Download Cartilla del Taller de Modelo 3UV - II Jornadas de Enseñanza de la

Primeras Jornadas de
Enseñanza de la Matemática
Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas - UNSa.
El Modelo 3UV en la Enseñanza
Inicial del Álgebra en el Nivel
Secundario
UNSa. Sede Regional Orán
IFD N° 6018
Villagra Celia Elizabeth
Acosta Reina Ninfa.
Paz Paola Noemí.
Primeras Jornadas de Enseñanza de la Matemática
El Modelo 3UV en la Enseñanza Inicial del Álgebra en el Nivel Secundario
Objetivos
 Generar un espacio de reflexión que permita vincular los errores de los
alumnos en el álgebra inicial con la concepción de enseñanza denominada
aritmetización algebraica y reconocer las etapas de la evolución del
algebra.
 Resolver problemas donde aparecen los diferentes usos de la variable y
determinar las capacidades que se pueden desarrollar a través de la
resolución de diferentes tipos de problemas
 Promover el uso de la noción de variabilidad para abordar la enseñanza
del álgebra y de esta manera iniciar el cambio hacia una concepción de la
enseñanza como modelización algebraica
Contenidos
 Primer día
Evolución histórica del álgebra. Etapa retórica, sincopada y simbólica. Los
distintos significados de las letras.
 Segundo día
Errores frecuentes de los alumnos en el álgebra escolar.
El modelo 3uv. La variable como incógnita. La variable como número
generalizado. La variable como relación funcional. Los objetos del algebra
en el diseño curricular.
 Tercer día
Pensamiento algebraico. La generalización. Enseñanza del modelo 3uv.
Propuestas de actividades integradoras que incluyen TICs.
CRONOGRAMA
Día 1
 Presentación del taller: Objetivos y contenidos.
 Realización grupal de Actividad N°1
 Socialización de la actividad 1
 Presentación de una solución retórica de la actividad 1.
 Realización grupal de primera parte Actividad 2
 Puesta en común Actividad 2
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 Realización grupal 2da parte Actividad 2 (ver anexo2)
 Puesta en común
 Uso de PowerPoint para presentar marco teórico evolución del álgebra y
pensamiento algebraico.
 Realización grupal Actividad 3
 Puesta en Común Actividad 3
 Presentación marco teórico: Distintos significados de las letras.
Día 2
 Resolución grupal Actividad 1: Anticipación de errores de alumnos
 Socialización de la tarea
 Presentación Marco teórico : Errores comunes en álgebra
 Resolución grupal actividad 2: Análisis de actividades.
 Puesta en común Actividad 2
 Desarrollo marco teórico Modelo 3UV.
Día 3
 Presentación marco teórico: Enseñanza del álgebra a través del modelo
3UV
 Análisis y Resolución grupal de actividades de la propuesta integradora
N°1 que incluye uso de GeoGebra.
 Puesta en común de las actividades de la propuesta integradora N°1
 Análisis y Resolución grupal de actividades de la propuesta integradora
N°2 que incluye uso de GeoGebra.
 Puesta en común.
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El Modelo 3UV en la Enseñanza Inicial del Álgebra en el Nivel Secundario
ACTIVIDADES DÍA 1
Actividad 1
Proponer una solución para el siguiente problema:
Entre dos vasos A y B de igual capacidad se distribuyen en partes desiguales 10
litros de agua. El vaso A se llenaría si se vertiesen los 4/5 del agua contenida en
B, y éste se llenaría si se añadiesen los 3/4 del agua contenida en A. Calcular el
agua contenida en cada vaso y su capacidad.
Actividad 2
Diofanto es el autor de 6 libros de “Aritmética”, escritos en versos. El siguiente, es
el enunciado de un problema que resuelve.
“Descomponer un número dado en dos partes tales que una fracción dada de la
primera exceda en un número dado a una fracción dada de la segunda”
a. Proponer una solución
b. Traducir la solución del problema al lenguaje simbólico actual.
Actividad 3
3.a) El siguiente problema ha sido resuelto de diferentes maneras, analizar cada
solución e identificar
si se utilizó el método retórico, lacónico o simbólico.
Justificar.
Problema: “A usted se le da la suma y la diferencia de un par de números
cualesquiera; muestre que usted siempre puede encontrar cuáles son los
números”.
1ra Resolución: x e y los números;
m = suma de x e y ;
Ecuaciones generales: m  x  y n  x  y
Se suman: m  n  2x
Encuentre x y sustituya luego para obtener y .
n = diferencia de x e y
2da Resolución: divide la suma por 2; luego divide la diferencia por 2; para obtener el
primer número adicione la suma dividida por 2 a la diferencia dividida por 2. Para
obtener el segundo número quítele la diferencia dividida por 2 a la suma dividida por 2.
x  y  8 se resuelve para x
3ra. Resolución: x  y  2
aplicarse para cualquier par de números
y para y el método puede
3.b) En la primera resolución presentada, intervienen 4 letras. ¿Se puede afirmar
que las cuatro letras representan incógnitas?.Justifique.
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ACTIVIDADES DÍA 2
Actividad 1
1. Analizar las siguientes consignas que fueron proporcionadas a alumnos del
ciclo básico
1.1 ¿Qué representan las letras en las siguientes expresiones?
3  a  a  a  10
3  a  a  a  10
3  a  a  10  b
1.2 ¿Qué valor representa la letras en las expresiones siguientes?
4m ; m 2
; m
1.3 ¿Qué pasa con el valor de y cuando el valor de x crece de -7 a 7
en la expresión?
2x 2  5  y
2. Anticipar los errores más comunes que pueden cometer los alumnos en la
resolución de las mismas.
Actividad 2
Analizar las siguientes actividades teniendo en cuenta:
-
Contenidos involucrados
-
El año del secundario al que podría estar destinada
-
El significado de la letra
2.1 El valor del área del cuadrado más 6 es igual a 5 veces el valor de su
perímetro. ¿Cuál es el lado del cuadrado?
2.2 Escriba la expresión que representa el área de la siguiente figura
5
x
x
7
5
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2.3 Dada la siguiente expresión 𝑛 + 27 = 𝑥
:
¿Qué representa n?
¿Qué representa x?
¿Qué valores puede tener x?
¿Qué le pasa al valor de x cuando el valor de n aumenta?
2.4 Observe las siguientes figuras:
Número de Puntos
Fig. 1
1
Fig. 2
4
Fig. 3
9
Fig. 4
-
¿Cuántos puntos hay en la figura 4?
-
Dibuje la figura 5 y dé el número total de puntos.
-
Dibuje la figura 6 y dé el número total de puntos.
-
Imagine que puede seguir dibujando hasta la figura m ¿Cuántos puntos
tendrá esa figura?
2.5 Considere la expresión 5 − 𝑥 = 𝑦 . Si los valores de 𝑥 varían entre −4 y 5
¿Cuándo alcanza 𝑦 su valor máximo y su valor mínimo?
2.6 a. Una tinaja que tiene 50 litros de agua recibe de una llave 7.5 litros por
minuto. ¿Cuántos litros tendrá después de un minuto de abrir la llave? ¿Y
después de dos? ¿Después de tres?
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b. Dentro de un año, Amanda tendrá el triple de la edad que tenía hace nueves
años. ¿Qué edad tiene Amanda ahora?
Algunas preguntas que pueden plantearse son:
-
¿Qué es lo que se desconoce en este problema?
-
¿Cómo se puede representar la edad que tiene ahora Amanda?
-
¿Y la que tendrá el año próximo? ¿Y la que tenía hace 9 años?
-
¿Qué ecuación puede plantearse para reconocer la edad actual de
Amanda, a partir de la que tendrá dentro de un año y de la que tenía hace
9 años?
c. En la ecuación 3(𝑥 − 9) = 𝑥 + 1 , ¿Qué valor puede tomar 𝑥 ?
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ACTIVIDADES DÍA 3
Las siguientes actividades son propuestas integradoras para alumnos del
secundario. Para cada una de ellas:
-
Resolver
-
Analizar:

¿Para qué año del secundario puede estar destinada?

¿Qué nociones de variable aparecen?

¿Cuál es el valor didáctico de la actividad?
Propuesta integradora N°1
Acitividad 1.1 .Calcule el perímetro del rectángulo
-
¿Qué significa que la base mida 𝟐𝒙 + 𝟓 𝒄𝒎 ?
-
Las medidas de este rectángulo pueden ser 𝟏𝟎 𝒄𝒎 y 𝟐𝟐 𝒄𝒎?
-
Si el perímetro de la figura es 𝟒𝟎 𝒄𝒎
¿cuáles son las medidas de sus
lados?
Actividad1.2.
a.Complete la tabla (Utilice GeoGebra)
Alto
2
2,5
3
3,2
4
4,3
4,78
5
a
Base
b. Realice la gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas. (Para ello utiliza
la opción crear lista de puntos)
c. Si corresponde, una los puntos con una línea (Puede trazarla o utilizar la
opción ajustar)
d. ¿29 y 12 pueden ser lados del rectángulo? ¿Cómo lo justifica mirando el
gráfico?
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Actividad 1.3
a. Complete la tabla (Utilice GeoGebra)
X
Perímetro
b. ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente?
Justifique.
c. Si el perímetro es 58. ¿Cuál es la medida del lado?
Propuesta integradora N°2
Actividad 2.1
En equipos de cuatro personas y mediante fichas de color (40 grises y 30
blancas) las cuales representaban mosaicos, se construyen piscinas cuadradas
como las de las figuras de abajo.
a. Complete la siguiente tabla
Figura
Numero de mosaicos
Blancos
8
1
2
3
4
5
6
7
10
50
x
b. Responda:
Números de mosaicos
Grises
1
Total de
mosaicos
9
- ¿Qué figura tendría 100 mosaicos blancos?
- ¿Qué figura tendría 144 mosaicos grises?
c. Realice la gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas (utilice
GeoGebra) que relacione los números de mosaicos de colores y el total de
mosaicos utilizados en cada una de figuras formadas. Luego responda
¿Siempre hay más mosaicos blancos que grises?
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Bibliografía
Bolea, P. (2003). El proceso de algebrización de organizaciones matemáticas
escolares. Monografía del Seminario Matemático García de Galdeano, 29.
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Kaputt J. (2000). Transforming algebra from an engine of inequity to an engine of
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K-12
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Dartmouth,
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Ursini S., Escareño F. , Montes D y Trigueros M (2005) Enseñanza del álgebra
elemental. Cap I, Cap II y Cap III pp 11-43. Ed Trillas . México
Dulce N, López R, -lópez P (2011) Empleo del Modelo 3uv en el álgebra
temprana. Memorias de XII CIAEM y IACME, Recife, Brasil.
Douady Re (1995) El Calculo Algebraico en la articulación entre la Educación
Básica Secundaria y la Educación Media en “Ingeniería didáctica en educación
Matemática” pp 76-96. Grupo Editorial Iberoameérica. Bogotá.
Socas M (2011) La enseñanza del Algebra en la Educación Obligatoria.
Aportaciones de la Investigación. Revista Números. Vol 77, pp 5 - 34
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Anexo
Retórica
1) Al trasvasar de un vaso a otro, éste se llena; y lo que queda en el primero, es el
complemento a 10 litros.
2) Y esto se cumple sin importar de cuál a cuál se trasvase (pues los dos vasos
tienen la misma capacidad).
3) De aquí que 1/4 de lo que tiene A es lo mismo que 1/5 de lo que tiene B. (Pues es
lo que quedaría en cada uno después del trasvase al otro.)
4) Pero, como entre los dos tienen 10 litros, entonces las quintas partes de lo que
tienen suman 2.
5) De aquí que 1/5 de lo que hay en A más 1/4 de ese mismo contenido tiene que
ser 2 litros. (Porque ese 1/4 es equivalente a 1/5 del contenido de B, como ya
habíamos quedado.)
6) Y 1/4+1/5 suman 9/20. Por tanto 9/20 de lo que hay en A equivale a 2 litros.
7) Pero entonces 20/9 de 2 litros es lo que hay en A.
8) Y, como se sabe, 20/9 de 2 son tantos litros como 40/9.
9) De aquí que en B tiene que haber tantos litros como el complemento a 10, es
decir, 50/9.
Diofanto lo resuelve de la siguiente manera:
Para descomponer el número 100 en dos partes, de modo que el excedente del cuarto de la
primera sobre el sexto de la segunda sea 20 unidades y supongamos que el sexto de la
segunda vale 1 aritmo, la segunda valdrá 6 aritmos , el cuarto de la primera 1 aritmo más 20
unidades, y, por tanto la primera parte tendrá 4 aritmos y 80 unidades; y como queremos
que las dos partes sumen 100 unidades, estas 100 unidades valdrán tanto como 10 aritmos
y 80 unidades; luego, restando lo semejante de lo semejante, quedan 10 artimos iguales a
20 unidades, y, por consiguiente, 1 aritmo valdrá 2 unidades.
Volviendo a nuestras posiciones, resulta que como el sexto de la segunda parte es un
aritmo, o sea: 2 unidades, esta segunda parte valdrá 12 unidades, y por ser el cuarto de la
primera un aritmo y 20 unidades, es decir: 22 unidades, la primera parte tendrá 88 unidades
.
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