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La palabra Álgebra proviene del libro “Algabr-Mugkabala”, escrito hacia
el año 825 antes de Cristo por Mohamed Ibnal Jwarizmi, matemático y
astrónomo musulmán. Este libro es considerado el primer tratado de álgebra de
la historia, y los métodos de resolución de ecuaciones que en el aparecen,
constituyen un gran avance para el posterior desarrollo de esta rama de la
matemática. Del apellido de este autor deriva la palabra “algoritmo”.
Lenguaje Algebraico:
Se utilizan letras, números y operaciones matemáticas entre ellas.
Por ejemplo: se quiere pintar una casa sin definir precios pues estos materiales
pueden variar de costos. Si se incluyen las paredes y el techo, se puede expresar
la superficie total en función de las dimensiones de éstas.
ST = 2LH + 2AH + 2AD + 2LC/2
ST = 2LH + 2AH + 2AD + LC
ST = 2H (L + A) + 2AD + LC
Estas expresiones constituyen expresiones algebraicas que se usan por:
 Universalidad.
 Representar una generalidad.
 Representar de modo reducido un concepto.
Valoración de expresiones algebraicas
Fórmulas:
Hagamos un paréntesis :
Números perfectos: un numero es perfecto cuando es igual a la suma de
sus divisores excluido el mismo.
D (6) = 1, 2, 3, 6; excluido el 6
D (28) = 1, 2, 4, 7, 14, 28; excluido el 28
1+2+3=6
1+2+4+7+14=28
Los matemáticos y aficionados a los números han buscado a través del
tiempo formulas para descubrir números con ciertas características. Pero no
siempre es posible encontrar expresiones para todas las sucesiones.
Un ejemplo de esto son los números primos.
Volviendo a lo que nos ocupa:
Expresiones algebraicas
Superficie total: 3ab+3ac
Que equivale a: (b+c) 3a = 3ab+3ac
Observe que hemos aplicado la propiedad distributiva de la
multiplicación sobre la adición.
Por otro lado: 3ab+ 3ac = ab+2ab+ac+2ac es decir, 3ab+3ac
ab y 2ac son expresiones algebraicas semejantes que se pueden reducir a un
equivalente 3ab.
Este sencillo ejemplo le permite operar con expresiones algebraicas
parecidas.
Considere los siguientes acuerdos en la expresión:
3ab y 3ac son los términos de la expresión, hay que tener presente además que:
Reducción de términos semejantes
El tangrama chino es un juego que consta de 7 piezas con las que se
pueden completar diversas figuras.
Calcular el área total del tangrama.
Se logra sumando el 1 al 7, o bien, usando la formula del área el cuadrado.
Esta operación de conservar el factor literal semejante, y sumar o restar
los coeficientes, recibe el nombre de reducción de términos semejantes.
Uso de paréntesis: 2a – (5a + 4b – {- 3a + a + 2b})
Instrucciones:
Resolver los paréntesis que están dentro de otros aplicando regla de signo de
producto.
En este caso:
Actividades
1. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas,
considerando que : a = 2 , b = 5 , c = -3, d= -1 y f = 0
2. Calcula el valor numérico en las siguientes fórmulas, aplicando en cada
caso sólo los valores asignados para las variables respectivas.
1
at 2
2
Si Vi = 8 m/s; t = 4s; A = 3 m/s2; d = distancia, Vi : rapidez inicial; t = tiempo; a
= aceleración.
a) D = Vi* t +
b) Ep = m g h
Si m = 0,8 kg; h = 15 m; g = 9,8 m/s2; Ep : energía potencial; m : masa; h :
altura; g = aceleración de gravedad.
1
m w2
2
Si m = 4,5 kg; w = 10 m/s; E : energía cinética; m : masa; w : rapidez.
c) Ec =
d) A =
h
(a+b)
2
Investiga acerca de las unidades que aparecen y que desconozcan.
3. Evalúa la expresión X 2 + X + 41 para los valores de X = 0,1,2…. 40.
¿Qué características tienen los números que resultan?. Compara tus
conclusiones con las de tus compañeros.
¡ Comprueba la fórmula dada por Euclides para encontrar
números perfectos 2 n-1 8(2n-1) con n E IN entre 5 y 8.
MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se dispone de un cartón de 40 x 50 cm. sobre cada una de las esquinas se hacen
cortes de dimensión X (cuadrados) y se arma una caja hueca. La dimensión de
ésta será:
Si queremos calcular el volumen en cm3 de esta caja, debemos multiplicar largo
y ancho por alto. Es decir, como expresión general.
V = (50 – 2x) (40 – 2x)
O bien V = X (50 – 2x) (40 – 2x)
V = X (200 – 100x – 80x + 4x2)
V = 4x 3 – 180 x 2 + 200x
AYUDA
M (a + b) = m a + mb
Propiedad distributiva
(a + b) (x + y) =
a (x + y) + b (x + y)
ax + ay + bx + by
O bien
Ax + ay + bx + by
Este último modelo expresa que hemos multiplicado “término a término”,
(Todos contra todos).
Recuerde
X * X n = X m n
X * X = X2
X * X2 = X3
X * Y = XY
m
Listado de ejercicios I
1.- reduzca términos semejantes:
1) 2x-3y+4x-6x+3y+z-5x-7y+8z
2) 4m+3n-5p+4m-2n+3p
3) 2x-(2x-3y-z-(-4x-2y-(3x-z-y)
4) 4x-3z-(2x-(4x-5z-y)-x-y+z))
5) 3x-3y-5x-6x+3y+z-5x-7y+8z
6) 4m+10n-5p+4m-n+3p
7) x-(2x-6y-z(-2y-4x-2y-(3x-z-y)))
8) 4x-3z-(2x-(2x+4z-5z-y)-x-y+z))
9) 4x-3y+5x-6x+3y+z-5x-10y+8z
10) 4m+5n-5p+8m-2n+3p
11) x-3y+(2x-3y-z)-(-4x-2y-(3x-z-y))
12) 4x-(z-(2x-(4x-5z-y)-x-y+z))
13)
2.-Multiplicar los siguientes términos:
1. ( x 2  xy  y 2 ) * ( x  y)
2. (a  b  2ab)( a  b)
3. (a 2  b 2  2ab) * (a  b)
4. ( x 3  3x 2  1) * ( x  3)
5. ( a 3  a  a 2 ) * (a  1)
3.-PRODUCTOS COMUNES: No hay reglas que se puedan aplicar para simplificar
el proceso, es cuestión de multiplicar “termino a término”
1.-Ejercicios: Multiplique y reduzca términos:
1.- 2 x  33x  1
2.- 2 x  1  x  1
3.- x  2  ( x  1) 3
4.- 2 2 x  3) 2  3x  4 
5.- 2a  b3a  b  4a  b2a  b
6.- a  b  a  ba  b  (a  b)
7.- (x 2  y 2  z 2  xy  xz  yz )( x  y  z )
7.- ( x 2  x  1)( x 2  x  1)( x  2)
2

3
2
2

3
3
8.-( a 2m1  5a 2 m 2  3a 2 m )( a 3m3  6a 3m1  8a 3m2)
9.-9a 2 (3a  2)(2a  1)(a  1)(2a  1)
10.- 3( x  2)  4( x  1)3( x  4)  2( x  2)
Soluciones
1.
2.
3.
4.
5.
x  y3
a 3  3a 2b  3ab 2  b 3
a 3  3a 2b  3ab 2  b 3
x4  9x2  x  3
a 4  2a 2  a