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Distribución de probabilidad
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La distribución Normal suele conocerse como la "campana de Gauss".
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una
variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable
aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad
está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango
de valores de la variable aleatoria.
Definición distribución Normal formal
Hay varios modos de definir formalmente una distribución de probabilidad. La forma
más visual es mediante su función de densidad. De forma equivalente, también pueden
darse para su definición la función de distribución, los momentos, la función
característica y la función generatriz de momentos, entre otros.
Función de densidad
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de
parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:
donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación estándar (σ2 es la varianza).5
Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los
valores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguiente expresión:
Su gráfica se muestra a la derecha y con frecuencia se usan tablas para el cálculo de los
valores de su distribución.
Distribución de Poisson
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución
de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la
probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de
tiempo.
Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo
Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile
(Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).
Propiedades
La función de masa de la distribución de Poisson es
donde



k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la
probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que
ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado
tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad
de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de
distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de
Poisson son iguales a λ.
Distribución t de Student
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de
probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente
distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las
diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de
confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la
desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una
muestra.
Distribución t de Student
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros
grados de libertad (real)
Dominio
Función de
densidad
(pdf)
Función de
distribución
donde
(cdf)
es la
función hipergeométrica
para
Media
, indefinida para otros
valores
Mediana
Moda
para
Varianza
, indefinida para otros
valores
caracterización
La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente
donde



Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad
Z y V son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente
es una variable aleatoria que sigue la
distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .
Aparición y especificaciones de la distribución t de Student
Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas
normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea
la media muestral. Entonces
sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano,
Gosset estudió un cociente relacionado,
donde
es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es
donde es igual a n − 1.
La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.
El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución depende de
, pero no de o , lo cual es muy importante en la práctica.