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Estadística
Examen tipo del primer parcial
Semestre 2012-1
Instrucciones: 1. Responder cinco preguntas de cada parte. 2. Cada pregunta vale un
punto. 3. Se otorgará hasta un punto por la calidad conjunta de las respuestas. 4. El
examen tendrá la misma estructura y preguntas similares.
Probabilidad
1. A cien votantes se les preguntaron sus preferencias sobre dos candidatos, W y Z.
Sus respuestas a tres preguntas están resumidas en el siguiente cuadro:
¿ Le gusta X?
¿ Le gusta W?
¿ Le gustan ambos?
No. De veces que dicen " si "
65
55
25
¿Cuál es la probabilidad de que a nadie le guste ninguno de los candidatos?
¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos les guste un candidato?
¿Cuál es la probabilidad de que les guste exactamente un candidato?
¿De aquellos que no le gusta X, que proporción les gusta W?
2. Considere el experimento aleatorio en el que varias personas lanzan dos dados
justos y gana el que obtiene más puntos en su lanzamiento.
a) Describa el espacio de todos los posibles resultados del experimento
b) Encuentre la σ −algebra de interés para este caso
c) Defina una variable aleatoria X que nos sirva en este caso y demuestre ésta
cumple con la definición de variable aleatoria
d) Defina la medida de probabilidad para este caso
e) Encuentre P(X > 5) y P(4 >X >10)
3. Una Variable Aleatoria Y se dice tener una distribución de Poisson si
𝑒 −𝜆 𝜆𝑘
P(X=x)=
𝑘!
a) Encontrar la función generadora de momentos
b) Encontrar media, varianza, asimetría y curtosis.
4. Demuestre que la intersección finita de σ −algebras es una σ −algebra
5. Demuestre que la función identidad X (w) = w no es una variable aleatoria
cuando tenemos Ω = {1,2,3} y la σ −algebra asociada a ésta es ℱ =
{∅, {1}, {1,2}, Ω}
6. Dados los conjuntos A y B, demuestre las siguientes proposiciones:
1
a) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴𝐶 )𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵)
b) 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
c) 0 ≤ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) ≤ 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) ≤ 2
7. Calcular E(y3) para una variable aleatoria cuya función generadora de momentos
𝑡2
es 𝑀𝑦 = 𝑒 2 .
8. La función de densidad de una variable aleatoria continua Y es
donde 1<x<6 y 0 en el caso contrario, se pide lo siguiente:
f(y)=[4x2(9-x3)/80],
a) Encontrar la Mediana, Moda y Rango Intercuartil
Muestra aleatoria
1. Usando los resultados principales para la función generadora de momentos,
realice lo siguiente:
a) Sea X una variable aleatoria distribuida normalmente con media 𝜇 y 𝜎 2
varianza, encuentre la función generadora de momentos de Y = aX, su valor
esperado, su mediana, su moda y su varianza.
b) Sea ahora 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 una familia de variables aleatorias tales que
𝑋𝑖 ~𝑁(𝜇𝑖, 𝜎𝑖2 ), ∀𝑖 = 1,2, … 𝑛. Pruebe que 𝑌 = 𝑎1 𝑋1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑋𝑛 es una variable
aleatoria con función de distribución normal con media ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 𝜇𝑖 y su varianza
∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖2 𝜎𝑖2
2. La función de densidad de X y Y variables aleatorias está dada por:
𝑒−
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥⁄ −𝑦
𝑦𝑒
𝑦
0
𝑐𝑜𝑛 0 < 𝑥 < ∞, 0 < 𝑦 < ∞
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Encuentra 𝑃(𝑋 > 1 |𝑌 = 𝑦) y también encuentra 𝑃(𝑋 < 2𝑌).
3. Suponga que x e y, las proporciones de un día de trabajo que dosdependientes de
una empresa realmente ocupan en desempeñar suslabores asignadas, tienen una
densidad de probabilidad conjunta
𝑓(𝑥, 𝑦) =
6 2 𝑥𝑦
(𝑥 + ) , 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑦 < 2
7
2
a) Obtenga las distribuciones de probabilidad marginal f(x),f(y).
∞
∞
b) Verifique que∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1, ∫−∞ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 1,
c) Obtenga las distribuciones de probabilidad condicional f(x|y) y f(y|x).
∞
∞
d) Verifique que∫−∞ 𝑓(𝑥|𝑦)𝑑𝑥 = 1, ∫−∞ 𝑓(𝑦|𝑥)𝑑𝑦 = 1,
e) ¿Hay correlación entre x e y? ¿Son independientes x ey? Justifique
2
4. Suponga que 𝑓𝑌|𝑥 (𝑦) =
2𝑦+4𝑥
1+4𝑥
1
y que 𝑓𝑥 (𝑥) = (1 + 𝑥) para 0<x<1 y 0<y<1
5
Se pide:
a) Encontrar la función de densidad marginal para Y
5. La función de densidad de dos variables aleatorias continuas X, Y es
F(x, y)=xy donde 0<x<4, 1<y<5 y 0 de lo contrario. Se pide lo siguiente:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Muestre que ésta es propiamente una función de densidad conjunta
Encontrar P(2<x<4,1<y<2)
Encontrar P(y>=2, x<=3)
Encontrar la función de distribución marginal de X , Y
Encontrar P(X+Y<2)
Encontrar P(X+Y>4)
6. Dada la distribución exponencial de una variable aleatoria, su función de
densidad es:
𝑓𝑥 (𝑥; 𝜃) = 𝜃𝑒 −𝜃𝑥 , 𝑥 > 0, 𝜃 > 0



Calcular su media
Calcular su varianza a través de los primeros dos órdenes de momentos
primitivos: Var(X)=E(X2)- [E(X)]2
Comprobar la varianza de acuerdo con la definición:
∞
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∫ [𝑥 − 𝐸(𝑋)]2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
7. Dadas dos variables aleatorias X, e Y que se encuentran distribuidas
conjuntamente, comprobar lo siguiente:
 Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
 𝐶𝑜𝑣(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌, 𝑍) = 𝑎𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑍) + 𝑏𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑍), donde Z es otra variable
aleatoria.
Muestra no aleatoria
1. Dadas dos variables aleatorias X e Y que están linealmente relacionadas y
perfectamente correlacionadas; esto esY=a+bX, donde a y b son dos
constantes, compruebe que: Cov(X, Y)=bVar(X) y que Corr(X,Y)=±1
2. Considerando la función de densidad conjunta:
3
c(x  2y) 0  y  1 0  x  2

f (x, y)  

en otro lado
 0
Determine: el valor de c, la función de distribución conjunta F(x,y), las funciones de
distribución marginales,
la función de densidad condicional f(y|x), la media y la varianza

condicionales de y dado x. ¿Son independientes X y Y? Demuestre y explique.
3. Sean X y Y variables
distribucióncondicional:
aleatorias
tales
que
su
función
de
𝑛
𝑓(𝑥|𝑦) = ( ) 𝑦 𝑛−𝑥 (1 − 𝑦)
𝑥
Cuando x∈{0,1,…,n} y Y se distribuye uniforme (0,1), i.e.,f(y)=1, cuando
0<y<1. Obtener la función de distribución marginal de X.
4. Considere la variable aleatoria X∼N(0,1) y defina la variable aleatoria
Y= X2- 1. Probar que:Cov(X,Y)=0 pero las dos variables aleatorias no son
independientes.
5. Dadas las distribuciones uniformes, normal y de student, todas de una variable
aleatoria continua, favor de proporcionar las propiedades de cada uno de los
siguientes indicares.



Relaciones entre Modo, Media y Mediana
El coeficiente de simetría
El valor de kurtosis y explique las diferencias entre estas 3
distribuciones.
6. Dadas dos variables aleatorias X e Y conjuntamente distribuidas:
y/x
-1
0
1
f(y)
-1
0.2
0.2
0.2
0.6
1
0.1
0.1
0.2
0.4
f(x)
0.3
0.3
0.1
1.0



Calcular las distribuciones marginales de ambas variables
¿Son independientes?
Verificar el resultado del inciso anterior aplicando las distribuciones
condicionales.
4