Download ELABORADO POR M.Sc. ROGER RIVERÓN RIVAS 2010

MATERIAL DE APOYO PARA LA PREPARACIÓN EN EL
CONTENIDO DE CONJUNTOS Y DOMINIOS NUMÉRICOS
APUNTES DE UNA EXPERIENCIA
ELABORADO POR
M.Sc. ROGER RIVERÓN RIVAS
2010
1
Preliminares
En este curso de preparación este será el punto de partida, de hecho el contenido
que se trata esta presente en el resto de los contenidos y será necesario de una
manera explícita o implícita para la preparación en el resto de los contenidos que
se evalúan en el examen de ingreso a la Educación Superior.
Lo que se presenta no agota el sistema de conocimiento que abarca esta materia,
se irá enriqueciendo en la medida que se traten el resto de los complejos.
Conceptos esenciales que se deben tener en cuenta en la solución de
ejercicios sobre el contenido de las funciones, ordenados alfabéticamente:
LISTADO
1. Unión de conjunto
2. Los números irracionales.
3. Antecesor de un número.
4. Los números naturales.
5. Conjuntos.
6. Los números pares.
7. Diferencia de conjunto.
8. Los números racionales.
9. Intersección de conjunto.
10. Los números reales.
11. Los números enteros.
12. Representaciones de conjuntos.
13. Los números fraccionarios.
14. Subconjunto.
15. Los números impares.
16. Sucesor de un número.
Contenidos en el programa vigente para el ingreso a la Educación Superior
relacionados con los conjuntos y los dominios numéricos.
 Cálculo de valores funcionales.
 Determinación de dominio de definición, imagen, ceros,
monotonía,
simetría, paridad, periodicidad y signo de funciones lineales, cuadráticas,
potenciales, con radicales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas a
partir de su ecuación o su gráfico.
2
 Determinación de intervalos dónde los valores de una función son mayores,
menores o iguales que los valores de otra.
 Determinación de cantidades de magnitud en fórmulas.
 Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros
ecuaciones e inecuaciones
radicales, trigonométricas,
lineales, cuadráticas, fraccionarias,
en
con
exponenciales y logarítmicas e inecuaciones
lineales, cuadráticas, fraccionarias, exponenciales y logarítmicas, en
sistemas de ecuaciones lineales, con dos y tres incógnitas y en sistemas
cuadráticos.
 Cálculo en figuras y cuerpos geométricos simples y compuestos.
Una información básica y necesaria sobre algunos de los conceptos
anteriores:.
CONJUNTO: Se denomina conjunto a una colección de objetos bien definida. Por
bien definida se entiende que siempre es posible decidir si un objeto
está o no en el conjunto.
Por ejemplo:
 El conjunto A de los números pares mayores que 0 y menores que 10 .
 A  2, 4, 6, 8


 A  a   * , a  5 : 2a
 Elemento es un objeto particular de un conjunto. Por
ejemplo 2 es un elemento del conjunto A .
 a  A indica que el elemento a pertenece al conjunto
2 N
 2 Z
5
Q
6
3 
A y se lee “ a pertenece al conjunto A ”.
3
8 N
 a  A indica que el elemento a no pertenece al
conjunto A y se lee “ a no pertenece al conjunto A ”.

 El número que se corresponde a la cantidad de
elementos que forman un conjunto se denomina
cardinal del conjunto. Por ejemplo el cardinal del
3 
conjunto A  2, 4, 6, 8 es 4.
 Conjunto unitario es
2
Z
3
5
Q
6
aquel que tiene exactamente un elemento. En otras
palabras, el conjunto unitario es aquel conjunto cuyo cardinal es 1.
 Conjunto vacío es aquel cuyo cardinal es cero. Se denota con el símbolo  .
LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTO SON:
UNIÓN: La unión de los conjuntos A y B se denota por
A  B , es el conjunto
formado por todos los elementos de A y B y se lee A unión B .
A
B
A B
INTERSECCIÓN: La intersección de los conjuntos A y B se denota por A  B , es
el conjunto formado por todos los elementos comunes de A y B
y se lee A intersección B .
A B
4
DIFERENCIA: La diferencia de los conjuntos A y B se denota por A \ B es el
conjunto de todos los elementos que están en A , pero que no están en B .
A
A B\ B
 Dos conjuntos son disjuntos si su intersección es igual al conjunto vacío.
A
B
SUBCONJUNTO: Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B y se denota por
A  B , si todos los elementos de A están también en B . Si A es un subconjunto de
B , entonces decimos que el conjunto A está incluido en B .
   A (para todo conjunto A ).
 A  A (para todo conjunto A ).
 Si existe algún elemento de A que no esté en B , entonces A no es un
subconjunto de B y se denota por A  B .
LOS DOMINIOS NUMÉRICOS
LOS NÚMEROS NATURALES: El conjunto formado por 0,1,2,3,4,5,6,7,8,.......se
denomina conjunto de los números naturales y se denota por  .
 El sucesor o consecutivo de todo número natural n es el número natural n  1 .
 El antecesor de todo número natural n  1 , es el número natural n 1
 Los números pares 0,2,4,6,8,10..,.......se expresan de las forma 2n
5
 Siempre que sumamos dos números pares cualquieras el resultado es otro
número par.
 Los números impares 1,3,5,7,9,11,13..se expresan de la forma 2n+1
 Siempre que sumamos dos números impares cualquiera el resultado es un
número par.
 Un número natural compuesto es aquel que tiene más de dos divisores. Por
ejemplo, el número 21 es compuesto, porque sus divisores son: 1, 3, 7 y 21 . El
número 5 no es un número compuesto, pues solamente tiene dos divisores. El
único número natural par que no es compuesto es el número 2 .
 Los números primos 2,3,5,7,11,13,17,19,23,..son aquellos que sólo son divisibles
por 1 y por el mismo.
LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS: Los números fraccionarios son aquellos que
se expresan de las forma
a
a, b  N : b  0 o como una expresión decimal
b
periódica.
 En la fracción
a
a, b  N : b  0 , a es el numerador y b el denominador.
b
 En una fracción, el denominador indica en cuántas partes se dividirá un entero y
el numerador indica cuántas de esas partes vamos a tomar.
 Una fracción es una representación de una división a través de la siguiente
notación:
a
 r donde a es el dividendo, llamado numerador en la fracción, b es
b
el divisor, llamado denominador en la fracción y r es el cociente.
 Se dice que dos fracciones son equivalentes si tienen exactamente el mismo
cociente. Por ejemplo, las fracciones:
4 12
y
son equivalentes.
5 15
6
 Cuando el numerador de una fracción es mayor al denominador de la misma,
decimos que la fracción es impropia. En otras palabras, si el cociente r de la
fracción es mayor a 1, entonces la fracción es impropia.
 Cuando el numerador de una fracción es menor al denominador de la misma,
decimos que la fracción es propia. En otras palabras, si el cociente r de la
fracción es menor a 1, entonces la fracción es propia.
 Aquella
fracción
que
cumple
que
sus
elementos
(numerador
y
denominador) tienen factores comunes es una fracción reductible.
 Aquella
fracción
que
cumple
que
sus
elementos
(numerador
y
denominador) no tienen factores comunes es una fracción irreductible. En otras
palabras,
el numerador y el denominador de la fracción son primos
relativos cuando la fracción es irreducible.
 Cuando un número se escribe con una parte entera y una fraccionaria, por
ejemplo 1
3
es una fracción mixta.
5
LOS NÚMEROS ENTEROS: El conjunto de los números enteros es: “El conjunto
formado por los números naturales y sus opuestos” y se denota por Z .
LOS NÚMEROS RACIONALES: El conjunto de los números racionales es el
conjunto formado por los números enteros y
los números fraccionarios y sus
opuestos. Se denota por Q .
 Un número es racional cuando se puede expresar de la forma
a
a, b  Z : b  0 o
b
como una expresión decimal periódica.
 El conjunto numérico de los números irracionales es aquel que está formado
por números que no
pueden expresar de la forma
a
a, bZ : b  0 y se
b
expresan por expresiones decimales, infinitas no periódicas.
LOS NÚMEROS REALES: Los números reales es el conjunto formados por los
números racionales y el conjunto de los números irracionales.
7
 N Z Q
 QZ  N
FORMAS DE REPRESENTAR CONJUNTOS.
1. El conjunto de todas las letras del alfabeto A, B, C, D, E, F ,.... .
2. El conjunto A formado por A  x   :  1  x  1.
3. Los conjuntos formados por intervalos.

a, b  x   : a  x  b
a, b   x   : a  x  b
a, b   x   : a  x  b
a, b  x   : a  x  b
Como conclusión de este estudio preliminar debes tener seguridad de:

Existen números naturales, fraccionarios, enteros, racionales y reales;

Los números naturales se emplean para indicar cantidades de objetos
concretos, ordenamientos, medidas de conocidas magnitudes;

Los números fraccionarlos se escriben en forma de fracciones o en notación
decimal, un número fraccionario se puede identificar con cualquiera de las
fracciones que lo forman, se emplean para describir partes de un todo y
procesos de distribución, para indicar una medida de una magnitud, para
representar determinados puntos en el rayo numérico;

Los números enteros se emplean para representar magnitudes en sentido
contrario en la recta numérica, para describir la posición de un punto de la
recta respecto a un punto de referencia (punto O);

Los números racionales se emplean para representar magnitudes en sentido
contrario, segmentos orientados (mediante flechas) en la recta numérica,
para describir la posición de un punto de la recta respecto a un punto de
referencia (punto O);

Con los números reales se puede hacer corresponder a cada punto de la
recta un número y viceversa;
8
Para tu estudio debes conocer que en cuanto a los dominios numéricos:
Dominio Numérico
Limitación que presentan las operaciones
Los números naturales  
La substracción a  b cuando a  b
Los números enteros 
La multiplicación a  x  b
a  0
cuando b no
es un múltiplo a
b  a 
Los números racionales Q
La radicalización x 2  a  b
Los números reales 
La radicalización x 2  a  0 (a  Q, a  0)
9
PROPUESTA DE EJERCICIOS PARA TU ESTUDIO INDEPENDIENTE.
1. De acuerdo a tus conocimientos sobre los conjuntos y dominios numéricos
estudiados hasta el momento, completa la columna B según se indica.
A
B
Dos
números
naturales
………….
Dos
números fraccionarios.
…….
Dos números cuyo dominio más
restringido sean los enteros
Dos
números
.naturales……………
Dos números cuyo dominio más
restringido sea los fraccionarios.
Dos números cuyo dominio más
restringido sea los enteros
Dos números racionales
……..
Dos números cuyo dominio más
restringido sea los racionales
Dos números cuyo dominio más
restringido sean los reales.
Dos números cuyo dominio más
restringido sea los reales.
Un número que sea racional y no
sea fraccionario.
Un número que sea racional y no
sea fraccionario.
Un número que sea real y no sea
racional.
Un número que su raíz cuadrada
sea un número natural,
Un número al que no se le pueda
calcular su raíz cuadrada.
Un número que su recíproco sea
un número entero.
Para un conjunto H se cumple
que H \    .entonces.
Un número que sea real y no sea
racional.
Un número que su raíz cuadrada
sea un número natural,
Un número al que no se le pueda
calcular su raíz cuadrada.
Un número que su recíproco sea
un número entero.
H  un conjunto se cumple que
…entonces.
X es un conjunto de números
reales de manera que X  Q
entonces
X
es un conjunto de números
reales d……………………………
10
2. Resolver el ejemplo 1 página 2 del texto de décimo grado.
Determina cuáles de las
siguientes expresiones representan números
racionales o irracionales. Argumenta tu respuesta.
a) a  3,27 .
b) b  1, 010 010 001 000 01...
c) c  3, 275 843
d) d 
1

3. Resolver el ejemplo 2 de la página 3 del texto de décimo grado.
 Representa sobre la recta real el conjunto de los números reales
mayores o iguales que  2 y menores que
3.
 Representa sobre la recta real el conjunto de los números reales
menores o iguales que  2 y mayores que
3.
 Representa sobre la recta real el conjunto de los números reales
menores  2 y mayores que
3.
4. Resolver el ejemplo 4 de la página 4 del texto de décimo grado.
Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica tu
respuesta.
a) ____   Q .
b) ____   Q  
c) ____     
d) ____     


e) ____ x   : x  3  x   : x  20 .

 

f) ____ x   : 2  x    x   : 2  x  3 .
g) ____    .
h) ____  2  
i) ____  2  
11
5. Ejercicio 1 del epígrafe 1 página 5 del libro de texto de décimo grado.
Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica tu
respuesta.
a) ____  2   .
b) ____ 5  Q .
c) ____
d) ____
4
 .
5
2  .
1
e) ____ 2  Q .
5
f) ____ 3,45  Q .
g) ____    .
h) ____ Q   .
i) ____   Q .
6. Ejercicio 2 del epígrafe 1 página 5 del libro de texto de décimo grado.
Completa utilizando los símbolos , , ,  , de forma tal que se obtenga una
proposición verdadera.
1
a)  9 ___  .
5
1
b) 7 ___  .
8
c) 9, 3 ___  .
d)  ___  .
e)
2 ___ Q .
f)  ___ Q .
g) 9,4832 ___  .
h)  ___ Q
i)
 ____ Q
j)
2 _____ Z
k)
2 _____ Q
12
l)
2 _____ 
m)
1
1 1
_____  , 
3
3 2
n)
2 __  2,0.
o)
2 ___  2,2 .
p)
q)
a, b ___ a, b
a, b ___ a, b .
7. Complete cada línea de manera que se cumpla las afirmaciones siguientes:
r) a  Q y a Q entonces a  ______ .
s) a   y a  Q entonces a es un número __________
______.
t) Si A es el conjunto de todas las fracciones propias y B el conjunto de
los
números
fraccionarios
entonces
B\A
es
el
conjunto
_________________________________________________.
8. Si A es el conjunto de los números primos y B el conjunto de los múltiplos de
3 menores que 30 entonces
A  B  ________ .
B  A  ________
A  B  ________ .
B  A  ________
A \ B  _________ .
B \ A  _________ .
9. Ejercicio 3 del epígrafe 1 página 5 del libro de texto de décimo grado.
Dados los intervalos:


A   3 ,   y B   3 , 2 y el conjunto P  2n : n  
completa los espacios en blanco con el símbolo o valor adecuado, de
forma que se obtenga una proposición verdadera.
a) 2 ___ P .
b) 6 ___ A .
c) A ___ B
13
d)  2 ___ A .
e) P ___ A .
f)
2 ___ B
g) 5 ___ P .
h)
3 ___ B .
i) B ___ P .
j) El menor número entero que pertenece a la intersección de los
conjunto A y
B
A  B es el ____.
k) El menor número entero que pertenece a la intersección de los
conjuntos B y A
B  A .
l) El conjunto formado por la intersección de los conjuntos P y A
P  A tiene ___ elementos.
m)El conjunto formado por la diferencia entre el conjunto P y el
conjunto ( P \ A ) tiene ___ elementos.
n) Al calcular x en la expresión x  log 6 3,6  log 6 10  
cos 4
2
podemos concluir que:
x ____ A y x ____ B entonces x ____ A \ B
10. Ejercicio 4 del epígrafe 1 página 5 del libro de texto de décimo grado.
En cada una de las líneas se representan gráficamente subconjunto de
números reales. Escribe los mismos de forma abreviada.
a)
3
b)
c)
2
3
2,75
14
Completa cada uno de los gráficos con los números correspondientes
con
d) Si A 
según cada conjunto indicado.
y


x : x  , x  0 entonces su representación gráfica es:
0
 1

e) Si A  
, x  , x  0 entonces su representación gráfica es:
 x

f) Si A  2a  1 : a  y B  x   : 1  x  3 entonces la representación
gráfica de C  A  B
11. Dados los conjuntos
a

A   a, b   : b  0 y B es el conjunto de los
b

números enteros.
Completa los espacios en blancos de manera que se obtenga una
proposición verdadera para cada caso.
a) Tres números que pertenecen al A son _________.
b) Dos números que pertenecen al conjunto A y al conjunto B a la vez
son _________.
c) Un número que pertenece al conjunto A y no pertenece al conjunto
B es _________.
d) Un número que pertenece al conjunto B y no pertenece al conjunto
A es _________.
e) Si el conjunto C  A  B entonces C  _________.
f) Si el conjunto C  A  B entonces C  _________.
g) Si el conjunto C  A \ B entonces C  _________.
15
h) Si
a, a1  A y se cumple que
a  a1  B entonces
a  ____
y
a1  ____ .
i) Un conjunto D para el cual se cumple que D  A   es el conjunto
D  _________.
j) Un conjunto K para el cual se cumple que K  B
es el conjunto
K  _________.
Responde cada una de las preguntas que se formulan a
continuación. Justifica en cada caso.
a) ¿Será posible calcular el recíproco de todos los números del
conjunto A ?.
b) Entre dos números cualesquiera del conjunto B ¿Siempre se puede
encontrar otro número de este conjunto?
c) Entre dos números cualesquiera del conjunto A ¿Siempre se puede
encontrar otro número de este conjunto?
d) ¿Siempre será posible calcular la raíz cuadrada en el conjunto A ?.
e) Si x  B , ¿Existirá siempre
f)
x?
¿Existirán dos catetos en un triángulo rectángulo que sus longitudes
sean números irracionales y la longitud de la hipotenusa sea un número
natural?
g) ¿Existirá un triángulo equilátero para el cual la longitud de su altura es
un número natural?
h) ¿Siempre que el valor del área de un cuadrado cualquiera, sea un
número natural, podemos afirmar que la longitud del
lado de ese
cuadrado es también un número natural?
i)
¿Será posible que la longitud de una circunferencia de un radio dado,
sea un número racional?
j)
El valor del área de la base de un cono dado, puede ser un número
racional?.
12. Escribe en cada una de las líneas V si la afirmación es verdadera y F si la
afirmación es falsa. Justifique cada caso.
a) _____Si x   tal que x   2 , 2 siempre se puede calcular el senx .
16
b) _____Si x   siempre es posible calcular el recíproco del sucesor de x .
c) _____Si x   entonces siempre se puede calcular
d) _____Si A 
2n  1
n 1
n   
x.
entonces el cociente de A siempre es
mayor que 1.
e) _____Si
a es un número natural entonces a
loga a
 a.
f) _____La longitud de todo segmento contenido en los ejes de
coordenadas es un número racional.
g) _____El dominio de la función
y
1
es un subconjunto del conjunto
x
imagen de esta función.
h) _____El valor del área de un rectángulo en el cual la longitud de los
lados son números fraccionarios es también un número
fraccionario.
13. Lee detenidamente la pregunta y responde:
Clasifica las siguientes proposiciones en verdaderas o falsas. Escribe (V ó F)
en la línea dada. Justifica las que sean falsas.
Para todos los números reales se cumple que:
a. ___  x  x
b. ___ x  x 2
c. ___ x  x
d. ___ x 2  y 2   x  y 
2
e. ___ x 2  4  0 entonces x =2
f. ___ x  y  x  y
x, y   
g. ___ x( y.z)  xy  xz
h. ___ x 
i. ___
y xy
x, z  0

z xz
x
x x
   y, z  0 
yz y z
17
14. De acuerdo a tus conocimientos sobre los conjuntos y dominios numéricos
completa las líneas en blanco en la columna A para que se cumplan las exigencias
de la columna B.
A
¿A qué números debemos colocar
en estas líneas que conforman
este
conjunto
A  2, ___, 3, ____ 4, ___  para
que se cumpla que:
¿Cuál número seleccionar como
radicando en la línea que aparece
en
el
conjunto
A  2 , 3, __ , 5, 6 , 7 para
que se cumpla que :


¿Qué elemento conforma el
conjunto A unitario A  ___
para que se cumpla que:
Sabiendo que A es el conjunto
imagen de una de las funciones
estudiadas hasta este momento
¿Cuál puede ser su ecuación para
que se cumpla que:
Sabiendo que A es el dominio de
una de las funciones estudiadas
hasta este momento ¿Cuál puede
ser su ecuación para que se
cumpla que:
B


está
ordenado
ascendentemente.
A
AQ?

A
está
ordenado
ascendentemente.

A es un subconjunto
de
los
números
irracionales?
A   y A   2,0
A    2 ?.
f  x   _______
1; 0 A  0
f  x   _______
18
15. Completa los espacios en blanco, utilizando en cada caso los números y el
dominio numérico más restringido al que pertenecen los mismos, para los
cuales cada una de las operaciones resulten verdaderas.
a)
a
a  ____a  
a b
b
b  ___ b  Q 
a b N
b  ___ b  Q
a bZ
a  ____a  N 
b  ___ b  N 
a b N
a  ____a  Z 
b  ___ b  Z 
a bZ
a  3,14a  ___ 
b  ___b  
a b N
a
3
5
a  ___ 
b)
a
a  ____a  
a b
b
b  ___ b  Q
a b  
b  ___ b   
a  b  ___
a  ____a  N 
b  ___ b  N 
a b  
a  5 a  ___ 
b  ___b  
a b N
a  ____a  Q
b  __ b  Q
a  b  Q
a 
a  ___ 
c)
a
a  ____a  
ab
b
b  ___ b  
a b N
b  ___ b   
a  b  ___
a  ____a  Q
b  ___ b  N 
a  b
a  ____a  
b  ___ b  Z 
a  b  Q
a   a  ___ 
b  ___ b  
a  b   ,2 
a  1,55
a  ___ 
19
d)
a
a b
b
a  ____a  
b  ___ b  
a  ____ a  Q 
b2
a  ____a  Z 
b  ___ b  
a b  
b  ____ b  __ 
a  b  0,1
b  ___b  
a  b  ___
a  0,33
a  ___ 
a  ___a  
a b N
a b
1
b  ___ 
3
e)
a
a b
b
a  ____a  
b  5 5  
a  3a  ___ 
b  __ b  ___  a  b  N
a  ____a  Z 
b 2
a b
ab
a b
a  b  Q
a b N
a bZ
a  b  Q
a  b  ___
a bZ
2  a b N
a  b  __
a  b 
a b N
a  ___a  Q 
b  0,25 b  __  a  b  Q
a b N
a  b N
a  b  Q
a  3,14a  ___ 
b  ___b  
a  b  Q
a  b  ___
a  b  ___
a  b  ___
a  b 
a  b 

a  b  ___

a b N
a  ____ a  ___  b  __ b  ___  a  b  ___
20
EJERCICOS PARA LA SISTEMATIZACIÓN.
A
¿Qué conjunto numérico de los estudiados al
interceptarlo con los dominios numéricos
 , , Q el resultado es el vacio?
B
¿Cuál debe ser el número que debes colocar en
la línea del denominador de la fracción para que
el conjunto A este ordenado ascendentemente
y no sea un subconjunto de los números
racionales?.
1 1 1 1 1 1 1 1 
A , , , , ,
, , , 1  Q
 9 8 7 6 5 ___ 3 2 
menor
Selecciona un número que te permita completar
el conjunto A de manera que:
A  1, 1, 2,  2, 3,  3, ____,  ____  
Sabiendo que A es el conjunto de valores para
los cuales una de las funciones estudiadas
hasta este momento, es estrictamente
decreciente. ¿Cuál puede ser su ecuación para
que se cumpla que:
En
el
mayor
A     ?.
f  x   _______
conjunto
1 3

A   2 ,  2 , 1,  2, 2, 4, ,  aparecen tres
2 2

números, dos de los cuales son ceros de una
función cuadrática de la forma
B
f x   x2  px  q y el otro es la abscisa del
vértice. Seleccionálos y forma con ellos el
conjunto B de manera que se cumpla que
Si a elementos del conjunto
K se
le hace corresponder su OPUESTO
determine los elementos que faltan en el conjunto


X
en el conjunto
,
de manera que se cumpla que :
X  1;
K  x  :  3  x  5
X
 
x
21
R se le hace corresponder su
X , determine los elementos del conjunto R :
Si para cada elemento del conjunto
R 
RECÍPROCO en el conjunto
1 1 1 1

X   , , , , 2, 4, 6, 8
9 7 5 3


1
x
Determine todos los elementos del conjunto
elementos de
C
que es posible formar con la raíz cuadrada de los
D:
D : x   3;4
C : _______________
?
x
A se le hace corresponder un número real  y  del conjunto B
5 posibles elementos el conjunto B .
Si a cada elemento del conjunto
y
A  B . Seleccione
A : x   a; a
B
?
y
Si
f x   2 x determine (si existen)
relación:
f x   f  x :
A  x1 ;  x1
2 elementos en el conjunto
A
para los cuáles se cumple la
B   f x1 
22
Si
f x   2 x  1determine
cumple la relación:
(si existen) 4 elementos en el conjunto
f x  f  x :
A
A  x1;  x1; x2 ;  x2 
Si
B   f x1 ; f x2 
f x   x 2  3 determine
cumple la relación:
para los cuáles se
(si existen) 2 elementos en el conjunto
f x  f  x :
A
para los cuáles se
A  x1 ;  x1
Si
B   f x1 
f x   x  1 determine (si existen)
los cuáles se cumple la relación:
3 elementos en cada uno de los conjuntos
A
y
B
para
x1  x 2  x3  f x1   f x 2   f x3  :
B   f x1 ; f x2 , f x3 
A  x1 ; x2 ; x3 
¿Se cumplirá esta relación para números reales menores que 1?. Justifique.
Si
f x  x  1  1 determine
cumple la relación:
A  x1 ; x3 
(si existen) 2 elementos en el conjunto
B
para los cuáles se
f x1   f x3   x1  x3 :
B   f x1 
23
Si
f x   x  1determine:
Dos elementos en cada uno de los conjuntos
A
y
B
de manera que se cumpla que:
a)
A  x1; x2 : x1  x2  entonces B   f x1 ; f x2  : f x1   f x2 
b)
A  x1; x2 : x1  x2  entonces B   f x1 ; f x2  : f x1   f x2 
¿Qué diferencia existe entre los números del conjunto
cuanto a sus signos?.
A del inciso a)
y los del inciso b) en
c) Seleccione de la función dada un conjunto formado por tres pares ordenado de la forma:
x1 ; f x1  ; x2 ; f x2  ; x3 ; f x3  que sean vértices de un triángulo isósceles
En la figura ABCD es un cuadrado, El triángulo ACE isósceles, la recta BE contiene a la diagonal
DB, AC diagonal, O punto de intersección de las diagonales y el DCE  15 .
0
E
a) Seleccione según los datos de la figura el conjunto
C
D
formado :
A. Por todos los triángulos rectángulos.
B. Por todos los triángulos isósceles.
O
A
C. Por todos los triángulos obtusángulos.
B
En la figura ABCF es un trapecio rectángulo, F y G son las intercepciones de los segmentos AE y
EB con el lado DC del trapecio, el triángulo ADF rectángulo en D, GC  AD . Si G es el punto
medio del segmento FC
a) Seleccione según los datos de la figura el
conjunto formado :
E
F
G
C
A. Por todos los triángulos rectángulos.
B. Por todos los triángulos isósceles.
C. Por todos los trapecios rectángulos..
D. Por todos los paralelogramos.
A
D
B
E. Por todos los trapecios isósceles.
24
En la figura ABCD es un cuadrado, EF paralela media, D es le intercepción entre la diagonal DB y
EF.
a) Seleccione según los datos de la figura el
conjunto formado :
C
D
A. Por todos los triángulos rectángulos.
F
E
B. Por todos los triángulos isósceles.
D
A
C. Por todos los trapecios rectángulos..
B
D. Por todos los cuadrados..
En la figura ABCD es un cuadrado, EF paralela media, D es le intercepción entre la diagonal DB y
EF.
a) Seleccione según los datos de la figura el
conjunto formado :
A. Por todos los triángulos rectángulos.
O
A
D
B. Por todos los triángulos isósceles.
C. Por todos los trapecios rectángulos.
C
B
D. Por todos los trapecios isósceles.
E. Por todos los paralelogramos.
En la figura ABCD cuadrado, G y F pertenecen a los lados DC y AB respectivamente, de
manera que DG  FB , FG y AC se cortan en I . E punto medio de AD .
D
C
G
a) Conforme un conjunto
A formado por 5
ángulos de igual amplitud, que cumpla que:
90 0  A
E
A
I
F
B
25
En la figura ABCD es un cuadrado, el DCI equilátero,
BI intercepta
a
los
lados
del
FCD en
I
Gy
H respectivamente, F  AD , FCB  ABH .
a) Conforme, un conjunto K formado por segmentos de
igual longitud, de manera que:
AB  K .
b) Conforme, el conjunto formado por todos los trapecios
H
D
C
F
rectángulos.
A
B
26
DIAGNÓSTICO DE ESTE FOLLETO
CLASIFICA LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES EN VERDADERAS (V) O FALSAS (F).
JUSTIFICA LAS QUE SEAN FALSAS.
1. ___ El número 0,75 es una expresión decimal periódica y su periodo es cero.
2. ___ El número 2,4494897…, es un número irracional.
3. ___ El número  es un número real.
4. ___ Los números racionales Q cubren toda la recta numérica.
5. ___ Si a  Q y b  Q , entonces a  b  Q
6. ___ Todos los números racionales se pueden representar a través de una fracción de
la forma
--------
a
a, b    y b  0 .
b
7. ___ Si a   entonces a  Q
8. ___ La raíz cuadrada de cualquier número racional es siempre un número racional.
9.
___ El conjunto de las raíces cuadradas de los números enteros es un subconjunto de
los números reales.
10. ___ Si el conjunto A = –4, –2, 0,
1
, 2, 4, se cumple que A  Z.
2
11. ____ Se sabe que para todos los números reales a, b, c, r se tiene que si
A
1
 a  b  c   r
2A
2
a b.
, entonces se cumple que c 
r
12. ____ La operación de radicación siempre se puede realizar en el conjunto de los
números reales.
13. ___ Sea C un número fraccionario de la forma
C
a
b
b  0
entonces siempre es
1
posible calcular ------ C .
14. ____ Para un cierto medicamento se utilizan dos productos diferentes L y M que están
en la razón 3:7. --------Si se emplean 36 gramos del medicamento L, entonces habrá
que emplear 72 gramos del ------------------medicamento M.
15. ___ Dados tres números reales a, b, c, tales que a  bc . Si a es par, entonces
a  b  c es par.
16. ___ Dados tres números reales a, b, c, tales que a  bc . Si b es impar, entonces
a  b  c es impar.
27
17. ___ Si x   entonces al sumarle el opuesto del recíproco de x el resultado es igual a
cero.
MARCA CON UNA X LA OPCIÓN CORRECTA PARA QUE LAS PROPOSICIONES SEAN
VERDADERAS.
18. ____ 18  
2  0 ; 1
19. _____
20. _____     
21. _____
____ 
____ Q  
1 1 1
 
2 3 4

____ 2  0 ; 2

___   

___ 2  0 ;   ____ 2  2 ; 5
___  \   
____     
____
3
 Q
4
5 5 5
 
2 3 4
_____

____     
1 1 1
 
2 3 4
_____
5 5 5
 
4 3 2
AL CALCULAR
25  10 5
22.
el resultado es:
0.5  10 6
____ 50
___ 200
__ 1
____ 1
200
23.
2.5  10 2
el resultado es:
4  10 5
___ 0.625  10 7
___ 0.625  10 7
 
128  12 3
24.
32
2
2 2
___ (25)
2
___ 25  10 3 ___ 25  10 3
2
el resultado es:
129
____
9
___4
25.
____5
50
____ 16
____ 1
____ 9

___ 2  2
___ 2  2
___ 1  2
___ 2  2
___ 2
2
26. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 cm y uno de los catetos mide 4
cm. Si se designa a la hipotenusa por c y a los catetos por a y b ¿Cuál de los
siguientes números es el menor?
___ a 2  b 2
___ (a  b) 2
___ ab
___ a  b
___ c
28
yz  ax ,
27. Si
igual a
___ abc
zx  by ,
___ abc
xy  cz ,
con xyz  0 , entonces el producto xyz es
___ (abc) 2
___0
___ a  b  c
28. Si la suma de dos números naturales es 8 ¿Cuál es el mayor número que
podemos obtener al multiplicar estos números?
___12
___15
___16
___18
___20
29. Si a, b   y
 400  a  200 y 1200  b  600 , entonces el mayor valor que
b
puede tomar el cociente
es:
a
___  2
___  3
___6
___
3
2
___ 3
29