Los ángulos 2 y 4 son iguales.
Según su suma
Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si suman 90°
Ángulos suplementarios
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
2.3 ANGULO FORMADO POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA
TRANSVERSAL A ELLAS.
Ángulos correspondientes
Los
ángulos 1 y 2 son
Ángulos
iguales.
alternos internos
Los ángulos 2 y 3 son iguales.
Ángulos alternos externos
Los ángulos 1 y 4 son iguales.
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
2.4 OPERACIONES CON ÁNGULOS
Suma
La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la
suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales.
Resta
La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la
diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo
menor.
Multiplicación de un número por un ángulo
La multiplicación de
un número
por
un
ángulo es
otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales
al dado como indique el número.
División de un ángulo por un número
La división
de
un
ángulo por
un número es
hallar
otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado
el ángulo original.
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
:4 =
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
FUENTES DE INFORMACIÓN
Pagina Web:
http://www.geolay.com/angulo.htm
http://www.geoka.net/geometria/angulos.html
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/grados.html
http://www.geoka.net/geometria/angulos.html
http://www.geolay.com/angulo.htm
http://www.geoka.net/geometria/angulos.html
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/grados.html
http://www.geoka.net/geometria/angulos.html
Videos:
http://www.youtube.com/watch?v=g35oCruNwjw
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO