Download Triángulos - Wiki de la asignatura de Trigonometría

Material de apoyo de Trigonometría
Unidad I Conceptos Fundamentales
Profr. Carlos Justino Arévalo García
¿Qué es la Trigonometría?
Es la rama de las matemáticas que trata de la medición de los elementos que componen a los triángulos, así
como del estudio de las relaciones que existen entre estos. Dichos elementos son principalmente sus tres
lados y sus tres ángulos internos.
¿Qué es un ángulo?
Es la abertura formada entre dos rectas o segmentos de recta unidos en un punto llamado vértice.
Ángulo positivo: es aquel que tiene su sentido de giro contrario a las manecillas del reloj.
Ángulo negativo: es aquel que tiene su sentido de giro a favor de las manecillas del reloj.
¿Qué es un ángulo central?
Es aquel que tiene su vértice en el centro de una circunferencia y sus lados son dos radios de la misma.
¿Qué es un arco?
Es un segmento de circunferencia. En muchas ocasiones asociado a un ángulo central..
Unidades más utilizadas para la medición de ángulos
Grados sexagesimales
Un grado sexagesimal es la magnitud de un ángulo central cuyos lados delimitan un arco de longitud igual a
1
360
de la circunferencia completa. Su símbolo es “ ° ”.
Existen dos formatos para expresar la medida de un ángulo en grados sexagesimales:


Formato decimal: 35.34° 120.97° 90.02° 11.4°
Formato grados, minutos y segundos: un grado equivale a 60 minutos, los cuales se denotan por ’. Un
minuto equivale a 60 segundos, los cuales se denotan por ’’. En un grado existen 3600 segundos.
Ejemplos: 35° 42’ 27’’ 126° 11’ 8° 36’’ .
Existen ciertas reglas para escribir un ángulo en este formato:
1. El término de los segundos debe valer menos de 60, ya que con 60 segundos tendríamos un
minuto completo. Si tenemos 60 o más segundos, estos se convierten a tantos minutos enteros
sea posible y se deja el resto expresado en segundos. Los minutos generados se agregan al
término de los minutos. (1’ = 60’’)
2. El término de los minutos debe valer menos de 60, ya que con 60 minutos tendríamos un grado
completo. Si tenemos 60 o más minutos, estos se convierten a tantos grados enteros sea
1
posible y se deja el resto expresado en minutos. Los grados generados se agregan al término de
los grados. ( 1° = 60’ ) ( 1° = 3600’’).
3. El término de los grados puede tomar cualquier valor entero. El único término que puede tener
decimales es el de los segundos.
Radianes
Se define un radián como la medida de un ángulo central que delimita un arco cuya longitud es igual a la del
radio de la circunferencia asociada. Su símbolo es “rad”.
𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟑𝟔𝟎°
𝟏 𝒓𝒂𝒅 =
𝟑𝟔𝟎°
𝟐𝝅
𝟏 𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟓𝟕. 𝟐𝟗𝟔°
𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟏𝟖𝟎°
𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟏° ∗ 𝟏𝟖𝟎
𝝅
𝟏𝟖𝟎
𝒓𝒂𝒅 = 𝟏°
𝟏° =
𝝅
𝒓𝒂𝒅
𝟏𝟖𝟎
De lo anterior se concluye que un radián equivale a 57.296°
Conversión entre los formatos decimal y grados, minutos y segundos (𝒂° 𝒃’ 𝒄’’) de los
grados sexagesimales
De grados, minutos y segundos a decimal:
𝒂° 𝒃’ 𝒄’’ = (𝒂 +
𝒃
𝒄
+
)°
𝟔𝟎 𝟑𝟔𝟎𝟎
Ejemplo:
25° 32’ 59’’ = (25 +
32
59
+
) ° ≈ 25.55°
60 3600
De decimal a grados, minutos y segundos:
𝟔𝟓. 𝟑𝟐° = 𝟔𝟓° (𝟎. 𝟑𝟐 ∗ 𝟔𝟎)’
𝟔𝟓. 𝟑𝟐° = 𝟔𝟓° 𝟏𝟗. 𝟐’
𝟔𝟓. 𝟑𝟐° = 𝟔𝟓° 𝟏𝟗’ (𝟎. 𝟐 ∗ 𝟔𝟎)’’
𝟔𝟓. 𝟑𝟐° = 𝟔𝟓° 𝟏𝟗’ 𝟏𝟐’’
Procedimiento:
1. El término de los grados es la parte entera de la cantidad a convertir.
2. La parte decimal de dicha cantidad se multiplica por 60 para saber a cuantos minutos equivale, ya
que 60 minutos hacen un grado; la parte entera de este resultado será el término de los minutos.
2
3. La parte decimal del resultado de la multiplicación anterior se vuelve a multiplicar por 60 para
saber a cuantos segundos equivale, ya que 60 segundos hacen un minuto; este resultado será el
término de los segundos, expresado con parte decimal en caso de existir.
Ejercicio. Realiza las operaciones que se indican a continuación:
a) Expresa en grados, minutos y segundos 127.7038°
b) Expresa sólo en grados 63° 42’ 36’’
c) Transforma 4° 100’ 220’’ a formato decimal
d) Escribe 16.65° a formato grados, minutos y segundos
e) Transforma 4° 58’’ a formato decimal
f) Convierte 123° a radianes
g) Convierte 2.76 radianes a grados
h) Convierte 274° a radianes
i) Convierte 9.12 radianes a grados
j) Convierte 7 radianes a grados
k) Convierte
5𝜋
6
radianes a grados
l) Suma 98° 26’ 56’’ con 16° 47’ 13’’
m) Resta 23° 34’ 22’’ de 57° 46’ 38’’
n) Resta 45° 57’ de 78° 15’ 34’’
Clasificación de ángulos de acuerdo a su medida
Ángulo agudo: es aquel que mide menos de 90°.
Ángulo recto: es aquel que mide exactamente 90°. Se representa con un cuadrado en su vértice.
Ángulo obtuso: es aquel que mide más de 90° pero menos de 180°.
Ángulo llano o colineal: es aquel que mide exactamente 180°.
Ángulo cóncavo o entrante: es aquel que mide más de 180° pero menos de 360°.
Ángulo perigonal: es aquel que mide exactamente 360°.
Clasificación de ángulos de acuerdo a su posición
Ángulos adyacentes: es un par de ángulos que poseen un lado en común y los otros dos lados pertenecen a
una misma recta. Dos ángulos adyacentes siempre suman 180°.
Ángulos opuestos por el vértice: son dos ángulos que se encuentran uno frente al otro al cruzarse dos rectas
en un punto llamado vértice. Una pareja de estos ángulos siempre mide lo mismo.
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Clasificación de ángulos por pares de acuerdo a su medida
Ángulos congruentes: son aquellos que tienen la misma magnitud o medida sin importar su posición.
Ángulos complementarios: son dos ángulos cuya suma resulta exactamente 90°.
Ángulos suplementarios: son dos ángulos cuya suma resulta exactamente 180°.
Ángulos conjugados: son dos ángulos cuya suma resulta exactamente 360°.
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal
Al cruzar dos rectas paralelas con una recta trasversal se forman 8 ángulos, de los cuales 4 toman un mismo
valor y los otros 4 otro mismo valor. Se observa también que cuatro ángulos son internos y los otros cuatro
son externos:
También podemos observar que existen parejas de ángulos que no son iguales pero que juntos suman 180°:
1 y 7; 2 y 8; 3 y 5; 4 y 6
Además todas las parejas de ángulos adyacentes sabemos que suman 180°:
1 y 2; 2 y 4; 3 y 4; 1 y 3; 5 y 6; 6 y 8; 7 y 8; 5 y 7
Triángulos
̅̅̅̅ , 𝐵𝐶
̅̅̅̅ 𝑦 𝐶𝐴
̅̅̅̅ forman un triángulo que se designa por ∆𝐴𝐵𝐶 si y solo si A, B y C son
La unión de los segmentos 𝐴𝐵
puntos no colineales. Los segmentos antes mencionados son los lados del triángulo, y los puntos A, B y C son
sus vértices. Los tres ángulos internos del triángulo están definidos por la unión de dos de sus lados en sus
vértices.
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De forma más sencilla se utilizarán letras mayúsculas para hacer referencia a los ángulos y letras minúsculas
para nombrar a los lados del triángulo, utilizando la misma letra para cada ángulo y su lado opuesto.
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados
Triángulo equilátero: tiene sus tres lados de igual medida.
Triángulo Isóceles: tiene dos lados iguales y uno diferente.
Triángulo escaleno: tiene sus tres lados de diferente medida.
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la magnitud de sus ángulos
Triángulo rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto (90°). A los lados que conforman a dicho ángulo se
les llama catetos y al lado que se encuentra frente a dicho ángulo y que además es el más largo de los tres se
le llama hipotenusa.
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Triángulo oblicuángulo: es aquel que no tiene ángulos rectos (90°).
Los triángulos oblicuángulos se clasifican a su vez de la siguiente forma:

Triángulo obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo obtuso (mayor de 90° pero menor de 180°).

Triángulo acutángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos agudos (menores de 90°).

Triángulo equiángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos iguales.
Propiedades de los triángulos
1.
2.
La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo siempre resulta 180°.
El valor de cualquier ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no
adyacentes.
Ángulo exterior: se forma desde cualquier lado del triángulo con la prolongación de otro. Un
triángulo tiene tres ángulos exteriores.
3. La suma de los tres ángulos exteriores de cualquier triángulo siempre resulta 360°.
4. En cualquier triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
5. Si un triángulo tiene dos lados iguales entonces los ángulos interiores opuestos a estos lados también son
iguales.
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