Download ficha nº1 - IES Gabriela Mistral

FICHA Nº 0
Con ayuda de la circunferencia goniométrica (radio  1) podemos dibujar ángulos conociendo el
valor de alguna de sus razones trigonométricas.
Veamos cómo se dibuja un ángulo cuyo seno mida . Como el valor del seno es positivo, puede
ser un ángulo del primer o del segundo cuadrante. Veamos las dos posibilidades:
Primer cuadrante
Segundo cuadrante
Veamos otros ejemplos:
Dibuja el ángulo  si conocemos que cos   0,32 y que el ángulo está en el tercer cuadrante
Dibuja el ángulo  si sabemos que
y que el ángulo está en el cuarto cuadrante.
1. Dibuja cada uno de los siguientes ángulos en el cuadrante indicado.
a)
, 3er cuad.
c)
b)
, 4º cuad.
d)
,
3er cuad.
e)
1er cuad.
f)
,
2º cuad.
g)
3er cuad.
h)
Si lo que conocemos es una de las razones inversas, por ejemplo, sec  
3 y sabemos que el ángulo pertenece al tercer cuadrante, calculamos el
valor de la razón inversa y dibujamos el ángulo igual que en el apartado
anterior:
2. Dibuja los ángulos cuyas razones son:
a)
, 3er cuad. b)
,
d)
, 3er cuad. e)
, 4º cuad. f)
g)
,4º cuad.
,
h)
3er cuad. c)
1er cuad.
,
,
2º cuad.
1er cuad.
, 4º cuad.
,
1er cuad.
FICHA Nº1
Si un ángulo mide el doble o la mitad de otro ángulo cuyas razones conocemos, podemos
calcular todas sus razones trigonométricas sin necesidad de conocer su medida exacta. Veamos
algunos ejemplos:

Si sabemos que el valor del seno de un ángulo  del segundo cuadrante es
trigonométricas del ángulo  y del ángulo

1.
las razones
se pueden hallar así:
Si lo que se conoce es una de las razones inversas, por ejemplo, sec   3, y el ángulo
pertenece al primer cuadrante, entonces:
Sabiendo que
,
y
y que
, calcula
a) sen 2
c) tg 2
e)
g) cos ( )
b)
d) sen ()
f) cos 3
h)
Si conocemos las razones trigonométricas de un ángulo que está en el primer cuadrante
podemos conocer también las razones trigonométricas inversas de otros ángulos relacionados
con él.
Si por ejemplo
, entonces:
1.
Fíjate en los ejemplos y completa esta tabla.
secante
180o 
cosecante
cotangente
sec

cosec 
90º 
tg 
360º 
180º 
2.
Expresa la medida de cada ángulo en radianes, relaciónalo con uno del primer
cuadrante cuyas razones conozcas, y rellena la tabla con sus razones trigonométricas:
Medida
Radianes
Ángulo 1.er
cuadrante
seno
coseno
tangente
secante
cosecante
120º
135º
150º
210º
225º
240º
300º
315º
330º
3.
Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas:
a) sen 540º
c) cos 390º
e) tg 750º
g) sec
i) cosec 2190º
b) cotg 630º
d) sen 1380º
f)
h) cotg (150º)
j) sec 1260º
cotangente
FICHA Nº 2
Resolver una ecuación trigonométrica es buscar el valor o los valores que cumplen la ecuación.
Para ello, se utilizan distintas técnicas, según cómo sea la ecuación. A veces, basta con hallar el
valor con la función arco, otras veces hay que utilizar una de las igualdades trigonométricas que
conocemos, realizar un cambio de variable o tan solo sacar factor común y operar.
Una vez que se obtiene la solución, hay que tener en cuenta que puede cumplirse para ángulos
mayores de 360º.
Expresamos todo en función de una misma razón para poder realizar un cambio de variable
1.
Halla la solución de las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0,2].
a)
2.
4.
d)
b)
c)
d)
Calcula en grados la solución de cada ecuación:
a)
c)
e)
b)
d)
f)
Extrae factor común para resolver estas ecuaciones trigonométricas y halla las
soluciones en el primer cuadrante.
a)
5.
c)
Calcula la solución en radianes de estas ecuaciones trigonométricas.
a)
3.
b)
b)
Resuelve estos sistemas de ecuaciones trigonométricas:
c)
a)
b)
c)
d)
FICHA Nº 3

Halla el valor del lado desconocido en cada triángulo.
a)
2.
b)
c)
Calcula el valor de x e y en cada caso.
a)
b)
Resolver un triángulo es hallar la medida de cada lado y cada ángulo.

En este caso conocemos un ángulo y dos lados. Aplicamos
el teorema del coseno para hallar el valor del lado opuesto,
y, una vez que conozcamos los tres lados, aplicamos el
teorema del seno para hallar los otros dos ángulos:

Dados tres lados de longitudes a  9 cm, b  3,6 cm y c  3 cm, resuelve el triángulo que
forman.
Conocemos los tres lados, podemos aplicar el teorema del coseno para hallar los
ángulos:
Como el valor del coseno de un ángulo ha de estar comprendido entre 1 y 1, esta
solución no es válida. Este triángulo no se puede construir ya que la medida de uno de los
lados es mayor que la suma de los otros dos.
3.
Resuelve los siguientes triángulos.
a)
b)
c)
d)
e) Tres lados: a= 2 m , b= 1 m. , c= 1 m.
FICHA Nº 4
Resolver una ecuación trigonométrica es buscar el valor o los valores que cumplen la ecuación.
Para ello, se utilizan distintas técnicas, según cómo sea la ecuación. A veces, basta con hallar el
valor con la función arco, otras veces hay que utilizar una de las igualdades trigonométricas que
conocemos, realizar un cambio de variable o tan solo sacar factor común y operar.
Una vez que se obtiene la solución, hay que tener en cuenta que puede cumplirse para ángulos
mayores de 360º.
Expresamos todo en función de una misma razón para poder realizar un cambio de variable
1.
Halla la solución de las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0,2].
a)
2.
4.
d)
b)
c)
d)
Calcula en grados la solución de cada ecuación:
a)
c)
e)
b)
d)
f)
Extrae factor común para resolver estas ecuaciones trigonométricas y halla las
soluciones en el primer cuadrante.
a)
5.
c)
Calcula la solución en radianes de estas ecuaciones trigonométricas.
a)
3.
b)
b)
Resuelve estos sistemas de ecuaciones trigonométricas:
c)
a)
b)
c)
d)
FICHA Nº 5
Vamos a resolver ecuaciones trigonométricas algo más complicadas con ayuda de expresiones
algebraicas.

Demuestra la igualdad a3b3  (a  b) (a2  ab  b2).
Nota: Utiliza la regla de Ruffini en la división (x3 b) : (x  b).

Utiliza la igualdad anterior para demostrar la identidad trigonométrica:

Resuelve la ecuación trigonométrica:

Desarrollando la expresión (a4  b4) comprueba que

Utiliza la igualdad anterior para demostrar la identidad trigonométrica:

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas.



.
7. Encuentra para qué valores de k, la ecuación
reales. Comprueba que no tiene raíces enteras.
tiene soluciones
FICHA Nº 5
En la figura aparece el hexágono PQRSTU inscrito en el rectángulo ABCD. El hexágono
tiene cuatro lados PQ, RS, ST y UP de la misma longitud y los otros dos QR y UT también de
la misma longitud.
Se dan los siguientes datos:

Las dimensiones del rectángulo son 10 cm x 5 cm.

El punto P es el punto medio del lado AB.

El ángulo verifica que:
.

Calcula el perímetro del hexágono para los diferentes valores del ángulo.

Calcula el valor del perímetro para
redondeados a tres cifras decimales.
,
y
, dando los resultados

Calcula el valor de si se sabe que el perímetro del hexágono es tres cuartas partes del
perímetro del rectángulo.

Calcula el área del hexágono para los diferentes valores del ángulo .

Calcula el valor de si se sabe que el área del hexágono es tres cuartas partes del área del
rectángulo.