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Álgebra y Geometría Analítica 1º 52
Teorema de Roché Frobenius
Es condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible,
que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz de los coeficientes
ampliada con los términos independientes. (Matriz ampliada)
Hipótesis:
Matriz de los coeficientes:
Matriz de las incógnitas:
Matriz de los términos independientes:
Matriz ampliada:
Tesis:
Demostración:
Demostremos la doble implicación
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Álgebra y Geometría Analítica 1º 52
a) El sistema es compatible
Si el sistema es compatible, existirá una matriz K solución del sistema/ K
y A.K=B
Si consideramos la matriz A particionada en columnas:
y
K
El sistema lineal puede escribirse:
A.K=B
(1)
Recordemos que
es equivalente a un vector
La ecuación (1) indica que B es combinación lineal de las columnas de A, por lo que B es
linealmente dependiente respecto de los vectores columna de A.
Entonces si
es r, cuando se forma A’ (matriz ampliada) incorporando como una
columna adicional los elementos de B, este nuevo vector es linealmente dependiente, por
lo que
que es lo que queríamos probar.
b)
El sistema es compatible
Si
, como la diferencia entre las matrices A y A’ es la columna de los elementos
de B podrá expresarse como combinación lineal de los vectores de la columna de A, ya que B
es linealmente dependiente.
O sea:
Pero
A=
yK
Siendo k1, k2,… kn
Luego: A.K=B lo cual significa que la matriz k es solución del sistema, por lo que este es
compatible, como se quería probar.
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Diferencia entre un sistema compatible determinado y uno indeterminado utilizando el
desarrollo del Teorema de Roché- Frobenius.
a) Si
= m (número de columnas de la matriz de coeficientes)
El sistema es compatible determinado.
En efecto, cuando queda planteada la ecuación (1) de la demostración anterior, resulta por
hipótesis que los m vectores
son linealmente independientes.
Además, el vector B pertenece al subespacio generado por
o, lo que
es lo mismo, al subespacio generado por los vectores columna de A.
Según lo expuesto,
es una base de dicho subespacio, por lo que la
combinación lineal de esos vectores para obtener B es única, con lo cual los escalares (K1,
K2,…Km) son únicos y en consecuencia, es único el conjunto solución K formado por ellos.
b) Si
=h<m, el sistema es compatible indeterminado.
El número de variables libres es (m-h) y el de variables dependientes es h.
Podemos escribir la ecuación (1) de la siguiente manera.
(2)
Podemos suponer que como el rango es h, estos h vectores son linealmente independientes y
constituyen una base del subespacio generado por ellos.
La ecuación (2) puede reescribirse así:
(3)
Si
La ecuación (3) nos señala que, para cada vector , la combinación lineal del primer miembro
es única, dado que los h vectores del primer miembro son linealmente independientes.
Pero
no es único: Dándole valores a
arbitrarios, obtenemos infinitos vectores
.
En consecuencia, habrá para cada uno de ellos, valores de K1, K2,…Kh que verifican la ecuación
(3).
Es decir:
K1=f(
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K2=g(
(4)
……………………..
Kh=h

son las variables libres o independientes: se les asigna un valor
independiente a cada una de ellas y para cada valor arbitrario obtengo un vector .
 K1, K2,…Kh son las variables dependientes, de acuerdo a lo establecido en (4), pues se
obtienen como función de las anteriores, son las llamadas variables dependientes.
En consecuencia, hay h variables dependientes y (m-h) variables libres.
c) Finalmente, si
el sistema, por aplicación del enunciado del Teorema de
Roché-Frobenius, es incompatible.
En este caso, B no será combinación lineal de los vectores columna de A y por lo tanto
será un vector Llinealmente independiente
Luego,
será una unidad mayor que
Licenciada Andrea S. Arce
Ing. Marcelo L. Peyregne
2011
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