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4. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Supongamos construida una solución
4.1
i) Sean A, B y C tres puntos situados en una circunferencia de centro O.
1
2
Probar que ABC  AOC .
ii) Dados tres puntos A, B y C en el plano demostrar que la circunferencia de
diámetro AC pasa por B si y sólo si el ángulo ABC es recto.
iii) Sean A y C dos puntos del plano no situados en la circunferencia .
Construir un triángulo rectángulo inscrito en , uno de cuyos catetos pasa
por A y el otro por C.
iv) Dados los puntos A y B del plano, y una recta r, construir un punto P  r tal
que APB sea recto.
4.2
Sean  una circunferencia, P un punto en  y l una recta que pasa por P.
i) Probar que la recta l es perpendicular a la que une P con el centro O de  si
y sólo si P es el único punto común a l y . Cuando esto sucede se dice que
l es la recta tangente a  en P.
ii) Se dice que la circunferencia  ' es tangente exterior a  en P si la recta l
tangente a  en P es también tangente a  ' en P y  y  ' están situadas en
distintos semiplanos de entre los dos en que l divide al plano. Calcular la
relación entre los radios de  y  ' y la distancia entre sus centros.
iii) Construir una circunferencia tangente a  y tangente en un punto dado Q a
una recta r que no corta a .
4.3
i) ¿Qué relación existe entre el radio de una circunferencia, la longitud de una
cuerda y la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda?
ii) Dados en el plano una recta l, un punto P y dos segmentos de longitudes a
y b, construir una circunferencia de radio a que pase por P y determine
sobre l una cuerda de longitud b.
4.4
i) Sean  una circunferencia y P un punto exterior a . Demostrar que para
cada secante r a  que pasa por P, el producto PM · PN de las longitudes de
los segmentos que unen P con los puntos M y N en que la secante corta a 
es constante. Esta constante se llama potencia de P respecto de , Pot (P;
).
ii) Deducir que las dos tangentes trazadas a  desde P miden lo mismo, y dicha
cantidad es la raíz cuadrada de Pot (P; ).
iii)Dadas en el plano dos rectas concurrentes r y s y un punto P  r  s,
construir una circunferencia  que pase por P y sea tangente a r y s.
4.5
Se dan en le plano una circunferencia  un punto A   y otro B  .
Construir una circunferencia  ' que pase por B y sea tangente a  en A.
4.6
Se dan en el plano una circunferencia  y un segmento AB. Construir una
cuerda CD de  paralela al segmento AB y de su misma longitud.
4.7
Se dan en el plano las circunferencias 1 y 2 y la recta l. Trazar una recta r
paralela a l que determine cuerdas iguales en 1 y 2.
Supongamos construida una solución
y
Haz un movimiento
4.8
Sea P un punto situado en el círculo encerrado por la circunferencia .
Construir una cuerda de que tenga a P por punto medio.
4.9
Sean r y s dos rectas del plano y P un punto no situado en ellas. Construir un
cuadrado con un vértice en P y dos vértices opuestos en r y s.
4.10
Sean l una recta del plano y 1 y 2 dos circunferencias situadas en distintos
semiplanos, de los dos en que l divide al plano. Construir un cuadrado con dos
vértices opuestos en l, otro en 1 y el cuarto en 2 .
i) Sean 1 y 2 dos circunferencias de centros O1 y O2 respectivamente y
radios r1, r2. Encontrar una condición necesaria y suficientes para que 1 y
2 se corten, que involucre únicamente a r1, r2 y la distancia d entre O1 y
O2.
ii) Sean A y B dos puntos del plano y 1 y 2 dos circunferencias. Encontrar
cuando sea posible dos puntos M  1, N  2 tales que el segmento MN
que une M con N sea paralelo y de la misma longitud que AB. ¿Cuándo es
esto posible?
4.11
i) Construir un triángulo equilátero con un vértice en un punto dado A y los
dos restantes en dos rectas dadas.
ii) Dadas tres rectas paralelas construir un triángulo equilátero con un vértice
en cada una de ellas.
iii) Sean r y s rectas paralelas y t otra recta que las corta. Construir un
triángulo equilátero de lado dado  y con un vértice en cada una de las
rectas r, s y t.
Busca una simetría
4.12
Encontrar el punto P de la recta l que hace mínima la suma de distancias AP +
A
PB.
B
l
4.13
Dos ciudades A y B están en distintas orillas de un río, cuyo cauce suponemos
limitado por dos rectas paralelas. Determinar el lugar en que debería ser
construido un puente, perpendicular a las orillas del río, para que la longitud
del camino desde A hasta B sea mínimo.
4.14
i) Un rayo de luz lanzado desde A llega a B tras reflejarse en el espejo. ¿En
qué punto de ésteAse refleja?
B
ii) Sean M y N puntos del plano y m, n dos números naturales. Construir un
punto P del segmento que une M con N tal que
MP m

PN n
iii) Describir la trayectoria de un rayo de luz que vaya de A a B reflejándose
una vez en cada espejo.
r1
B
A
r2
4.15
Describir la trayectoria de un rayo de luz que vaya de A a B reflejándose una
r1
vez en cada espejo.
A
B
r2
4.16
Sean P un punto del plano y r y s dos rectas secantes que no pasan por P.
Determinar dos puntos A  r, B  s tal que el triángulo PAB tenga perímetro
mínimo.
4.17
Una barra de longitud fija se desliza sobre una semicircunferencia, con sus
extremos M y N apoyados en ella. Sean P el punto medio de MN y R y S las
proyecciones de N y M, respectivamente, sobre el diámetro. Cuando MN se
mueve sobre la semicircunferencia ¿cómo se deforma el triángulo RPS? (Este
problema ya lo has hecho; problema 7 del capítulo anterior. Hazlo otra vez
utilizando solamente argumentos geométricos).
4.18
i) Construir un triángulo conocidos los puntos medios de sus lados.
ii) Demostrar que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero convexo
son vértices de un paralelogramo.
iii) Construir un pentágono conocidos los puntos medios de sus lados.
iv) Construir un polígono de n  2k +1 lados conocidos los puntos medios de
sus lados.
4.19
i) Sea P (x) 
[x] un polinomio tal que, para cierto a  ,
P (x)  P (2a  x)
Demostrar que existen números complejos b0, ... , bn tales que
P( x ) 
n
 b ( x  a)
2j
j
j 0
ii) Comprobar que el polinomio
P(x)  x4  2x3  3x2 + 4x +2
cumple que P(x)  P(1x)
y calcular sus raíces.
Ejercicios para demostrar asertos, aprender lo que significa caracterizar, “si y sólo
si”, etc.
4.20
i) Sea ABC un triángulo rectángulo en B, h la altura sobre el lado AC y x e y
las longitudes de los segmentos que unen A y C con el pie P de dicha
altura. Comprobar que xy  h2
ii) Dados segmentos de longitudes x e y, construir otro cuya longitud sea
xy .
iii) Sean l una recta y P  l. Construir otra recta r que pase por P y forme con l
un ángulo de 60º.
iv) Construir un cuadrado cuyo área sea la suma (resp. la diferencia) de las
áreas de los cuadrados dados.
4.21
Sean 1 y 2 dos circunferencias de igual radio que son tangentes exteriores en
el punto P. Una recta r paralela a la que une los centros de 1 y 2 corta a 1
en A y B y a 2 en C y D. Calcular el valor del ángulo APC.
4.22
i) Probar que las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares si y
sólo si el paralelogramo es un rombo.
ii) Probar que las diagonales de un paralelogramo miden lo mismo si y sólo si
el paralelogramo es un rectángulo.
iii) Sean ABCD   un cuadrilátero convexo y  ' el paralelogramo que tiene
por vértices los puntos medios de los lados de . Caracterizar los
cuadriláteros  para los que  ' es un rectángulo y aquellos para los que  '
es un rombo.
iv) Demostrar que si los puntos medios de los lados de dos cuadriláteros
convexos coinciden, ambos tienen igual área.
v) Probar que si P es un punto interior al paralelogramo ABCD, la suma de las
áreas de los triángulos ABP y PCD coinciden, es decir, no dependen de P.
4.23
i) Sea P un punto de la región encerrada por el triángulo equilátero ABC.
Probar que la suma de las distancias de P a los lados del triángulo es una
cantidad que no depende de P.
ii) Sea P un punto del lado desigual de un triángulo isósceles. Demostrar que
la suma de distancias de P a los otros dos lados es una cantidad que no
depende de P.
4.24
i) Sean 1 y 2 dos circunferencias que son tangentes exteriores en el punto C.
Sea t la tangente común a ambas en los puntos A y B. Calcular el valor del
ángulo ACB.
ii) Sea ABCD un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia.
Calcular dist (A, B) + dist (C, D)  dist (B, C)  dist (A, D)
iii) Demostrar que un paralelogramo K se inscribe en una circunferencia si y
sólo si K es un rectángulo.
iv) Sea K un paralelogramo. Demostrar que existe una circunferencia inscrita
en K si y sólo si K es un rombo.
4.25
Demostrar que si en un triángulo coinciden el incentro y el circuncentro, es
equilátero.
4.26
Sea ABCD un trapecio en el que los lados BC y DA son paralelos. Suponemos
que la recta MN que une los puntos medios M y N de BC y DA,
respectivamente, es perpendicular a BC y DA. Demostrar que el trapecio es
isósceles.
Muestra que un punto coincide con otro
4.27
Cuatro puntos A, B, C y D del plano se dicen concíclicos si existe una
circunferencia que pasa por los cuatro.
i) Demuestra que A, B, C y D son concíclicos si y sólo si
Aˆ  Cˆ  Bˆ  Dˆ   (ABCD convexo)
ii) Un trapecio de vértices A, B, C y D en el que los lados AB y CD son
paralelos se dice isósceles si los lados AD y BC miden lo mismo.
Demostrar que si 4 puntos A, B, C y D son vértices de un trapecio, los
puntos son concíclicos si y sólo si el trapecio es isósceles.
4.28
Demostrar que si ABCD es un cuadrado, el triángulo APB de la figura es
equilátero.
D
15º
15º
C
P
A
B
A veces no queda más remedio que calcular
4.29
Para cada punto P en la hipérbola xy  a2 se considera el triángulo que tiene
por lados a los ejes de coordenadas y a la tangente en P a la hipérbola.
Demostrar que el área de dicho triángulo es independiente del punto P
escogido.
4.30
Las longitudes a, b y c de los lados de un triángulo cumplen que a2 + b2  5c2.
¿Qué ángulo forman las medianas correspondientes a los lados a y b? O mejor,
probar que dicho ángulo es recto.
4.31
Las rectas r y s, que se cortan en C, son tangentes en los puntos A y B a la

parábola y  x2. Determinar el área del triángulo AB C en función de la longitud
m de su mediana trazada desde C.
4.32
Determinar el perímetro de un cuadrado inscrito en un triángulo rectángulo
ABC cuyos catetos miden a y b, sabiendo que C es uno de los vértices del
cuadrado y otro par de vértices está en cada uno de los catetos.
4.33
Sean ABCD cuatro vértices consecutivos de un rectángulo y P un punto del
plano. Probar que se cumple la igualdad
AP2 + CP2  BP2 + DP2
4.34
La figura representa tres cuadrados iguales. Calcular la suma  +  + .


4.35

Demostrar que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales
coinciden con la suma de los cuadrados de los lados.
4.36
Sea P un punto del lado CD del cuadrado ABCD. Sea K el punto en que el lado
BC corta a la bisectriz del ángulo BAP. Demostrar que PA  BK + DP.
4.37
Dado el cuadrado ABCD de la figura, se trazan las rectas perpendiculares
RS y NM. Probar que los segmentos RS y MN miden lo mismo.
D
M
C
S
R
A
4.38
B
Las rectas r y s concurren en un punto P del eje OX distinto del origen. Si r y s
cortan a la parábola y  x2 en los puntos de abscisas a1, a2 y b1, b2
respectivamente, demostrar que
1
1
1
1
.

 
a1 a 2 b1 b21
Hazte una figura
4.39
N
i) Sea (a, b) un punto de la recta x + y  2. Prueba que a2 + b2  2.
ii) Sea (a, b, c) un punto del plano x + y + z  3. Prueba que a2 + b2 + c2  3.
4.40
i) Emplea divisiones sucesivas para encontrar números enteros a y b tales que 33a
14b  1.
ii) Halla todos los pares de números enteros x e y tales que 33x  14y  20.
iii) ¿Existe algún punto en la recta 12x  15y  13 cuyas coordenadas sean
números enteros?
4.41
Un niño tiene 455 pesetas en monedas de 10 y de 25 pesetas. ¿Cuál es el
número máximo y mínimo de monedas que puede tener? ¿Es posible que tenga
tantas monedas de 10 como de 25 pesetas?
4.42
Resolver el sistema de ecuaciones
e x  z  y
 y
e  z  y
 2
2
 x  y  1
4.43
Si a y b son números racionales, la función
fa,b:

: x  ax + b
es, desde luego, derivable y transforma números racionales en racionales e
irracionales en irracionales. Encuentra una función f :

con la misma
propiedad y que no sea ninguna de las f a ,b.
Ejercicios sobre contar el número de elementos de un conjunto finito de dos formas
diferentes
4.44
Sean a1, ..., a9 números naturales distintos que suman 90. Probar que 4 de
ellos suman más que 40.
4.45
Colocamos de forma arbitraria 10 puntos en una circunferencia y los
numeramos al azar con los números 1, 2, ..., 10. Probar que hay 3 consecutivos
que suman más que 16.
4.46
Demostrar que en una reunión a la que asiste un número impar de personas, el
número de ellas que da un número par de saludos es impar. Se supone que
nadie es saludado más de una vez y que si A saluda a B, necesariamente B
saluda a A.
Principio del Palomar
4.47
Sean a, b y c tres número naturales. Probar que al menos uno de los números
del conjunto
A  {a, b, c, a+b, b+c, a+b+c}
es múltiplo de 3
4.48
Sean N un número natural y A un subconjunto con N +1 elementos de {1, 2, ...,
2N}. Probar que en A hay dos números primos entre sí.
4.49
Sean N un número natural y A un subconjunto con N +1 elementos de {1, 2, ...,
2N}. Probar que existen x, y  A tales que x divide a y.
4.50
Sea T un triángulo equilátero de lado 2. Dados 5 puntos arbitrarios en su
interior, probar que al menos dos de ellos distan menos que 1.
Reduce el problema a un número finito de comprobaciones
4.51
Sea n un número natural. ¿Es 3n2  1 el cuadrado de otro número natural?
4.52
Demuestra que si p es un número primo, p  5, 2, entonces p2  1 o p2 + 1 es
múltiplo de 10.
4.53
n



¿Es el cuadrado de algún número natural el número R n  1 1  1 n > 1?
4.54
Sean x1, x2, ..., xn n números consecutivos. Demuestra que alguno es múltiplo
de n.
4.55
Demuestra que para cada número natural n, el número M  n2 (n2  1) (n2  4)
es múltiplo de 360.
4.56
i) Calcula el resto de la división entre 13 de 100, 103 y 106.
ii) Demuestra que si p > 3 es un número primo, entonces M  102p  10p + 1
es múltiplo de 13.
4.57
i) ¿Cuál es el resto de la división entre 19 de 73? ¿y de 74?
ii) ¿Para qué números naturales n 
se cumple que 72n +7n + 1 es múltiplo
de 19?
4.58
Probar que para cada n 
se cumple que
n 5 n 3 7n



5
3 15
M 
Binomio de Newton, Combinatoria
4.59
4.60
Demostrar las siguientes igualdades de números combinatorios
1)
 n   n  1  n  1
   
  
 , n > k  1
 k   k   k  1
2)
n k  n n  l 
       
 ,
k  l  l  k  l 
0 l k  n
3)
n n  k 1  n 
  

 ,
k
k 
 k  1
n k 1
4)
n n  2
n  2 n  2
   
  2 
  
 ,
k  k  2
k 1   k 
2  k  n 2
Demostrar las siguientes identidades
n
   2 n ;
k 0  k 
n
1)
n
n

n
 k  k   n2
n 1
2)
  1
k
k 0
n
   0 ;
k 
3)
;
k 1
k 0
n
   3 n ;
k 
 1k
n
n
4)
n
2
k
5)
n
n
   2 n 1 ;
k impar  k 
  k   
k par
k n
6)
k n
 k  1  k   n  1
1
k 0
4.61
i) Calcular los últimos dos dígitos de 99.
9
ii) Calcular los últimos dos dígitos de 99 .
Ejercicios sobre polinomios con coeficientes enteros
4.62
i) Sean x un número entero, n un número natural y p un número primo que
divide a xn. Demostrar que p divide a x.
ii) Sean a1, ..., an números enteros y  
tal que n + a1 n1 + ... + an1 
+ an  0.
Probar que  es entero.
iii) Sean n 
y
tales que n
. Probar que  
.
iv) ¿Existe una progresión aritmética de números complejos de la que son
términos
2,
v) ¿Es racional
3 y
5 ?
2 3 ?
vi) Encontrar un polinomio con coeficientes enteros del que sea raíz
  3 2  5  3 5  2 . Demostrar que  
y calcularlo.
vii) Demostrar que   3 2  10 3 3  3 2  10 3 3 es un número natural, y
calcularlo.
4.63
Sea P(x)  x3 + 6x2 + 11x + 6
i) Demostrar que para cada número natural n, P(n) es múltiplo de 6 y P(n) +
6 lo es de n + 4.
ii) Probar que si n > 2, entonces 1 
P( n )
no es primo.
6
4.64
i) Sea P(x)  2x3 + 3x2 + x. Demostrar que para cada número natural n, P(n)
es múltiplo de 6.
ii) Demostrar que para cada número natural n > 4, n + 2 divide a P(n) + 6 y
P( n )
 1 es un natural no primo.
6
4.65
i) Factoriza el polinomio x3 + 1.
ii) ¿Existe algún número natural n tal que 8n + 1 sea primo?
iii) Factoriza como producto de dos polinomios de grado dos el polinomio x4 +
4 en
[x].
iv) ¿Para qué números naturales n, es primo el número n4 + 4?
4.66
Define por extensión el conjunto T  {(a, b) 

: ab  ba , a  b}.