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SGUICTG001TG31-A16V1
Un juego de ángulos
SECCIÓN: EXPERIMENTANDO
Actividad 1
1. Porque la dirección que adquiere el movimiento de las bolas en el billar depende del
ángulo con que la bola blanca se golpea. Además, el rebote de las bolas con los bordes
de la mesa cumple ciertas propiedades de ángulos que permiten analizar mejor cómo
golpear la bola blanca para hacer caer alguna bola específica a alguna buchaca.
Otras situaciones que involucren ángulos pueden ser: el reflejo en un espejo plano, las
agujas en un reloj, aplicaciones en la física, etc.
2. La clasificación de los ángulos, según su medida, es
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Agudo: menor a 90°.
Recto: igual a 90°.
Obtuso: mayor a 90°, pero menor a 180°.
Cóncavo: mayor a 180°, pero menor a 360°
Completo: igual a 360°.
Extendido: igual a 180°.
Actividad 2
1. La principal diferencia entre ambos tipos de polígonos, es que los polígonos cóncavos
poseen al menos un ángulo interior cóncavo (mayor a 180°), mientras que un polígono
convexo solo tiene ángulos de medida menor a 180°.
La cantidad mínima de lados necesarios para formar un polígono es tres, para poder
cerrar la figura.
Un círculo no es un polígono, pues no está formado por lados rectos.
2. Al observar la figura se aprecia la siguiente relación:
Cantidad de
triángulos
Cantidad de lados
del polígono
1 triángulo
2 triángulos
3 triángulos
4 triángulos
3 lados
4 lados
5 lados
6 lados
La diferencia entre la cantidad de lados y la cantidad de triángulos es 2. Por lo tanto,
para formar un polígono de 19 lados, se necesitan 17 triángulos.
Por ende, para un polígono de n lados, se requieren (n – 2) triángulos.
3. Basta con multiplicar la cantidad de triángulos posibles de formar en el polígono por
180°. Por ejemplo, en el pentágono se requieren 3 triángulos, entonces la suma de sus
ángulos interiores es 3•180° = 540°.
Ya que para un polígono de n lados, se necesitan (n – 2) triángulos y cada triángulo
tiene una suma interior de ángulos igual a 180°, la suma de ángulos interiores en un
polígono de n lados es 180•(n – 2).
4. La cantidad diagonales desde un vértice (d) depende del polígono
N° de lados Diagonales desde
del polígono un vértice
3
0
4
1
5
2
6
3
La relación que se aprecia es una diferencia de 3 entre los lados del polígono y la
cantidad de diagonales trazadas desde un vértice. Por lo tanto, expresado de manera
general se tiene: d = n – 3.
El total de diagonales (D) que se pueden trazar en un polígono depende de la cantidad
de lados que esta tenga
La generalización para un polígono de n lados es notando que desde cada vértice se
pueden trazar (n – 3) diagonales, por lo que entre todos los vértices sería posible trazar
n(n – 3). Sin embargo, debe tenerse en cuenta que se estarían considerando dos veces
cada diagonal, por lo que la expresión que representa el total de diagonales (D) que se
n  (n  3)
pueden trazar en un polígono es
.
2
Actividad 3
1. Triángulo 1: equilátero. Tiene los tres lados y los tres ángulos congruentes.
Triángulo 2: isósceles. Tiene dos lados y dos ángulos congruentes.
Triángulo 3: escaleno. No tiene lados ni ángulos congruentes.
2. Por el medio del ángulo AOB, para que siempre quede a la misma distancia de ambos
rayos.
Para ambos ángulos se trazaría también por el medio de cada ángulo, de modo que
quede equidistante de cada rayo.
En el caso de los triángulos, pueden trazarse tres bisectrices pues tienen tres ángulos
(internos).
3. Se dibujan las alturas en cada triángulo.
Note que en el caso del triángulo DEF, la altura se encuentra fuera del triángulo.
base  altura
. Entonces, según los datos
2
94

 18 y área del triángulo DEF es
2
El área de un triángulo se calcula mediante A 
entregados, el área del triángulo ABC es AABC
ADEF 
65
 15 .
2
4. En la figura,

Altura: AD

Bisectriz: AE

Transversal de gravedad: AF

Simetral: FG

Mediana: HI
G
H
D
E
I
F
Se puede observar que la altura y la simetral son paralelas, pues ambas son perpendiculares al
segmento BC. La simetral y la transversal de gravedad coinciden en el punto medio del lado
BC .
5. El triángulo ABC de la figura es isósceles
Los ángulos BAC y CBA son congruentes, pues el triángulo es isósceles de base a AB.
Los ángulos CDA y BDC son rectos y los ángulos ACD y DCB son congruentes entre sí.
El segmento CD es a la vez altura, bisectriz, transversal de gravedad y simetral.
Un triángulo equilátero es isósceles en cada uno de sus vértices, por lo que coinciden todos
los elementos secundarios (excepto la mediana) en cada vértice, como muestra la siguiente
figura.
SECCIÓN: PRACTICANDO
I. Analiza las siguientes situaciones y responde:
1) En un hexágono regular, la suma de ángulos interiores es
180°·(n – 2) = 180°·(6 – 2) = 180°·4 = 720°
Como los ángulos interiores son congruentes, entonces cada uno mide  
720
 120 .
6
Luego, el doble de α es 240°.
2) α y β son ángulos suplementarios, ya que α es ángulo interior y β ángulo exterior.
3) Se forman 6 triángulos congruentes, y dado que la figura en la que se encuentran
corresponde a un hexágono regular, estos serán equiláteros.
II. Responde las siguientes preguntas, ocupando los pasos y el razonamiento que se
detalla en cada una de ellas.
1. La alternativa correcta es A.
Desde un vértice de un polígono convexo de T lados se puede trazar diagonales hacia otros
(T – 3) vértices. Sin embargo, si se realiza este proceso en todos los vértices, la cantidad de
diagonales queda duplicada, por lo cual es necesario dividir por 2 para corregir.
Por lo tanto, un polígono convexo de T lados tiene
T  (T  3)
diagonales.
2
2. La alternativa correcta es D.
La suma de ángulos exteriores en los triángulos (como en todos los polígonos) es 360°. Los
ángulos exteriores del triángulo mostrado en la figura son 120°, x y .
Luego, se puede plantear 120° + x +  = 360°, que al despejar resulta x = 360° – 120° – .
Por lo tanto, la expresión que representa siempre el valor de x es (240° – ).
3. La alternativa correcta es E.
Aplicando la suma de ángulos interiores en un triángulo, el ángulo PRQ mide
(180° – 50° – 70°) = 60°. Como L es bisectriz de dicho ángulo, entonces lo divide en dos
ángulos de 30°.
Por lo tanto, dado que w es adyacente a un ángulo de 30°, entonces su medida es
(180° – 30°) = 150°.
4. La alternativa correcta es C.
El polígono de la figura tiene 9 lados, por lo cual la suma de sus ángulos interiores es
180° · (9 – 2) = 180°·7 = 1.260°. Dado que es un polígono regular, la suma de sus ángulos
interiores se divide en partes iguales, es decir, cada ángulo interior de un polígono regular de
 1.260 
 = 140°.
9 lados mide 
 9 
En un polígono regular, al trazar todas las diagonales que salen desde
un vértice, el ángulo interior queda dividido en partes iguales. En este
caso, el ángulo interior queda dividido en 7 ángulos iguales que miden
 140 

 = 20° cada uno, estando  formado por dos de ellos.
 7 
Por lo tanto, el valor de  es (2·20°) = 40°.
