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HABILITACION MATEMATICAS GRADO SEPTIMO
EN PRIMER LUGAR ENCONTRAMOS TEORIA Y EN LA
PARTE INFERIOR LOS EJERCICIOS A DESARROLLAR.
MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Múltiplos:
Decimos que un número es múltiplo de otro cuando se puede dividir entre
éste.

Divisores:
El divisor, también llamado factor o submúltiplo, es lo inverso al múltiplo.
Por ejemplo, 4 es divisor de 24, ya que 24 se puede dividir entre 4.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o
número par.
Ejemplo: 1184 es divisible por 2, ya que termina en número par.

Divisibilidad por 3: Un número será divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos
nos de múltiplo de 3.
Ejemplo: 6345 es divisible por 3 puesto que 6+3+4+5= 18, y como 18 es múltiplo de 3,
concluimos que 6324 es divisible por 3.

Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras
son ceros o múltiplo de 4
Ejemplo: 4548 es divisible por 4, porque sus dos últimas cifras forman 48, que es múltiplo
de 4.

Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o cinco.
Ejemplo: 530 es divisible por 5, ya que termina en 0.

Divisibilidad por 6: Un número es divisible por 6 cuando es divisible a la vez por 2
y por 3.
Ejemplo: 2484, como termina en número par, podemos decir que es divisible por 2.
Además, al sumar sus cifras 2+4+8+4= 18, vemos que es divisible por 3. Como es
divisible a la vez por 2 y por 3, concluimos que es divisible por 6.

Divisibilidad por 7: En este caso lo mejor es ir directamente a un ejemplo:
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
Para saber si 2058 es divisible por 7, haremos lo siguiente
2058
Primero seleccionamos el último dígito y lo multiplicamos por 2
2058 x 2 = 16
Ahora el resultado lo restamos de la parte del número que no hemos
utilizado, es decir, restamos 16 de 205.
2058 x 2 = 16
16
189
Seleccionamos el último digito de lo que nos va quedando (de 189) y
lo multiplicamos por 2
2058 x 2 = 16
16
189 x 2 = 18
El resultado lo restamos de la parte del número que no hemos
utilizado, en este caso, restamos 18 de 18.
2058 x 2 = 16
16
189 x 2 = 18
18
----
Si el residuo al final es cero (como en este caso) o múltiplo de siete,
el número será divisible por 7.
o
Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas
cifras son ceros o múltiplo de 8.
Ejemplo: 86064 es divisible por 8, ya que sus últimas tres cifras forman 064, que
es igual a decir 64, y este número es múltiplo de 8.
o
Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus
dígitos da como resultado múltiplo de 9.
Ejemplo: El número 7893 es divisible por 9, ya que 7+8+9+3= 27 y dicho número
es múltiplo de 9.
Divisibilidad por 10: tiene que terminar en cero. de manera similar, si termina
en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000.
Divisibilidad por 11: un número es divisible por once cuando la diferencia entre
la suma de las cifras que ocupa la posición par y la suma de las cifras que ocupan
la posición impar son múltiplo de once.
Divisibilidad por 100: un número es divisible por cien cuando las dos últimas
cifras son 00.
NÚMEROS PRIMOS
• Un número natural distinto de 1 es un número primo si sólo tiene dos divisores, él mismo
y la unidad.
• Un número natural es un número compuesto si tiene otros divisores además de él mismo
y la unidad.
Ejemplos:
3 es un número primo porque sus únicos divisores son 1 y 3.
4 es un número compuesto porque sus divisores son 1, 2 y 4.
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Mínimo Común Múltiplo.
Obtener el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor a ciertas
cantidades puede sernos de utilidad en diversas situaciones, por ejemplo el
mínimo común múltiplo nos puede ser útil para obtener el común denominador
cuando se hacen sumas o restas de fracciones.
El máximo común divisor puede sernos útil para saber qué número es el máximo
divisor de dos o más cantidades y aplicarlo a la solución de un problema en
particular, es por este motivo que considero importante que este tema se integre
al blog matematicassecundaria.blogspot.es, así que dejando a un lado otros
comentarios permíteme enseñarte lo que es el mínimo común múltiplo:
Mínimo Común Múltiplo (MCM)
Antes de comenzar con la explicación de cómo obtener el mínimo común
múltiplo de dos cantidades, analicemos lo que es un múltiplo, según una
definición que encontré en Internet y que va acorde a lo que sé que es: “Se le
llama múltiplo de un número a aquel que obtenemos al multiplicar ese
número por cualquier otro”.
Déjame mostrarte lo anterior con un ejemplo, imagínate un número, supongamos
que el número que imaginaste es el 9, entonces, si multiplicamos el nueve por
cualquier otro número, digamos por el 4, se obtiene 36:
9 x 4 = 36
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Entonces el 36 es un múltiplo de 9, y si queremos obtener más múltiplos,
únicamente multiplicamos al 9 por cualquier número que se nos ocurra y
obtenemos los múltiplos de 9:
9x1=9
9 x 6 = 54
9 x 11 = 99
9 x 2 = 18
9 x 7 = 63
9 x 12 = 108
9 x 3 = 27
9 x 8 = 72
9 x 13 = 117
9 x 4 = 36
9 x 9 = 81
9 x 14 = 126
9 x 5 = 45
9 x 10 = 90
9 x 15 = 135
Retomando las operaciones anteriores podemos decir que 9, 18, 27, 36, 45, 54,
63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, etc. Son múltiplos de 9.
Hasta el momento ya sabemos lo que es un múltiplo, ahora voy a explicarte lo
que es un múltiplo común, esto lo voy a hacer a través de otro ejemplo, y vamos
a utilizar 3 números para la siguiente explicación, los números a utilizar serán los
números 2, 3 y 4.
Como primer paso escribiremos los primeros 15 múltiplos de cada número:
Múltiplos de 2  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
Múltiplos de 3  3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45
Múltiplos de 4  4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
Muy bien, ahora vamos a ver los múltiplos comunes del 2 y del 3. Para que los
visualices bien y sepas cuáles son, permíteme decirte que los múltiplos comunes
van a aparecer tanto en la lista de múltiplos del 2, como en la del 3:
Múltiplos de 2  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
Múltiplos de 3  3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45
Entonces podemos decir que los múltiplos comunes del 2 y el 3 son: 6, 12, 18,
24, 30 y hay más, solo que la lista de múltiplos que hicimos es reducida, no
vayas a pensar que son los únicos múltiplos comunes de esos números.
Si ahora analizamos al mismo tiempo los múltiplos comunes de 2, 3 y 4, veamos
como queda:
Múltiplos de 2  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
Múltiplos de 3  3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45
Múltiplos de 4  4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
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Para que sean comunes a los tres números, deben repetirse en los múltiplos de
esos tres números y en este caso los múltiplos comunes se reducen, en este caso
tenemos solo 2: 12 y 24.
Ahora solo nos hace falta analizar la palabra mínimo, y te pregunto ¿qué es
mínimo?, ah, bueno mínimo se refiere a algo pequeño, lo más pequeño de algo, y
en este caso estamos hablando de números, por lo tanto estamos buscando “el
múltiplo común más pequeño”.
Si revisamos los múltiplos comunes de 2 y 3, son: 6, 12, 18, 24 y 30, pero el
mínimo común múltiplo de 2 y 3, es el número 6, ya que de todos los múltiplos
comunes es el más pequeño.
Y si preguntamos ahora, cuál es el mínimo común múltiplo de 2, 3 y 4, la
respuesta es: “12”, porque es el múltiplo más pequeño de los dos que obtuvimos
anteriormente (12 y 24).
Espero que con la explicación anterior haya quedado comprendido lo que es el
mínimo común múltiplo, y ahora toca la explicación del procedimiento para
obtener el mcm sin necesidad de hacer una lista de múltiplos cada vez.
Supongamos que nos piden obtener el mínimo común múltiplo de los números 10,
15 y 30, entonces hacemos los siguiente:
10
15
30
Y bueno, eso para que sirve, resulta que en la última columna escribimos un
número que divida a alguno de ellos, los números que se utilizan son los números
primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 37, etc, siendo los más utilizados el 2, 3, 5
y 7.
10
5
15
15
30
15
2
Observa como en la última columna pusimos el 2, y en esa fila escribimos la
mitad de 10, la mitad de 30 y como el 15 no tiene mitad, se bajó el número.
Ahora se puede observar que tenemos 5, 15 y 15, ninguno de los números tiene
mitad, entonces pasamos al siguiente número primo que es el 3 y vemos si alguno
de ellos tiene tercia (o sea si se puede dividir entre 3) y resulta que si, el 15
tiene tercia, entonces volvemos a hacer lo mismo que hicimos anteriormente
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10
5
5
15
15
5
30
15
5
2
3
¿Qué es lo que se hizo?, muy sencillo, el 5 no tiene tercia, entonces se baja el
número 5, el 15 si tiene tercia, es 5, por eso debajo del 15 escribimos un 5, lo
mismo sucede con el otro 15.
Y ahora te pregunto, si el 5 no tiene tercia, qué número se puede utilizar ahora,
pues lógicamente el siguiente número primo que es el 5:
10
5
5
1
15
15
5
1
30
15
5
1
2
3
5
La quinta parte de 5 es 1, por eso se escribe un 1 debajo de cada uno de los 5
que obtuvimos anteriormente, el procedimiento termina cuando todos los
números quedan reducidos a 1.
Para obtener el mínimo común múltiplo se multiplican los números que
obtuvimos en la última columna:
10
5
5
1
15
15
5
1
30
15
5
1
2
3
5
2 x 3 x 5 = 30, entonces el mínimo común múltiplo de 10, 15 y 30 es: 30
Te dejo otros ejemplos, analízalos y trata de observar las operaciones que se
hicieron en cada uno de los casos.
Calcula el mínimo común múltiplo para los siguientes números:
18, 30, 24
18
30
9
15
9
15
9
15
3
5
1
5
1
1
24
12
6
3
1
1
1
2
2
2
3
3
5
El MCM es 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 =
360
50, 70, 30
50
70
25
35
25
35
5
7
1
7
1
1
30
15
5
1
1
1
2
3
5
5
7
El MCM es 2 x 3 x 5 x 5 x 7 =
1050
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100, 45
100
50
25
25
25
5
1
5, 6, 10
45
45
45
15
5
1
1
2
2
3
3
5
5
5
5
5
1
6
3
1
1
10
5
5
1
2
3
5
El MCM es 2 x 3 x 5 = 30
El MCM es 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 =
900
Espero que no tengas problemas para entenderle a estos ejemplo y si así fuera
tómalo como un reto, lee y vuelve a leer el ejemplo que te puse y con ese
ejemplo analiza los ejercicios resueltos que aparecen en esta página para que te
ayude a entender de dónde sale cada uno de los números de las tablitas.
Máximo Común Divisor (MCD)
En esta ocasión toca el turno al Máximo Común Divisor y para no andar con
rodeos veamos con un ejemplo lo que es el MCD. Utilicemos dos números, por
ejemplo el 50 y el 40, y escribiremos todos los divisores de estos números
ordenados de menor a mayor (división entera).
Divisores de 50  2, 5, 10, 25, 50
Divisores de 40  2, 5, 10, 20, 40
Bueno, ya tenemos los divisores de 50 y 40, ahora buscamos cuáles se repiten en
los dos (son los divisores comunes), 2, 5 y 10; y de estos tres el máximo, es decir
el mayor de todos es el 10, por lo tanto el máximo común divisor.
Ahora utilicemos otros números: 100, 150 y 200. Los divisores de cada uno de
ellos son:
Divisores de 100  2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
Divisores de 150  2, 3, 5, 10, 15, 30, 50, 75, 150
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Divisores de 200  2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200
Espero que no me haya hecho falta ninguno. Entonces los divisores comunes de
100, 150 y 200 son: 2, 5, 10, 50, de los cuales el máximo es 50.
Ahora veamos cuál es el procedimiento para hallar el MCD. Para esto, se elabora
una tablita similar al mínimo común múltiplo, y procedemos a realizar divisiones
sucesivas, pero a diferencia del mínimo común múltiplo, no hay que llegar a 1.
Para hacer las divisiones entre números primos, debemos fijarnos que todos los
números sean divisibles entre el número que estamos eligiendo, por ejemplo
vamos a utilizar los mismos números del ejemplo anterior y debemos obtener el
mismo resultado.
100
150
200
2
Fíjate que el primer número que vamos a utilizar es el 2, porque todos los
números tienen mitad exacta (sin decimales)
100
50
150
75
200
100
2
Ahora, a los números que quedaron no les podemos sacar tercia porque no todos
tienen, solo el 75 es divisible entre 3, entonces omitimos el 3 y pasamos al
siguiente número primo que es el 5. Y ahora si se puede porque los tres números
tienen quinta.
100
50
10
150
75
15
200
100
20
2
5
Y se observa que tanto el 10, 15 y 20, tienen quinta nuevamente (son divisibles
entre 5), entonces volvemos a dividir entre 5.
100
50
10
2
150
75
15
3
200
100
20
4
2
5
5
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Ya no hay otro número que pueda dividir al 2, 3 y 4, por lo tanto hemos
terminado, y para obtener el número se multiplican los números que utilizamos
como divisores, o sea:
2 x 5 x 5 = 50
El 50 es el MCD.
Hasta aquí con el MCD, si tienes alguna duda o necesitas otros ejemplos no dudes
en dejar tu comentario y solicitarlos por ese medio.
EJERCICIOS
1.- Calcula 4 múltiplos de cada uno de las siguientes cifras:
3 8 5 2 10 15
2.- Escribe 3 divisores de cada uno de los siguientes números:
12 20 14 30 45 60
3.- Define qué es un número primo. Escribe 5 números primos.
4.- Define qué es un número compuesto. Escribe 5 números compuestos.
5.- Los criterios de divisibilidad nos sirven para saber si un número se puede
dividir por otro. Sabiendo esto, señala porqué números son divisibles las
siguientes cantidades:
24; Ejemplo: es divisible por 1, 24, 2, 3, 4 y 6.
35
120 66
75
49
63
23
98
18
76
300 102
6.- Descompón estos números en factores primos.
15
18
42
55
70
26
84
124
95
35
100 28
7.- Calcula el M.C.D. y el M.C.M. de los siguientes números:
4y6
20 y 30
4y8
12 y 24
12 y 19
72 y 84
90 y 120
24 y 50
EJERCICIOS
1.- Calcula 4 múltiplos de cada uno de las siguientes cifras:
6
17
12
3
11
20
2.- Escribe 3 divisores de cada uno de los siguientes números:
40
50
18
65
82 1 00
3.- Define qué es un número primo. Escribe 5 números primos.
4.- Define qué es un número compuesto. Escribe 5 números compuestos.
5.- Los criterios de divisibilidad nos sirven para saber si un número se puede
dividir por otro. Sabiendo esto, señala porqué números son divisibles las
siguientes cantidades:
22; Ejemplo: es divisible por 1, 22, 2 y 11
74
84
110 58
43
96
24
90
5
52
810 1000
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6.- Descompón estos números en factores primos.
125 8
242 12
27
125
63
1732 428 38
350 180
7.- Calcula el M.C.D. y el M.C.M. de los siguientes números:
48 y 52
12 y 20
24 y 18
45 y 144
75 y 36
63 y 27
14 y 56
33 y 110
GUIA DE EJERCICIOS
Máximo Común Divisor
Por simple inspección encuentra el m. c. d. de los números siguientes:
1. 24 y 32
2. 16, 24 y 40
3. 8 y 12
4. 3, 6 y 9
5. 22, 33 y 44
6. 9 y 18
7. 7, 14 y 21
8. 20, 28, 36 y 40
9. 20 y 16
10. 15, 20, 30 y 60
11. 18 y 24
12. 24, 36 y 72
13. 28, 42, 56 y 70
14. 21 y 28
15. 30, 42 y 54
16. 93 y 2387
17. 19578 y 47190
18. 35211 y 198803
19. 1189 y 123656
20. 77615 y 108661
21. 144 y 520
22. 4008004 y 4280276
23. 19367 y 33277
24. 212 y 1431
25. 948 y 1975
26. 207207 y 479205
27. 1164 y 3686
28. 76 y 1710
29. 111 y 518
30. 303 y 1313
Problemas
1. Siendo 7 divisor común de 35 y 140, ¿será divisor del m. c. d. de estos dos números? ¿Por qué?
2. 9 es el m. c. d. de 18, 54 y 63. ¿Cuál será el m. c. d. de 6, 18 y 21? ¿Por qué?
3. Menciona tres divisores comunes de 12, 24 y 48.
4. Si 24 es el divisor y 8 el residuo de una división inexacta, ¿será 4 factor común del dividendo y el divisor?
¿Por qué?
5. ¿Pueden ser 4 y 6 los cocientes de dividir dos números por su m. c. d.?
6. Si 18 es el dividendo y 12 el divisor, ¿será 3 factor común del divisor y el residuo? ¿Por qué?
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7. 8 es el m. c. d. de 32 y 108. ¿Cuál será el m. c. d. de 64 y 216?
8. ¿Será 11 divisor del m. c. d. de 33 y 45?