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Aplicación de
Ecuaciones
Diferenciales
Ingeniería Industrial
ANGIE PAOLA CAICEDO MANRIQUE 2083731
YULY ANDREA RAMIREZ SIERRA
20837
LEIDY TATIANA RODRIGUEZ TORRES 20837
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
SEDE MALAGA
30/04/2010
INTRODUCCIÓN
La economía tiene como principal fin, “desarrollar mejores políticas
para minimizar problemas y ampliar los beneficios que obtenemos
del trabajo diario”. Producir bienes que desean los consumidores,
en búsqueda de intereses privados, es promover los intereses de la
sociedad. Identificar un problema o una necesidad a satisfacer, más
que un problema, representa una oportunidad para el campo de
acción de cualquier ingeniero.
La respuesta acorde a la utilización eficaz de los materiales y las
fuerzas de la naturaleza, normalmente emplea el cálculo, ya sea
mediante una ecuación que contenga algunas derivadas de una
función incógnita, o precisamente una ecuación diferencial.
Una aplicación a la economía puede ser la variación del dinero (A)
invertido en una entidad financiera respecto al tiempo(t), donde la
razón de aumento del dinero es proporcional a la cantidad de dinero
presente a una constante de interés (i) dada:
dA
dt
Si en determinado tiempo (t) se retira cierta cantidad de dinero (d),
éste disminuye, pero el saldo disponible con el tiempo continúa
aumentando a una constante de interés:
dA
dt
PROBLEMA
La señora Blanca Ramírez desea disponer en 10 años de
$30’ 000 000 haciendo algunos depósitos en una entidad financiera
con una tasa de interés incrementado a una tasa del 16%
compuesto en forma contínua. Los depósitos los hará de la
siguiente manera: Al comienzo del período deposita $3‘ 000 000, al
cabo de tres años deposita $4’ 000 000 y tres años después
deposita $5’ 000 000
a) ¿Obtendrá el dinero esperado en 10 años?
b) Si en los últimos cuatro años quiere tomar anualmente
$1’ 000 000 para disfrutar de unas vacaciones con su familia
¿Obtendrá al final los $30’ 000 000 esperados?
SOLUCIÓN
a)
dA 0.16A
dt
dA
dt
0.16A
dA
0.16A
dt
Ln A
0.16
t+C
Ln A
0.16t + C
Ln A
e
0.16t C
e
e
0.16t
A (t)
C1 e
A (t)
3 000 000
C1
3 000 000
0.16t
A (t)
3 000 000 e
A (3)
3 000 000 e
0.16(3)
A (3) 4 848 223. 207
Tendrá a los tres años $4’ 848 223. 207 pero, además tiene un
depósito de $ 4’ 000 000. Entonces A(3)=8 848 223.207
dA 0.16A
dt
A (t)
C2
A (3)
8 848 223. 207
C2
8 848 223. 207
0.16 (3)
e
C2
5 475 133. 567
A (t)
3 000 000 e
0.16t
0.16(6)
A (6) 5 475 133. 567 e
A (6) 14 229 387. 03
Tendrá a los seis años $14 229 387.03 pero, además tiene un
depósito de $ 5’ 000 000. Entonces A(6)=19 229 387.03
0.16t
A (t)
C3 e
A (6)
19 229 387. 03
C3
19 229 387. 03
0.16 (6)
e
C3
7 362 795. 495
A (t)
7 362 795. 495 e
0.16t
0.16(10)
A (10) 7 362 795. 495 e
A (10) 36 468 164. 82
La señora Blanca si obtendrá el dinero esperado, además tendrá
$6 468 146.82 adicionales
b) La ecuación diferencial para A(t) debe cambiarse pero sólo a
partir del año seis.
dA 0.16A - 1 000 000
dt
dA
0.16A - 1 000 000
dt
u = 0.16A - 1 000 000
du = 0.16 dA
6.25
du
u
dt
6.25 Ln (u) = t + C
6.25 Ln I 0.16A - 1 000 000 I = t + C
Ln I 0.16A - 1 000 000 I = 0.16t + C
0.16(6)
0.16A - 1 000 000 = C 4 e
A (6) 19 229 387. 03
C4
0.16 (19 229 387.03) - 1 000 000
0.16 (6)
e
C4
795 154.3933
0.16t
0.16A - 1 000 000 795 154.3933 e
0.16 (t)
A(t)
795 154. 3933 e
+1 000 000
0.16
0.16 (10)
A(10)
795 154. 3933 e
0.16
A (10) 30 865 159 .33
+1 000 000
Si la señora Blanca disfruta de unas vacaciones, de igual modo al final
obtendrá el dinero esperado.