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Números
Reales
Dra. Noemí L. Ruiz
2005-2006
© Derechos
Reservados
Objetivos de la
lección
1. Conocer los distintos
subconjuntos de los números
Reales
2. Identificar a qué conjuntos de
los Reales pertenece un
número dado
Conjuntos
de los
Reales
Números
Naturales
(“Natural Numbers”)
Son los números que se utilizan
para contar:
{1, 2, 3, 4, 5, …}
Números
Cardinales
(“Whole Numbers”)
Son los mismos números
Naturales a los cuales se les
ha añadido el número Cero:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Números Enteros
(“Integers”)
Son todos los números Cardinales a
los cuales se les ha añadido el
reflejo de los números Naturales
en la parte izquierda de la recta
numérica, o sea, los opuestos de los
números Naturales.
{…, - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Números Racionales
(“Rational Numbers”)
Son los números que se pueden
escribir como una fracción, en
la cual el numerador y
denominador son Enteros,
excepto el denominador que no
puede ser cero.
Ejemplos de Racionales
Naturales
Cardinales
Enteros
• Fracciones
– Propias
– Impropias
– Mixtas
• Decimales
– Exactos
– Periódicos
Números
Irracionales


(“Irrational Numbers”)
Son los números que no son
racionales, o sea, aquellos que
no se pueden escribir como
fracción, como por ejemplo:
Raíces cuadradas que no son
exactas (inexactas)
Decimales infinitos que no son
periódicos
Números Reales
(“Real Numbers”)
Es la unión de los números
Racionales con los Irracionales.
Practica
identificar
números
¿A qué conjuntos
pertenece: –9?
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
pertenece: 0?
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
pertenece: 30,456?
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
pertenece: -25,000?
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
pertenece: 25.4 ?
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
pertenece: 3.232323… ?
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
pertenece: 4.78 ?
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
pertenece:
35 ?
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
pertenece:
25 ?
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
pertenece: 3 ?
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
pertenece: 3.14 ?
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
7
pertenece:
?
8
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
1
pertenece: 3 ?
5
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
10
pertenece:
?
5
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
10
pertenece:
?
3
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
10
pertenece:
?
10
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
10
pertenece:  ?
10
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
¿A qué conjuntos
pertenece: 2.13453… ?
Naturales
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
Clic para salir
¿Por qué el denominador no
puede ser cero?
• La división por cero no está definida ya
que no existe número alguno que se
obtenga como resultado cuando se divide
por cero.
?
• Ejemplo:
10
0 = 0 10
Dividir por 0 significa buscar un número
que cuando se multiplique por 0, de 10, en
este ejemplo.
¿Qué número se multiplica por 0 y da 10?
Ninguno, ya que todo número que se
multiplica por 0 da 0.
Naturales
• Para determinar si un número
Natural es también Racional,
basta tomar un ejemplo.
• Tomemos como ejemplo el número
5.
• ¿Se puede escribir el 5 como una
fracción que cumpla con la
definición de Racional?
5
• Si. El 5 se puede escribir como:
1
Naturales
• ¿Habrá alguna otra forma de
fracción equivalente al 5?
• Si. Veamos:
10
,
2
15
,
3
20
,
4
50
10
• ¿Cuántas formas hay de escribir el 5
como fracción?
• Hay infinitas maneras de escribir el 5
como una fracción.
• Para buscar una fracción equivalente a
5, solo hay que buscar dos números tales
que al dividirse se obtenga 5 como
resultado.
Naturales
• ¿Se podrá hacer lo mismo con los
otros números Naturales?
• Si. La forma más fácil es colocar
el número sobre 1:
10
,
1
18
,
1
21
,
1
38
,
1
43
1
• ¿Son todos los Naturales, Racionales?
• Sí. Todos los números Naturales son
Racionales.
Cardinales
• Para determinar si un número Cardinal
es también Racional, basta tomar un
ejemplo.
• Tomemos como ejemplo el único número
Cardinal que no es Natural, o sea, el 0.
• ¿Se puede escribir el 0 como una
fracción que cumpla con la definición de
Racional?
0
• Si. El 0 se puede escribir como: 1
Observa que 1 es equivalente a 0.
Observa que no hemos escrito el cero en
el denominador.
0
Cardinales
• ¿Habrá alguna otra forma de
fracción equivalente al 0?
• Si. Veamos:
0
2
,
0
3
,
0
4
,
0
7
• ¿Cuántas formas hay de escribir el
0 como fracción?
• Hay infinitas maneras de escribir
el 0 como una fracción.
Cardinales
• ¿Se podrá hacer lo mismo con
los otros números Cardinales?
• Si. La forma más fácil es colocar
el número sobre 1:
12
, 25 , 31 , 58 , 93
1
1
1
1
1
• ¿Son todos los Cardinales
Racionales?
• Sí. Todos los números
Cardinales son Racionales.
Enteros
• Para determinar si un número
Entero es también Racional, basta
tomar un ejemplo como hemos
hecho antes.
• Tomemos como ejemplo un
número negativo: -4
• ¿Se puede escribir el -4 como una
fracción que cumpla con la
definición de Racional?
4
• Si. El -4 se puede escribir como:
1
Enteros
• ¿Se podrá hacer lo mismo con
los otros números Enteros?
• Si. La forma más fácil es
colocar el número sobre 1:
12 25
, , 31 , 58 , 0
1
1
1
1
1
• ¿Son todos los Enteros
Racionales?
• Sí. Todos los números Enteros
son Racionales.
Fracciones
Propias
• Son aquellas fracciones cuyo
numerador es menor que el
denominador.
• Ejemplos:
2
3
,
3
5
,
3
7
,
26
37
4
, 100
Observa que todas las fracciones
propias cumplen con la definición de
números Racionales ya que de hecho
están en la forma de fracción, por lo
tanto son Racionales.
Fracciones
Impropias
• Son aquellas fracciones cuyo
numerador es mayor o igual que
el denominador.
• Ejemplos: 12 , 7 , 3 , 6 , 40
3
5
1
6
40
Observa que todas las fracciones
impropias cumplen con la definición de
números Racionales ya que de hecho
están en la forma de fracción, por lo
tanto son Racionales.
Fracciones
Mixtas
• Son aquellas fracciones que
consisten de un número entero
y una fracción propia.
• Ejemplos:
3
1
3
,
2
1
5
,
16
3
8
,24
1
6
, 45
Observa que la fracción del
número mixto siempre es una
fracción propia.
4
21
Fracciones
Mixtas
• Para determinar si una fracción mixta
es Racional, basta con tomar un
ejemplo y ver si se puede convertir a
una fracción que cumpla con la
definición de Racional.
• ¿Se puede convertir un número mixto
a fracción?
• Sí, veamos el ejemplo en la próxima
pantalla.
• Por tanto, las fracciones mixtas son
Racionales.
Fracciones
Mixtas
• ¿Cuál es el proceso para convertir el número
mixto a fracción?
• Para convertir un número mixto a fracción:
– Se multiplica el entero por el
denominador.
– A ese resultado se le suma el numerador.
Este es el numerador de la fracción.
– Se coloca el mismo denominador en la
fracción.
16
1
• Ejemplo:
=
3
5
5
Observa que siempre se obtiene una
fracción impropia
Decimales
exactos
• Son aquellos que no son periódicos.
Los periódicos son los que se repite
infinitamente una misma cifra o
período.
• Ejemplos: 0.5, 0.23, 2. 145
• ¿Se pueden convertir estos
decimales a fracción?
• Sí, veamos el ejemplo en la próxima
pantalla.
• Por tanto, los decimales exactos son
Racionales.
Decimales exactos
• Para convertir un decimal exacto a fracción:
– Leerlo correctamente, de acuerdo al valor
de lugar decimal
– Colocar el denominador que corresponda al
valor de lugar decimal
• Ejemplos:
5
–0.5- cinco décimas- 10
23
–0.23- veintitres centésimas- 100
145
–2. 145- dos y cientocuarenta y cinco milésimas- 2
1000
Observa que el valor de lugar decimal incrementa en
potencias de 10 y esta potencia corresponde al
denominador de la fracción.
Observa que el último ejemplo representa un número
mixto que se puede convertir a fracción impropia.
Decimales
Periódicos
• Son decimales infinitos en los cuales
se repite una misma cifra o período
de numéros
Ejemplos: 4.656565… , 0.3 , 0.45 , 2.376
• ¿Se pueden convertir estos decimales a
fracción?
• Sí, veamos la explicación en la próxima
pantalla.
• Por tanto, los decimales periódicos son
Racionales.
Decimales
Periódicos
• Se pueden convertir los decimales
periódicos a fracción, aunque no
demostraremos este proceso en estos
momentos ya que es un tanto complejo
y se necesitan conocimientos más
avanzados.
• Sin embargo, podemos demostrar que si
una fracción representa un decimal
periódico, entonces, el decimal
periódico puede representarse como
fracción también.
Decimales
Periódicos
• Tomemos el ejemplo de la
fracción: 1
3
• Para convertir la fracción a
decimal, hay que dividir el
numerador por el denominador.
Veamos:
Observa que 0.33…
0.33…
3 1.00
-9
10
-9
1
equivale a 0.3 y por
tanto, 0.3 es un decimal
periódico que se puede
escribir como una
fracción.
Muy bien.
Incorrecto.
Trata otra
vez.