Download Maximo común divisor y mínimo común múltiplo

4.3 (parte 2)
Máximo común
divisor
y
Mínimo común
múltiplo
Máximo común divisor
El máximo común divisor o máximo común
factor (MCD) de dos naturales a y b, es el número
natural mayor que divide ambos números.
Ejemplo:
El MCD(20, 32) denota el máximo común
divisor de 20 y 32.
MCD(20, 32) = 4
Método de intersección de
conjuntos
Para hallar el MCD de 20 y 32, escribimos el
conjunto de divisores para cada número.
Como el número mayor que pertenece a ambos conjuntos
es 4, MCD(20, 32) = 4.
Método de la factorización prima
Para determinar el MCD de dos o más números
naturales,
• encontrar los factores primos de los números
dados
• identificar cada factor primo común
• El MCD es el producto de los factores
comunes, cada uno elevado a la potencia
menor al que aparece en cualquiera de las
factorizaciones.
Ejemplo
Determinar:
a. MCD(108, 72)
b. MCD(0, 13)
Como 13 | 0 y 13 | 13, MCD(0, 13) = 13.
Ejemplo
Determinar usando la factorización prima:
MCD(180, 48)
MCM(180, 48) =22 × 31 = 4 × 3 = 12
Ejemplo (continuación)
c. MCD(x, y) if x = 23 · 72 · 11 · 13 ;
y = 2 · 73 · 13 · 17
MCD(x, y) = 2 · 72 · 13 = 1274
d. MCD(x, y, z) si x = 23 · 72 · 11 · 13,
y = 2 · 73 · 13 · 17, y z = 22 · 7
MCD(x, y, z) = 2 · 7 = 14
e. MCD(x, y) if x = 54 · 1310 ; y = 310 · 1120
Como no existen factor primo común, MCD(x, y) = 1.
Mínimo Común Múltiplo (MCM)
El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más
números naturales es el número natural más
pequeño que es múltiplo de cada uno de ellos a
la vez.
Método de la recta numérica
Determinar MCM(3, 4).
Comenzando en el 0, las flechas no coinciden hasta que
llegan al 12 en la recta numérica. Por lo tanto, 12 es el
MCM(3, 4).
MCM por inspección
Ejemplo: Determinar MCM(10,12) por inspección.
Comparemos una
parte de las tablas
de multiplicación
de los dos
números.
MCM(10, 12) = 60
Método de la factorización prima
Para encontrar el MCM de dos o más números
naturales,
• Encontrar los factores primos de cada número.
• Tomar cada uno de los primos que son factores
de cualquiera de los números dados.
• El MCM es el producto de estos números
primos, cada uno elevado a la potencia mayor
al que aparece en cualquiera de las
factorizaciones.
Ejemplo
Determinar MCM(24, 36).
MCM(24, 36) = 23 × 32 = 8 × 9 = 72
Ejemplo
Determinar MCM(180, 48).
MCM(180, 48) = 2? × 3? × 5?
= 24 × 32 × 5 = 16 × 9 × 5 = 720
Ejemplo
Determinar MCM(2520, 10530) dado que
Método division-por-primos
Continuamos
dividiendo de la
siguiente
manera:
Para encontrar
MCM (12, 75, 120),
comenzamos
dividiendo por el
número primo menor
que divide al menos
uno de los números
dados.
Método division-por-primos
Continuamos
dividiendo de la
siguiente
manera:
2 | 20
2 | 10
2| 5
3| 5
5| 5
| 1
30
15
15
15
5
1
Para encontrar
40
MCM (20, 30, 60),
20
comenzamos
10
dividiendo por el
5
5 número primo menor
1 que divide al menos
uno de los números
dados.
MCM(20, 300, 60) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 1 × 1 × 1