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Caribbean University Programa de Estudios Graduados Recinto de Ponce Preparado como requisito del curso Educ 675 de la Profa. Carmen Robles MÓDULO Materia: Geometría Grado: Undécimo Tema: Introducción de los Polígonos Preparado por, Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos Introducción El mundo está formado de figuras geométricas llamadas polígonos. Estas son figuras formadas de segmentos. En el siguiente módulo encontrarás varias definiciones y conceptos básicos sobre los polígonos. También encontrarás algunas ecuaciones que te ayudarán a buscar la suma de los ángulos de un polígono, la cantidad de lados de un polígono, entre otros. Eunice J. Muñoz Rivera © 2 Módulo Polígonos Propósito del módulo El siguiente módulo tiene como propósito el presentar los conceptos básicos sobre el tema de los polígonos. Eunice J. Muñoz Rivera © 3 Módulo Polígonos ¡Querido estudiante! La siguiente unidad te ayudará a aprender conceptos fundamentales de la geometría. En este caso aprenderás un poquito sobre los polígonos. Te exhorto a que te animes a completar el módulo, leyéndolo en todas sus partes y realizando todos los ejercicios. El módulo es uno sencillo y te resultará divertido realizarlo. ¡Adelante y Exito! Eunice J. Muñoz Rivera © 4 Módulo Polígonos I. Objetivos a. General 1. Al finalizar el módulo instruccional se espera que el estudiante domine con un 70 % las destrezas relacionadas al tema de polígonos. b. Específicos 1. El estudiante definirá conceptos básicos sobre los polígonos. 2. El estudiante identificará cada polígono de acuerdo a su cantidad de lados. 3. El estudiante identificará cada polígono en convexo, concavo y regular. Eunice J. Muñoz Rivera © 5 Módulo Polígonos 6 4. El estudiante calculará: El número de diagonales de un polígono. La suma de los ángulos internos de un polígono. La medida de cada ángulo de un polígono regular. El número de lados de un polígono. Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 7 Instrucciones Lee cuidadosamente cada una de las páginas que siguen. Próximamente te encontrarás con una preprueba, la cual deberás contestar en todas sus partes. Luego que la contestes se la llevarás a la maestra para verificar tus respuestas. Luego encontrarás la lección. Léela atentamente toda la lección y cada uno de los ejemplos para que puedas hacer los ejercicios de práctica. Al terminar los ejercicios de práctica podrás verificar tus respuestas en las páginas que se mencionen. Y por último hallarás una postprueba donde podrás comprobarás lo que aprendido. Al terminar le entregas tus respuestas a la maestra. Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos Eunice J. Muñoz Rivera © 8 Módulo Polígonos 9 Contesta cada uno de los siguientes. Haz un círculo en la contestación que creas correcta. Luego que termines muéstrale tus respuestas a la maestra. 1) ¿Cuál de las siguientes figuras NO es un polígono? 2) ¿Cuál de las siguientes figuras representa un hexágono? 3) ¿Cuál de los siguientes poligonos es uno cóncavo? Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 10 4) Encuentra el perímetro del siguiente polígono. a) P = 28 p b) P = 29 p c) P = 145 p d) P=1p 5) Calcula el número de diagonales de un pentágono. a) dn= 5 b) dn= 6 c) dn= 3 d) dn= 4 6) Calcula la suma de los ángulos interiores de un pentágono. a) S= 540 b) S= 360 c) S= 720 d) S= 180 Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 11 7) Dado un hexágono regular, calcula la medida de cada ángulo. a) A = 720 b) A = 72 c) A = 120 d) A = 12 Hasta aquí la Pre-Prueba. Muéstrale tus respuestas a la maestra. Ahora puedes continuar con la lección. ¡ADELANTE! Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 12 Lección: Introducción a los polígonos. Ahora lee con cuidado la lección y realiza todos los ejercicios de práctica. Luego que realices los ejercicios de práctica podrás verificar tus contestaciones… ¿Qué es un polígono? Es una curva cerrada simple compuesta por segmentos. Figura formada por la reunión de varios segmentos, de manera que no se crucen y solamente se toquen en sus extremos. Ejemplos… Son Polígonos No son Polígonos Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 13 Clasificación de los polígonos Los polígonos se clasifican de acuerdo a su cantidad de lados: Clasificación de polígonos de acuerdo al número de lados que tiene: 3 lados: TRIÁNGULO 7 lados: HEPTÁGONO 4 lados: CUADRILÁTERO 8 lados: OCTÁGONO 5 lados: PENTÁGONO 9 lados: NONÁGONO 6 lados: HEXÁGONO 10 lados: DECÁGONO Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 14 TIPOS DE POLÍGONOS 1. POLÍGONO CONVEXO : Es un polígono cuyas rectas generadas por sus lados, no cortan el interior de la figura. 2. POLÍGONO CÓNCAVO : Es un polígono cuyas rectas generadas por sus lados, cortan el interior de la figura. 3. POLÍGONO REGULAR : Es un polígono que es convexo, equilátero y equiángulo. – Equilátero: Todos sus lados tienen la misma medida. – Equiángulo: Todos sus ángulos tienen la misma medida. Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 15 Otras definiciones que debes conocer… ÁNGULOS CONSECUTIVOS: Son ángulos de un polígono que se intersecan en uno de sus lados. Ej. < BAD es consecutivo al < ADC PERÍMETRO: Es la suma de las longitudes de todos los lados de un polígono. Ejemplos: P = perímetro. P=9+9+9 P = 27 cms. P= perímetro P= 10 + 10 + 5 + 5 P= 30 cms. Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 16 Práctica: Puedes utilizar el espacio en blanco para realizar tus cálculos. Busca el perímetro de los siguientes: 1) 1.5 cm 1.5 cm 4 cm 4 cm 1.5 cm 2) 1.5 cm 12.5 p 13 p 13 p 8 p Contestaciones en la próxima página. Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 17 Contestaciones… 1) Para buscar el perímetro se suman las longitudes de todos los lados del polígono. P = 1.5 + 1.5 + 1.5 + 1.5 + 4 + 4 P = 14 cms. 2) Para buscar el perímetro se suman las longitudes de todos los lados del polígono. P = 12.5 + 13 + 13 + 7.5 P = 46 p Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 18 DIAGONALES DE UN POLIGONO Definición: La diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos Vértices consecutivos: AyB CyD ByC DyA Vértices no consecutivos: AyC ByD Diagonales: AC y DB DATO: Para calcular el número de diagonales se utiliza la siguiente fórmula: dn = n(n – 3) 2 dn = # de diagonales n = # de lados Ejemplo: Buscar la cantidad de diagonales de un cuadrilátero. Cuadrilátero, n = 4 dn = n(n – 3) = 4(4 – 3) = 4(1) = 4 = 2 2 2 2 2 dn = 2, esto significa que un cuadrilátero tiene 2 diagonales Eunice J. Muñoz Rivera © . Módulo Polígonos 19 Practica: Calcula el número de diagonales de un hexágono. dn = n(n – 3) 2 Contestación en la próxima pagina… Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 20 Contestación: Un heptágono tiene 7 lados: dn = n(n – 3) = 7(7 – 3) = 7(4) = 28 = 14 2 2 2 2 dn = 14, esto significa que un heptágono tiene 14 diagonales. Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 21 SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO Dato: La suma total de los ángulos de un triángulo es de 180°. m<1 + m<2 + m<3 = 180 Dato: La suma total de los ángulos de un cuadrilátero es de 360°. m<A +m<B +m<C +m<D = 360 La fórmula para calcular la suma total de los ángulos de un polígono es: S = (n – 2) 180° S es la suma total n es el # de lados Ejemplo: Busca la suma total de los ángulos de un pentágono. Fórmula: S = (n – 2) 180° Si n = 5, sustituimos n. S = (5 – 2) 180°, al resolver S = 540°, la suma de los ángulos del pentágono es 540° Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 22 Practica: Busca la suma total de los ángulos internos de un hexágono. S = (n – 2) 180° Contestación en la próxima página… Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 23 Contestación: Un hexágono tiene 6 lados: S = (n – 2) 180° Si n = 6, sustituimos n. S = (6 – 2) 180°, al resolver S = 720°, la suma de los ángulos del hexágono es 720° Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 24 Medida de cada ángulo de un polígono regular Polígono regular: es convexo, equilátero y equiángulo. Para buscar la medida de cada angulo de un poligono regular se utilize la siguiente fórmula: A = (n – 2) 180° n A es la medida de cada ángulo n es el # de lados Ejemplo: Busca la medida de cada ángulo de un cuadrado. Fórmula: A = (n – 2) 180, donde n = 4 n A = (4 – 2) 180, al resolver obtenemos que: 4 A = 90°, en un cuadrado cada mide 90°. Práctica: Busca la medida de cada ángulo interno de un pentágono regular. Contestación en la próxima página… Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 25 Contestación … Un pentágono tiene 5 lados: A = (n – 2) 180, donde n = 5 n A = (5 – 2) 180, al resolver obtenemos que: n A = 108°, en un pentágono cada mide 108°. Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 26 Número de lados de un polígono El número de lados que tiene un polígono puede determinarse conociendo la suma total de sus ángulos. – Dado S: el numero de lados se puede encontrar utilizando la siguiente fórmula. n = (S ÷ 180°) + 2 Ejemplo: Si S = 5,940°, ¿cuantos lados tiene el polígono? Fórmula : n = (S ÷ 180°) + 2 n = ( 5,940° ÷ 180° ) + 2 n = 33 + 2 n = 35, el polígono tiene 35 lados Práctica: Busca el total de lados que tiene un polígono cuyos ángulos internos suman 900 grados. Contestación en la próxima página… Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 27 Contestación… Dado que S = 900 grados: n = (S ÷ 180°) + 2 n = ( 900° ÷ 180° ) + 2 n = 5+2 n = 7, el polígono tiene 7 lados, es un heptágono. ¡Muy Bien acabas de concluir la lección! Ahora realizaras la post prueba. ¡Adelante y Éxito! Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 28 Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 29 Contesta cada uno de los siguientes. Haz un círculo en la contestación que creas correcta. Luego que termines muéstrale tus respuestas a la maestra. 1) ¿Cuál de las siguientes figuras NO es un polígono? 2) ¿Cuál de las siguientes figuras representa un hexágono? 3) ¿Cuál de los siguientes poligonos es uno cóncavo? Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 30 4) Encuentra el perímetro del siguiente polígono. a) P = 28 p b) P = 29 p c) P = 145 p d) P=1p 5) Calcula el número de diagonales de un pentágono. a) dn= 5 b) dn= 6 c) dn= 3 d) dn= 4 6) Calcula la suma de los ángulos interiores de un pentágono. a) S= 540 b) S= 360 c) S= 720 d) S= 180 Eunice J. Muñoz Rivera © Módulo Polígonos 31 7) Dado un hexágono regular, calcula la medida de cada ángulo. a) A = 720 b) A = 72 c) A = 120 d) A = 12 ¡FELICIDADES! Has completado el módulo de Introducción a los Polígonos, espero te haya ayudado a aprender un poco más sobre el tema. Ahora entregale tus contestaciones a la maestra. Eunice J. Muñoz Rivera ©