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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MAT. Y CS DE LA COMP.
MANUAL
PARA
EL PROFESOR
TALLERES DE APRENDIZAJE
GENERALIZACIONES GEOMETRICAS POR
METODOLOGÍA POR DESCUBRIMIENTO
Marco Plaza Pérez
INDICE
I.
PRESENTACIÓN ............................................................................................ 3
I.1.
II.
GENERALIZACIONES INVOLUCRADAS EN LOS TALLERES
METODOLOGÍA A EMPLEAR
.......
4–9
....................................................................... 10
II.1.
ESTRUCTURA DE LOS TALLERES
.................................................. 10
II.2.
SUGERENCIAS METODOLOGICAS
.................................................. 12
II.2.1.
LUGAR FÍSICO ....................................................................... 12
II.2.2.
CONTROLAR TIEMPO ............................................................. 13
II.2.3.
GUIAR A LOS ALUMNOS
II.2.4.
MOTIVACIÓN
II.2.5.
TRABAJO PERSONAL ............................................................. 13
II.2.6.
PUESTA EN COMÚN ............................................................. 14
II.2.7.
EVALUAR ACTIVIDAD ............................................................. 14
II.2.8.
CLASE COLECTIVA
................................................... 13
........................................................................ 13
............................................................. 14
III.
RESPUESTAS DE TALLERES
............................................................. 15 - 24
IV.
RESPUESTAS DE APLICACIONES
............................................................. 24 - 33
Página 2
INSTRUCCIONES
PRESENTACIÓN.
El rol del profesor es y ha sido fundamental en el logro de los aprendizajes
a través del tiempo. Hoy a través de los nuevos planes y Programas, el Docente
tiene nuevos desafíos, se requiere de él; un rol de moderador, de guía, de
acompañar el proceso de aprendizaje de sus alumnos; de ser capaz, entre otras
cosas, de despertar en ellos la iniciativa, la creatividad, la capacidad de
relacionar, de emitir conjeturas, de justificar, etc.
Para estos desafíos, el docente, requiere entre otras cosas, utilizar una
metodología que concuerde con el marco curricular de los nuevos planes y
programas de estudio, una metodología activa, donde el alumno se sienta parte
de su proceso de aprendizaje, de su formación como persona única e irrepetible
(Taller de la Reforma para profesores de Enseñanza Media – MINEDUC - Enero
de 1999).
Además, es imprescindible considerar una cierta dificultad que parecen
evidenciar los alumnos en el aprendizaje de la geometría. Por este motivo, se
diseña y se presenta una serie de talleres, para ser implementados en el aula,
utilizando en ellos, una metodología por descubrimiento. Con este material se
espera que el alumno descubra importantes propiedades geométricas.
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Los talleres pretenden que el estudiante descubra generalizaciones
relacionadas con polígonos, triángulos y paralelogramos. La secuencia de estos
talleres, se presenta desde lo más general a lo más particular.
Las Generalizaciones o propiedades o teoremas involucradas en cada taller
son:
Sobre Polígonos:
Taller 1:
 Si n es el número de lados un polígono convexo, entonces el número
de diagonales desde un vértice es n – 3.
 Si n es el número de lados de un polígono convexo, entonces el
número total de diagonales está representado por la expresión
n  (n  3)
.
2
Taller 2:
 Si n es el número de lados de un polígono convexo, entonces la suma
de las medidas de los ángulos interiores está representada por la
expresión 180  (n  2) .
 Si n es el número de lados de un polígono convexo regular, entonces
la medida de cada ángulo interior está representado por la expresión
180  (n  2)
n
Taller 3:
 Si n es el número de lados de un polígono convexo, entonces la suma
de las medidas de los ángulos exteriores de cualquier polígono es
360°.
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 Si n es el número de lados de un polígono convexo regular, entonces
la medida de cada ángulo exterior está representada por la expresión
360
n
Sobre Triángulos:
Taller 4:
 Si se tiene un triángulo, entonces la suma de las medidas de los
ángulos interiores es 180°.
 Si se tiene un triángulo, entonces la suma de las medidas de los
ángulos exteriores es 360°.
Taller 5:
 Si se tiene un triángulo, entonces la medida de un ángulo exterior es
igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacente
a él.
Taller 6:
 Si se tiene un triángulo equilátero, entonces cada ángulo interior mide
60°.
 Si se tiene un triángulo equilátero, entonces cada ángulo exterior mide
120°.
Taller 7:
 Si se tiene un triángulo Isósceles, entonces los ángulos básales tienen
igual medida.
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Taller 8:
 Si se tiene un triángulo rectángulo, entonces la suma de los
cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la
longitud de la hipotenusa.
Taller 9:
 Si en un triángulo se traza las transversales de gravedad, entonces el
baricentro o centro de gravedad divide a cada transversal de
gravedad en dos segmentos cuyas medidas están en la razón 1:2. O
sea, la medida del segmento mayor es el doble de la medida del
segmento menor.
Taller 10:
 Si en un triángulo se traza una mediana, entonces la longitud de la
mediana es igual a la mitad de la longitud del lado opuesto.
 Si en un triángulo se trazan las tres medianas, entonces se forman
cuatro triángulos congruentes.
Taller 11:
 Si en un triángulo equilátero se trazan las alturas, las transversales de
gravedad, las simetrales y las bisectrices, entonces éstas coinciden.
 Si en un triángulo isósceles se trazan la altura, la simetral y la
transversal correspondiente a la base del triángulo, y también la
bisectriz del ángulo que se opone a la base, entonces éstas coinciden.
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Sobre Cuadriláteros - Propiedades Generales.
Taller 12:
 Si se tiene un cuadrilátero convexo, entonces la suma de las medidas de
los ángulos interiores es 360°.
 Si se tiene un cuadrilátero convexo, entonces la suma de las medidas de
los ángulos exteriores es 360°.
Propiedades Generales del Paralelogramo.
Taller 13:
 Si se trazan las diagonales de un paralelogramo, entonces generan dos
triángulos congruentes.
Taller 14:
 Si se tiene un paralelogramo, entonces los lados opuestos son
congruentes.
 Si se tiene un paralelogramo, entonces los ángulos opuestos son
congruentes.
Taller 15:
 Si se tiene un paralelogramo, entonces los ángulos consecutivos son
suplementarios.
Taller 16:
 Si en un paralelogramo se trazan las diagonales, entonces se intersectan
en su punto medio.
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Taller 17:
 Si en un paralelogramo se trazan las diagonales, entonces las
diagonales generan ángulos alternos internos congruentes.
Sobre Propiedades Del Cuadrado.
Taller 18:
 Si en un cuadrado se trazan las diagonales, entonces se forman cuatro
triángulos rectángulos congruentes.
Taller 19:
 Si en un cuadrado se trazan las diagonales, entonces éstas son
bisectrices de los ángulos de los vértices; generan ángulos de 45°.
Taller 20:
 Si en un cuadrado se trazan las diagonales, entonces éstas tienen igual
medida (son congruentes).
Sobre Propiedades Del Rectángulo.
Taller 21:
 Si en un rectángulo se trazan las diagonales, entonces éstas son
congruentes.
Taller 22:
 Si en un rectángulo se trazan las diagonales, entonces éstas forman dos
pares de triángulos congruentes entre sí.
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Sobre Propiedades del Rombo.
Taller 23:
 Si en un rombo se trazan las diagonales, entonces éstas forman 4
triángulos rectángulos congruentes.
Taller 24:
 Si en un rombo se trazan las diagonales, entonces éstas son bisectrices
de los ángulos de cada vértice.
Que el trabajo realizado, les invite a diseñar nuevos talleres de aprendizaje,
utilizando en ellos una metodología activa.
Afectuosamente,
EL AUTOR
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METODOLOGÍA A EMPLEAR.
La
metodología
a
DESCUBRIMIENTO GUIADO.
instrucciones,
deberá
emplear,
es
una
METODOLOGÍA
POR
A través de ello, el alumno a través de
construir
figuras
planas
(polígonos,
triángulos,
paralelogramos) y luego relacionar ciertos elementos involucrados en las figuras,
para más tarde descubrir la propiedad buscada y concluir.
ESTRUCTURA DE LOS TALLERES.
En términos generales, cada taller tiene la siguiente estructura:
A)
MATERIALES A UTILIZAR:
En algunos de los talleres, se nombran y se ilustran los materiales a utilizar
en el desarrollo del taller. Los materiales más frecuentes a utilizar son:
Regla, compás, transportador, tijera, lápiz de color, hoja de papel, cartulina
y pegamento.
Es necesario, antes de aplicar un taller, solicitar en la clase anterior
los materiales a utilizar. Se recomienda, que el(la) profesor(a) tenga un
pequeño set de los materiales solicitados.
B)
RECUERDOS DE CONOCIMIENTOS PREVIOS.
En la gran parte de los talleres, se enuncian propiedades y construcciones
geométricas a utilizar en el desarrollo de los talleres. Se recomienda que el
profesor esté atento, en caso que el alumno no comprenda o no tenga
conocimiento de tales enunciados.
Página 10
C)
PASOS A DESARROLLAR:
En cada taller, está uno de los componentes esenciales en la estructura de
los talleres, como son los pasos a seguir.
En ellos, se entregan las
instrucciones para que el alumno llegue a la propiedad buscada. Se puede
distinguir:
1.
Construir figura geométrica
Lo primero que se solicita en cada taller son construcciones de
figuras a utilizar en la propiedad buscada: Polígonos, triángulos,
paralelogramos, etc.
En muchas de estas construcciones, se deben utilizar regla y
compás.
2.
Trazar el componente de la figura pedida
Generalmente, se solicita al alumno, trazar o construir
diagonales, alturas, transversales de gravedad, simetrales o
bisectrices de las figuras construidas en los pasos anteriores.
Cabe mencionar que en algunos de ellos, se solicita la medida
de sus ángulos a través de transportador.
3.
Pintar, recortar, anotar, etc., las relaciones solicitadas.
Dependiendo de la propiedad a descubrir, se solicita pintar,
recortar o anotar, lados o figuras obtenidas en construcciones
realizadas en los pasos anteriores, para luego relacionar según
las instrucciones, la medida de ángulos, la medida de lados u
otro tipo de relación.
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4.
Encontrar la propiedad buscada
Luego, de relacionar ángulos, lados u otro componente de las
figuras, se encuentra una posible propiedad geométrica, para
posteriormente comprobar la posible propiedad descubierta. En
algunos casos, se concluye en forma inmediata, según la
claridad que se tenga de la propiedad descubierta.
D)
CONCLUIR.
Al tener claridad de la propiedad descubierta, se concluye, anotando la
propiedad en términos formales o simplemente completando frases con
palabras claves. Enseguida, el alumno debe llamar al profesor para validar
su respuesta.
SUGERENCIAS METODOLOGICAS.
Lugar físico.
Dependiendo del número de alumnos del curso, el profesor puede disponer
según su creatividad, una ubicación distinta de los bancos dentro de la sala
de clases o en su defecto aplicar el taller en un lugar distinto (Salón, patio,
plaza del colegio, etc.).
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Controlar Tiempo.
Antes de la aplicación de un taller, el profesor debe entregar a los alumnos
la duración de la actividad, que es de 90 minutos (dos horas pedagógica),
es decir, hora de inicio y hora de término.
Es importante que el profesor,
debe durante el desarrollo del taller controlar la duración de cada etapa de
la actividad, con el propósito que cada alumno logre en forma satisfactoria
los resultados perseguidos dentro del tiempo destinado.
Guiar a los alumnos.
El profesor debe, durante el desarrollo del taller de aprendizaje, guiar y
aclarar dudas a los alumnos para que puedan llegar a la propiedad
buscada. Tiene que estar atento y disponible en caso que los alumnos no
comprendan los recuerdos o construcciones previamente sugeridas en el
taller; esto no debe ser un obstáculo para el alumno.
Motivación. ( 5 a 8 minutos)
El profesor previo al trabajo personal, debe motivar la actividad con el
propósito de despertar el interés de los alumnos.
La motivación debe presentar como mínimo: Una introducción al trabajo
personal, la relevancia de la propiedad a descubrir, una explicación de la
metodología a utilizar, etc.
Trabajo personal. ( 40 a 45 minutos)
Consiste en que el profesor entrega a cada alumno, el taller que
corresponde desarrollar.
El profesor debe motivar al silencio, es
recomendable utilizar una música de fondo adecuada a la situación.
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Puesta en común. ( 10 minutos)
Una vez que todos los alumnos han concluido su trabajo personal, el
profesor invita a poner en común lo que han realizado durante su trabajo
personal. Esta etapa debe realizarse en forma ágil (técnica del pivote –
pregunta y respuesta corta y rápida).
Algunas preguntas que puede
formular el profesor son:
Iván,... ¿Qué descubrimos?
Jessica,... ¿cuáles fueron las dificultades?
María Ignacia,... ¿Cómo te sentiste durante el trabajo personal?
Felipe,... Cuéntanos lo que acabamos de hacer.
Rosario,... ¿Qué sugerencias darías para un futuro taller?
Etc.
Evaluar actividad. ( 5 minutos)
Profesor evalúa la actividad, con una calificación acumulativa. El criterio de
la evaluación debe estar en términos del logro de la propiedad buscada, de
la comprensión e internalización que muestren en la puesta en común. El
profesor debe fijar su escala de evaluación.
Clase colectiva complementaría. ( 15 minutos)
Luego de la puesta en común, el profesor en conjunto con los alumnos,
formaliza el aprendizaje de la propiedad geométrica encontrada.
Ejercita,
junto a los alumnos en forma ágil, con el propósito de internalizar el nuevo
aprendizaje.
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