Download CET 2 Matemática

C.E.T. 2
Matemática
Trabajo Práctico. Números Racionales
Definición: Se llama NÚMERO RACIONAL a todo aquel que puede ser expresado como una fracción, es decir
como el cociente entre dos números enteros en el cual el divisor es distinto de cero.
Definición: Una fracción es un cociente entre dos nº enteros, a y b, llamados numerador y denominador
respectivamente.
a a𝜀Z
b b𝜀 Z
El denominador indica la cantidad de partes iguales en las que se divide el entero.
El numerador indica cuántas de esas partes se deben considerar.
Donde
-
Usos de los racionales:
Números racionales pueden expresarse en general mediante: una fracción, una expresión decimal o
un nº mixto según el uso que se le dé:
-
Pastillas a $0,50 el paquete.
(Número decimal)
Agregar ½ litro de diluyente a la pintura. (Número fraccionario)
-
Gaseosa de 2 4 𝑙 (número mixto)
-
Un mismo número puede escribirse de distintas formas según el uso que se le dé:
-
Ejemplo:
1
3
1
 1,5  1
2
2
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad.
Para obtener fracciones equivalentes, se debe multiplicar o dividir el numerador y el denominador de la
fracción por un mismo número distinto de cero.
-
Cuando se multiplica, se está amplificando
la fracción. Por ejemplo:
-
Cuando se divide, se está simplificando la
fracción.Por ejemplo:
Una fracción es IRREDUCIBLE cuando el numerador y el denominador no tienen divisores comunes entre sí
distintos de 1, es decir son coprimos.
1
Actividad 1. a) Completen la siguiente tabla.
20
30
Fracción

7
5
7
49

100
25
3
4

4
8
¿Es
irreducible?
Fracción
equivalente
b) Simplifiquen hasta obtener una fracción irreducible
136

160

36

39
105

35
81

126
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR
Si sumamos o restamos fracciones de igual denominador, simplemente sumamos o restamos los
5 7 12
numeradores y se deja el mismo denominador. Ejemplo:  
3 3 3
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR
3
5
Para sumar 8 + 6 lo hacemos de la siguiente forma:
3
5
Buscamos fracciones equivalentes a 8 y 6 hasta encontrar un denominador común
3 6
9


8 16 24
5 10 20


6 12 24
3 5
9 20 29




8 16 24 24 24
Entonces:
Actividad 2. Realizar las siguientes sumas y restas:
a)
7
5
3
6
2
5
5
3
3
2
2
− − =
3
3
b) 2 − 3 + 5 =
2
1
c) −
d)
− (−
10
1
1
2
5
3
7
10
+ − =
4
1
1
1
6
2
7
8
e) 1 − − 1 − =
+
3
10
f)
)=
5
2
1
− +2− =
3
6
6
1
1
1
5
g) ( − ) + 2 − ( − + ) =
5
15
2
3
6
8
3
1
5
4
2
h) 5 − (− + ) − 3
=
2
Multiplicación y división de números racionales
Para multiplicar dos fracciones, hay que multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí, teniendo en
cuenta el signo de cada fracción y aplicando la regla de los signos.
2 4 2  4 8 3 1  3 1
3 6  2   6  (2) 12
Ejemplos:  

  

   

3 5 3  5 15 8 4 8  4
32 7  5 
75
35
Antes de resolver la multiplicación de los numeradores y denominadores se debe simplificar cualquier
numerador con cualquier denominador y viceversa.
5
2 2
2
4 6 2  2 4 12  4  25 2   4  5
40
Ejemplos:  

  


9 2 3  1 3 15  7  6
3  7 1
21
3 1
3
1
Para dividir dos fracciones, hay que multiplicar el dividendo de la fracción por la fracción inversa del divisor y así
se obtiene el cociente. (De esta forma la división se transforma en una multiplicación)
1 2 1 3 3 3 7
3 5
15
Ejemplos: :  . 
 :  . 
5 3 5 2 10 4 5
4 7
28
Actividad 3. Realizar las siguientes multiplicaciones y divisiones, simplifiquen cuando sea posible antes de operar:
3 8 7
  
4 7 9
27 18
:

d) 
20 30
a) 
9  30   21 
    
14  18   36 
40  20 
f) :    
38  19 
3 21  2 
   
7 6  3
11  22 
e)  :    
15  5 
c) 
b) 
POTENCIACION: PROPIEDADES
- Potencia de exponente 0: todo número, distinto de cero, elevado a cero es uno a0 = 1
- Potencia de exponente 1: todo número elevado a uno es el mismo número a1 = a
- Potencia de otra potencia: es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es igual al producto
de los exponentes dados. (an)m = an . m
- Potencia de exponente negativo: Si se eleva un número a un exponente negativo, se invierte la base
1
-
-
y se eleva al mismo exponente pero positivo. a−n = (a)n
Producto de potencias de igual base: es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma
de los exponentes dados. an. am = an + m
Cociente de potencias de igual base: es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la resta
an
de los exponentes dados. a n : a m  m  a n m
a
Propiedad distributiva respecto de la multiplicación y división: (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛
RADICACION: PROPIEDADES
-
Raíz de raíz: es otra raíz donde el índice es igual al producto de los índices dados
-
Propiedad distributiva respecto de la multiplicación y división:
n
a na
ó

b nb
n
n m
a  n.m a
a.b  n a . n b
3
Actividad 4.a) Resolver:
2
1
  
2
b)Resolver:
3

0
 11 
  
 13 
27

64
4
5
1
 5
 
 3

1

81
3
 23 

121

25
3
125

1000
Actividad 5.Resolver las siguientes potencias y raíces:
8
a) 1  
9
5

b)   4 : 
2

1

1

c)  3  
2

2
2
 72 16 
e)  
:  
 90 5 
11
d)   2 
8

3
Actividad 6.Resolver aplicando propiedades de la potencia o de la raíz según corresponda.
5
4
 3  3
b)        
 10   10 
9 25
a)


4 49
3
5
1 1
c)   :   
3 3
 1  2 
d)   
 2  
2

Actividad 7. Resolver las siguientes operaciones combinadas, simplificando siempre que sea posible.
 3 4  3  3

a)    :    4

 4 3   2
1
1

9
 1
c)     5  2 
4 
4
 5
2
 3
3
3
b)     3  2    2   1
 2
d) 
5
1
3 1 8  1
   :  
32
 4 5 15   2 
1

ECUACIONES
La resolución de ecuaciones en el conjunto de los racionales cumple con las mismas propiedades que con
los enteros.Ejemplos:
3 1
4 2
3
. x    x 
2 6
3 5
5
1
3 1 1
x   x
1
2
3
4
5 10 2
x2 x
1
1
3 1
4
5
5
x x  
1
2
3
4
2
5 10
x x   2
3
1
4
5
5
I)
II)
x
3
13
4
2
 x
1 3
20
5
x :
2 4
13  3 
x  :   
2
5  20 
x
3
52
4
x
3
Actividad 8. Resolver las siguientes ecuaciones.
𝑥
3
5
+ 4 𝑥 − 6 𝑥 = 15
2
a)
3
1
2
14
  x
5
5
25
1
1
1
g)
x  1  2 x  
3
5
3
3
1
5 5
h)
x     x  5 1
7
4
4 2
7
1
4
i) 3𝑥 − 16 = − 4
f)
1
∙ (4𝑥 − 2) − 3𝑥 = 2 ∙ (4𝑥 + 5)
1
3 1
1
c)
x  x x
2
2 2
2
x3 x2
d)

5
3
3 
1 1
e)    x     x  1
2 
6 2
b)
4
Soluciones:
Actividad 2.
2
a) − 5
b)
c)
11
3
1
10
13
d) − 60
2
e) − 8
g)
f) 3
h)
32
15
47
20
Actividad 3.
2
b) 1
3
Actividad 5.
a) 
1
5
b) 
3
8
Actividad 6.
a)
15
10
b) 
14
3
Actividad 7.
a)
a)  6
b)
9
4
5
8
d) 
9
4
e)
1
6
4
25
d) 
3
2
e)
1
16
c) 
c)
c) 9
c)
f)  1
d) 16
23
10
d) 1
Actividad 8.
a) x = 36
b) x = −2
c) x = 1
d) x =
19
2
1
h) x = 0
1
i) x = 2
e) x = − 8
f) x = − 5
g) x = −
1
21
5
5