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UNIT 10 SOLUTIONS
TRABAJO Y POTENCIA:
PROBLEM 1.- Un objeto de masa 4 kg está cayendo desde gran altura. ¿Qué energía
mecánica tendrá al pasar por un piso que está a 5 metros del suelo llevando una
velocidad de 72 km/h?
La energía total o mecánica será la suma de la potencial (debida a la altura) más
la cinética (debía a la velocidad). Debemos pasar la velocidad de Km/h a m/s.
1
1
E m  E c  E p  ·m·v 2  m·g·h  ·4·20 2  4·9.8·5  996 J
2
2
PROBLEM 2.- Una bomba tiene que elevar 100 m3 de agua a una altura de 50 metros.
¿Qué energía le transfiere al agua?
Se trata de energía potencial gravitatoria. Primero debemos calcular la masa de
agua, suponiendo que la densidad del agua es de 1 Kg/L:
1 m3 = 1000 dm3 = 1000 L = 1000 Kg
Luego aplicamos la fórmula de la energía potencial:
E p  m·g·h  105·9.8·50  4.9·107 J
PROBLEM 3.- Dos objetos se mueven uno con triple velocidad que el otro, ¿qué masa
tienen que tener para que tengan la misma energía cinética?
E c1  E c 2
1
1
·m1·v12  ·m2 ·v 22
2
2
2
2
m1·v1  m2 ·3·v1 
m1  9·m2
Como vemos, para que la energía cinética sea la misma, el que tiene tres veces
más velocidad debe tener nueve veces menos masa.
PROBLEM 4.- Hallar la variación de energía potencial que experimenta un libro de 2.5
kg cuando se traslada desde un estante que está a 50 cm del suelo hasta otro que está a
1.75 m del suelo.
E p  Ep f  Ep0  m·g·h f  m·g·h0  2.5·9.8·1.75  0.5  30.625 J
PROBLEM 5-Hallar la masa de un coche que va por una autopista a una velocidad
constante de 108 km/h, sabiendo que su energía a dicha velocidad es 675 kJ. Si su
velocidad aumenta a 118.8 km/h. Calcular la variación de energía cinética que ha
experimentado. En un momento su energía cinética disminuye a 468.75 kJ, ¿qué
velocidad lleva en dicho momento?
Pasamos la velocidad de Km/h a m/s y la energía de KJ a J y luego aplicamos la
fórmula de la energía cinética y despejamos la masa:
2·E
1
2·675000
Ec  ·m·v 2  m  2 c 
 1500Kg
2
v
30 2
Al aumentar la velocidad aumenta también su energía cinética:




1
1
1
1
2
2
Ec  ·m·v 2f  ·m·v02  ·m· v f  v0  ·1500· 332  30 2  141750 J
2
2
2
2
Si disminuye la energía cinética el coche perderá velocidad:
2·Ec
1
2·468750
m
Ec  ·m·v 2  v 

 25
2
m
1500
s
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA:
PROBLEM 6.-Una vagoneta de masa 150 Kg, inicialmente en reposo, transporta a dos
personas de 70 Kg cada una y comienza a recorrer una montaña rusa a una altura de 50
m del suelo. ¿Qué velocidad llevará en el punto más bajo del recorrido, que está a 7 m
del suelo? ¿Qué altura tendrá cuando la velocidad sea un tercio de la que tiene en el
punto anterior? Explica todas las transformaciones energéticas que tienen lugar.
Primero calculamos la masa total del sistema: m = 150 + 2·70 = 290 Kg. A
continuación aplicamos el principio de conservación de la energía, teniendo en cuenta
que al principio sólo tenemos energía potencial que al ir bajando se va transformando en
energía cinética.
E mA  E mB
E cA  E pA  E cB  E pB
1
0  m·g·h A  ·m·v B2  m·g·hB
2
1 2
m
9.8·50  ·v B  9.8·7  v B  2·9.850  7   29
2
s
Volvemos a aplicar el principio de conservación de la energía. Ahora, como
vamos subiendo, iremos ganando energía potencial a costa de ir perdiendo cinética.
E mA  E mC
E cA  E pA  E cC  E pC
1
0  m·g·h A  ·m·vC2  m·g·hC
2
2
1  29 
9.8·50  ·   9.hC  490  46.72  9·hC  hC  49.25m
2 3 
PROBLEM 7.-Un balón cae deslizando por una pendiente de 50 m de altura. ¿Qué
velocidad lleva en el momento que llega al suelo? Cuando la altura es la tercera parte de
la inicial, ¿cuál es la velocidad? Explica detalladamente todas las transformaciones
energéticas que tienen lugar.
Aplicamos el principio de conservación de la energía, teniendo en cuenta que al
principio sólo tenemos energía potencial que al ir bajando se va transformando en
energía cinética.
E mA  E mB
E cA  E pA  E cB  E pB
1
0  m·g·h A  ·m·v B2  0
2
1 2
m
9.8·50  ·v B  v B  2·9.8·50  31.3
2
s
Lo mismo hacemos cuando la altura es la tercera parte de la inicial:
E mA  E mC
E cA  E pA  E cC  E pC
1
0  m·g·h A  ·m·vC2  m·g·hC
2
1
50
50 
m

9.8·50  ·vC2  9.8·  v B  2·9.8· 50    25.6
2
3
3
s

PROBLEM 8.- ¿Cuál es la altura máxima que alcanza un objeto de 2 kg cuando es
lanzado desde el suelo con una velocidad de 20 m/s?
E mA  E mB
E cA  E pA  E cB  E pB
1
·m·v A2  0  0  m·g·hB
2
v2
20 2
hB  A 
 20.4m
2·g 2·9.8
PROBLEM 9.- Una maceta cae desde una cornisa que se encuentra a 25 m del suelo.
¿Qué velocidad lleva en el momento que llega al suelo? ¿A qué altura la velocidad será
igual a la mitad de la final?
E mA  E mB
E cA  E pA  E cB  E pB
1
0  m·g·h A  ·m·v B2  0
2
v B  2·g·h A  2·9.8·25  22.1
m
s
E mA  E mC
E cA  E pA  E cC  E pC
1
0  m·g·h A  ·m·vC2  m·g·hC
2
2
 22.1 


2
v
2 
hC  h A  C  25  
 18.77 m
2·g
2·9.8
PROBLEM 10.- Se lanza verticalmente hacia arriba un objeto de 23 g con una
velocidad de 15 m/s. Calcula la velocidad que lleva cuando está a 7 m del suelo.
E mA  E mB
E cA  E pA  E cB  E pB
1
·m·v A2  0 
2
1 2 1 2
·15  ·v B
2
2
1
·m·v B2  m·g·hB
2
 9.8·7  v B  9.4
m
s
PROBLEM 11.- Un objeto cae al suelo desde cierta altura. En el momento que pasa
por la altura de 10 metros respecto al suelo, lleva una velocidad de 15 m/s ¿Desde qué
altura cae? ¿Con qué velocidad cae al suelo?
E mA  E mB
E cA  E pA  E cB  E pB
1
0  m·g·h A  ·m·v B2  m·g·hB
2
1
9.8·h A  ·15 2  9.8·10  h A  21.5m
2
E mA  E mC
E cA  E pA  E cC  E pC
1
0  m·g·h A  ·m·v B2  0
2
1
m
9.8·21.5  ·vC2  vC  20.5
2
s
PROBLEM 12.- Una bola de 450 g de masa se mueve por un plano horizontal con una
velocidad de 35 m/s cuando inicia el ascenso por un plano inclinado 27º sin rozamiento.
Calcula: ¿Cuál es la altura máxima que alcanza sobre el plano inclinado? ¿Qué espacio
ha recorrido sobre el plano inclinado?
E mA  E mB
E cA  E pA  E cB  E pB
1
·m·v A2  0  0  m·g·hB
2
1 2
·35  9.8hB  hB  62.5m
2
Aplicando la definición del seno de un ángulo como el cateto opuesto dividido
por la hipotenusa:
sen 
h
h
62.5
s

 137.7m
s
sen sen 27º
PROBLEM 13.- Un objeto de 10 kg se deja caer sin rozamiento por un plano inclinado
como el de la figura. ¿Qué velocidad lleva en el punto más bajo? Si cuando dejamos
caer el objeto de 10 kg, hay un rozamiento de 10 N, ¿qué velocidad llevará en el punto
más bajo en esta nueva situación? ¿Qué conclusiones se deducen de los apartados
anteriores?
E mA  E mB
E cA  E pA  E cB  E pB
1
0  m·g·h A  ·m·v B2  0
2
1
m
9.8·7  v B2  v B  11
2
s
Cuando hay rozamiento no se conserva la energía puesto que parte de ella se
gasta debido al rozamiento. Lo que haremos en este caso es restar a la energía inicial lo
que se pierde por rozamiento y eso será igual a la energía final:
E mA  WROZ  E mB
EcA  E pA  WROZ  EcB  E pB
1
0  m·g·h A  FROZ· s  ·m·v B2  0
2
1
m
10·9.8·7  10·14  ·10·v B2  v B  10.4
2
s
PROBLEM 14.- Calcula la velocidad del vagón de la montaña rusa en el punto b si
parte del reposo en el punto a. ¿Y si pasa por a con una velocidad de 40 km/h?
E mA  E mB
E cA  E pA  E cB  E pB
1
0  m·g·h A  ·m·v B2  m·g·hB
2
1 2
m
9.8·50  ·v B  9.8·30  v B  19.8
2
s
TRABAJO Y POTENCIA:
PROBLEM 15.-Un motor lleva la indicación de 100 C.V. ¿Cuál es su potencia en W y
kW? ¿Qué energía en Kw·h habrá transferido en 5 minutos?
Recordemos que 1 c.v. equivale a 735 W:
P  100c.v.  73500W  73.5KW
La energía se calcula multiplicando la potencia por el tiempo de funcionamiento
en segundos, así obtenemos el resultado en J, para pasar a KW·h, dividimos por
3600000:
E  P·t  73500·300  22050000J  6.125KW·h
PROBLEM 16.- ¿Cuánto tiempo estará funcionando una bomba de agua que eleva 100
m3 a 25 m de altura, si desarrolla una potencia de 14 C.V.?
Supondremos que un litro de agua equivale a un kilogramo, en ese caso:
100 m3 = 100000 dm3 = 100000 L = 100000 Kg
Calculamos el trabajo que desarrolla la bomba al subir el agua:
W  E p  m·g·h f  m·g·h0  100000·9.8·25  0  24500000 J
Pasamos la potencia a W, y despejando de la fórmula sacamos el tiempo:
14c.v.  10290W
P
W
W 24500000
t 

 2381s  39.7 min
t
P
10290
PROBLEM 17.- Un automóvil de 1600 Kg de masa acelera de 0 a 90 Km/h en 12 s.
Calcula la variación de energía cinética, el trabajo realizado por el motor en J y KW·h y
la potencia desarrollada en vatios y caballos de vapor.


1
1
1
EC  ·m·v 2f  ·m·v02  ·1600· 25 2  0  500000 J
2
2
2
W  EC  500000 J  0.139 KW ·h
P
W 500000

 41667W  56.7c.v.
t
12
PROBLEM 18.-Un vehículo de 900 Kg acelera de 36 a 90 Km/h en 20 s. Calcula:
a) El trabajo que realiza el motor del coche.
b) La potencia en caballos de vapor.
c) La altura a la que llegaría ese vehículo si a los 20 s comienza a subir una
cuesta (sin rozamiento) si apagase el motor.


1
1
1
W  EC  ·m·v 2f  ·m·v02  ·900· 25 2  10 2  236250 J
2
2
2
W 236250
P

 11812.5W  16c.v.
t
20
E mA  E mB  Ec A  Ep A  Ec B  Ep B
v2
1
25 2
·m·v A2  0  0  m·g·hB  hB  A 
 31.9m
2
2·g 2·9.8
PROBLEM 19.- Un vehículo de 1100 Kg acelera de 72 a 108 Km/h. Calcula:
a) El trabajo que realiza el motor del coche. Exprésalo en KW·h.
b) Desde que altura tendría que dejarse caer ese vehículo para que llegase al suelo a
72 Km/h. Explica cómo se transforman las energías en este apartado.


1
1
1
W  EC  ·m·v 2f  ·m·v02  ·1100· 30 2  20 2  275000 J  0.076 KW ·h
2
2
2
E mA  E mB  Ec A  Ep A  Ec B  Ep B
v B2
1
20 2
2
0  m·g·h A  ·m·v B  0  h A 

 20.4m
2
2·g 2·9.8
A medida que el objeto va cayendo va transformando su energía potencial en
cinética porque va perdiendo altura y ganando velocidad.
PÉRDIDA DE ENERGÍA POR ROZAMIENTO:
PROBLEM 20.-Sobre un objeto de 20 Kg, inicialmente en reposo se aplica una fuerza
de 100 N formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si la fuerza de rozamiento es de
50 N y el objeto recorre 75 m.
a) Dibujar todas las fuerzas y hallar el trabajo que realiza cada una y el trabajo total.
b) Calcular la velocidad al final de los 75 m.
c) En este problema, ¿se conserva la energía? ¿por qué?
a) Calculamos el trabajo que realiza cada fuerza multiplicando el valor de la fuerza
por el desplazamiento y por el coseno del ángulo que forman. El trabajo total es la suma
de los trabajos de cada fuerza.
WF  F·s·cos   100·75·cos 30  6495 J
WP  0
WN  0
WROZ  FROZ ·s·cos   50·75·cos 180  3750 J
Wtotal  6495  3750  2745 J
La normal y el peso no realizan trabajo por ser perpendiculares al
desplazamiento. El trabajo de rozamiento es negativo porque se opone al movimiento.
b) Aplicamos el teorema de las fuerzas vivas:
2·Wtotal
1
m
Wtotal  EC  ECf  EC 0  ·m·v 2f  0  v f 
 16.6
2
m
s
c) No se conserva la energía porque el rozamiento hace que se pierda energía,
además la fuerza que mueve el objeto hace, por otro lado, que la energía vaya
aumentando.
PROBLEM 21.-Un coche de 900 Kg de masa baja por una pendiente de 45º de
inclinación. La fuerza de rozamiento que hacen los frenos es de 1000 N y el vehículo
recorre 30 m. Calcula:
a) El trabajo que realiza cada fuerza.
b) La velocidad final si la inicial era de 10 m/s.
c) Razona si en este problema se conserva o no la energía.
a) Calculamos el trabajo que realiza cada fuerza multiplicando el valor de la fuerza
por el desplazamiento y por el coseno del ángulo que forman. El trabajo total es la suma
de los trabajos de cada fuerza.
WP  P·s·cos   m·g·s·cos   900·9.8·30·cos 45  187100 J
WN  0
WROZ  FROZ ·s·cos   1000·30·cos 180  30000 J
Wtotal  187100  30000  157100 J
La normal no realiza trabajo por ser perpendicular al desplazamiento. El trabajo
de rozamiento es negativo porque se opone al movimiento.
b) Aplicamos el teorema de las fuerzas vivas:
1
1
Wtotal  EC  ECf  EC 0  ·m·v 2f  ·m·v02
2
2
2·Wtotal
m
vf 
 v 02  21.2
m
s
c) No se conserva la energía porque el rozamiento hace que se pierda energía.
PROBLEM 22.-El motor de un coche de 1200 Kgde masa produce una fuerza de 10KN
cuando sube por una pendiente de 30º de inclinación. La fuerza de rozamiento es de 100
N y el vehículo recorre 20 m. Calcula:
a) El trabajo que realiza cada fuerza.
b) La velocidad final si la inicial era de 10 m/s.
c) Razona si en este problema se conserva o no la energía.
a) Calculamos el trabajo que realiza cada fuerza multiplicando el valor de la fuerza
por el desplazamiento y por el coseno del ángulo que forman. El trabajo total es la suma
de los trabajos de cada fuerza.
WF  F·s·cos   10000·20·cos 0  200000 J
WP  P·s·cos   m·g·s·cos   1200·9.8·20·cos 120  117600 J
WN  0
WROZ  FROZ ·s·cos   100·20·cos 180  2000 J
Wtotal  200000  117600  2000  80400 J
La normal no realiza trabajo por ser perpendicular al desplazamiento. El trabajo
de rozamiento es negativo porque se opone al movimiento.
b) Aplicamos el teorema de las fuerzas vivas:
1
1
Wtotal  EC  ECf  EC 0  ·m·v 2f  ·m·v02
2
2
2·Wtotal
m
vf 
 v 02  15.3
m
s
c) No se conserva la energía porque el rozamiento hace que se pierda energía.
PROBLEM 23.- Un cuerpo de masa 20 kg que está sobre el suelo en reposo, y se le
aplica una fuerza constante de 200 N. Si la fuerza de rozamiento con la mesa es de 40
N. ¿Cuál será su velocidad cuando ha recorrido 4 m.
a) Calculamos el trabajo que realiza cada fuerza multiplicando el valor de la fuerza
por el desplazamiento y por el coseno del ángulo que forman. El trabajo total es la suma
de los trabajos de cada fuerza.
WF  F·s·cos   200·4·cos 0  800 J
WP  0
WN  0
WROZ  FROZ ·s·cos   40·4·cos 180  160 J
Wtotal  800  160  640 J
La normal y el peso no realizan trabajo por ser perpendiculares al
desplazamiento. El trabajo de rozamiento es negativo porque se opone al movimiento.
b) Aplicamos el teorema de las fuerzas vivas:
2·Wtotal
1
m
Wtotal  EC  ECf  EC 0  ·m·v 2f  0  v f 
8
2
m
s
PROBLEM 24.-Un objeto en lo alto de un plano inclinado tiene una energía mecánica
de 2000 J. A llegar al final del plano, su energía mecánica es 1750 J. ¿En qué se habrá
transformado el resto de la energía? Si la longitud del plano es de 5 metros, ¿cuánto
valdrá la fuerza de rozamiento?
Como vemos la energía no se mantiene constante, si no que disminuye y esto es
debido al rozamiento.
E m 0  WROZ  E mf  WROZ  2000  1750  250 J
WROZ  FROZ ·s  FROZ 
250
 50 N
5