Download actividad de evaluacion unidad 3 (2)

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CELAYA
PROBABILIDAD Y
ESTADISTICA
ACTIVIDAD PARA LA UNIDAD 3 “DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD”
Objetivo: Realizar una investigación práctica donde se apliquen los conceptos de
distribuciones de probabilidad.
Especificaciones:
1) Introducción.
2) Identificar un tema de interés particular (aceptación de un producto, número de
accidentes donde fallecen jóvenes en el último año, género de música, etc.), éste debe
cubrir los siguientes requisitos:
a) tiene que ser del ámbito local o regional.
b) Pueda ser
tratado como una distribución discreta (binomial , poisson,
hipergeometrica o normal).
3) Realizar una investigación (primaria o secundaria) para obtener los datos necesarios.
4) Generar un enunciado que describa el problema a resolver.
5) Tabular y graficar la información obtenida
6) Dar solución al problema
7) Encontrar la media, varianza y desviación estándar.
Condiciones de presentación:
1) El trabajo se realiza en equipo
2) Se presentara en un documento de Word , que debe contener los todos los puntos
especificados anteriormente.
3) Será evaluado bajo la hoja de cotejo de “proyecto de investigación”.
4) La evidencia será un archivo enviado al correo [email protected]
Anexo algunos ejemplos:
Ejemplo 2: De acuerdo a una encuesta, la probabilidad de que un cliente compre un nuevo
producto que se está introduciendo en el mercado, es de 0.6. Hallar la probabilidad de que
al entrar 10 clientes a una tienda lo compren 5 clientes. ¿Cuál será la probabilidad de que lo
compren al menos 5 clientes? Grafique las probabilidades y vea como se afectan si p = 0.7.
Solución:
Nuestra p = 0.6. Usemos los datos de la tabla de la distribución binomial, o calculemos con
Excel. Voy a dar los datos de esta última opción, pero es igual utilizar la tabla:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
F p=0.6 F p=0.7
0.00010
0.00001
0.00168
0.00014
0.01229
0.00159
0.05476
0.01059
0.16624
0.04735
0.36690
0.15027
0.61772
0.35039
0.83271
0.61722
0.95364
0.85069
0.99395
0.97175
1.00000
1.00000
P(x)(p=0.6) P(x)(p=0.7)
0.00010
0.00001
0.00157
0.00014
0.01062
0.00145
0.04247
0.00900
0.11148
0.03676
0.20066
0.10292
0.25082
0.20012
0.21499
0.26683
0.12093
0.23347
0.04031
0.12106
0.00605
0.02825
La primera pregunta la resolvemos restando lo acumulado hasta 4 (resaltado en azul) a lo
acumulado hasta 5, que nos da la probabilidad de que lo compren 5 clientes, lo que arroja
0.20066, o sea un 20.1 % de probabilidad de que 5 clientes lo compren. La respuesta a la
2da pregunta es muy sencilla, es el valor de lo acumulado hasta 5 clientes que es 0.3669, o
sea un 36.7 %.
Graficando las columnas de las probabilidades se obtiene:
La gráfica muestra que al aumentar la aceptación, la probabilidad máxima de compra se
desplaza de 6 a 7 clientes.
La media de una distribución probabilística binomial con parámetros n y p es = np. La
desviación estándar de una distribución probabilística binomial con parámetros n y p es
Problema 2. El gimnasio “El primo de sumosol “ ha comprobado que el 20% de sus alumnos se
dan de baja durante el primer mes y el 80% restante permanecen todo el año. Supongamos que
este año se inscribieron 20 alumnos.
(a) Explica con brevedad qué es una variable aleatoria. Identifica la variable aleatoria del
problema e indica qué distribución sigue.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 o menos se den de baja?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente se den de baja 4 alumnos?
(d) ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja más de 3 alumnos?
Al hacer la inscripción se realiza un único pago anual de 600 euros. Cada alumno que permanece
todo el año genera un gasto anual de 150 euros.
(e) ¿Cuál es el beneficio anual esperado?
(f ) ¿Cuántos alumnos se han dado de baja el primer mes si al final del año el gimnasio ha obtenido
el beneficio esperado?
Solución : (a) Una variable aleatoria es una aplicación X que hace corresponder un número real a
cada suceso básico del espacio muestral. Después de leer detenidamente todo el enunciado, para
este problema elegimos la variable aleatoria
X = ”número de alumnos que se dan de baja el primer mes”.
Los posibles valores que puede tomar la variable X son 0, 1, . . . , 20, luego X es una variable
aleatoria discreta (V.A.D).
El experimento que a cada alumno le asocia un 0 si este alumno permanece durante todo el año; o
un 1 si este alumno se da de baja el primer mes es un experimento de Bernouilli de parámetro p =
0.2. De esta forma, X es la suma de 20 experimentos de Bernouilli independientes de igual p, por
tanto X sigue una distribución binomial de parámetros n = 20 y p = 0.2, esto es X ∼ B(20, 0.2).
(b) Nos piden la probabilidad de que el número de alumnos que se den de baja el primer mes sea
igual o menor de 2. En lenguaje matemático esto es P (X ≤ 2). Este valor es el de la función de
distribución de a binomial en el punto 2. Mirando en las tablas tenemos que P (X ≤ 2) = 0.2061.
(c) Nos piden calcular P (X = 4), esto es, la función de probabilidad de la binomial en 4. La función
de probabilidad se puede expresar como resta de la función de distribución en dos puntos
consecutivos, entonces
P (X = 4) = P (X ≤ 4) − P (X ≤ 3).
Mirando la tabla de la distribución binomial tenemos que P (X ≤ 4) = 0.6296 y P (X ≤ 3) = 0.4114.
Por
Tanto P (X = 4) = 0.6296 − 0.4114 = 0.2182.
(c) Hemos de calcular P (X > 3). Utilizando la probabilidad del suceso complementario tenemos que
P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 − 0.4114 = 0.5886.
(d) Por cada alumno tenemos un ingreso de 600 euros. Como se han inscrito 20 alumnos tenemos
un ingreso total de I = 20 × 600 = 12000 euros. Cada alumno que permanece todo el año genera un
gasto anual de 150 euros. Si X es el número de alumnos que se dan de baja el primer mes,
entonces el número de alumnos que permanecen todo el año es 20 − X. Por tanto, el gasto anual
es G = 150 × (20 − X). Así , el beneficio anual es B = I − G = 12000 − 150(20 − X). Operando
obtenemos
B = 9000 + 150X.
3El beneficio anual esperado es E(B). Aplicando que E(a + bX) = a + bE(X), tenemos que
E(B) = E(9000 + 150X)
= 9000 + 150E(X).
Como la variable X sigue una distribución binomial de parámetros n = 20 y p = 0.2, entonces E(X) =
np = 4. Así, E(B) = 9000 + 150 × 4 = 9600.
(e) Si el beneficio obtenido es el esperado, esto es B = 9600, despejando X en la expresión B =
9000+150X se sigue que
X = 9600 – 9000150 = 4, luego se han dado de baja 4 alumnos.
Otra forma de resolver este apartado es la siguiente. Notemos que de E(B) = 9000 + 150E(X), esto
significa que si hemos obtenido el valor esperado para el beneficio, es porque se han dado de baja
el número esperado de alumnos, E(X) = 4.